初三數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用知識(shí)精講首師大版

.PAGE.>初三數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用知識(shí)精講【同步教育信息】一.本周教學(xué)內(nèi)容：分類討論思想在解題中的應(yīng)用1.在數(shù)學(xué)中，分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的一樣點(diǎn)和不同點(diǎn)，把數(shù)學(xué)的研究對(duì)象區(qū)分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想，正確應(yīng)用分類思想，是完整解題的根底。2.正確的分類應(yīng)當(dāng)符合兩條原則：〔1〕分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)展；〔2〕分類應(yīng)當(dāng)不重復(fù)，不遺漏。例如，把三角形分為斜三角形和等邊三角形兩大類，既有重復(fù)〔等邊三角形是斜三角形〕，又有遺漏〔不包括直角三角形〕，其分類標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一，故分類錯(cuò)誤。分類后，對(duì)各個(gè)情況分別進(jìn)展研究，得出不同情況下的結(jié)論，這就是討論。3.分類討論思想是中考的熱點(diǎn)考察內(nèi)容。二.重點(diǎn)、難點(diǎn)：分類討論思想的應(yīng)用和分類的標(biāo)準(zhǔn)既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)?！镜湫屠}】一、與數(shù)學(xué)概念、定義有關(guān)的分類討論。例1.分析：對(duì)值符號(hào)，這就要根據(jù)絕對(duì)值的概念進(jìn)展分類討論研究。解法一：解法二：故應(yīng)填8或2。例2.相切兩圓的圓心距為5，一個(gè)圓的半徑為2，則另一個(gè)圓的半徑為_(kāi)_________。分析：相切兩圓分為內(nèi)切、外切兩種情況。解：設(shè)另一個(gè)圓心的半徑為r，則r＋2＝5或r－2＝5?！鄏＝3或7。二、涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算法則或定理、公式的適用范圍的分類討論。例3.A.第一、二象限 B.第二、三象限C.第三、四象限 D.第一、二、三象限分析：分兩種情況討論。解法一：分兩種情況討論：〔1〕當(dāng)a＋b＋c≠0時(shí)，由等比性質(zhì)，得〔2〕當(dāng)a＋b＋c＝0時(shí)，a＋b＝－c，綜合〔1〕〔2〕，直線y＝k*＋k一定經(jīng)過(guò)第二、三象限，應(yīng)選B。解法二：例4.誤解：分析：誤解的結(jié)果是正確的，但解法是欠妥的，造成誤解的原因是習(xí)慣性地把未知量*，y看作不相等，即無(wú)視了*＝y(tǒng)的情況，這種錯(cuò)誤易出現(xiàn)，但又難發(fā)現(xiàn)，因此必須高度重視。正確的解法是分類討論：說(shuō)明：本例也可以應(yīng)用因式分解法防止討論：解法二：三、涉及問(wèn)題中待定參數(shù)的變化的分類討論。例5.根？分析：方程有實(shí)數(shù)根，即方程有兩個(gè)或一個(gè)實(shí)數(shù)根，相應(yīng)的方程為一元二次方程或一元一次方程，所以對(duì)未知數(shù)最高次項(xiàng)的系數(shù)要分類討論。解：說(shuō)明：方程中最高次項(xiàng)的系數(shù)是含字母的不確定代數(shù)式，決定了它的取值的多種可能性，不能看到*2項(xiàng)就簡(jiǎn)單地認(rèn)為是一元二次方程。例6.〔1〕k滿足什么條件時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)？〔2〕設(shè)〔1〕中的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，試比較∠AOB與90°角的大小。分析：置，所以要注意分類討論。解：〔2〕y＝－*＋8的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，由于k的不同取值導(dǎo)致A、B的位置不同，因此應(yīng)分類討論：①當(dāng)0＜k＜16時(shí)，雙曲線的兩支分布在第一、三象限，則這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)A和B都在第一象限，∴∠AOB＜∠*Oy，即∠AOB＜90°，如下列圖；②當(dāng)k＜0時(shí)，雙曲線的兩支分布在第二、四象限，則這兩個(gè)函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)A和B分別在第二、四象限，∴∠AOB＞∠*Oy，即∠AOB＞90°。例7.分析：此題在審題時(shí)要讀懂題意，題設(shè)中未指明是涉及②中的哪個(gè)整數(shù)根，故要分類討論。