《平面向量的運算》平面向量及其應用課件(第3課時向量的數乘運算)

6.2平面向量的運算6.2.3

向量的數乘運算6.2平面向量的運算1.向量的數乘運算定義：一般地，我們規(guī)定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa.規(guī)定：(1)|λa|=|λ||a|.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)1.向量的數乘運算《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課(2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ=0時，λa=0.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)(2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa【思考】向量數乘運算的結果是什么？提示：數乘向量的結果仍是一個向量，它既有大小又有方向.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【思考】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課2.向量數乘的運算律設λ，μ為實數，則(1)λ(μa)=λμa；(2)(λ+μ)a=λa+μa；(3)λ(a+b)=λa+λb.特別地，我們有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)2.向量數乘的運算律《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT【思考】這里的條件“λ，μ為實數”能省略嗎？為什么？提示：不能，數乘向量中的λ，μ都是實數，只有λ，μ都是實數時，運算律才成立.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【思考】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課3.向量的線性運算向量的加、減、數乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.4.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b=λa.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)3.向量的線性運算《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課【思考】(1)共線向量定理中的“a≠0”是否多余，能去掉嗎？提示：不能，定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0，λ存在，但不唯一，若a=0，b≠0，則λ不存在.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【思考】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課(2)反之，“若存在一個實數λ，使b=λa(a≠0)，則a與b共線”成立嗎？提示：成立.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)(2)反之，“若存在一個實數λ，使b=λa(a≠0)，則a與【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)-3a的方向與6a的方向相反，且-3a的模是6a的模的

(a≠0). (

)(2)a與-λa的方向相反. (

)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【素養(yǎng)小測】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第(3)若a，b共線，則存在唯一的實數λ，使a=λb.(

)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)(3)若a，b共線，則存在唯一的實數λ，使a=λb.《平面向提示：(1)√.因為-3<0，所以-3a與a方向相反且|-3a|=3|a|.所以6a與a方向相同且|6a|=6|a|，所以-3a與6a方向相反且模是6a的模的.(2)×.當λ<0時，a與-λa的方向相同.(3)×.若b=0時不成立.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)提示：(1)√.因為-3<0，所以-3a與a方向相反且|-32.下列計算正確的個數是 (

)①(-3)·2a=-6a；②2(a+b)-(2b-a)=3a；③(a+2b)-(2b+a)=0.

A.0 B.1 C.2 D.3《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)2.下列計算正確的個數是 ()《平面向量的運算》平面向量【解析】選C.因為(-3)·2a=-6a，故①正確；②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正確；③中，左=a+2b-2b-a=0≠0，故③錯誤.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】選C.因為(-3)·2a=-6a，故①正確；《平面向類型一向量的線性運算【典例】1.(2019·臨沂高一檢測)化簡

[(2a+8b)-(4a-2b)]的結果是 (

)

A.2a-b B.2b-aC.b-a D.a-b《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)類型一向量的線性運算《平面向量的運算》平面向量及其應用PP2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+b)，則x=________.

《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+【思維·引】1.類比實數運算中合并同類項的方法化簡.2.利用解方程的方法求解.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【思維·引】1.類比實數運算中合并同類項的方法化簡.《平面向【解析】1.選B.原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)=2b-a.2.因為(x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，即x=0.答案：0《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】1.選B.原式=(a+4b-4a+2b)=【內化·悟】1.向量的線性運算的主要方法是什么？提示：去括號，合并“同類項”.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【內化·悟】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第2.解含有向量的方程時，可以把向量當成普通未知量求解嗎？提示：可以.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)2.解含有向量的方程時，可以把向量當成普通未知量求解嗎？《平【類題·通】向量線性運算的方法(1)向量的線性運算類似于代數多項式的運算，主要是“合并同類項”“提取公因式”，但這里的“同類項”“公因式”指向量，實數是向量的系數.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【類題·通】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用解代數方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用解【習練·破】已知a=4d，b=5d，c=-3d，則2a-3b+c等于 (

)A.10d B.-10d

C.20d D.-20d【解析】選B.2a-3b+c=8d-15d-3d=-10d.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【習練·破】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第【加練·固】已知向量a，b，且5x+2y=a，3x-y=b，求x，y.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【加練·固】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，得6x-2y=2b.與5x+2y=a相加，得11x=a+2b，即x=

a+

b.所以y=3x-b=3=a-b.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，《平面向量的運算》平面向量類型二用已知向量表示相關向量【典例】1.(2019·長沙高一檢測)設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD=AB，BE=BC.若=λ1+λ2(λ1，λ2為實數)，則λ1+λ2的值為_______.

