三年級下冊數學試題：奧數精講練：第四講 植樹與方陣問題（含答案）人教版

植樹與方陣問題一、植樹問題要想了解植樹中的數學并學會怎樣解決植樹問題，首先要牢記三要素：①總路線長.②間距（棵距）長.③棵數.只要知道這三個要素中任意兩個要素.就可以求出第三個。關于植樹的路線，有封閉與不封閉兩種路線。1.不封閉路線例：如圖①若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數比段數多1.如上圖把總長平均分成5段，但植樹棵數是6棵。全長、棵數、株距三者之間的關系是：棵數=段數+1=全長÷株距+1全長=株距×（棵數-1）株距=全長÷（棵數-1）.全長=株距×棵數；棵數=全長÷株距；株距=全長÷棵數。③如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數就比②中還少1棵。棵數=段數-1=全長÷株距-1.如右圖所示.段數為5段，植樹棵數為4棵。株距=全長÷（棵數+1）。2.封閉的植樹路線例如：在圓、正方形、長方形、閉合曲線等上面植樹，因棵數=段數=周長÷株距.二、方陣問題學生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列.如果行數與列數都相等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。方陣的基本特點是：①方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數量都相同.每向里一層，每邊上的人數就少2。②每邊人（或物）數和四周人（或物）數的關系：四周人（或物）數=[每邊人（或物）數-1]×4；每邊人（或物）數=四周人（或物）數÷4＋1。（或物數=（或物數×（或物）數。例1有一條公路長900米，在公路的一側從頭到尾每隔10米栽一根電線桿，可栽多少根電線桿？分析要以兩棵電線桿之間的距離作為分段標準.公路全長可分成若干段.由于公路的兩端都要求栽桿，所以電線桿的根數比分成的段數多1。解：以10米為一段，公路全長可以分成900÷10＝90（段）共需電線桿根數：90+1=91（根）答：可栽電線桿91根。例2馬路的一邊每相隔9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹.問汽車每小時走多少千米？分析張軍5分鐘看到501棵樹意味著在馬路的兩端都植樹了；只要求出這段路的長度就容易求出汽車速度.解：5分鐘汽車共走了：9×（501-1）=4500（米），汽車每分鐘走：4500÷5=900（米），汽車每小時走：900×60=54000（米）=54（千米）列綜合式：9×（501-1）÷5×60÷1000=54（千米）答：汽車每小時行54千米。例3某校五年級學生排成一個方陣，最外一層的人數為60人.問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有五年級學生多少人？分析根據四周人數和每邊人數的關系可以知：每邊人數=四周人數÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數，那么整個方陣隊列的總人數就可以求了。解：方陣最外層每邊人數：60÷4＋1=16（人）整個方陣共有學生人數：16×16=256（人）答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人。例4晶晶用圍棋子擺成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個.晶晶擺這個方陣共用圍棋子多少個？分析方陣每向里面一層，每邊的個數就減少2個.知道最外面一層每邊放14個，就可以求第二層及第三層每邊個數.知道各層每邊的個數，就可以求出各層總數。解：最外邊一層棋子個數：（14-1）×4=52（個）第二層棋子個數：（14-2-1）×4=44（個）第三層棋子個數：（14-2×2-1）×4=36（個）.擺這個方陣共用棋子：52+44＋36＝132（個）還可以這樣想：中空方陣總個數=（每邊個數一層數）×層數×4進行計算。解：（14-3）×3×4=132（個）答：擺這個方陣共需132個圍棋子。例5一個圓形花壇，周長是180米.每隔6米種一棵芍藥花，每相鄰的兩棵芍藥花之間均勻地栽兩棵月季花.問可栽多少棵芍藥？多少棵月季？兩棵月季之間的株距是多少米？①在圓形花壇上栽花，是封閉路線問題，其株數=段數.解：共可栽芍藥花：180÷6＝30（棵）共種月季花：2×30＝60（棵）兩種花共：30+60=90（棵）兩棵花之間距離：180÷90=2（米）相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花的株距是2米或4米。答：種芍藥花30棵，月季花60棵，兩棵月季花之間距離為2米或4米。例6一個街心花園如右圖所示.它由四個大小相等的等邊三角形組成.已知從每個小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有9棵花.問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？①從已知條件中可以知道大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍.又知道每個小三角形的邊上均勻栽99×2-1=17（棵）。②又知道這個大三角形三個頂點上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以大三角形三條邊上共栽花（17-1）×3=48（棵）。③.再看圖中畫斜線的小三角形三個頂點正好在大三角形的邊上.在計算大三角形栽花棵數時已經計算過一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數為9-2=7（棵）解：大三角形三條邊上共栽花：（9×2-1-1）×3=48（棵）中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：（9-2）×3=21（棵）整個花壇共栽花：48+21=69（棵）答：大三角形邊上共栽花48棵，整個花壇共栽花69棵。習題四1.一個圓形池塘，它的周長是150米，每隔3米栽種一棵樹.問：共需樹苗多少株？2.有一正方形操場，每邊都栽種17棵樹，四個角各種1棵，共種樹多少棵？3.在一條路上按相等的距離植樹.甲乙二人同時從路的一端的某一棵樹出發(fā).當甲走到從自己這邊數的第22棵樹時，乙剛走到從乙那邊數的第10棵樹.已知乙每分鐘走36米.在一根長1006厘米點一個紅點.從右向左每隔5厘米點一個紅點，在兩個紅點之間長為4厘米的間距有幾段？習題四解答1.提示：由于是封閉路線栽樹，所以棵數=段數，150÷3=50（棵）。2.提示：在正方形操場邊上栽樹.正方形邊長都相等，四個角上栽的樹是相鄰的兩條邊公有的一棵，所以每邊栽樹的棵數為17-1=16（棵），共栽：（17-1）×4=64（棵）答：共栽樹64棵。3.22棵樹時走過了個棵距.同樣乙個棵距.乙走到第10（9×棵距÷36），這個時間也是甲走過21個棵距