圓柱和圓錐知識(shí)點(diǎn)和題型

圓柱、圓錐基本知識(shí)點(diǎn)1、圓的周長(zhǎng)：C=nd=2nr2、圓的面積：S=nr23、圓柱的側(cè)面積：把圓柱側(cè)面沿高展開，得到一個(gè)長(zhǎng)方形（或正方形），長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱的底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬是圓柱的高。S側(cè)=Ch=ndh=2nrh逆推公式有：C=S側(cè)十hh=S側(cè)*C4、圓柱的表面積:S表=S側(cè)+2S底4、圓柱的體積：V柱=Sh=nr2h逆推公式有：S=V柱*hh=V柱十S5、圓錐的體積:V錐=31Sh逆推公式有：S=V錐X3十hh=V錐X3-S26、等底等高的情況下，圓柱體積是圓錐體積的3倍。底等等底等高的情況下，圓柱體積比圓錐體積多高的情況下，圓錐體積比圓柱體積少2/3倍7、等體積等高的圓柱和圓錐，圓錐底面積是圓柱底面積的3倍；等體積等底面積的圓柱和圓錐，圓錐的高是圓柱高的3倍。等底等高的情況下，圓錐體積是圓柱體積的1/3等8、圓柱的橫切：切成n段，需要n-1次，增加2x（n-1）個(gè)底面積9、圓柱的縱切：切1次，增加2個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是底面的直徑，寬是圓柱的高10、圓錐的縱切：切1次，增加2個(gè)三角形，三角形的底是圓錐的直徑，三角形的高是圓錐的高11、把一個(gè)正方體削成一個(gè)最大的圓柱（或圓錐），正方體的棱長(zhǎng)就是圓柱（或圓錐）的底面直徑和高。12、①熔鑄（或鑄成），體積不變。②注水問題：上升的（或下降）的水的體積等于放入的的物體的體積。（完全浸沒）13、一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，說明底面周長(zhǎng)和高的比是1:1，半徑和高的比是1:2n,直徑和高的比是1:n14、當(dāng)側(cè)面積一定時(shí),越是細(xì)、長(zhǎng)的圓柱體積越小,越是粗、矮的圓柱體積越大。15、特殊的n值1.52n=7.0652.52n=19.62516、圓柱：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體即AG矩形的一條邊為軸，旋轉(zhuǎn)360°所得的幾何體就是圓柱。2其中AG叫做圓柱的軸，AG的長(zhǎng)度叫做圓柱的高，所有平行于AG的線段叫做圓柱的母線，DA和D'G旋轉(zhuǎn)形成的兩個(gè)圓叫做圓柱的底面，DD'旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓柱的側(cè)面。17、圓柱的體積：圓柱所占空間的大小，叫做這個(gè)圓柱體的體積。設(shè)一個(gè)圓柱底面半徑為r，高為h,則體積V:V=nr2h;如S為底面積，高為h,體積為V:V=Sh圓柱的體積跟長(zhǎng)方體、正方體一樣，都是底面積X高圓柱體積=底面積X高V柱=Sh=nr2h圓柱的高=體積十底面積h=V柱十S=V柱十（nr2）圓柱的底面積=體積十高S=V柱十h圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面積=底面的周長(zhǎng)*高，S側(cè)=Ch（注：c為nd）圓柱的兩個(gè)圓面叫做底面（又分上底和下底）；圓柱有一個(gè)曲面,叫做側(cè)面；兩個(gè)底面之間的距離叫做高（高有無數(shù)條）。特征：圓柱的底面都是圓,并且大小一樣。18、圓柱的切割：a.橫切：切面是圓，表面積增加2倍底面積，即S增=2nr2b.豎切（過直徑）：切面是長(zhǎng)方形（如果h=2R,切面為正方形），該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱的高，寬是圓柱的底面直徑，表面積增加兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，即S增=4rh注：圓柱高增加減少，圓柱表面積增加減少的只是側(cè)面積。19、考試常見題型：已知圓柱的底面積和高,求圓柱的側(cè)面積,表面積,體積,底面周長(zhǎng)已知圓柱的底面周長(zhǎng)和高,求圓柱的側(cè)面積,表面積,體積,底面積已知圓柱的底面周長(zhǎng)和體積,求圓柱的側(cè)面積,表面積,高,底面積已知圓柱的底面面積和高,求圓柱的側(cè)面積,表面積,體積,已知圓柱的側(cè)面積和高,求圓柱的底面半徑,表面積,體積,底面積以上幾種常見題型的解題方法,通常是求出圓柱的底面半徑和高,再根據(jù)圓柱的相關(guān)計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算。20、常見的圓柱解決問題：① 、壓路機(jī)壓過路面面積、煙囪、教學(xué)樓里的支撐柱、通風(fēng)管、出水管（求側(cè)面積）；② 、壓路機(jī)壓過路面長(zhǎng)度（求底面周長(zhǎng)）；③ 、水桶鐵皮（求側(cè)面積和一個(gè)底面積）；④魚缸、廚師帽（求側(cè)面積和一個(gè)底面積）；5、求鋼管的體積： V鋼管=(nR2—nr2)Xh20、圓錐立體幾何定義： 以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸， 其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)錐。該直角邊叫圓錐的軸 。1、 圓錐的體積：一個(gè)圓錐所占空間的大小，叫做這個(gè)圓錐的體積。一個(gè)圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱的

