系統(tǒng)工程原理12-9夏昊翔

系統(tǒng)工程原理

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3-14周：周四5-8節(jié)，研教樓-201室榮莉莉、夏昊翔大連理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部管理科學(xué)與工程學(xué)院系統(tǒng)工程研究所夏昊翔hxxia@84706689(o)第11章章隨隨機(jī)服務(wù)務(wù)系統(tǒng)第1節(jié)隨隨機(jī)服服務(wù)系統(tǒng)統(tǒng)概念隨機(jī)服務(wù)務(wù)系統(tǒng)是是一類研研究得較較多的離離散事件件動(dòng)態(tài)系系統(tǒng)。現(xiàn)現(xiàn)實(shí)中很很多問題題可以使使用隨機(jī)機(jī)服務(wù)系系統(tǒng)加以以描述和和分析。?；疖囌举I買票，顧顧客-售售票員；；船靠碼頭頭卸貨，，船-碼碼頭卸船船機(jī)；計(jì)算機(jī)任任務(wù)處理理，任務(wù)務(wù)-計(jì)算算機(jī)；等等等。這類系統(tǒng)統(tǒng)的特點(diǎn)點(diǎn)：隨機(jī)性：：顧客到到來的時(shí)時(shí)間與服服務(wù)者提提供服務(wù)務(wù)的時(shí)間間都是隨隨機(jī)的；；排隊(duì)：顧顧客排隊(duì)隊(duì)等待服服務(wù)；（（因此，，隨機(jī)服服務(wù)系統(tǒng)統(tǒng)理論也也稱為排排隊(duì)論））排隊(duì)論（（queuing),也稱隨機(jī)機(jī)服務(wù)系系統(tǒng)理論論，是運(yùn)運(yùn)籌學(xué)的的一個(gè)主主要分支支。1909年，丹麥麥哥本哈哈根電子子公司電電話工程程師A.K.Erlang的開創(chuàng)性性論文““概率論論和電話話通訊理理論”標(biāo)標(biāo)志此理理論的誕誕生。排隊(duì)論的的發(fā)展最最早是與與電話、通信中的的問題相相聯(lián)系的的，并到到現(xiàn)在是是排隊(duì)論論的傳統(tǒng)統(tǒng)的應(yīng)用用領(lǐng)域。。近年來在在計(jì)算機(jī)機(jī)通訊網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)統(tǒng)、交通通運(yùn)輸、、醫(yī)療衛(wèi)衛(wèi)生系統(tǒng)統(tǒng)、庫存存管理、、作戰(zhàn)指指揮等各各領(lǐng)域中中均得到到應(yīng)用。。排隊(duì)是指指在服務(wù)務(wù)機(jī)構(gòu)處處要求服服務(wù)對(duì)象象的一個(gè)個(gè)等待隊(duì)隊(duì)列。排隊(duì)系統(tǒng)統(tǒng)是指一一個(gè)具有有排隊(duì)等等待現(xiàn)象象的服務(wù)務(wù)系統(tǒng)。。排隊(duì)論是是指定量量的研究究排隊(duì)問問題，尋尋找系統(tǒng)統(tǒng)內(nèi)在規(guī)規(guī)律，尋尋找供求求關(guān)系平平衡的最最優(yōu)方案案。現(xiàn)實(shí)世界界中排隊(duì)隊(duì)的現(xiàn)象象比比皆皆是，但但有如下下共同特特征:(1)有有請(qǐng)求服服務(wù)的人人或物，，如候診診的病人人，請(qǐng)求求著陸的的飛機(jī)等等，我們們將此稱稱為“顧顧客”。。(2)有有為顧客客提供服服務(wù)的人人或物，，如醫(yī)生生、飛機(jī)機(jī)跑道等等，我們們稱為““服務(wù)員員”。由由顧客和和服務(wù)員員就組成成服務(wù)系系統(tǒng)。(3)顧顧客隨機(jī)機(jī)地一個(gè)個(gè)一個(gè)((或者一一批一批批)來到到服務(wù)系系統(tǒng)，每每位顧客客需要服服務(wù)的時(shí)時(shí)間不一一定確定定的，服服務(wù)過程程的這種種隨機(jī)性性造成某某個(gè)階段段顧客排排長隊(duì)，，而某些些時(shí)間服服務(wù)員又又空閑無無事。各種形式式的排隊(duì)隊(duì)系統(tǒng)

各種形式式的排隊(duì)隊(duì)系統(tǒng)各種形式式的排隊(duì)隊(duì)系統(tǒng)各種形式式的排隊(duì)隊(duì)系統(tǒng)各種形式式的排隊(duì)隊(duì)系統(tǒng)隨機(jī)服務(wù)務(wù)系統(tǒng)研研究目的的與方法法面對(duì)擁擠擠現(xiàn)象，，人們通通常的做做法是增增加服務(wù)務(wù)設(shè)施，，但是增增加的數(shù)數(shù)量越多多，人力力、物力力的支出出就越大大，甚至至?xí)霈F(xiàn)現(xiàn)空閑浪浪費(fèi)，如如果服務(wù)務(wù)設(shè)施太太少，顧顧客排隊(duì)隊(duì)等待的的時(shí)間就就會(huì)很長長，這樣樣對(duì)顧客客會(huì)帶來來不良影影響。如何做到到既保證證一定的的服務(wù)質(zhì)質(zhì)量指標(biāo)標(biāo)，又使使服務(wù)設(shè)設(shè)施費(fèi)用用經(jīng)濟(jì)合合理，恰當(dāng)?shù)氐亟鉀Q顧顧客排隊(duì)隊(duì)時(shí)間與與服務(wù)設(shè)設(shè)施費(fèi)用用大小這這對(duì)矛盾盾，就是是隨機(jī)服服務(wù)系統(tǒng)統(tǒng)理論———排隊(duì)隊(duì)論所要要研究解解決的問問題。因此，研研究隨機(jī)機(jī)服務(wù)系系統(tǒng)的基基本目的的在于合合理設(shè)計(jì)計(jì)實(shí)際的的隨機(jī)服服務(wù)系統(tǒng)統(tǒng)，在保保證服務(wù)務(wù)質(zhì)量的的同時(shí)使使服務(wù)系系統(tǒng)的開開支最小小。