2023學(xué)年度 等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能：通過(guò)實(shí)例理解等比數(shù)列的概念；探索并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；理解這種數(shù)列的模型應(yīng)用，體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．２．過(guò)程與方法：通過(guò)豐富實(shí)例抽象出等比數(shù)列模型，經(jīng)歷由發(fā)現(xiàn)幾個(gè)具體數(shù)列的等比關(guān)系，歸納出等比數(shù)列的定義；通過(guò)與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)類比，探索等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；通過(guò)與指數(shù)函數(shù)的圖象比較，探索等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的圖象特征及與與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。通過(guò)例題體會(huì)通項(xiàng)公式與方程、方程組之間的聯(lián)系。３．情態(tài)與價(jià)值：感受數(shù)列是反映現(xiàn)實(shí)生活的模型，體會(huì)數(shù)學(xué)是來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活的，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)列模型的能力．（二）教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式難點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程（三）學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：首先由幾個(gè)具體實(shí)例抽象出等比數(shù)列的模型，從而歸納出等比數(shù)列的定義；與等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)類比，推導(dǎo)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，通過(guò)與指數(shù)函數(shù)的圖象比較，探索等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的圖象特征及與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。教學(xué)用具：投影儀（四）教學(xué)設(shè)想首先先創(chuàng)設(shè)情境，從具體四個(gè)實(shí)例引入新課，得到四組數(shù)列；通過(guò)類比等差數(shù)列得出等比數(shù)列的定義；類比等差中項(xiàng)得出等比中項(xiàng)；探究首項(xiàng)和公比是決定一個(gè)等比數(shù)列的必要條件；類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出等比數(shù)列通項(xiàng)公式；例題鞏固；等比數(shù)列的對(duì)稱性；探究等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，小結(jié)。（五）教學(xué)過(guò)程Ⅰ.課題導(dǎo)入1、復(fù)習(xí)：等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差；公差通常用字母d表示?－=d，（n≥2，n∈N）等差數(shù)列是一類特殊的數(shù)列，在現(xiàn)實(shí)生活中，除了等差數(shù)列，我們還會(huì)遇到下面一類特殊的數(shù)列。2、[創(chuàng)設(shè)情景]解答下列問(wèn)題（課本P41頁(yè)的4個(gè)例子）：【多媒體展示4個(gè)問(wèn)題】①觀察圖書P54，細(xì)胞的分裂有什么規(guī)律，你能寫出一個(gè)數(shù)列來(lái)表示細(xì)胞的分裂的個(gè)數(shù)嗎？【1，2，4，8，16，…】②《莊子》中有這樣的論述“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭?！蹦隳苡矛F(xiàn)代語(yǔ)言敘述這段話嗎？若把“一尺之錘”看成單位“1”，那么“日取其半”會(huì)得到一個(gè)怎樣的數(shù)列？【1，，，，，…】③一種計(jì)算機(jī)病毒可以查找計(jì)算機(jī)中的地址簿，通過(guò)郵件進(jìn)行傳播。如果把病毒制造者發(fā)送病毒稱為第一輪，郵件接收者發(fā)送病毒稱為第二輪，依次類推。假設(shè)每一輪每一臺(tái)計(jì)算機(jī)都感染20臺(tái)計(jì)算機(jī)，那么在不重復(fù)的情況下，你能寫出一個(gè)數(shù)列描述這種病毒每一輪感染的計(jì)算機(jī)數(shù)嗎？【1，20，，，，…】④我國(guó)現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式除了單利，還有一種支付利息的方式――復(fù)利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計(jì)算下一期的利息，也就是通常說(shuō)的“利滾利”。學(xué)生觀察書上的表格，列出5年內(nèi)各年末本利和，說(shuō)說(shuō)它們是怎樣得到的？【，，，，，……】3、[探索研究]問(wèn)題：【多媒體展示問(wèn)題】（1）、請(qǐng)同學(xué)們回憶數(shù)列的等差關(guān)系和等差數(shù)列的定義，并仔細(xì)觀察一下，以上①、②、③、④四個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？若不是，看看它們有什么共同特征？該叫什么數(shù)列呢？【共同特點(diǎn)：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)。即具有等比關(guān)系】（2）、如果我們將具有這樣特點(diǎn)的數(shù)列稱之為等比數(shù)列，那么你能給出等比數(shù)列一個(gè)什么樣的定義？可類比等差數(shù)列完成。Ⅱ.講授新課1．等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）。與等差數(shù)列定義區(qū)別在哪里？1°“從第二項(xiàng)起”與“前一項(xiàng)”之比為常數(shù)(q)｛｝成等比數(shù)列=q（,q≠0）2°隱含：任一項(xiàng)3°q=1時(shí)，{an}為常數(shù)。2、類比等差中項(xiàng)的定義【多媒體展示定義】，得等比中項(xiàng)若三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)。且，或A-=-A由此可可得：成等差數(shù)列類比等差中項(xiàng)的概念，請(qǐng)學(xué)生自己給出等比中項(xiàng)的概念。