全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東預(yù)賽試題及解答

2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東省預(yù)賽試題(考試時(shí)間：2012年9月8日上午10:00—11：20)、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.把答案填在橫線上.已知201222010201120132014k2k0,則k.答案：201222(或4048142)解：n2(n2)(n1)(n1)(n2)n2(n24)(n21)2/4 2 ，2 2sin(x—)cosx3n(n5n4)(n2).sin(x—)cosx3.函數(shù)f(x)sin(x—)答案：1解：因?yàn)閒(x)sinxcos—cosxsin—sinxcos—cosxsin—cosx3

6 6 6 63sinxcosx32sin(x—)3,

6所以f(x)的最小值為1..已知f(x)"bx」，其中a,b為常數(shù)，且ab2.若f(x)fp)k為常2xa x數(shù)，則k的值為.4解：由于. .1f(x)f(-)xbx1bx2xa2ax2 2bx(b1)xb4解：由于. .1f(x)f(-)xbx1bx2xa2ax2 2bx(b1)xbZ2 ~2 7 ~2ax(a4)x2a是常數(shù)，故2akb,且(a24)kb21.將b2ak代入(a24)kb21整理得(4k2k)a2(14k)0,分解因式得(4k1)(ka21)0.若4k10,則1ka210,因此ab2ka22,與條件相矛盾.故4k10,即k-.4.已知方程32x3x1p有兩個(gè)相異的正實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是.答案：(9,2).4解法一：令t3x,則原方程化為t23tp0.根據(jù)題意，方程t23tp0有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根.(3)24p0,令f(t)t23tp,則f(1)1231P0, 9p2.491.2解法二：令y3x,則原方程化為y23yp0.注意到這個(gè)關(guān)于y的方程最多有兩個(gè)解，而由y3x嚴(yán)格單調(diào)遞增知每個(gè)y最多對(duì)應(yīng)一個(gè)x,因此所求的p應(yīng)當(dāng)使y23yp0有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)解y1,y2,且滿足3為y1,3x2y2的兩個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2都是正的.由于為？2都是正的，故y1,y2都應(yīng)大于1.由于y1y3,故yy3 y1,因此y1必須滿足y1 1,3y11及y13y1.因此y1的取值范圍為3 3 .(1-)U(-,2).3 3 .(1-)U(-,2).因此p y1y22 2一一一一一.9y1(3y1)的取值范圍為(9,2).45.將25個(gè)數(shù)排成五行五列：TOC\o"1-5"\h\za11 a12 a13 a14 a15a21 a22 a23 a24 a25a31 a32 a33 a34 a35a41 a42 a43 a44 a45a51 a52 a53 a54 a55已知弟一■仃a11,a12,a13,a14,a15成等差數(shù)列，而每一■列dj,a?j,a3j，adj,a5j(1j5)都成等比數(shù)列，且五個(gè)公比全相等.若a244,a41 2,84310,則a11a55的值為.答案：11解：可知每一行上的數(shù)都成等差數(shù)列，但這五個(gè)等差數(shù)列的公差不一定相等.