解：，根據(jù)題設(shè)，對(duì)*1，*2進(jìn)展分類討論：四、涉及幾何元素位置變化的分類討論。1.與幾何根本概念有關(guān)的分類討論。例8.C到直線l的距離是_________________。分析：點(diǎn)A，點(diǎn)B與直線l的位置關(guān)系有兩種情況：A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)或異側(cè)。解：〔1〕如下列圖，當(dāng)A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)時(shí)，設(shè)AM⊥l于M，BN⊥l于N，CP⊥l于P，且∵C是AB中點(diǎn)，AM∥CP∥BN，∴CP是梯形AMNB的中位線，〔2〕如下列圖，當(dāng)A、B兩點(diǎn)在直線l的異側(cè)時(shí)，過(guò)B作BR⊥AM的延長(zhǎng)線于R，延長(zhǎng)PC交BR于Q，則AM∥CQ∥BN，∵AC＝BC，∴RQ＝QB，∴CQ是△ABR的中位線，2.與三角形有關(guān)的分類討論：例9.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)A〔－2，0〕，B〔4，0〕，點(diǎn)P在直線〔1〕點(diǎn)P的坐標(biāo)，并標(biāo)出點(diǎn)P的位置；〔2〕經(jīng)P、A、B三點(diǎn)且對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線是否存在？假設(shè)存在，求出拋物線的解析式。解：〔1〕如下列圖，分三種情況討論：③設(shè)∠P為直角，點(diǎn)P〔*，y〕，過(guò)P作PQ⊥*軸于Q，則Q〔*，0〕，而過(guò)A、B、P1或A、B、P2對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線不存在。例10.點(diǎn)，AD＝6，點(diǎn)E是過(guò)點(diǎn)D的直線與△ABC的另一邊的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D能否作一條直線截原三角形所得的小三角形與原三角形相似？假設(shè)能，求出DE的長(zhǎng)，假設(shè)不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：∴AC＝6，BC＝8，∵AD＝6，∴BD＝4。分三種情況討論，如下列圖，〔1〕過(guò)D作DE1∥AC交BC于E1，∴△ABC∽△DBE1〔2〕過(guò)D作DE2∥BC交AC于E2，∴△ADE2∽△ABC，〔3〕過(guò)D作DE3⊥AB于D，交BC于E3，∴△E3BD∽△ABC3.與四邊形有關(guān)的分類討論：例11.在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠BOC＝120°，AD＝7，BD＝10，則四邊形ABCD的面積是___________。分析：滿足題設(shè)條件的圖形有兩個(gè)：平行四邊形或等腰梯形，如圖1，圖2。解：分兩種情況討論：〔1〕過(guò)D作DE∥AC交BC延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，過(guò)E作BD的延長(zhǎng)線的垂線與BD延長(zhǎng)線交于F點(diǎn)，由∠BOC＝120°，得∠EDF＝60°又根據(jù)勾股定理，BE2＝BF2＋EF2，設(shè)EF＝h，〔2〕如圖2，類似可得：4.與圓有關(guān)的分類討論：例12.⊙O中，半徑r＝5cm，AB、CD是兩條平行弦，且AB＝8cm，CD＝6cm，求AC的長(zhǎng)。分析：由弦AB、CD的位置的不確定性來(lái)分類討論。解：〔1〕如下列圖，由垂徑定理及勾股定理，得弦心距則弦AB、CD間的距離為4＋3＝7或4－3＝1，從而說(shuō)明：本例中隱含了兩個(gè)層次的分類討論思想：〔1〕平行弦位置的不確定性，即它們可在圓心的同側(cè)，也可在圓心的兩側(cè)。這就是種情況。〔2〕點(diǎn)的位置的不確定性，如當(dāng)A，B確定后，C，D的排列有兩種情形；【模擬試題】一、選擇題：1.假設(shè)點(diǎn)P到*軸的距離為2，到y(tǒng)軸的距離為1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔〕A.〔1，2〕B.〔－1，－2〕C.〔－1，2〕，〔1，－2〕D.以上都有可能2.P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，∠P＝50°，則弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)為〔〕A.140° B.65° C.140°或40° D.65°或115°3.弦AB是圓內(nèi)接正三角形的一邊，弦AC是圓內(nèi)接正六邊形的一邊，則∠BAC的度數(shù)為〔〕A.30° B.90° C.30°或90° D.60°或30°4.