由于隨機(jī)機(jī)因素在在服務(wù)系系統(tǒng)中起起著根本本性的影影響，所所以研究究隨機(jī)服服務(wù)系統(tǒng)統(tǒng)時(shí)，需需要采用用研究隨隨機(jī)現(xiàn)象象規(guī)律性性的概率率論的方方法。隨機(jī)服務(wù)務(wù)系統(tǒng)研研究的基基本問題題1.排隊(duì)系統(tǒng)統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)計(jì)推斷:即通過對(duì)對(duì)排隊(duì)系系統(tǒng)主要要參數(shù)的的統(tǒng)計(jì)推推斷和對(duì)對(duì)排隊(duì)系系統(tǒng)的結(jié)結(jié)構(gòu)分析析，判斷斷一個(gè)給給定的排排隊(duì)系統(tǒng)統(tǒng)符合于于哪種模模型，以以便根據(jù)據(jù)排隊(duì)理理論進(jìn)行行研究。。2.系統(tǒng)性態(tài)態(tài)問題:即研究各各種排隊(duì)隊(duì)系統(tǒng)的的概率規(guī)規(guī)律性，，主要研研究隊(duì)長長分布、、等待時(shí)時(shí)間分布布和忙期期分布等等統(tǒng)計(jì)指指標(biāo),包括了瞬瞬態(tài)和穩(wěn)穩(wěn)態(tài)兩種種情形。。3.最優(yōu)化問問題：即即包括最最優(yōu)設(shè)計(jì)計(jì)(靜態(tài)優(yōu)化化)，最優(yōu)運(yùn)運(yùn)營（動(dòng)動(dòng)態(tài)優(yōu)化化）。排隊(duì)問題題求解(主要指性性態(tài)問題題)求解一般般排隊(duì)系系統(tǒng)問題題的目的的主要是是通過研研究排隊(duì)隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)運(yùn)行的效效率指標(biāo)標(biāo)，估計(jì)計(jì)服務(wù)質(zhì)質(zhì)量，確確定系統(tǒng)統(tǒng)的合理理結(jié)構(gòu)和和系統(tǒng)參參數(shù)的合合理值，，以便實(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)現(xiàn)現(xiàn)有系統(tǒng)統(tǒng)合理改改進(jìn)和對(duì)對(duì)新建系系統(tǒng)的最最優(yōu)設(shè)計(jì)計(jì)等。排隊(duì)問題題的一般般步驟：：1.確定定或擬合合排隊(duì)系統(tǒng)統(tǒng)顧客到到達(dá)的時(shí)時(shí)間間隔隔分布和和服務(wù)時(shí)時(shí)間分布布(可實(shí)測)。2.研究究系統(tǒng)狀態(tài)態(tài)的概率率。系統(tǒng)統(tǒng)狀態(tài)是是指系統(tǒng)統(tǒng)中顧客客數(shù)。狀狀態(tài)概率率用Pn(t)表示,即在t時(shí)刻系統(tǒng)統(tǒng)中有n個(gè)顧客的的概率，，也稱瞬瞬態(tài)概率率。求解狀態(tài)態(tài)概率Pn(t)方法是建建立含Pn(t)的微分差差分方程程，通過過求解微微分差分分方程得得到系統(tǒng)統(tǒng)瞬態(tài)解解，由于于瞬態(tài)解解一般求求出確定定值比較較困難，，即便求求得一般般也很難難使用。。因此我我們常常常使用它它的極限限(如果存存在的話話)：穩(wěn)態(tài)的物物理意義義見右圖圖，系統(tǒng)統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)態(tài)一般很很快都能能達(dá)到，，但實(shí)際際中達(dá)不不到穩(wěn)態(tài)態(tài)的現(xiàn)象象也存在在。值得得注意的的是求穩(wěn)穩(wěn)態(tài)概率率Pn并不一定定求t→∞的的極限,,而只需需求Pn’(t)==0即可。過渡狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)pnt排隊(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變化示意圖稱為穩(wěn)態(tài)態(tài)(steadystate))解，或稱統(tǒng)計(jì)計(jì)平衡狀狀態(tài)(StatisticalEquilibriumState)的解。第2節(jié)隨機(jī)機(jī)服務(wù)系系統(tǒng)特征征和基本本排隊(duì)模模型共同特征征：(1)請(qǐng)求服務(wù)務(wù)的人或或者物——顧客；(2)有為顧客客服務(wù)的的人或者者物，即即服務(wù)員員或服務(wù)務(wù)臺(tái)；(3)顧客到達(dá)達(dá)系統(tǒng)的的時(shí)刻是是隨機(jī)的的，為每每一位顧顧客提供供服務(wù)的的時(shí)間是是隨機(jī)的的，因而而整個(gè)排排隊(duì)系統(tǒng)統(tǒng)的狀態(tài)態(tài)也是隨隨機(jī)的。。ServerQueueArrival每個(gè)顧客客由顧客客源按一一定方式式到達(dá)服服務(wù)系統(tǒng)統(tǒng)，首先先加入隊(duì)隊(duì)列排隊(duì)隊(duì)等待接接受服務(wù)務(wù)，然后后服務(wù)臺(tái)臺(tái)按一定定規(guī)則從從隊(duì)列中中選擇顧顧客進(jìn)行行服務(wù)，，獲得服服務(wù)的顧顧客立即即離開。?；九抨?duì)隊(duì)過程隨機(jī)服務(wù)務(wù)系統(tǒng)的的基本組組成隨機(jī)服務(wù)務(wù)系統(tǒng)一一般有三三個(gè)基本本組成部部分：1.輸入過程程；2.排隊(duì)規(guī)則則；3.服務(wù)機(jī)構(gòu)構(gòu)。