華東師大二附中2016-2017學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016-2017學(xué)年上海市華東師大二附中高二(下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共10個(gè)小題，每題4分,共40分)1．若,則x+y=．2．直線l1：x﹣3y+3=0與l2：x﹣y+1=0的夾角的大小為．（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）3．橢圓+=1上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之積取最大值時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)是．4．設(shè)f（x）=（x∈R）,則方程f（x）=0的解集為．5．設(shè)

x,y

為實(shí)數(shù)，且

,則

x+y=

．6．（文科

)

設(shè)點(diǎn)(x,y）位于線性拘束條件

所表示的地域內(nèi)

(含界線），則目標(biāo)函數(shù)

z=2x+y

的最大值是

．7．若是方程

表示雙曲線，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍為

．8．若過點(diǎn)

A(1，0），且與

y軸的夾角為

的直線與拋物線

y2=4x

交于P、Q

兩點(diǎn)，則

|PQ|=

．9．若平面向量

滿足|2

｜≤3，則的最小值是

．10．已知點(diǎn)P在雙曲線x2﹣y2=a2（a＞0)的右支上,A1，A2分別是雙曲線的左、右極點(diǎn)，且∠A2PA1=2∠PA1A2，則∠PA1A2=．二、選擇題（本大題共4個(gè)小題,每題4分,共16分)11．以下說法正確的個(gè)數(shù)是（）學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（1)三點(diǎn)確定一個(gè)平面(2）一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面（3）兩條直線確定一個(gè)平面（4）三角形和梯形必然為平面圖形．A．0B．1C．2D．312．直線被圓x2+y2=9截得的弦長為（）A．B．C．D．13．如圖，從雙曲線的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為T，延長FT交雙曲線右支于P點(diǎn)，若M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MO｜﹣｜MT|與b﹣a的大小關(guān)系為（）A．｜MO｜﹣｜MT|＞b﹣aB．|MO|﹣｜MT｜＜b﹣aC．｜MO｜﹣|MT｜=b﹣aD．以上三種可能都有14．已知點(diǎn)P（x，y）在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q（x+y，xy）的軌跡是（）A．圓B．拋物線C．橢圓D．雙曲線三、解答題（本大題共4個(gè)題，8+10+12+14=44分，共44分）15．如圖：在空間四邊形ABCD中,已知AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD且AB=BC=6,BD=8,E為AD中點(diǎn)，求異面直線BE與CD所成角．學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精16．已知△ABC和△A1B1C1所在平面訂交，并且AA1，BB1，CC1交于一點(diǎn)．（1）求證：AB和A1B1在同一平面內(nèi)；（2)若AB∩A1B1=M，BC∩B1C1=N，AC∩A1C1=P，求證:M，N，P三點(diǎn)共線．17．（理科）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上,一條經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣）且方向向量為

的直線

l交橢圓

C于

A、B

兩點(diǎn)，交x軸于

M點(diǎn)，又

．(1)求直線

l方程；（2）求橢圓C長軸長取值的范圍．18．設(shè)復(fù)平面上點(diǎn)Z1，Z2,，Zn,分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1,z2，，zn，；（1）設(shè)z=r（cos+αisin，α（）r＞0，α∈R），用數(shù)學(xué)歸納法證明：zn=rncosn+isinnαα,n）∈Z+（2)已知

，且

(cos+isinα

α為)(實(shí)α常數(shù)），求出數(shù)列

{zn｝的通項(xiàng)公式；（3）在（2)的條件下

,求

｜+．學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學(xué)年上海市華東師大二附中高二（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷參照答案與試題解析一、填空題(本大題共10個(gè)小題,每題4分，共40分）1．若,則x+y=1．【考點(diǎn)】幾種特其他矩陣變換．【解析】先依照矩陣的乘法化簡成二元一次方程組，爾后解方程組即可求出x和y的值，進(jìn)而求出x+y的值．【解答】解：∵，∴解得即x+y=1故答案為：12．直線l1：x﹣3y+3=0與l2：x﹣y+1=0的夾角的大小為arctan．(結(jié)果用反三角函數(shù)表示）【考點(diǎn)】兩直線的夾角與到角問題．【解析】設(shè)直線l1與l2的夾角的大小為θ則，由題意可得tanθ=|｜,由此求得θ的值．【解答】解：設(shè)直線l1與l2的夾角的大小為θ，則θ∈［0,，π）由題意可得tanθ=｜|=，解得θ=arctan，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精故答案為：arctan．3．橢圓+=1上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之積取最大值時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,3)或(0,﹣3)．【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【解析】依照橢圓的方程，得｜PF1｜+｜PF2|=2a=10，結(jié)合基本不等式可知:當(dāng)且僅當(dāng)｜PF1｜=｜PF2｜=5時(shí),點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之積為m有最大值25,并且此時(shí)點(diǎn)P位于橢圓短軸的極點(diǎn)處，可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，3)或（0，﹣3）．【解答】解：∵橢圓方程為