TOC\o"1-5"\h\zr 10(2) _一由a4i 2島3 10知a42 ——— 4且公差為6,故a44 16冏5 22.2由a24 4,a4416知公比q2.右q2,則a1i—3- -,a55222411,故aiia§5 11;s4口…- 21 一右q 2,則a11—3~—,a5522(2)4(11),故a11%5 11.4 1V .設(shè)點(diǎn)P在曲線y-e上，點(diǎn)Q在曲線yln(2x)上，則PQ的最小值為2解：、,2(1ln2).函數(shù)y函數(shù)y1ex與函數(shù)2yln(2x)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于yx對(duì)稱.x的距離為dx的距離為d1exx2g(x)min 1ln2dmin—TOC\o"1-5"\h\z函數(shù)y1ex上的點(diǎn)P(x,1ex)到直線2 2 1 1設(shè)函數(shù)g(x)exg(x)e2 2由圖象關(guān)于yx對(duì)稱得：PQ最小值為2dmin72(1In2)..將2個(gè)a和2個(gè)b共4個(gè)字母填在4X4方格表的16個(gè)小方格內(nèi)，每個(gè)小方格內(nèi)至多填一個(gè)字母，若使相同字母既不同行也不同列，則不同的填法種數(shù)共有.答案：3960解：使得2個(gè)a既不同行也不同列的填法有C2A4272種，使得2個(gè)b既不同行也不同列的填法有C2A272種，故由乘法原理，這樣的填法共有722種.其中不合要求的有兩種情況：2個(gè)a所在的方格內(nèi)都填有b的情況有72種;2個(gè)a所在的方格內(nèi)恰有1個(gè)方格填有b的情況有《解1672種.所以，符合條彳^的填法共有7227216723960種..一個(gè)直角梯形的上底比下底短，該梯形繞它的上底旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體1616分的體積為112，該梯形繞它的下底旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為80，該梯形繞它的直角腰旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為156,則該梯形的周長(zhǎng)為.答案：162.13.解：設(shè)梯形的上底長(zhǎng)為a,下底長(zhǎng)為b,高為h,則梯形繞上底旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為h2b1h2(ab)1h2(a2b),因此1h2(a2b)112,即3 3 3h2(a2b)336.同理有h2(2ab)240,兩式相除得a—2b弼7,去分母2ab2405化簡(jiǎn)得b3a,代入h2(a2b)336得ah248.注意到直角腰長(zhǎng)等于高h(yuǎn)，梯形繞它的直角腰旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體為圓臺(tái)，1其體積為-h(a2abb2)156.將b3a代入化簡(jiǎn)得a2h36.結(jié)合ah248可解得a3,h4,因此b9,由勾股定理知另一條腰的長(zhǎng)度為“(93)22屈,因此梯形的周長(zhǎng)為3942氏162A.二、解答題：本大題共3小題，共56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.2 21.(本小題滿分16分)設(shè)橢圓3+4=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,ab點(diǎn)P在橢圓上且異于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|AP|=|OA|,證明：直線OP的斜率k滿足|k|志.解法一：設(shè)P(acos,bsin)(0 2),A(a,0).由|AP||OA|,有J(acos ap~(bsin)2a,即a2cos2 2a2cosb2sin2 0.從而1cos2 2acos0,2 .2.22acos bsin一從而1cos2 2acos0,2 .2.22acos bsin一2一.2asin所以,2.2日bsin一cos0,且acos21一cos3.所以，|k11bsin|,1 2 3.Iacos| -cos解法二：設(shè)P(acos,bsin)(0 2).則線段OP的中點(diǎn)Q(acos,bsin).2 2|AP|=|OA|AQOPkAQk1.bsin2aacosbsin akbsin2aacosbsin akAQcos 2akAQ.C. n~C. n~2 I2|2、一2 2~7 .171 2,22akAQ、；(bbkAQ)(sincos) \；bakAQ2.2akAQ1、、3|k|、3.16分2.1、、3|k|、3.16分2.(本小題滿分20分)設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)_ 2 2 2S(aabb)(bbcb,c2 2c)(c滿足ab3.求caa2)的最大值.解：不妨設(shè)的最大值.解：不妨設(shè)abc.顯然有b2bcca根據(jù)AM-GM不等式可得2.2,2Sab(aabb2)3ab3ab3ab2一(a232 22.2,2Sab(aabb2)3ab3ab3ab2一(a232 232abb)(aabb2)4(ab)6354(ab3515分的最大值為的最大值為12,這時(shí)a,b,c2,1,03.(本小題滿分20分)求出所有的函數(shù)(f(x))2y3.(本小題滿分20分)求出所有的函數(shù)(f(x))2y都能被f(y)x2整除.解：根據(jù)題目的條件，令xy1,則(f(1))21能被因此(f(1))2 f(1)能被f(1)1整除，也就是f(1)(f(1)因?yàn)閒(1)與f(1)1互素，所以f(1)1能被f(1)1 f(1)1,所以f(1)