輸入過程程(顧顧客按照照怎樣的的規(guī)律到到達(dá));;排隊(duì)規(guī)則則(顧顧客按照照一定規(guī)規(guī)則排隊(duì)隊(duì)等待服服務(wù));;服務(wù)機(jī)構(gòu)構(gòu)(服服務(wù)機(jī)構(gòu)構(gòu)的設(shè)置置,服務(wù)務(wù)臺(tái)的數(shù)數(shù)量,服服務(wù)的方方式,服服務(wù)時(shí)間間分布等等)排隊(duì)長度度服務(wù)者1服務(wù)者2服務(wù)者n顧客到達(dá)達(dá)幾個(gè)關(guān)鍵鍵時(shí)間指指標(biāo)：1）顧客客到來的的時(shí)間間間隔2）排隊(duì)隊(duì)時(shí)間3）系統(tǒng)統(tǒng)服務(wù)時(shí)時(shí)間隨機(jī)服務(wù)務(wù)系統(tǒng)的的性質(zhì)由由三個(gè)部部分決定定：顧客客到來的的規(guī)律、、排隊(duì)規(guī)規(guī)律、服服務(wù)機(jī)理理。1．輸入過過程這是指要要求服務(wù)務(wù)的顧客客是按怎怎樣的規(guī)規(guī)律到達(dá)達(dá)排隊(duì)系系統(tǒng)的過過程，有有時(shí)也把把它稱為為顧客流流。一般般可以從從3個(gè)方面來來描述—個(gè)輸入過過程。(1)顧客總體體數(shù)，又又稱顧客客源、輸輸入源。。這是指指顧客的的來源。。顧客源源可以是是有限的的，也可可以是無無限的。。(2)顧客到達(dá)達(dá)方式。。這是描描述顧客客是怎樣樣來到系系統(tǒng)的，，是單個(gè)個(gè)到達(dá)，，還是成成批到達(dá)達(dá)。(3)顧客流的的概率分分布，或或稱相繼繼顧客到到達(dá)的時(shí)時(shí)間間隔隔的分布布。這是是求解排排隊(duì)系統(tǒng)統(tǒng)有關(guān)運(yùn)運(yùn)行指標(biāo)標(biāo)問題時(shí)時(shí)，首先先需要確確定的指指標(biāo)。顧顧客流的的概率分分布一般般有定長長分布、、二項(xiàng)分分布、泊泊松流(最簡單流流)、愛爾朗朗分布等等若干種種。輸入過程程隨機(jī)服務(wù)務(wù)系統(tǒng)的的輸入就就是顧客客的到來來，由于于到來規(guī)規(guī)律的不不同，所所以有各各種類型型的輸入入過程。。一般用用兩個(gè)顧顧客到達(dá)達(dá)的時(shí)間間間隔τ來描述系系統(tǒng)的輸輸入特點(diǎn)點(diǎn)。主要輸入入過程類類型：（1）定長輸輸入顧客有規(guī)規(guī)律地等等間隔到到達(dá)，假假如每隔隔時(shí)間α到一個(gè)，，這時(shí)候候相繼兩兩個(gè)顧客客到達(dá)的的相隔時(shí)時(shí)間τ的分布函函數(shù)為：：例如：生生產(chǎn)線上上的產(chǎn)品品從傳送送帶過來來進(jìn)入包包裝箱的的情況（2）泊泊松輸入入前面講到到的定長長輸入過過程是一一個(gè)確定定性過程程，更多多情況下下輸入過過程是隨隨機(jī)的。。τ是隨隨機(jī)變量量。最常常見的顧顧客到來來規(guī)律按按照泊松松分布到到來，稱稱這樣的的輸入過過程為泊泊松輸入入。泊松松輸入滿滿足以下下條件：：1）平穩(wěn)穩(wěn)性：在在每個(gè)時(shí)時(shí)間段[a,a+t]內(nèi)k個(gè)顧客到到達(dá)的概概率與a無關(guān)，只只與t,k有關(guān)；2）無后后效性：：不相交交的時(shí)間間段到達(dá)達(dá)的顧客客數(shù)相互互獨(dú)立；；3）普通通性———在把時(shí)時(shí)間段分分的足夠夠小的話話，每個(gè)個(gè)時(shí)間段段最多到到達(dá)一個(gè)個(gè)顧客；；4）有限限性：任任意有限限區(qū)間到到達(dá)有限限個(gè)顧客客的概率率為1。。（k=0，1，2，…）在泊松輸輸入下，，在時(shí)間間長度為為t的時(shí)間段段里面到到達(dá)k個(gè)顧客的的概率被被定義為為泊松分分布：其分布函函數(shù)為負(fù)負(fù)指數(shù)分分布：這種輸入入是應(yīng)用用最廣泛泛的，而而且是最最容易處處理的。。0-t這這個(gè)時(shí)間間段內(nèi)顧顧客到達(dá)達(dá)的平均均數(shù)：因此，單單位時(shí)間間里面顧顧客到達(dá)達(dá)的平均均數(shù)為λ，稱為平平均到達(dá)達(dá)率。平均到達(dá)達(dá)的時(shí)間間間隔為為：其它輸入入（3）愛爾朗朗（Erlang）輸入它的到達(dá)達(dá)間隔相相互獨(dú)立立，具有有相同的的分布a(t)=λλ(λt)k-1e-λt/(k--1)!!,t≥0（4）一般獨(dú)獨(dú)立輸入入到達(dá)間隔隔相互獨(dú)獨(dú)立、相相同分布布，其分分布函數(shù)數(shù)A(t)可以是任任意一個(gè)個(gè)函數(shù)，，上面的的幾種輸輸入都可可看作是是它的特特例。（5）成批到到達(dá)的輸輸入每次到來來的不一一定是一一個(gè)顧客客，而可可能是一一批顧客客，數(shù)目目n是一個(gè)隨隨機(jī)變量量，分布布為p{n=k}==ak,k==0,1,2,,……到達(dá)時(shí)間間間隔則則可能是是上述幾幾類輸入入中的一一種。2．排隊(duì)規(guī)規(guī)則這是指服服務(wù)臺(tái)從從隊(duì)列中中選取顧顧客進(jìn)行行服務(wù)的的順序。。一般可可以分為為損失制制、等待待制和混混合制等等3大類。(1)損失制這是指如如果顧客客到達(dá)排排隊(duì)系統(tǒng)統(tǒng)時(shí)，所所有服務(wù)務(wù)臺(tái)都被被先到的的顧客占占用，那那么他們們就自動(dòng)動(dòng)離開系系統(tǒng)永不不再來。。典型例子子如電話話服務(wù)。。