體叫做圓體積的

1/3。根據(jù)圓柱體積公式

V=Sh

（V=n

r2h

），得出圓錐體積公式：

V=1/3ShS

是圓錐的底面積，

h是圓錐的高，

r是圓錐的底面半徑圓錐的高=圓錐體積X3十底面積圓錐的底面積=圓錐體積X3十高

h=3VS=3V

錐十

h

錐十

S=3V

錐十（n

r2）圓錐體展開圖的繪制：圓錐體展開圖由一個(gè)扇形（圓錐的側(cè)面）和一個(gè)圓

（圓錐的底面）組成。

（如右圖）在繪制指定圓錐的展開圖時(shí)，一般知道

a（母線長(zhǎng)）和

d（底面直徑）圓錐的切割：

a.橫切：切面是圓b.豎切（過頂點(diǎn)和直徑直徑）：切面是等腰三角形，該等腰三角形的高是圓錐的高，底是圓錐的底面直徑，

表面積增加兩個(gè)等腰三角形的面積，即

S增=2Rh考試常見題型：已知圓錐的底面積和高，求體積已知圓錐的底面周長(zhǎng)和高，求圓錐的體積，底面積c已知圓錐的底面周長(zhǎng)和體積，求圓錐的高，底面積 以上幾種常見題型的解題方法，通常是求出圓錐的底面半徑和高，再根據(jù)圓柱的相關(guān)計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算。生活中的圓錐：生活中經(jīng)常出現(xiàn)的圓錐有：沙堆、漏斗、帽子。圓錐在日常生活中也是不可或缺的。 圓柱和圓錐的關(guān)系:1．圓柱的特征：一個(gè)側(cè)面、兩個(gè)底面、無數(shù)條高且側(cè)面沿高展開圖是長(zhǎng)形或正方形。2．圓錐的特征：一個(gè)側(cè)面、一個(gè)底面、一個(gè)頂點(diǎn)、一條高且側(cè)面展開圖是扇形。3、圓柱與圓錐等底等高時(shí)，圓柱的體積是圓錐的3倍。4、圓柱與圓錐等底等體積時(shí)，圓錐的高是圓柱高的3倍。5、圓柱與圓錐等高等體積時(shí)，圓錐的底面積（注意：是底面積而不是底面半徑）是圓柱的3倍。6、圓柱體積比等底等高圓錐體積多2倍圓錐體積比等底等高圓柱體積少2/31）等底等高：V錐:V柱=1:32）等底等體積：h錐:h柱=3:13）等高等體積：S錐:S柱=3:1題型總結(jié):1.高不變半徑擴(kuò)大縮小n倍，直徑、底面周長(zhǎng)、側(cè)面積擴(kuò)大縮小n倍，底面積、體積擴(kuò)大縮小n2倍。2.半徑不變高擴(kuò)大縮小n倍，側(cè)面積、體積擴(kuò)大縮小n倍3.削成最大體積的問題：正方體里削出最大的圓柱圓錐 圓柱圓錐的高和底面直徑等于正方體棱長(zhǎng)長(zhǎng)方體里削出最大的圓柱圓錐 圓柱圓錐底面直徑等于寬 （寬〉高）圓柱圓錐高等于長(zhǎng)方體高