如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等差中項(xiàng)。這時(shí)a、b的符號(hào)有什么特點(diǎn)？你能用a與b表示G嗎？這時(shí),a,b一定同號(hào),G2=ab與等差數(shù)列等差中項(xiàng)區(qū)別在哪里？3、探究【多媒體展示問(wèn)題】：決定一個(gè)等比數(shù)列的必要條件（1）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列存在嗎？如果存在，你能舉出例子嗎？（2）寫出一個(gè)首項(xiàng)為1的等比數(shù)列的前5項(xiàng)，同桌的互相比較是否相同？寫出一個(gè)公比為2的等比數(shù)列的前5項(xiàng)，同桌的互相比較是否相同？（3）兩個(gè)數(shù)列的任一項(xiàng)｛an｝及公比q相同，則這兩個(gè)數(shù)列相同嗎？（4）若兩個(gè)等比數(shù)列相同，需要什么條件？【學(xué)生先完成，討論交流，解答完成】探究目的是為了說(shuō)明首項(xiàng)和公比是決定一個(gè)等比數(shù)列的必要條件，為等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)做準(zhǔn)備。4.問(wèn)題：回顧等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程【多媒體展示推導(dǎo)過(guò)程】，你能推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？【學(xué)生分三組分別就三種方法完成，學(xué)生上臺(tái)板書過(guò)程】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1:方法1：由等比數(shù)列的定義，有：；；；…方法2：由===…==q,得觀察上式，每一道式子里，項(xiàng)的下標(biāo)與q的指數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么共同的特征嗎？【項(xiàng)的下標(biāo)與q的指數(shù)的和都是n】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2:方法3：由===…==q,得：=q，=q,=q,…==q?????=qn-1等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式區(qū)別在哪里？5、[范例講解]例1P58例3【多媒體展示例題】一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是12和18，求它的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)。解：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第一項(xiàng)是a1，公比q，那么a1q2=12,a1q3=18解得：a1=q=∴a2=8例2、課本P57例1、【多媒體展示例題】某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)一年剩留的這種物質(zhì)是原來(lái)的84％。這種物質(zhì)的的半衰期為多少（精確到1年）？解：設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過(guò)n年，剩余量是。由條件可得，數(shù)列｛｝是一個(gè)等比數(shù)列，其中：a1=,q=.設(shè)an=,則=.兩邊取對(duì)數(shù)，得=.n≈4.答：這種物質(zhì)的的半衰期為4年。6.課堂練習(xí)課本P59練習(xí)1、已知是一個(gè)等比數(shù)列，在下表中填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)： q2 8 2 7．[補(bǔ)充練習(xí)]【多媒體展示練習(xí)】2.（1）一個(gè)等比數(shù)列的第9項(xiàng)是，公比是－，求它的第1項(xiàng)（答案：=2916）（2）一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)是10，第3項(xiàng)是20，求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng)（答案：==5,=q=40）8、類比等差數(shù)列的對(duì)稱性【多媒體展示】，得等比數(shù)列的對(duì)稱性對(duì)于等差數(shù)列來(lái)說(shuō)，與數(shù)列中任一項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于該項(xiàng)的2倍，即類比等差數(shù)列的對(duì)稱性，請(qǐng)寫出等比數(shù)列類似的性質(zhì)？與等差數(shù)列的對(duì)稱性區(qū)別在哪里？9、探究：課本P56頁(yè)的探究活動(dòng)——等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系【多媒體展示問(wèn)題】1、回顧《數(shù)學(xué)必修1》中也有“P64細(xì)胞分裂”、“P110計(jì)算機(jī)病毒傳播”、“P66復(fù)利計(jì)算”的練習(xí)或習(xí)題，那里我們是用什么方法來(lái)研究問(wèn)題的？如：某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r，設(shè)本利和為y元，存期為x。（1）寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式；（2）若存入本金為10000元，每期利率為％，試計(jì)算5期后的本利和為多少？解：（1）（2）當(dāng)a=10000,r=%,x=5時(shí)，比較必修1與必修5的兩種方法，思考它們的異同，兩者有何關(guān)系？2、借助幾何畫板做出P56探究（2）、（3）圖形，觀察圖形之間的關(guān)系。探究歸納等比數(shù)列的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象之間的關(guān)系。等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系：【多媒體展示結(jié)論】等比數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式,它的圖象是分布在曲線（q>0）上的一些孤立的點(diǎn)，等比數(shù)列是特殊的指數(shù)函數(shù)。Ⅲ.課時(shí)小結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容：等比數(shù)列的概念和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。從定義、通項(xiàng)公式與函數(shù)3個(gè)角度類比等差數(shù)列與等比數(shù)列，并填下表：【多媒體展示問(wèn)題】 等差數(shù)列 等比數(shù)列