(2)等待制這是指當(dāng)當(dāng)顧客來來到系統(tǒng)統(tǒng)時(shí)，所所有服務(wù)務(wù)臺(tái)都不不空，顧顧客加入入排隊(duì)行行列等待待服務(wù)。。等待制制中，服服務(wù)臺(tái)在在選擇顧顧客進(jìn)行行服務(wù)時(shí)時(shí)常有如下下四種規(guī)規(guī)則：1)先到先服服務(wù)。按按顧客到到達(dá)的先先后順序序?qū)︻櫩涂瓦M(jìn)行服服務(wù)。最通常的的情況。。2)后到先服服務(wù)。堆棧3)隨機(jī)服務(wù)務(wù)。即當(dāng)當(dāng)服務(wù)臺(tái)臺(tái)空閑時(shí)時(shí)，不按按照排隊(duì)隊(duì)序列而而隨意指指定某個(gè)個(gè)顧客接接受服務(wù)務(wù)。每一顧客客被接待待的概率率相同4)優(yōu)先權(quán)服服務(wù)。分輕重緩緩急，如如加急電電報(bào)5）多個(gè)服務(wù)務(wù)臺(tái)情況況：可派派成幾隊(duì)隊(duì)，或一一隊(duì)。(3)混合制這是等待待制與損損失制相相結(jié)合的的一種服服務(wù)規(guī)則則，一般般是指允允許排隊(duì)隊(duì)，但又又不允許許隊(duì)列無無限長下下去。具具體說來來，大致致有三種種：1)隊(duì)長有限限。當(dāng)排排隊(duì)等待待服務(wù)的的顧客人人數(shù)超過過規(guī)定數(shù)數(shù)量時(shí)，，后來的的顧客就就自動(dòng)離離去，另另求服務(wù)務(wù)，即系系統(tǒng)的等等待空間間是有限限的。2)等待時(shí)間間有限。。即顧客客在系統(tǒng)統(tǒng)中的等等待時(shí)間間不超過過某一給給定的長長度T，當(dāng)?shù)却龝r(shí)時(shí)間超過過T時(shí)，顧客客將自動(dòng)動(dòng)離去，，并不再再回來。。3)逗留時(shí)間間(等待時(shí)間間與服務(wù)務(wù)時(shí)間之之和)有限。3．服務(wù)機(jī)機(jī)理服務(wù)機(jī)理理是隨機(jī)機(jī)服務(wù)系系統(tǒng)的第第三個(gè)要要素，包包括：服服務(wù)者的的個(gè)數(shù)、、單個(gè)服服務(wù)還是是成批服服務(wù)、以以及服務(wù)務(wù)的時(shí)間間分布(1)服務(wù)臺(tái)數(shù)數(shù)量及構(gòu)構(gòu)成形式式。從數(shù)量上上說，服服務(wù)臺(tái)有有單服務(wù)務(wù)臺(tái)和多多服務(wù)臺(tái)臺(tái)之分。。從構(gòu)成形形式上看看，服務(wù)務(wù)臺(tái)有：：①單隊(duì)—－單服務(wù)務(wù)臺(tái)式；；②單隊(duì)-－多服務(wù)務(wù)臺(tái)并聯(lián)聯(lián)式；③多隊(duì)—－多服務(wù)務(wù)臺(tái)并聯(lián)聯(lián)式；④單隊(duì)—－多服務(wù)務(wù)臺(tái)串聯(lián)聯(lián)式；⑤單隊(duì)—－多服務(wù)務(wù)臺(tái)并串串聯(lián)混合合式，以以及多隊(duì)隊(duì)多服務(wù)務(wù)臺(tái)并串串聯(lián)混合合式等等等。(2)服務(wù)方式式。這是指在在某一時(shí)時(shí)刻接受受服務(wù)的的顧客數(shù)數(shù)，它有有單個(gè)服服務(wù)和成成批服務(wù)務(wù)兩種。。(3)服務(wù)時(shí)間間的分布布。服務(wù)時(shí)間間分為確確定型和和隨機(jī)型型。在多數(shù)情情況下，，對(duì)每一一個(gè)顧客客的服務(wù)務(wù)時(shí)間是是一隨機(jī)機(jī)變量。。1定定長長分布：：每一個(gè)個(gè)顧客服服務(wù)時(shí)間間都是常常數(shù)。類類似于輸輸入過程程的定長長分布情情況。2負(fù)負(fù)指指數(shù)分布布：各顧顧客的服服務(wù)時(shí)間間相互獨(dú)獨(dú)立，具具有相同同分布。。同樣類似似于泊松松輸入的的分析，，平均服服務(wù)時(shí)間間為1//μ。3愛爾爾朗分布布：平均服務(wù)務(wù)時(shí)間為為1/μ。當(dāng)k=1時(shí)就轉(zhuǎn)化化為負(fù)指指數(shù)分布布，k→∞時(shí)就得到到長度為為1/μ的定長分分布。4一般般服務(wù)分分布：服服務(wù)時(shí)間間相互獨(dú)獨(dú)立，分分布相同同，分布布函數(shù)可可能是任任意函數(shù)數(shù)。5多服服務(wù)臺(tái)情情況。6服務(wù)務(wù)時(shí)間依依賴于隊(duì)隊(duì)長的情情況。第3節(jié)隨機(jī)機(jī)服務(wù)系系統(tǒng)的一一般描述述從一般意意義上講講，隨機(jī)機(jī)服務(wù)系系統(tǒng)可以以采用如如下符號(hào)號(hào)表示：：①/②/③③/④//⑤/⑥（A/B//C/K/m//Z)①代表輸入入過程（（時(shí)間分分布）、、②代表服務(wù)務(wù)時(shí)間分分布、③是服務(wù)者者數(shù)目、、④是系統(tǒng)中中允許的的最大顧顧客數(shù)、、⑤是能夠到到來的顧顧客數(shù)、、⑥是排隊(duì)規(guī)規(guī)則。各符號(hào)的的具體內(nèi)內(nèi)涵：①——表示顧客客相繼到到達(dá)間隔隔時(shí)間分分布，常常用下列列符號(hào)：：M——表示到達(dá)達(dá)的過程程為泊松松過程或或負(fù)指數(shù)數(shù)分布；；D——表示定長長輸入；；EK——表示K階愛爾朗朗分布；；G——表示一般般相互獨(dú)獨(dú)立的隨隨機(jī)分布布。②——表示服務(wù)務(wù)時(shí)間分分布，所所用符號(hào)號(hào)與表示示顧客到到達(dá)間隔隔時(shí)間分分布相同同。