；圓柱圓錐底面直徑等于高（高〉寬）圓柱圓錐高等于長(zhǎng)方體寬浸水體積問題：水面上升部分的體積就是浸入水中物品的體積，等于盛水容積的底面積乘以上升的高度。5. 等體積轉(zhuǎn)換問題：一圓柱融化后做成圓錐，或圓柱中的溶液倒入圓錐，都是體 積不變的問題，注意不要乘以 1/3。一、圓柱、圓錐常考知識(shí)點(diǎn)一 圓柱的表面積1、切割、拼接表面積增加、減少問題。例：一個(gè)圓柱高15分米，底面積是3.14平方分米，把它截成兩個(gè)同樣的小圓柱后，表面積比原來增加了（）平方分米。注：這是切割表面積增加問題，而且是切成兩個(gè)小圓柱，切一次（兩個(gè)小圓柱），表面積增加兩個(gè)底面圓的面積。1、沿直徑切，增加的是（長(zhǎng)是圓柱的高，寬是圓柱的直徑）這樣的長(zhǎng)方形。例：一個(gè)圓柱沿底面的一條直徑縱切后，可以得到一個(gè)邊長(zhǎng)6厘米的正方形截面，這個(gè)圓柱的體積是（）2、切的次數(shù)變化，切一次增加兩個(gè)面例：一個(gè)長(zhǎng)是120厘米的圓柱，把它截成9個(gè)小圓柱所得的表面積總和，比截成6個(gè)小圓柱所得的表面積總和多180平方厘米，原來的圓柱的體積是多少？3、擴(kuò)展到正方體、長(zhǎng)方體。例1：把一個(gè)長(zhǎng) 6厘米，寬 5厘米，高 4厘米的長(zhǎng)方體木塊鋸成兩個(gè)小長(zhǎng)方體，表面積至少增 加（）平方厘米，至多增加 （）平方厘米。例2：一個(gè)長(zhǎng) 2米的長(zhǎng)方體鋼材截成三段，表面積比原來增加 2.4平方分米，這根鋼材原來的體積 是（）2、高增加減少，表面積增加減少問題。有一個(gè)圓柱體，如果把高增加 2厘米后，表面積增加了 50.24平方厘米，原圓柱體的底面積是（ ）注：高增加，圓柱表面積增加的只是側(cè)面積。解析：根據(jù)題目條件可先求出底面周長(zhǎng)，然后再求半徑，最后可以求出底面積。 變形題目：一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)減少 2厘米，就成為一個(gè)正方體，這時(shí)，正方體的表面積是 96平方厘米，原來長(zhǎng)方體的體積是（ ）3、把一個(gè)直徑是 2分米的圓柱體的底面分成許多相等的扇形，然后沿直徑把圓柱切開，拼成一個(gè) 和它體積相等的長(zhǎng)方體， 這個(gè)長(zhǎng)方體的表面比原來圓柱體表面積增加 7平方分米，這個(gè)長(zhǎng)方體的體 積是（ ）立方分米。注：表面積增加的是兩個(gè)（長(zhǎng)為圓柱半徑，寬為圓柱高）這樣的長(zhǎng)方形。4、實(shí)際問題求表面積例：一根 2米長(zhǎng)的通風(fēng)管， 橫截面是直徑為 2分米的圓，制作這個(gè)通風(fēng)管至少需要鐵皮多少平方 分米？注：沒有底面 歸納：無底面：通風(fēng)管、煙囪、教學(xué)樓里的支撐柱、出水管有一個(gè)底面：魚缸、廚師帽提高題：一個(gè)鋼管，長(zhǎng) 30厘米，內(nèi)直徑 8厘米，外直徑 10厘米，求它的表面積。5、難點(diǎn)題：表面積最大，做一個(gè)圓柱省料問題例1、用一個(gè)長(zhǎng)是8厘米，寬是6厘米，高是4厘米的長(zhǎng)方體做一個(gè)圓柱體，這個(gè)圓柱體的側(cè)面積最大是多少？如果讓圓柱的表面積最大，那么最大是多少？例2、用寬4米，長(zhǎng)8.28