+=1，∴a=5，b=3，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2,得|PF1|+｜PF2｜=2a=10，∵｜PF1|+｜PF2|≥2,∴點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之積m滿足:m=｜PF1｜×｜PF2｜≤(

）2=25，當(dāng)且僅當(dāng)

|PF

1｜=｜PF2|=5

時(shí)，m

有最大值

25．此時(shí)，點(diǎn)P位于橢圓短軸的極點(diǎn)處,得P（0,3）或（0，﹣3)．故答案為:(0,3）或（0，﹣3)．4．設(shè)f（x)=（x∈R），則方程f(x)=0的解集為{﹣1，1｝．【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【解析】此題要求方程的解集，主要還是化簡方程左邊的行列式得一元二次方程求出x即可．學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【解答】解：因?yàn)閒（x）=獲取方程f（x）=0，即=0化簡得：1×（﹣1）×1+1×1×x2+x×1×1﹣x2×（﹣1）×1﹣x×1×1﹣1×1×1=0化簡得：x2=1解得：x1=1,x2=﹣1．故答案為：｛﹣1，1}．5．設(shè)x,y為實(shí)數(shù),且，則x+y=4．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)相等的充要條件．【解析】利用復(fù)數(shù)除法的知識(shí)，將等式兩邊均化為a+bi的標(biāo)準(zhǔn)形式，再由復(fù)數(shù)相等列方程組求解即可．【解答】解：

,而因此

，解得x=﹣1，y=5，因此x+y=4．故答案為：46．(文科）設(shè)點(diǎn)（x，y)位于線性拘束條件所表示的地域內(nèi)（含界線）,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值是．【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面地域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求最大值．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面地域如圖:（陰影部分)．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線y=﹣2x+z的截距最大,此時(shí)z最大．由，解得，即B(,)，代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2×+=．即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為，故答案為:．7．若是方程表示雙曲線,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣1，1）∪（2,+∞）．【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【解析】要使方程是雙曲線方程需要兩個(gè)分母一個(gè)大于零，一個(gè)小學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精于0，進(jìn)而聯(lián)立不等式組求得k的范圍．【解答】解：要使方程表示雙曲線，需或；解得m∈（﹣1，1）∪（2,+∞)故答案為：（﹣1，1)∪（2，+∞）．8．若過點(diǎn)A(1，0），且與于P、Q兩點(diǎn)，則|PQ|=