③——表示服務(wù)務(wù)臺(tái)(員)個(gè)數(shù)：““1”表示單個(gè)個(gè)服務(wù)臺(tái)臺(tái)，“s”(s>1))表示多個(gè)個(gè)服務(wù)臺(tái)臺(tái)。④——表示系統(tǒng)統(tǒng)中顧客客容量限限額，或或稱等待待空間容容量。如如系統(tǒng)有有K個(gè)等待位位子，則則，0<K<<∞，當(dāng)K=0時(shí)，說明明系統(tǒng)不不允許等等待，即即為損失失制。K=∞時(shí)為等待待制系統(tǒng)統(tǒng)，此時(shí)時(shí)一般∞省略不寫寫。K為有限整整數(shù)時(shí)，，表示為為混合制制系統(tǒng)。。⑤——表示顧客客源限額額，分有有限與無無限兩種種，∞表示顧客客源無限限，一般般∞也可省略略不寫。。⑥——表示服務(wù)務(wù)規(guī)則，，常用下下列符號(hào)號(hào)FCFS：表示先先到先服服務(wù)的排排隊(duì)規(guī)則則；LCFS：表示后后到先服服務(wù)的排排隊(duì)規(guī)則則；PR：表示優(yōu)優(yōu)先權(quán)服服務(wù)的排排隊(duì)規(guī)則則。舉例：某排隊(duì)問問題為M／M／S／∞／∞/FCFS，則表示顧顧客到達(dá)達(dá)間隔時(shí)時(shí)間為負(fù)負(fù)指數(shù)分分布(泊松流)；服務(wù)時(shí)時(shí)間為負(fù)負(fù)指數(shù)分分布；有有s(s>>1)個(gè)服務(wù)臺(tái)臺(tái)；系統(tǒng)統(tǒng)等待空空間容量量無限(等待制)；顧客源源無限；；采用先先到先服服務(wù)規(guī)則則。一般情況況下不限限制顧客客數(shù)，采采用先到到先服務(wù)務(wù)排隊(duì)規(guī)規(guī)則，這這樣系統(tǒng)統(tǒng)可簡寫寫為前三三項(xiàng)①/②/③③（A/B/C））。M/M//s即Poisson輸入、、負(fù)指數(shù)數(shù)服務(wù)時(shí)時(shí)間分布布、S個(gè)個(gè)服務(wù)臺(tái)臺(tái)的等待待制排隊(duì)隊(duì)模型。。M/M//1表示示指數(shù)輸輸入和指指數(shù)服務(wù)務(wù)分布、、一個(gè)服服務(wù)者。。M/G//n表示示指數(shù)輸輸入、一一般服務(wù)務(wù)分布、、n個(gè)服服務(wù)者。。M/G//1即Poisson輸入，，一般服服務(wù)時(shí)間間分布，，單個(gè)服服務(wù)臺(tái)的的等待制制排隊(duì)模模型。其他模型型M/M//c/K/K顧客來源源是有限限的服務(wù)務(wù)系統(tǒng)..例如如：一個(gè)飯店店有X張桌桌子和Y個(gè)服服務(wù)生服服務(wù)來源源有限的的顧客..M/D//1服務(wù)時(shí)間間不變的的服務(wù)系系統(tǒng).D/M//1確定性到到達(dá)模式式,及及指數(shù)分分布服務(wù)務(wù)時(shí)間.例如如：醫(yī)生生赴約治治病的時(shí)時(shí)間表.M/Ek/1服務(wù)服從從Erlang分分布..例如如：用相相同平均均時(shí)間去去完成一一些程序序。隨機(jī)服務(wù)務(wù)系統(tǒng)的的主要數(shù)數(shù)量指標(biāo)標(biāo)描述一個(gè)個(gè)排隊(duì)系系統(tǒng)運(yùn)行行狀況的的主要數(shù)數(shù)量指標(biāo)標(biāo)有：1．隊(duì)長和和排隊(duì)長長(隊(duì)列長)隊(duì)長是指指系統(tǒng)中中的顧客客數(shù)(排隊(duì)等待待的顧客客數(shù)與正正在接受受服務(wù)的的顧客數(shù)數(shù)之和)。排隊(duì)長是是指系統(tǒng)統(tǒng)中正在在排隊(duì)等等待服務(wù)務(wù)的顧客客數(shù)。隊(duì)隊(duì)長和排排隊(duì)長一一般都是是隨機(jī)變變量。這是雙方方都關(guān)心心的，也也是系統(tǒng)統(tǒng)設(shè)計(jì)者者關(guān)心的的。2．等待時(shí)時(shí)間和逗逗留時(shí)間間從顧客到到達(dá)時(shí)刻刻起到他他開始接接受服務(wù)務(wù)止這段段時(shí)間稱稱為等待待時(shí)間。。等待時(shí)時(shí)間是個(gè)個(gè)隨機(jī)變變量。從顧客到到達(dá)時(shí)刻刻起到他他接受服服務(wù)完成成止這段段時(shí)間稱稱為逗留留時(shí)間，，也是隨隨機(jī)變量量。這是顧客客最關(guān)心心的，希希望越短短越好。。3.忙期和閑閑期忙期是指指從顧客客到達(dá)空空閑著的的服務(wù)機(jī)機(jī)構(gòu)起，，到服務(wù)務(wù)機(jī)構(gòu)再再次成為為空閑止止的這段段時(shí)間，，即服務(wù)務(wù)機(jī)構(gòu)連連續(xù)忙的的時(shí)間。。這是個(gè)個(gè)隨機(jī)變變量，是是服務(wù)員員最為關(guān)關(guān)心的指指標(biāo)，因因?yàn)樗P(guān)關(guān)系到服服務(wù)員的的服務(wù)強(qiáng)強(qiáng)度。與忙期相相對(duì)的是是閑期,即服務(wù)機(jī)機(jī)構(gòu)連續(xù)續(xù)保持空空閑的時(shí)時(shí)間。在在排隊(duì)系系統(tǒng)中，，忙期和和閑期總總是交替替出現(xiàn)的的。這些量都都是隨機(jī)機(jī)變量，，常常要要求取它它們的分分布及平平均值。。