高一數(shù)學(xué)人教A版必修1-學(xué)案：第三章-3.2.2-函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專心---專注---專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)3．2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.會利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題．(重點(diǎn))2.能夠建立確定性函數(shù)模型解決問題及建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題(重點(diǎn)、難點(diǎn))．一、幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1)冪函數(shù)模型y＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠1，α≠1)分段函數(shù)模型f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f1（x），x∈D1,f2（x），x∈D2,……,fn（x），x∈Dn))二、應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程1．判斷：(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝kx＋8(k≠0)在R上是增函數(shù)．()(2)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a))).()(3)函數(shù)y＝eq\f(1,100)·2x－10隨著自變量x的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快．()【答案】(1)×(2)×(3)√2．某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，……現(xiàn)有1個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是()A．y＝2xB．y＝2x－1C．y＝2xD．y＝2x＋1【解析】分裂一次后由1個(gè)變成2個(gè)，分裂兩次后2×2＝22個(gè)，……，分裂x次后y＝2x個(gè)．【答案】C3．某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動物，已知該動物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，若該動物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第7年它們發(fā)展到()A．300只B．400只C．600只D．700只【解析】將x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7時(shí)，y＝100log2(7＋1)＝300.【答案】A4．已知大氣壓p(百帕)與海拔高度h(米)的關(guān)系式為p＝1000·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,100)))eq\f(h,3000)，則海拔6000米處的大氣壓為________百帕．【解析】當(dāng)h＝6000時(shí)，p＝1000·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,100)))eq\f(6000,3000)＝4.9.【答案】4.9預(yù)習(xí)完成后，請把你認(rèn)為難以解決的問題記錄在下面的表格中問題1問題2問題3問題4一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的應(yīng)用(1)據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為2000輛次，其中變速車存車費(fèi)是每輛一次0.8元，普通車存車費(fèi)是每輛一次0.5元，若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是()A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000)B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000)D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)(2)漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m(m＞0)，為了保證魚群的生長空間，實(shí)際養(yǎng)殖量x小于m，以便留出適當(dāng)?shù)目臻e量．已知魚群的年增長量y和實(shí)際養(yǎng)殖量與空閑率(空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值)的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k＞0)．①寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出該函數(shù)的定義域；②求魚群年增長量的最大值．【解析】(1)由題意知，變速車存車數(shù)為(2000－x)輛次，則總收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)．【答案】D(2)①根據(jù)題意知，空閑率是eq\f(m－x,m)，故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝kx·eq\f(m－x,m)，0＜x＜m.②由①知，y＝kx·eq\f(m－x,m)＝－eq\f(k,m)x2＋kx＝－eq\f(k,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(mk,4)，0＜x＜m.則當(dāng)x＝eq\f(m,2)時(shí)，ymax＝eq\f(mk,4).所以，魚群年增長量的最大值為eq\f(mk,4).1．在實(shí)際問題中，有很多問題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長特點(diǎn)是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0)，構(gòu)建一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的圖象與單調(diào)性求解．2．在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位，根據(jù)實(shí)際問題建立二次函數(shù)模型后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題中的利潤最大、用料最省等問題．分段函數(shù)模型的應(yīng)用某市居民自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超過4噸時(shí)每噸為1.80元，當(dāng)用水超過4噸時(shí)，超過部分每噸為3.00元，某月甲、乙兩用戶共交水費(fèi)y元，已知甲、乙兩用戶該月用水量分別為5x，3x噸．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)；(2)若甲、乙兩用戶該月共交水費(fèi)26.40元，分別求出甲、乙兩用戶該月的用水量和水費(fèi)．【思路探究】由收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)可知，水費(fèi)與用水量之間存在兩種不同對應(yīng)關(guān)系，所以應(yīng)分類討論，建立分段函數(shù)模型．【解】(1)當(dāng)甲用戶的用水量不超過4噸，即5x≤4時(shí)，乙用戶的用水量也不超過4噸，即：y＝(5x＋3x)×1.80＝14.4x；同理可得當(dāng)eq\f(4,5)<x≤eq\f(4,3)時(shí)，y＝20.4x－4.8；當(dāng)x>eq\f(4,3)時(shí)，y＝24x－9.6.∴y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(14.4x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(4,5)))，,20.4x－4.8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)<x≤\f(4,3)))，,24x－9.6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>\f(4,3))).))