《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)類型二用已知向量表示相關向量《平面向量的運算》平面向量及其《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的2.如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD上的中點分別為K，L，且=e1，=e2，試用e1，e2表示《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)2.如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD上的中點分別為《平【思維·引】1.先用向量表示向量，然后計算“系數”和.2.先把視為未知量，再利用已知條件找等量關系，列方程(組)，通過解方程(組)求出《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【思維·引】1.先用向量表示向量，然后【解析】1.由已知

所以λ1=-，λ2=，從而λ1+λ2=.答案：

《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】1.由已知《平面向量的運算》平面2.設=x，=y，則=e1=x-y，=e2=x-y，由《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)2.設=x，=y，《平面向量的運算》平面向量及解得即==《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)解得《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3【內化·悟】分析切入問題時，對條件應怎樣理解？提示：看作是用向量、表示向量的結果.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【內化·悟】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第【類題·通】(1)由已知量表示未知量時，要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運算的運算律.(2)當直接表示較困難時，應考慮設出未知向量，表示出已知向量，建立方程組，利用方程(組)求解.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【類題·通】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第【習練·破】如圖，ABCD是一個梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分別是DC和AB的中點，已知=a，=b，試用a，b表示《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【習練·破】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，《平面向量的運算所以四邊形ANCD是平行四邊形.=-b，又因為=0，所以=b-a，所以=-b+a=a-b.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)所以四邊形ANCD是平行四邊形.《平面向量的運算》平面向量及(方法二)因為=0，即：a++(-a)+(-b)=0，所以=b-a，又因為在四邊形ADMN中，有=0，即：b+

a+

+(-

a)=0，所以

=

a-b.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)(方法二)因為=0，《平面向【加練·固】如圖所示，四邊形OADB是平行四邊形，=a，=b，又試用a、b表示《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【加練·固】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第【解析】因為=a-b，所以(a-b)，所以=b+(a-b)=b+a-b=a+

b.又由=+=a+b，得《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】因為=a-b，《平面向量的運=a+b.所以=(a+b)-(a+b)

=a-b.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)=a+類型三向量共線定理及應用角度1求參數問題【典例】(2019·天水高一檢測)設e1，e2是兩個不共線的向量，若向量a=2e1-e2，與向量b=e1+λe2(λ∈R)共線，則當且僅當λ的值為 世紀金榜導學號(

)

A.0 B.-1 C.-2 D.-《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)類型三向量共線定理及應用《平面向量的運算》平面向量及其應用【思維·引】利用向量共線定理解答.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【思維·引】利用向量共線定理解答.《平面向量的運算》平面向量【解析】選D.因為向量a與b共線，所以存在唯一實數u，使b=ua成立.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以

解得λ=-.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】選D.因為向量a與b共線，所以存在唯一實數《平面向量【素養(yǎng)·探】本題主要考查向量共線條件的應用，突出考查了數學運算的核心素養(yǎng).本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他條件不變，試求m+n的值.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【素養(yǎng)·探】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第【解析】因為向量a與b共線，所以存在唯一實數u，使b=ua成立.即2me1+ne2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以所以m+n=0.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】因為向量a與b共線，所以存在唯一實數u，使《平面向量角度2三點共線問題【典例】設a，b是不共線的兩個非零向量，若=2a-b，=3a+b，=a-3b，求證：A，B，C三點共線.世紀金榜導學號《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)角度2三點共線問題《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT【思維·引】利用向量共線定理解答.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【思維·引】利用向量共線定理解答.《平面向量的運算》平面向量【證明】由題意，得=(3a+b)-(2a-b)=a+2b，=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2，所以與共線，且有公共端點B，所以A，B，C三點共線.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【證明】由題意，得=(3a+b)-(【類題·通】關于向量共線定理的應用(1)向量共線定理：b與a(a≠0)共線與b=λa是一個等價定理，因此用它既可以證明點共線或線共線問題，也可以根據共線求參數的值.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【類題·通】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第(2)證明三點共線，往往要轉化為證明過同一點的兩個有向線段表示的向量共線，必須說明構造的兩個向量有公共點，否則兩向量所在的直線可能平行，解題時常常會因忽視對公共點的說明而丟分.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)(2)證明三點共線，往往要轉化為證明過同一點的兩個有向線段表【發(fā)散·拓】關于A，B，C三點共線條件的變形式平面上三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數α，β，使得=α+β，其中α+β=1，O為平面內任意一點.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【發(fā)散·拓】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第【延伸·練】已知A，B，P三點共線，O為直線外任意一點，若求x+y的值.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【延伸·練】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第【解析】設λ則則所以x+y=1+λ-λ=1.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】設λ則則【習練·破】已知非零向量e1，e2不共線.(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求證：A，B，D三點共線.(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共線，試確定實數k的值.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【習練·破】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第【解析】(1)因為=e1+e2，=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5所以，共線，且有公共點B，所以A，B，D三點共線.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】(1)因為=e1+e2，(2)因為ke1+e2與e1+ke2共線，所以存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2)，即(k-λ)e1=(λk-1)e2，由于e1與e2不共線，只能有所以k=±1.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)(2)因為ke1+e2與e1+ke2共線，《平面向量的運算》6.2平面向量的運算6.2.3