4．?dāng)?shù)量指指標(biāo)的常常用記號(hào)號(hào)(1)主要數(shù)量量指標(biāo)L——平均隊(duì)長長，即穩(wěn)穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)統(tǒng)任一時(shí)時(shí)刻的所所有顧客客數(shù)的的期期望值；；Lq——平均等待待隊(duì)長，，即穩(wěn)態(tài)態(tài)系統(tǒng)任任一時(shí)刻刻等待服服務(wù)的顧顧客數(shù)的的期望值值；W——平均逗留留時(shí)間，，即(在任意時(shí)時(shí)刻)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)態(tài)系統(tǒng)的的顧客逗逗留時(shí)間間的期望望值；Wq——平均等待待時(shí)間，，即(在任意時(shí)時(shí)刻)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)態(tài)系統(tǒng)的的顧客等等待時(shí)間間的期望望值。(2)其他常用用數(shù)量指指標(biāo)s——系統(tǒng)中并并聯(lián)服務(wù)務(wù)臺(tái)的數(shù)數(shù)目；λ——平均到達(dá)達(dá)率；1／λ——平均到達(dá)達(dá)間隔；；μ——平均服務(wù)務(wù)率；1/μ——平均服務(wù)務(wù)時(shí)間；；N――穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)統(tǒng)任一時(shí)時(shí)刻的狀狀態(tài)（即即系統(tǒng)中中所有顧顧客數(shù)））；U――任一顧客客在穩(wěn)態(tài)態(tài)系統(tǒng)中中的逗留留時(shí)間；；Q――任一顧客客在穩(wěn)態(tài)態(tài)系統(tǒng)中中的等待待時(shí)間；；系統(tǒng)狀態(tài)態(tài)=排隊(duì)系統(tǒng)統(tǒng)顧客的的數(shù)量。。N(t))==在時(shí)間t排隊(duì)系統(tǒng)統(tǒng)中顧客客的數(shù)量量。隊(duì)列長度度=等待服務(wù)務(wù)的顧客客的數(shù)量量。Pn(t)==在時(shí)間t,排隊(duì)系統(tǒng)統(tǒng)中恰好好有n個(gè)顧客的概概率。s==服務(wù)臺(tái)的的數(shù)目。。

ρ——服務(wù)強(qiáng)度度，即每每個(gè)服務(wù)務(wù)臺(tái)單位位時(shí)間內(nèi)內(nèi)的平均均服務(wù)時(shí)時(shí)間，—般有ρ=λ／(sμ)。這是衡衡量排隊(duì)隊(duì)系統(tǒng)繁繁忙程度度的重要要尺度。。當(dāng)ρ趨近于0時(shí)，表明明對(duì)期望望服務(wù)的的數(shù)量來來說，服服務(wù)能力力相對(duì)地地說是很很大的，，這時(shí)，，等待時(shí)時(shí)間一定定很短，，服務(wù)臺(tái)臺(tái)有大量量的空閑閑時(shí)間。。如服務(wù)強(qiáng)強(qiáng)度ρ趨近于1，那么服服務(wù)臺(tái)空空閑時(shí)間間較少而而顧客等等待時(shí)間間較多。。一般都假假定平均均服務(wù)率率μ大于平均均到達(dá)率率λ，即λ/μ<<1,否則排隊(duì)隊(duì)的人數(shù)數(shù)會(huì)越來來越多。。排隊(duì)系統(tǒng)統(tǒng)運(yùn)行情情況的分分析排隊(duì)系統(tǒng)統(tǒng)運(yùn)行情情況的分分析，就就是在給給定輸入入與服務(wù)務(wù)條件下下，通過過求解系系統(tǒng)狀態(tài)態(tài)為n(有n個(gè)顧客)的概率Pn，再進(jìn)行計(jì)計(jì)算其主主要的運(yùn)運(yùn)行指標(biāo)標(biāo)：①系統(tǒng)中中顧客數(shù)數(shù)(隊(duì)長)的期望值值L；②排隊(duì)等待待的顧客客數(shù)(排隊(duì)長)的期望值值Lq；③顧客在系系統(tǒng)中全全部時(shí)間間(逗留時(shí)間間)的期望值值W；④顧客排隊(duì)隊(duì)等待時(shí)時(shí)間的期期望值Wq。第4節(jié)分分析隨隨機(jī)服務(wù)務(wù)系統(tǒng)的的數(shù)學(xué)工工具———隨機(jī)過過程理論論一般的隨隨機(jī)過程程在數(shù)學(xué)學(xué)上采用用隨機(jī)過過程理論論進(jìn)行研研究；這這里討論論的隨機(jī)機(jī)服務(wù)系系統(tǒng)通常常表現(xiàn)為為有限記記憶的隨隨機(jī)過程程，可以以采用隨隨機(jī)過程程理論中中的馬爾爾科夫過過程進(jìn)行行分析。。隨機(jī)過程程假設(shè)一個(gè)個(gè)系統(tǒng)的的狀態(tài)變變量是一一個(gè)隨機(jī)機(jī)變量。。該隨機(jī)機(jī)變量隨隨時(shí)間演演化的過過程是一一個(gè)隨機(jī)機(jī)過程。。對(duì)稱隨機(jī)變變量族｛｛X(t))}為隨機(jī)過過程若T是連續(xù)區(qū)區(qū)間，為為連續(xù)過過程；若T是離散區(qū)區(qū)間，則則為離散散過程。。在離散情情況下，，隨機(jī)過過程表現(xiàn)現(xiàn)為一個(gè)個(gè)隨機(jī)序序列：｛x(t1),x(t2),x(t3),……}隨機(jī)過程程考慮離散散隨機(jī)過過程｛x(t1),x(t2),x(t3),……}一個(gè)重要要研究課課題是在在一系列列相鄰時(shí)時(shí)間點(diǎn)之之間狀態(tài)態(tài)的變化化過程和和規(guī)律。。