y軸的夾角為．

的直線與拋物線

y2=4x

交【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【解析】設(shè)AB:y=（x﹣1），將直線方程代入到拋物線方程中間得：3x2﹣10x+3=0,設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=,由焦半徑公式得|PQ｜=|PF｜+|FQ｜=x1+x2+p即可．【解答】解：依照拋物線y2=4x方程得:焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0），直線AB的斜率為k=tan60°=由直線方程的點(diǎn)斜式方程,設(shè)AB:y=(x﹣1）將直線方程代入到拋物線方程中間，得：3（x﹣1)2=4x整理得：3x2﹣10x+3=0設(shè)A（x1，y1)，B（x2，y2），x1+x2=，由焦半徑公式得｜PQ|=｜PF|+|FQ|=x1+x2+p=．故答案為：9．若平面向量滿足｜2|≤3,則的最小值是﹣．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角；平面向量數(shù)量積學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精的運(yùn)算．【解析】由平面向量滿足｜2|≤3，知,故≥=4｜｜｜|≥﹣4，由此能求出的最小值．【解答】解：∵平面向量滿足|2｜≤3,∴,∴≥=4｜||｜≥﹣4，∴，∴，故的最小值是﹣．故答案為：﹣．10．已知點(diǎn)P在雙曲線x2﹣y2=a2（a＞0)的右支上，A1，A2分別是雙曲線的左、右極點(diǎn)，且∠A2PA1=2∠PA1A2,則∠PA1A2=．【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【解析】由題意設(shè)∠PA1A2=α，則∠PA2X=3α．利用坐標(biāo)表示出PA1的斜率,PA2的斜率，借助于雙曲線的方程得出斜率之積為1,進(jìn)而可求．【解答】解:設(shè)∠PA1A2=α,則∠PA2X=3α．設(shè)P（x，y），A1（﹣a,0），A2(a，0)．PA1的斜率k1=tanα=，PA2的斜率k2=tan3α=∵k1k2=，∴tanαtan3α∴=1tan3，α=cotα（=tan﹣α)．學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3α是銳角，必有3α=﹣α，∴。α=．故答案為．二、選擇題(本大題共4個(gè)小題,每題4分,共16分)11．以下說法正確的個(gè)數(shù)是( )（1）三點(diǎn)確定一個(gè)平面（2）一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面(3)兩條直線確定一個(gè)平面（4）三角形和梯形必然為平面圖形．A．0B．1C．2D．3【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【解析】利用反例判斷4個(gè)命題的真假即可．【解答】解：對(duì)于（1），三點(diǎn)確定一個(gè)平面，顯然不正確，當(dāng)三點(diǎn)共線，不能夠確定一個(gè)平面．對(duì)于（2)，一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí),不能夠確定一個(gè)平面．因此不正確；（3)兩條直線確定一個(gè)平面，若是兩條直線是異面直線,則不能夠確定一個(gè)平面，因此不正確；（4）三角形和梯形必然為平面圖形．顯然正確；應(yīng)選：B．12．直線被圓x2+y2=9截得的弦長為（）A．B．C．D．【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用;直線的參數(shù)方程．學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【解析】先將直線的參數(shù)方程化成一般方程，再依照弦心距與半徑構(gòu)成的直角三角形中求解即可．【解答】解：∵直線∴直線的一般方程為x﹣2y+3=0圓心到直線的距離為d=l=2=，應(yīng)選B．13．如圖，從雙曲線的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為T,延長FT交雙曲線右支于P點(diǎn),若M為線段FP的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則｜MO｜﹣|MT｜與b﹣a的大小關(guān)系為（）A．｜MO|﹣｜MT|＞b﹣aB．｜MO|﹣|MT｜＜b﹣aC．｜MO|﹣|MT｜=b﹣aD．以上三種可能都有【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合．【解析】將點(diǎn)P置于第一象限．設(shè)F1是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF1．由M、O分別為FP、FF1的中點(diǎn)，知｜MO｜=|PF1｜．由雙曲線定義，知|PF｜﹣|PF1|=2a,|FT|==b．由此知｜MO｜﹣|MT｜=（|PF1｜﹣|PF|）+|FT｜=b﹣a．【解答】解：將點(diǎn)P置于第一象限．設(shè)F1是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF1∵M(jìn)、O分別為FP、FF1的中點(diǎn)，∴|MO｜=｜PF1|．學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精又由雙曲線定義得，｜PF|﹣｜PF1｜=2a,|FT|==b．故|MO|﹣｜MT｜=﹣｜MF｜+|FT|=(|PF1|﹣|PF｜）+|FT｜=b﹣a．應(yīng)選C．14．已知點(diǎn)P（x，y)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q（x+y，xy）的軌跡是（）A．圓B．拋物線C．橢圓D．雙曲線【考點(diǎn)】拋物線的定義；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】先設(shè)處點(diǎn)Q的坐標(biāo),進(jìn)而依照定義得出u=x+y和v=xy，利用圓的半徑為1,代入圓的方程，進(jìn)而求得u和v關(guān)系，則點(diǎn)的軌跡可得．【解答】解：設(shè)Q（u，v），則∵x2+y2=1，∴u2﹣2v=x2+y2=1．∴點(diǎn)Q的軌跡是拋物線．應(yīng)選B學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精三、解答題（本大題共4個(gè)題，8+10+12+14=44分，共44分）15．如圖：在空間四邊形ABCD中,已知AB⊥BC,AB⊥BD，BC⊥CD且AB=BC=6，BD=8,E為AD中點(diǎn)，求異面直線BE與CD所成角．【考點(diǎn)】用空間向量求直線間的夾角、距離．【解析】由題意可知：AB⊥平面BCD，建立空間直角坐標(biāo)系，則=（﹣,3，3），=（﹣2，6，0)，則cos＜，＞=，即可求得異面直線BE與CD所成角．【解答】解：AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD=B，則AB⊥平面BCD，∴分別以BC的垂線，BC，BA三直線為x，y，z軸，建立以下列圖空間直角坐標(biāo)系，則可確定以下幾點(diǎn)坐標(biāo):B（0,0,0），C（0，6,0），A（0，0，6），D（﹣2，6，0），E（﹣，3，3），=(﹣