向量的數乘運算6.2平面向量的運算1.向量的數乘運算定義：一般地，我們規(guī)定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa.規(guī)定：(1)|λa|=|λ||a|.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)1.向量的數乘運算《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課(2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ=0時，λa=0.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)(2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa【思考】向量數乘運算的結果是什么？提示：數乘向量的結果仍是一個向量，它既有大小又有方向.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【思考】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課2.向量數乘的運算律設λ，μ為實數，則(1)λ(μa)=λμa；(2)(λ+μ)a=λa+μa；(3)λ(a+b)=λa+λb.特別地，我們有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)2.向量數乘的運算律《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT【思考】這里的條件“λ，μ為實數”能省略嗎？為什么？提示：不能，數乘向量中的λ，μ都是實數，只有λ，μ都是實數時，運算律才成立.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【思考】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課3.向量的線性運算向量的加、減、數乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.4.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b=λa.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)3.向量的線性運算《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課【思考】(1)共線向量定理中的“a≠0”是否多余，能去掉嗎？提示：不能，定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0，λ存在，但不唯一，若a=0，b≠0，則λ不存在.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【思考】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課(2)反之，“若存在一個實數λ，使b=λa(a≠0)，則a與b共線”成立嗎？提示：成立.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)(2)反之，“若存在一個實數λ，使b=λa(a≠0)，則a與【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)-3a的方向與6a的方向相反，且-3a的模是6a的模的

(a≠0). (

)(2)a與-λa的方向相反. (

)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【素養(yǎng)小測】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第(3)若a，b共線，則存在唯一的實數λ，使a=λb.(

)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)(3)若a，b共線，則存在唯一的實數λ，使a=λb.《平面向提示：(1)√.因為-3<0，所以-3a與a方向相反且|-3a|=3|a|.所以6a與a方向相同且|6a|=6|a|，所以-3a與6a方向相反且模是6a的模的.(2)×.當λ<0時，a與-λa的方向相同.(3)×.若b=0時不成立.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)提示：(1)√.因為-3<0，所以-3a與a方向相反且|-32.下列計算正確的個數是 (

)①(-3)·2a=-6a；②2(a+b)-(2b-a)=3a；③(a+2b)-(2b+a)=0.

A.0 B.1 C.2 D.3《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)2.下列計算正確的個數是 ()《平面向量的運算》平面向量【解析】選C.因為(-3)·2a=-6a，故①正確；②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正確；③中，左=a+2b-2b-a=0≠0，故③錯誤.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】選C.因為(-3)·2a=-6a，故①正確；《平面向類型一向量的線性運算【典例】1.(2019·臨沂高一檢測)化簡

[(2a+8b)-(4a-2b)]的結果是 (

)

A.2a-b B.2b-aC.b-a D.a-b《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)類型一向量的線性運算《平面向量的運算》平面向量及其應用PP2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+b)，則x=________.

《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+【思維·引】1.類比實數運算中合并同類項的方法化簡.2.利用解方程的方法求解.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【思維·引】1.類比實數運算中合并同類項的方法化簡.《平面向【解析】1.選B.原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)=2b-a.2.因為(x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，即x=0.答案：0《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】1.選B.原式=(a+4b-4a+2b)=【內化·悟】1.向量的線性運算的主要方法是什么？提示：去括號，合并“同類項”.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【內化·悟】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第2.解含有向量的方程時，可以把向量當成普通未知量求解嗎？提示：可以.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)2.解含有向量的方程時，可以把向量當成普通未知量求解嗎？《平【類題·通】向量線性運算的方法(1)向量的線性運算類似于代數多項式的運算，主要是“合并同類項”“提取公因式”，但這里的“同類項”“公因式”指向量，實數是向量的系數.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【類題·通】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用解代數方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用解【習練·破】已知a=4d，b=5d，c=-3d，則2a-3b+c等于 (