x(t1)x(t2)x((t3))x((t4))…需要用多多個(gè)時(shí)間間聯(lián)合分分布函數(shù)數(shù)加以描描述f(x1,t1;x2,t2;x3,t3…)獨(dú)立隨機(jī)機(jī)過程：：當(dāng)后一一個(gè)時(shí)間間點(diǎn)發(fā)生生的隨機(jī)機(jī)事件與與之前的的所有時(shí)時(shí)間點(diǎn)的的事件都都無關(guān)的的情況下下，這個(gè)個(gè)隨機(jī)過過程為獨(dú)獨(dú)立事件件隨機(jī)過過程，或或“白噪噪聲過程程”（WhiteNoiseProcess）。在這種情情況下，，n時(shí)間聯(lián)合合分布可可以分解解為單時(shí)時(shí)間分布布函數(shù)的的乘積。。馬爾科夫夫過程稱可以用用雙時(shí)間間聯(lián)合分分布完全全表示的的隨機(jī)過過程為馬馬爾科夫夫過程（（MarkovProcess)，即：馬爾可夫夫過程是是一種有有限記憶憶隨機(jī)系系統(tǒng)：只對(duì)最近近的歷史史數(shù)據(jù)有有記憶稱之為躍遷概率率隨機(jī)服務(wù)務(wù)系統(tǒng)相相關(guān)的隨隨機(jī)過程程通?？煽梢允褂糜民R爾科科夫過程程進(jìn)行描描述。一類特殊殊的馬爾爾可夫過過程。當(dāng)顧客到到達(dá)時(shí)間間間隔為為負(fù)指數(shù)數(shù)分布((即輸入入過程具具有Poisson特特征，N(t))服從Poisson分布))，服務(wù)務(wù)時(shí)間為為負(fù)指數(shù)數(shù)分布，，則系統(tǒng)統(tǒng)的排隊(duì)隊(duì)過程是是Markov過程，，而且它它具有一一類特殊殊Markov過程的的特征，，通常稱稱這類隨隨機(jī)過程程為生滅滅過程。。生滅過程程的直觀觀描述：：1KK-1320生滅過程程1.生滅過程程的定義義設(shè)有一個(gè)個(gè)系統(tǒng)，，具有有有限個(gè)狀狀態(tài)，其其狀態(tài)集集s={0，1，2…k}或有可數(shù)數(shù)個(gè)狀態(tài)態(tài)，狀態(tài)態(tài)集s={0，1，2…}，令X(t)為系統(tǒng)在在時(shí)刻t所處的狀狀態(tài)，若若在某一一時(shí)刻t系統(tǒng)的狀狀態(tài)數(shù)為為n，如果對(duì)對(duì)△t>0有：(1)到達(dá)(生)：在(t，t+△t)內(nèi)系統(tǒng)出出現(xiàn)一個(gè)個(gè)新的到到達(dá)的概概率為的常數(shù)；；沒有發(fā)發(fā)生新的的到達(dá)的的概率為為；出現(xiàn)多多于一個(gè)個(gè)以上的的新的到到達(dá)概率率為0(△t)。。的常數(shù)，，沒有消消失的概概率為消失多于于一個(gè)以以上的概概率為0(△t)。則稱系統(tǒng)統(tǒng)狀態(tài)隨隨時(shí)間而而變化的的過程X(t)為一個(gè)生生滅過程程。(2)消消失(滅滅)：在在(t，，t+△△t)內(nèi)內(nèi)，系統(tǒng)統(tǒng)消失一一個(gè)的概概率為2.生滅過程程微分差差分方程程組設(shè)表示系統(tǒng)統(tǒng)在時(shí)刻刻t的狀態(tài)X(t)=n的概率即即

，狀態(tài)為n的概率近近似于以以下四個(gè)個(gè)概率之之和：(1)P{系統(tǒng)在時(shí)時(shí)刻t時(shí)為n，而在△t內(nèi)沒有到到達(dá)也沒沒有消失}=(2)P{系統(tǒng)在t時(shí)為n-1而在△t內(nèi)有一個(gè)個(gè)到達(dá)并并且沒有有一個(gè)消失}=(3)P{系統(tǒng)在t時(shí)為n+1，而在△t內(nèi)沒有到到達(dá)而有有一個(gè)消失}=則系統(tǒng)在在時(shí)刻t+△t的(4)P{系統(tǒng)在△t內(nèi)發(fā)生多多于一個(gè)個(gè)的到達(dá)達(dá)或消失失}=0((△t)應(yīng)用全概概率公式式有當(dāng)時(shí)時(shí)

類似地，，當(dāng)S為為有限集集時(shí)，對(duì)對(duì)有有令△t→→0得當(dāng)系統(tǒng)狀狀態(tài)S為為有限集集時(shí)，生生滅過程程的微分分差分方方程組為當(dāng)系統(tǒng)狀狀態(tài)S為為可數(shù)集集時(shí)，生生滅過程程微分差差分方程程組為若能求解解這組方方程，則則可得到到在時(shí)刻刻t系統(tǒng)統(tǒng)狀態(tài)概概率分布布稱稱為為生滅過過程的瞬瞬時(shí)解，，一般這這種瞬時(shí)時(shí)解是難難以求得得的?？梢宰C明明，前述述的生滅滅過程存存在統(tǒng)計(jì)計(jì)平衡態(tài)態(tài)，即系系統(tǒng)各個(gè)個(gè)狀態(tài)（（K＋1個(gè)）的概概率分布布:pi=常數(shù)（i=0,,1,……,K))即：3.統(tǒng)計(jì)計(jì)平衡下下的極限限解實(shí)際應(yīng)用用中，關(guān)關(guān)心的是是時(shí)時(shí)方程程的解，，稱為生生滅過程程微分差差分方程程組的極極限解。。令得得當(dāng)S為為有限狀狀態(tài)集時(shí)時(shí)：當(dāng)S為可可數(shù)狀態(tài)態(tài)集時(shí)：：從而可以以求得概概率分布布列第5節(jié)典典型隨隨機(jī)服務(wù)務(wù)系統(tǒng)模模型和和理論結(jié)結(jié)果1、M//M/1系統(tǒng)分分析通過分析析排隊(duì)隊(duì)隊(duì)長無限限、泊松松輸入、、指數(shù)服服務(wù)分布布的隨機(jī)機(jī)服務(wù)系系統(tǒng)來了了解隨機(jī)機(jī)服務(wù)系系統(tǒng)分析析的基本本方法。。