假設(shè)點(diǎn)M到⊙O的最長(zhǎng)距離為10，最短距離為4，則圓O的半徑為〔〕A.5或2 B.3或7 C.10或4 D.14或65.等腰三角形的一個(gè)角等于70°，則它的頂角的度數(shù)為〔〕A.70° B.70°或55° C.40° D.40°或70°6.一個(gè)等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為2和5，則它的周長(zhǎng)為〔〕A.12 B.14 C.9 D.9或127.如果是一個(gè)完全平方式，則m的值為〔〕A.±3 B.±9 C.±6 D.68.半徑不等的兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，則兩圓的公切線的條數(shù)是〔〕A.1條 B.2條 C.3條 D.以上都有可能二、填空題：9.四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠BAD＝90°，且△ACD是直角三角形，則AD的長(zhǎng)等于_____________。10.直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為，則斜邊上的高為_(kāi)__________。11.⊙O是△ABC的外接圓，OD⊥BC于D，且∠BOD＝58°，則∠BAC＝____________度。12.⊙O1和⊙O2外切，半徑分別為1cm和3cm，則半徑為5cm且與⊙O1和⊙O2都相切的圓一共可以作出____________個(gè)。13.假設(shè)分式的值為零，則*的值應(yīng)為_(kāi)___________。14.二次函數(shù)的圖象與*軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為－2，6，圖象與y軸相交，交點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為3，則二次函數(shù)的解析式為_(kāi)_______________。15.兩數(shù)a＝16，b＝4，則a與b的比例中項(xiàng)是____________。16.是正比例函數(shù)，則m的值為_(kāi)___________。17.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為3和2，則底角的余弦值為_(kāi)___________。18.假設(shè)相交兩圓的半徑分別為，公共弦長(zhǎng)為4，則圓心距為_(kāi)___________。三、解答題：19.：線段AB在*軸上，以AB為直徑的圓交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，假設(shè)，求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式。20.，如下列圖，⊙D交y軸于A、B兩點(diǎn)，且B〔〕，D〔1，0〕，過(guò)B點(diǎn)作⊙D的切線交*軸于點(diǎn)P，〔1〕求直線PB的解析式；〔2〕判斷在直線PB上是否存在點(diǎn)E，使得，假設(shè)存在，求出E點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由。21.如下列圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙C與y軸相切，且C點(diǎn)的坐標(biāo)為〔1，0〕，直線l過(guò)點(diǎn)A〔－1，0〕與⊙C相切于點(diǎn)D，〔1〕求直線l的解析式；〔2〕在直線l上存在點(diǎn)P，使△APC為等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。22.在一條直的長(zhǎng)河中有甲、乙兩船，現(xiàn)同時(shí)由A地順流而下，乙船到B地時(shí)接到通知要它立即返回到C地執(zhí)行公務(wù)，甲船繼續(xù)順流航行，甲、乙兩船在靜水中的速度都是千米/時(shí)，水流速度為千米/時(shí)，A、C兩地間的距離為10千米，如果乙船由A地經(jīng)B地再到達(dá)C地共用4小時(shí)，問(wèn)乙船從B地到達(dá)C地時(shí)，甲船駛離B地多遠(yuǎn)？參考答案.dearedu.一、選擇題：1.D 2.D 3.C 4.B5.D 6.A 7.C 8.D二、填空題：9.4或3〔分∠ACD＝90°和∠ADC＝90°兩種情況〕10.〔分是斜邊和是直角邊兩種情況〕11.58°或122°〔分圓心O在△ABC內(nèi)和外兩種情況〕12.共6個(gè)〔所求圓可與⊙O1和⊙O2都外切的有兩個(gè)；或與⊙O1內(nèi)切，與⊙O2外切的有一個(gè)；或與⊙O1外切，與⊙O2內(nèi)切的有一個(gè)；或與⊙O1，⊙O2都內(nèi)切的有兩個(gè)。〕13.14.?！才cy軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分為〔0，3〕和〔0，－3〕兩種情況〕15.±8〔ab等于比例中項(xiàng)的平方〕16.1〔〔舍〕〕17.〔3為腰或2為腰〕18.〔分公共圓與O1O2相交和公共弦與O1O2的延長(zhǎng)線相交兩種情況〕三、