,3，3）,

=（﹣2

，6，0），∴cos＜，

＞=

=

=

；異面直線BE與CD所成角arccos．學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精16．已知△ABC和△A1B1C1所在平面訂交，并且AA1，BB1,CC1交于一點(diǎn)．（1）求證:AB和A1B1在同一平面內(nèi);（2）若AB∩A1B1=M，BC∩B1C1=N，AC∩A1C1=P,求證:M，N，P三點(diǎn)共線．【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論．【解析】（1）欲證兩直線在同一平面內(nèi)，依照兩條訂交直線確定一個(gè)平面，證明其點(diǎn)在這個(gè)平面上，那么直線就在這個(gè)平面內(nèi)．(2)欲證兩直線的交點(diǎn)在同素來線上，可依照公里2，證明這兩條直線分別在兩個(gè)訂交平面內(nèi),那么，它們的交點(diǎn)就在這兩個(gè)平面的交線上．【解答】證明：（1)如圖∵AA1∩BB1=O，∴AA1與BB1，確定平面α，又∵A∈α，B∈α，A1∈α，B1∈α,∴AB?α,A1B1?α,∴AB和A1B1在同一平面內(nèi)；（2）證明:AB∩A1B1=M，AC∩A1C1=P，∴平面ABC∩平面A1B1C1=PM,∵BC?平面ABC，B1C1?平面A1B1C1，且BC∩B1C1=N，∴N∈PM,學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精即M，N,P三點(diǎn)共線17．（理科）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，一條經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣)且方向向量為的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),交x軸于M點(diǎn)，又．（1）求直線l方程；（2）求橢圓C長軸長取值的范圍．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的簡單性質(zhì)．【解析】（1）由條件:一條經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣）且方向向量為，可得直線的斜率，進(jìn)而可求直線l方程;（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立,利用．可得幾何量之間的關(guān)系,借助于直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),進(jìn)而有鑒識(shí)式大于0，故可求橢圓C長軸長取值的范圍．【解答】解:(1)直線l過點(diǎn)（3，﹣)且方向向量為∴化簡為：學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(2)設(shè)直線交于兩點(diǎn)

A（x1，y1），B（x2，y2)，和

x軸交于

M（1,0）由將

①由韋達(dá)定理知：由②2/③知：32b2=(4b2+5a2)（a2﹣1）化為

④對(duì)方程①求鑒識(shí)式，且由△＞

0,即化簡為

:5a2+4b2＞

5⑤由④式代入⑤可知：

，又橢圓的焦點(diǎn)

在

x軸上，則

a2

＞

b2

，

由④知:

．因此所求橢圓長軸長2a范圍為．18．設(shè)復(fù)平面上點(diǎn)Z1，Z2，，Zn，分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1，z2,,zn，；（1）設(shè)z=r（cos+isinα，α(r）＞0，α∈R）,用數(shù)學(xué)歸納法證明：zn=rncosn+isinnα，α）n∈Z+(2）已知，且（cos+αisin（αα）為實(shí)常數(shù)），求出數(shù)列{zn}的通項(xiàng)公式；學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(3）在（2)的條件下，求｜+．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混雜運(yùn)算；數(shù)學(xué)歸納法．【解析】（1）依照數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟即可證明等式建立；（2）==1，且（cos+αisin（αα）為實(shí)常數(shù)），