2022版?zhèn)鋺?zhàn)老高考一輪復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)第10節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用 教案

第十節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用[最新考綱]1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長、對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用．1．常見的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函數(shù)模型：y＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)．(3)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)．(4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(a，b，c為常數(shù)，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)冪函數(shù)模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．2．三種函數(shù)模型之間增長速度的比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢因n而異圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，有l(wèi)ogax＜xn＜ax3.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．eq\o([常用結(jié)論])形如f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的函數(shù)模型稱為“對(duì)勾”函數(shù)模型：(1)該函數(shù)在(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上單調(diào)遞減．(2)當(dāng)x＞0時(shí)，x＝eq\r(a)時(shí)取最小值2eq\r(a)，當(dāng)x＜0時(shí)，x＝－eq\r(a)時(shí)取最大值－2eq\r(a).一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝2x與函數(shù)y＝x2的圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)．()(2)冪函數(shù)增長比直線增長更快．()(3)不存在x0，使ax0＜xeq\o\al(n,0)＜logax0.()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改編1．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則下列說法中錯(cuò)誤的是()(注：結(jié)余＝收入－支出)A．收入最高值與收入最低值的比是3∶1B．結(jié)余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D．前6個(gè)月的平均收入為40萬元D[由題圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元，其比是3∶1，故A正確；由題圖可知，7月份的結(jié)余最高，為80－20＝60(萬元)，故B正確；由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確；由題圖可知，前6個(gè)月的平均收入為eq\f(1,6)×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(萬元)，故D錯(cuò)誤．]2．在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD[根據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計(jì)算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意，故選D.]3．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價(jià)為20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為________萬件．18[利潤L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，當(dāng)x＝18時(shí)，L(x)有最大值．]4．用長度為24的材料圍一矩形場(chǎng)地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為________．3[設(shè)隔墻的長度為x(0＜x＜6)，矩形面積為y，則y＝x×eq\f(24－4x,2)＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴當(dāng)x＝3時(shí)，y最大．]考點(diǎn)1用函數(shù)圖象刻畫變化過程判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題中兩變量變化過程相吻合的2種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象．(2)驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案．1.(2019·遵義模擬)如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，若P處有一棵樹與兩墻的距離分別是4m和am(0＜a＜12)．不考慮樹的粗細(xì)，現(xiàn)用16m長的籬笆，借助墻角圍成一個(gè)矩形花圃ABCD，設(shè)此矩形花圃的最大面積為u，若將這棵樹圍在矩形花圃內(nèi)，則函數(shù)u＝f(a)(單位：m2)的圖象大致是()ABCDB[設(shè)AD的長為xm，則CD的長為(16－x)m，則矩形ABCD的面積為x(16－x)m2.因?yàn)橐獙Ⅻc(diǎn)P圍在矩形ABCD內(nèi)，所以a≤x≤12.當(dāng)0＜a≤8時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝8時(shí)，u＝64；當(dāng)8＜a＜12時(shí)，u＝a(16－a)．畫出函數(shù)圖象可得其形狀與B選項(xiàng)接近，故選B.]2．有一個(gè)盛水的容器，由懸在它的上空的一條水管均勻地注水，最后把容器注滿，在注水過程中時(shí)間t與水面高度y之間的關(guān)系如圖所示．若圖中PQ為一線段，則與之對(duì)應(yīng)的容器的形狀是()ABCDB[由函數(shù)圖象可判斷出該容器必定有不同規(guī)則的形狀，且函數(shù)圖象的變化先慢后快，所以容器下邊粗，上邊細(xì)．再由PQ為線段，知這一段是均勻變化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A，C，D，選B.]3．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是()A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D．某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí)，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油D[根據(jù)圖象知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項(xiàng)A錯(cuò)；以相同速度行駛時(shí)，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時(shí)，甲車消耗汽油最少，故選項(xiàng)B錯(cuò)；甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)燃油效率為10千米/升，行駛1小時(shí)，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項(xiàng)C錯(cuò)；最高限速80千米/小時(shí)，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項(xiàng)D對(duì)．]準(zhǔn)確掌握常見函數(shù)模型圖象的變化趨勢(shì)是解決此類問題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題的3個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該模型求解實(shí)際問題．小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動(dòng)成本為W(x)萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時(shí)，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋x(萬元)．在年產(chǎn)量不小于8萬件時(shí)，W(x)＝6x＋eq\f(100,x)－38(萬元)．每件產(chǎn)品售價(jià)為5元．通過市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完．(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動(dòng)成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？[解](1)因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為5元，則x萬件商品銷售收入為5x萬元，依題意得，當(dāng)0＜x＜8時(shí)，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋x))－3＝－eq\f(1,3)x2＋4x－3；當(dāng)x≥8時(shí)，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(100,x)－38))－3＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x))).