高三數學一輪復習大題專練《立體幾何中的探索性問題（二）》突破解析

一輪復習大題專練46—立體幾何（探索性問題2）1．如圖，在底面是菱形的四棱錐中，，，，點在上，且．（1）證明：平面；（2）在棱上是否存在一點，使平面？證明你的結論．解：（1）證明：，，，可得為的等邊三角形，由，，，，可得，，而，可得平面；（2）在棱上存在一點，且，使平面．證明：連接，交于，連接，交于，連接，過作，交于，由于，所以，，所以為的中點，又為的中點，所以，又平面，平面，所以平面．2．如圖，在三棱錐中，平面，（1）若，．求證：；（2）若，分別在棱，上，且，，問在棱上是否存在一點，使得平面．若存在，則求出的值；若不存在，請說明理由．證明：（1）平面，平面，，又，，平面，平面，，，，平面，平面，．（2）存在，且，理由如下：如圖，作的中點，連接，，由，得，又，，平面，平面，平面，又，分別為，的中點，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面平面，平面，平面．3．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，是正三角形，為線段的中點，．（1）求證：平面平面；（2）是否存在點，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（3）若平面平面，在平面內確定一點，使的值最小，并求此時的值．（1）證明：是正三角形，為線段的中點，．是菱形，．又，是正三角形，，而，平面．又，平面．平面，平面平面；（2）解：由，知．，又，因此，的充要條件是，．即存在滿足的點，使得，此時；（3）解：延長到，使得，由（1）知平面，則是點關于面的對稱點，在平面中，過點作，垂足為，交于，則點是使的值最小的點．設，則，平面平面，平面平面，，平面，平面，，得，，，得．4．如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，，，，點是棱上靠近點的三等分點，點是的中點．（1）證明：平面；（2）點為線段上一點，設，若平面，試確定的值．解：（1）證明：取的中點，記，連接，，，在中，，分別是，的中點，所以，同理可得，又因為，，所以平面平面，又平面，所以平面；（2）解：因為底面是菱形，所以，因為，，所以，則，又因為是的中點，所以，因為，所以平面，則，因為，，所以，則，則，所以，又因為，所以平面，若平面，則與重合．故．5．如圖所示正四棱錐，，，為側棱上的點，且，求：（1）正四棱錐的表面積；（2）側棱上是否存在一點，使得平面．若存在，求的值：若不存在，試說明理由．解：（1）正四棱錐中，，，側面的高，正四棱錐的表面積．（2）在側棱上存在一點，使平面，滿足．理由如下：取中點為，因為，則，過作的平行線交于，連接，．在中，有，平面，平面，平面，又由于，平面，平面，平面，，平面平面，得平面，由于，．6．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，分別為，的中點．設平面與平面的交線為．（1）求證：平面；（2）求證：；（3）在棱上是否存在點（異于點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解：（1）證明：因為底面為平行四邊形，所以為中點，又為中點，所以，又平面，平面，所以平面．（2）證明：因為底面為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，又平面，又平面平面，所以．（3）假設存在上存在點（異于點，使得平面，在平行四邊形中，，