下面介紹紹滿足生生滅過程程典型排排隊(duì)M//M/1與M//M/S的結(jié)果果1）在時(shí)時(shí)間區(qū)段段(t,,t+Δt)內(nèi)，當(dāng)系系統(tǒng)在t時(shí)刻的狀狀態(tài)為i（已經(jīng)有有i人在系統(tǒng)統(tǒng)中，包包括排隊(duì)隊(duì)的和接接受服務(wù)務(wù)的）又又有一個(gè)個(gè)新的顧顧客到來來的概率率為λiΔt；2）在時(shí)間區(qū)區(qū)段(t,t++Δt)內(nèi)內(nèi)，當(dāng)系系統(tǒng)在t時(shí)刻的的狀態(tài)為為i而有一個(gè)個(gè)顧客離離去的概概率為μiΔt；3)兩個(gè)以上上顧客同同時(shí)到來來或者離離去的概概率為高高階無窮窮小可忽忽略這一情況況與生滅滅過程一一致，可可以用生生滅過程程進(jìn)行分分析。M／M／1模型一個(gè)基本本的排列列模型。。一個(gè)服務(wù)務(wù)臺(tái),到到達(dá)率率和服服務(wù)率都服從指指數(shù)分布布。模型的條條件是：：1、輸入過過程――顧客源是是無限的的，顧客客到達(dá)完完全是隨隨機(jī)的，，單個(gè)到到來，到到達(dá)過程程服從普普阿松分分布，且且是平穩(wěn)穩(wěn)的；2、排隊(duì)規(guī)規(guī)則――單隊(duì)，且且隊(duì)長沒沒有限制制，先到到先服務(wù)務(wù)；3、服務(wù)機(jī)機(jī)構(gòu)――單服務(wù)臺(tái)臺(tái)，服務(wù)務(wù)時(shí)間的的長短是是隨機(jī)的的，服從從相同的的指數(shù)分分布。。M/M//1系統(tǒng)統(tǒng)分析假定：對(duì)于所有有狀態(tài)i而言，，到達(dá)率率為常數(shù)數(shù)，即i=對(duì)所有狀狀態(tài)i而言，服服務(wù)率為為常數(shù)，，即i=(3)<,保證隊(duì)列列不會(huì)越越排越長長。單位時(shí)間間內(nèi)平均均到達(dá)顧顧客數(shù)（即到到達(dá)率）），即顧顧客平均均到達(dá)時(shí)時(shí)間1/服務(wù)率：單位時(shí)時(shí)間平均均服務(wù)完完的顧客客數(shù)，每個(gè)顧顧客平均均服務(wù)時(shí)時(shí)間1/。定義為為服服務(wù)強(qiáng)度度。

對(duì)于M//M/1系統(tǒng)，，其平衡衡點(diǎn)的主主要指標(biāo)標(biāo)有：系統(tǒng)中有有n個(gè)顧顧客的概概率：平均隊(duì)長長（系統(tǒng)統(tǒng)中平均均顧客數(shù)數(shù)）：平均排隊(duì)隊(duì)長度：：每個(gè)顧客客在系統(tǒng)統(tǒng)中平均均所花時(shí)時(shí)間：每個(gè)顧客客排隊(duì)所所花費(fèi)的的平均時(shí)時(shí)間:M/M//1舉例例1某醫(yī)院急急診室同同時(shí)只能能診治一一個(gè)病人人，診治治時(shí)間服服從指數(shù)數(shù)分布，，每個(gè)病病人平均均需要15分鐘。病病人按泊泊松分布布到達(dá)，，平均每每小時(shí)到到達(dá)3人。試對(duì)對(duì)此排隊(duì)隊(duì)隊(duì)系統(tǒng)統(tǒng)進(jìn)行分分析。解:對(duì)此排隊(duì)隊(duì)隊(duì)系統(tǒng)統(tǒng)分析如如下：（1）先確定參參數(shù)值：：這是單單服務(wù)臺(tái)臺(tái)系統(tǒng)，，有：故服務(wù)強(qiáng)強(qiáng)度為：：（2）計(jì)算穩(wěn)態(tài)態(tài)概率：：這就是急急診室空空閑的概概率，也也是病人人不必等等待立即即就能就就診的概概率。而病人需需要等待待的概率率則為：：這也是急急診室繁繁忙的概概率。（3）計(jì)算系統(tǒng)統(tǒng)主要工工作指標(biāo)標(biāo)。急診室內(nèi)內(nèi)外的病病人平均均數(shù)：急診室外外排隊(duì)等等待的病病人平均均數(shù)：病人在急急診室內(nèi)內(nèi)外平均均逗留時(shí)時(shí)間：病人平均均等候時(shí)時(shí)間：（4）為使病人人平均逗逗留時(shí)間間不超過過半小時(shí)時(shí)，那么么平均服服務(wù)時(shí)間間應(yīng)減少少多少？？由于代入λ=3，解得μ≥5，平均服務(wù)務(wù)時(shí)間為為：15－12＝3min即平均服服務(wù)時(shí)間間至少應(yīng)應(yīng)減少3min(5)若醫(yī)院希希望候診診的病人人90%以上都能能有座位位,則候診室室至少應(yīng)應(yīng)安置多多少座位位?設(shè)應(yīng)該安安置χ個(gè)座位,加上急診診室的一一個(gè)座位位,共有χ+1個(gè)。要使使90%以上的候候診病人人有座位位，相當(dāng)當(dāng)于使““來診的的病人數(shù)數(shù)不多于于χ+1個(gè)”的概概率不少少于90%，即兩邊取對(duì)對(duì)數(shù)（x＋2）lgρ≤lg0..1因ρ<1，故所以ⅹ≥6即候診室室至少應(yīng)應(yīng)安置6個(gè)座位。。2、M/M//S模型此模型與與M/M/1模模型不同同之處在在于有S個(gè)服務(wù)務(wù)臺(tái)，各各服務(wù)臺(tái)臺(tái)的工作作相互獨(dú)獨(dú)立，服服務(wù)率相相等，如如果顧客客到達(dá)時(shí)時(shí)，S個(gè)個(gè)服務(wù)臺(tái)臺(tái)都忙著著，則排排成一隊(duì)隊(duì)等待，，先到先先服務(wù)的的單隊(duì)模模型。整個(gè)系統(tǒng)統(tǒng)的平均均服務(wù)率率為sμμ，ρ*＝λ/sμ，（（ρ*<1）為為該系統(tǒng)統(tǒng)的服務(wù)務(wù)強(qiáng)度。。1、狀態(tài)態(tài)概率2、主要要運(yùn)行指指標(biāo)3、系統(tǒng)統(tǒng)狀態(tài)N≥S的概率率M/M//s舉例例2承承接接例1，，假設(shè)醫(yī)醫(yī)院增強(qiáng)強(qiáng)急