(2)由于y＝f(x)在各段區(qū)間上均單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,5)))時(shí)，y≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))<26.40；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(4,3)))時(shí)，y≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))<26.40；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))時(shí)，令24x－9.6＝26.40，得x＝1.5.∴甲用戶用水量為5x＝7.5(噸)，付費(fèi)y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)．乙用戶用水量為3x＝4.5(噸)，付費(fèi)y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．1．建立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定分段的各界點(diǎn)，即明確自變量的取值區(qū)間．2．分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問題，將各段的變化規(guī)律分別求出來，再將其合到一起．已知A，B兩地相距150km，某人開汽車以60km/h的速度從A地到達(dá)B地，在B地停留1小時(shí)后再以50km/h(1)把汽車離開A地的距離s表示為時(shí)間t的函數(shù)(從A地出發(fā)時(shí)開始)，并畫出函數(shù)的圖象；(2)把車速v(km/h)表示為時(shí)間t(h)的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖象．【解】(1)①汽車由A地到B地行駛th所走的距離s＝60t(0≤t≤2.5)．②汽車在B地停留1小時(shí)，則汽車到A地的距離s＝150(2.5＜t≤3.5)．③由B地返回A地，則汽車到A地的距離s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜x≤6.5)．綜上，s＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60t（0≤t≤2.5），,150（2.5＜t≤3.5），,325－50t（3.5＜t≤6.5），))它的圖象如圖(1)所示．(1)(2)(2)速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系式是v＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60（0≤t≤2.5），,0（2.5＜t≤3.5），,－50（3.5＜t≤6.5），))它的圖象如圖(2)所示．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用(2014·邯鄲高一檢測)聲強(qiáng)級Y(單位：分貝)由公式Y(jié)＝10lgeq\f(I,10－12)給出，其中I為聲強(qiáng)(單位：W/m2)．(1)平時(shí)常人交談時(shí)的聲強(qiáng)約為10－6W/m2，求其聲強(qiáng)級．(2)一般常人能聽到的最低聲強(qiáng)級是0分貝，求能聽到的最低聲強(qiáng)為多少？(3)比較理想的睡眠環(huán)境要求聲強(qiáng)級Y≤50分貝，已知熄燈后兩個(gè)學(xué)生在宿舍說話的聲強(qiáng)為5×10－7W/m2，問這兩位同學(xué)是否會影響其他同學(xué)休息？【思路探究】由公式Y(jié)＝10lgeq\f(I,10－12)可以由I求Y，也可以由Y求I，計(jì)算I＝5×10－7W/m2時(shí)的聲強(qiáng)級并與50作比較就可以判斷兩位同學(xué)是否會影響其他同學(xué)休息．【解】(1)當(dāng)I＝10－6W/m2時(shí)，代入得Y＝10lgeq\f(10－6,10－12)＝10lg106＝60，即聲強(qiáng)級為60分貝．(2)當(dāng)Y＝0時(shí)，即為10lgeq\f(I,10－12)＝0，所以eq\f(I,10－12)＝1，I＝10－12W/m2，則能聽到的最低聲強(qiáng)為10－12W/m2.(3)當(dāng)聲強(qiáng)I＝5×10－7W/m2時(shí)，聲強(qiáng)級Y＝10lgeq\f(5×10－7,10－12)＝10lg(5×105)＝50＋10lg5＞50，所以這兩位同學(xué)會影響其他同學(xué)休息．1．有關(guān)對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般是先給出對數(shù)函數(shù)模型，利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解．2．在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等問題常可以用指數(shù)函數(shù)模型表示，通?？梢员硎緸閥＝N(1＋p)x(其中N為基數(shù)，p為增長率，x為時(shí)間)的形式．本題中為了達(dá)到比較理想的睡眠環(huán)境聲強(qiáng)I的取值范圍是什么？【解】由0≤Y≤50得0≤10lgeq\f(I,10－12)≤50，所以0≤lgeq\f(I,10－12)≤5＝lg105，所以1≤eq\f(I,10－12)≤105，10－12≤I≤10－12×105＝10－7，所以聲強(qiáng)I的取值范圍是10－12≤I≤10－7.1．解應(yīng)用題要弄清題意，從實(shí)際出發(fā)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系，分析函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問題．解決問題時(shí)要注意自變量的取值范圍．2．(1)解應(yīng)用題的一般思路可表示如下：(2)解應(yīng)用題的一般步驟：①讀：閱讀并理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一步是基礎(chǔ)；②建：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，熟悉基本數(shù)學(xué)模型，正確進(jìn)行建“模”是關(guān)鍵；③解：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，既要充分注意數(shù)學(xué)模型中字母的實(shí)際意義，也要注意巧思妙解，優(yōu)化過程；④答：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的結(jié)論．?dāng)M合函數(shù)模型的建立與應(yīng)用(12分)某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，自2010年以來，每年在正常情況下，該產(chǎn)品產(chǎn)量平穩(wěn)增長．已知2010年為第1年，前4年年產(chǎn)量f(x)(萬件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)畫出2010～2013年該企業(yè)年產(chǎn)量的散點(diǎn)圖；(2)建立一個(gè)能基本反映(誤差小于0.1)這一時(shí)期該企業(yè)年產(chǎn)量變化的函數(shù)模型，并求出函數(shù)解析式；(3)2014年(即x＝5)因受到某國對我國該產(chǎn)品反傾銷的影響，年產(chǎn)量減少30%，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2014年的年產(chǎn)量為多少？【思路探究】eq\x(描點(diǎn))eq\o(→,\s\up7(依散點(diǎn)圖))eq\x(選模)eq\o(→,\s\up7(待定系數(shù)法))eq\x(求模)eq\o(→,\s\up7(誤差))eq\x(驗(yàn)?zāi)?→eq\x(用模)【滿分樣板】(1)畫出散點(diǎn)圖，如圖所示.2分(2)由散點(diǎn)圖知，可選用一次函數(shù)模型．設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1.5，,b＝2.5，))∴f(x)＝1.5x＋2.5.4分檢驗(yàn)：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1.f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.6分∴一次函數(shù)模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年產(chǎn)量的變化.8分(3)根據(jù)所建的函數(shù)模型，預(yù)計(jì)2014年的年產(chǎn)量為f(5)＝1.5×5＋2.5＝10萬件，又年產(chǎn)量減少30%，即10×70%＝7萬件，即2014年的年產(chǎn)量為7萬件.12分函數(shù)擬合與預(yù)測的一般步驟是：(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點(diǎn)圖．(2)通過考察散點(diǎn)圖，畫出擬合直線或擬合曲線．(3)求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)