所以L(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－3，0＜x＜8，,35－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))，x≥8.))(2)當(dāng)0＜x＜8時(shí)，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－6)2＋9.此時(shí)，當(dāng)x＝6時(shí)，L(x)取得最大值L(6)＝9萬元，當(dāng)x≥8時(shí)，L(x)＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq\r(x·\f(100,x))＝35－20＝15，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(100,x)，即x＝10時(shí)，L(x)取得最大值15萬元．因?yàn)?＜15，所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為15萬元．解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)注意自變量的取值范圍，如本例中x∈(0，＋∞)．一個(gè)容器裝有細(xì)沙acm3，細(xì)沙從容器底部一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，tmin后剩余的細(xì)沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一．16[當(dāng)t＝0時(shí)，y＝a，當(dāng)t＝8時(shí)，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，∴e－8b＝eq\f(1,2)，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一時(shí)，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，則t＝24，所以再經(jīng)過16min.]考點(diǎn)3構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟構(gòu)造二次函數(shù)、分段函數(shù)模型國慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)在30或30以下，飛機(jī)票每張收費(fèi)900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75為止．每團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15000元．(1)寫出每張飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤？[解](1)設(shè)每團(tuán)人數(shù)為x，由題意得0＜x≤75(x∈N*)，每張飛機(jī)票價(jià)格為y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0＜x≤30，,900－10x－30，30＜x≤75，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0＜x≤30，,1200－10x，30＜x≤75.))(2)設(shè)旅行社獲利S元，則S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0＜x≤30，,1200x－10x2－15000，30＜x≤75，))即S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0＜x≤30，,－10x－602＋21000，30＜x≤75.))因?yàn)镾＝900x－15000在區(qū)間(0,30]上為增函數(shù)，故當(dāng)x＝30時(shí)，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以當(dāng)x＝60時(shí)，S取得最大值21000.故當(dāng)x＝60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤．解題過程——謹(jǐn)防2種失誤(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性等解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)．(2)求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求出每一段上的最值，然后比較大小得解．構(gòu)造y＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)模型某養(yǎng)殖場(chǎng)需定期購買飼料，已知該養(yǎng)殖場(chǎng)每天需要飼料200千克，每千克飼料的價(jià)格為1.8元，飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用平均每千克每天0.03元，購買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元．求該養(yǎng)殖場(chǎng)多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少．[解]設(shè)該養(yǎng)殖場(chǎng)x(x∈N*)天購買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y元．因?yàn)轱暳系谋９苜M(fèi)與其他費(fèi)用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)．從而有y＝eq\f(1,x)(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝eq\f(300,x)＋3x＋357≥2eq\r(\f(300,x)·3x)＋357＝417，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(300,x)＝3x，即x＝10時(shí)，y有最小值．故該養(yǎng)殖場(chǎng)10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少．利用模型f(x)＝ax＋eq\f(b,x)求解最值時(shí)，要注意自變量的取值范圍及取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件．構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型(1)世界人口在過去40年翻了一番，則每年人口平均增長率約是(參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)()A．1.5% B．1.6%C．1.7% D．1.8%(2)十三屆全國人大一次會(huì)議《政府工作報(bào)告》指出：過去五年來，我國經(jīng)濟(jì)實(shí)力躍上新臺(tái)階．國內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬億元增加到82.7萬億元，年均增長7.1%，占世界經(jīng)濟(jì)比重從11.4%提高到15%左右，對(duì)世界經(jīng)濟(jì)增長貢獻(xiàn)率超過30%,2018年發(fā)展的預(yù)期目標(biāo)是國內(nèi)生產(chǎn)總值增長6.5%左右．如果從2018年開始，以后每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按6.5%的增長率增長，那么2020年的國內(nèi)生產(chǎn)總值約為(提示：1.0653≈1.208)()A．93.8萬億元 B．99.9萬億元C．97萬億元 D．106.39萬億元(1)C(2)B[(1)設(shè)每年人口平均增長率為x，則(1＋x)40＝2，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，則40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝eq\f(lg2,40)≈0.0075，所以100.0075＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%.故選C.(2)由題意可知，2020年我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為：82.7×(1＋6.5%)3≈99.9(萬億元)．故選B.](1)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型有關(guān)的實(shí)際問題，在求解時(shí)，要先學(xué)會(huì)合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型(底數(shù)大于1)是增長速度越來越快的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題，必要時(shí)可借助導(dǎo)數(shù)．1.某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不超過0.1%，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少eq\f(1,3)，至少應(yīng)過濾________次才能達(dá)到市場(chǎng)要求．(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)8[設(shè)至少過濾n次才能達(dá)到市場(chǎng)要求，則2%eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))n≤0.1%，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq\f(1,