米的厚鐵皮做一個(gè)帶蓋的油桶，要求盡量少浪費(fèi)材料又要把油桶做大

些并把油桶涂上漆，計(jì)算油桶油漆二、圓柱、圓錐?？贾R(shí)點(diǎn)二圓柱、圓錐的體積1、比例關(guān)系例：一個(gè)圓柱體和一個(gè)圓錐體的底面半徑相等，它們的高的比是注：列表法，圓錐的體積不要忘乘 1/32、圓柱、圓錐等底等高時(shí)，圓柱的體積是圓錐體積的 3倍；

5：6，它們的體積比是（

）圓柱、圓錐等體積等高時(shí)，圓錐的底面積是圓柱底面積的 3倍；的高是圓柱高的 3倍。例：1、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐等底等高， 已知圓柱和圓錐的體積相差方厘米；圓錐的體積是（ ）立方厘米。

圓柱、圓錐等體積等底面積時(shí)，圓錐6立方厘米，圓柱的體積是（ ）立2、一個(gè)圓柱形容器與一個(gè)圓錐形的容器底面積相等，內(nèi)，這時(shí)水深 6厘米，圓錐形容器的高是（）厘米。

將圓錐形容器裝滿水后全部倒入空?qǐng)A柱形

容器3、等體積變換例：一個(gè)底面半徑8厘米，高20厘米的圓柱形鐵塊，現(xiàn)在要把它鑄成一個(gè)底面與圓柱相同的圓錐。這個(gè)圓錐的高是（）厘米注：不要忘乘34、上升（下降）的水的體積 =浸沒物體的體積例：在一個(gè)圓柱體容器中，放入一個(gè)半徑是10cm的圓鋼，若把它全部浸沒在水里，水面就上升0.8cm，若讓它露出水面3cm,水面就下降0.3cm，求這段圓鋼的體積。一、常見直接運(yùn)用公式解題的題型：1、一根圓木底面的直徑和高都是 3分米，這個(gè)圓柱體的體積是 _________2、量得一個(gè)圓柱體飲料罐底面半徑是 3厘米，高是半徑的 4倍，這個(gè)飲料罐的底面積是側(cè)面積是 _______，表面積是_________，體積是 _______。

_________3、用鐵皮做一個(gè)無蓋的圓柱形水桶，底面周長(zhǎng)是12.56分米，高（1）做這個(gè)水桶至少需要多少平方分米鐵皮？（得數(shù)保留整數(shù)）

6分米（2）這個(gè)水桶最多可以盛水多少千克？（每升水重 1千克）4、一根長(zhǎng) 2米的圓柱形木材，把它鋸成原來的體積是 ____________立方厘米。

2個(gè)小圓柱后，表面積比原來增加

25.12平方厘米。這根

木材二、通過變化一些條件，增加解題難度的題型：1、一個(gè)圓柱的體積是 75.36立方厘米。它的底面直徑是

4厘米，這個(gè)圓柱的高是

_________

。2、有兩個(gè)高相等的圓柱，第一個(gè)圓柱的底面半徑和第二個(gè)底面半徑的比是積是16立方厘米，第二個(gè)圓柱的體積是 （）立方厘米。

2：

3。第一個(gè)圓柱的體3、如果圓柱體的側(cè)面展開是一個(gè)邊長(zhǎng)為 3.14分米的正方形，圓柱的高是 _____，底面積是 ______。4．一個(gè)圓柱形油桶裝了半桶汽油，把油桶里的汽油