)A.10d B.-10d

C.20d D.-20d【解析】選B.2a-3b+c=8d-15d-3d=-10d.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【習練·破】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第【加練·固】已知向量a，b，且5x+2y=a，3x-y=b，求x，y.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【加練·固】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，得6x-2y=2b.與5x+2y=a相加，得11x=a+2b，即x=

a+

b.所以y=3x-b=3=a-b.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，《平面向量的運算》平面向量類型二用已知向量表示相關向量【典例】1.(2019·長沙高一檢測)設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD=AB，BE=BC.若=λ1+λ2(λ1，λ2為實數)，則λ1+λ2的值為_______.

《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)類型二用已知向量表示相關向量《平面向量的運算》平面向量及其《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的2.如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD上的中點分別為K，L，且=e1，=e2，試用e1，e2表示《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)2.如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD上的中點分別為《平【思維·引】1.先用向量表示向量，然后計算“系數”和.2.先把視為未知量，再利用已知條件找等量關系，列方程(組)，通過解方程(組)求出《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【思維·引】1.先用向量表示向量，然后【解析】1.由已知

所以λ1=-，λ2=，從而λ1+λ2=.答案：

《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】1.由已知《平面向量的運算》平面2.設=x，=y，則=e1=x-y，=e2=x-y，由《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)2.設=x，=y，《平面向量的運算》平面向量及解得即==《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)解得《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3【內化·悟】分析切入問題時，對條件應怎樣理解？提示：看作是用向量、表示向量的結果.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【內化·悟】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第【類題·通】(1)由已知量表示未知量時，要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運算的運算律.(2)當直接表示較困難時，應考慮設出未知向量，表示出已知向量，建立方程組，利用方程(組)求解.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【類題·通】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第【習練·破】如圖，ABCD是一個梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分別是DC和AB的中點，已知=a，=b，試用a，b表示《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【習練·破】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，《平面向量的運算所以四邊形ANCD是平行四邊形.=-b，又因為=0，所以=b-a，所以=-b+a=a-b.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)所以四邊形ANCD是平行四邊形.《平面向量的運算》平面向量及(方法二)因為=0，即：a++(-a)+(-b)=0，所以=b-a，又因為在四邊形ADMN中，有=0，即：b+

a+

+(-

a)=0，所以

=

a-b.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)(方法二)因為=0，《平面向【加練·固】如圖所示，四邊形OADB是平行四邊形，=a，=b，又試用a、b表示《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【加練·固】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第【解析】因為=a-b，所以(a-b)，所以=b+(a-b)=b+a-b=a+

b.又由=+=a+b，得《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】因為=a-b，《平面向量的運=a+b.所以=(a+b)-(a+b)

=a-b.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)=a+類型三向量共線定理及應用角度1求參數問題【典例】(2019·天水高一檢測)設e1，e2是兩個不共線的向量，若向量a=2e1-e2，與向量b=e1+λe2(λ∈R)共線，則當且僅當λ的值為 世紀金榜導學號(

)

A.0 B.-1 C.-2 D.-《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)類型三向量共線定理及應用《平面向量的運算》平面向量及其應用【思維·引】利用向量共線定理解答.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【思維·引】利用向量共線定理解答.《平面向量的運算》平面向量【解析】選D.因為向量a與b共線，所以存在唯一實數u，使b=ua成立.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以

解得λ=-.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】選D.因為向量a與b共線，所以存在唯一實數《平面向量【素養(yǎng)·探】本題主要考查向量共線條件的應用，突出考查了數學運算的核心素養(yǎng).本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他條件不變，試求m+n的值.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【素養(yǎng)·探】《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第【解析】因為向量a與b共線，所以存在唯一實數u，使b=ua成立.即2me1+ne2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以所以m+n=0.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【解析】因為向量a與b共線，所以存在唯一實數u，使《平面向量角度2三點共線問題【典例】設a，b是不共線的兩個非零向量，若=2a-b，=3a+b，=a-3b，求證：A，B，C三點共線.世紀金榜導學號《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)角度2三點共線問題《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT【思維·引】利用向量共線定理解答.《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第3課時向量的數乘運算)【思維·引】利用向量共線定理解答.《平面向量的運算》平面向量【證明】由題意，得=(3a+b)-(2a-b)=a+2b，=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2，所以與共線，且有公共端點B，所以A，B，C三點共線.《平面向量的運算》平