高等數(shù)學(xué)第三章講義(商學(xué)院)課件

1第一節(jié)中值定理

第三章

第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2費(fèi)馬(fermat)引理一、羅爾(Rolle)定理且在此鄰域內(nèi)，

存在3證:則由取使存在，知存在5證:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,則因此若M>

m,由于f(a)=f(b)，則M和m

中至少有一個(gè)不等于f(a),不妨設(shè)

則由費(fèi)馬引理得

6二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使7對(duì)函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且證:由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)即定理結(jié)論成立.8推論:1若函數(shù)在區(qū)間I

上滿足則在

I上必為常數(shù).證:

在

I

上任取兩點(diǎn)格朗日中值定理,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).10例.

證明等式證:

設(shè)由推論可知(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:12原式就是要證明：即14三個(gè)中值定理之間的關(guān)系柯西中值定理：拉格朗日中值定理羅爾中值定理?xiàng)l件：Ｆ（x）＝x，條件：當(dāng)端點(diǎn)處的函數(shù)值相等15第二節(jié)洛必達(dá)法則161、存在(或?yàn)?定理1.型不定式(洛必達(dá)法則)求不定式極限17存在(或?yàn)?型不定式(洛必達(dá)法則)比如：注意：將定理1中的自變量變化方式換成：只要將結(jié)論做相應(yīng)的修改,結(jié)論仍成立。18推論若理1條件,

則洛必達(dá)法則的連續(xù)使用20例.求解:原式

21例.求解:原式注意:

不是不定式不能用洛必達(dá)法則!23例.求解:原式n

為正整數(shù).24其他不定式極限的求法:取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化通分轉(zhuǎn)化26解:原式例.求27例.

求解:

28例.求洛比達(dá)法則與求極限其他方法的結(jié)合運(yùn)用注意：使用洛比達(dá)法則時(shí)，如果分子分母求導(dǎo)比較復(fù)雜，可考慮先用等價(jià)無(wú)窮小替換后，再用洛比達(dá)法則。30課后作業(yè)P134：7、10p138習(xí)題3-2:1、4第三節(jié)泰勒(Taylor)公式

第三章一、泰勒中值定理1（帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式）階導(dǎo)數(shù),時(shí),有則當(dāng)其中：稱為泰勒多項(xiàng)式：稱為拉格朗日型余項(xiàng)。泰勒公式的作用：將任一符合一定條件的函數(shù)用多項(xiàng)式函數(shù)表示出來(lái)。余項(xiàng)的性質(zhì)：…f(x)的n次泰勒多項(xiàng)式與f(x)的關(guān)系：特例:(1)當(dāng)n=0

時(shí),泰勒公式變?yōu)?2)當(dāng)n=1

時(shí),泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理證明：稱為麥克勞林（Maclaurin）公式.則有在泰勒公式中若取由此得近似公式二、中值定理2（帶有皮亞諾(Peano)余項(xiàng)的泰勒公式.

階導(dǎo)數(shù),且時(shí),有則當(dāng)連續(xù)三、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式其中其中類似可得其中其中已知其中類似可得42246420246泰勒多項(xiàng)式逼近42246420246泰勒多項(xiàng)式逼近泰勒公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用：求極限。求則（1）如果在f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)，定理1.

第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性的判定法在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)那么函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)增加；（2）如果在f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)，那么函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)減少。證:任取由拉格朗日中值定理得故這說(shuō)明單調(diào)遞增.注意：定理只是充分條件，不是必要條件。比如y=x3單調(diào)的另一判斷如果函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，在相應(yīng)開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且但僅在有限個(gè)點(diǎn)處，有則：函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減）。例.

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為問(wèn)題：若函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)，能得出什么結(jié)論？二、曲線的凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線1、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸的定理1.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則在I

內(nèi)是凹的;(2)在

I內(nèi)則

在

I

內(nèi)是凸的.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)凹凸性的判定例.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是凹的個(gè)別點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值等于0不影響凹凸性。也是凹的。連續(xù)曲線上的凹凸性分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)

.拐點(diǎn)x0問(wèn)題：哪些點(diǎn)可能是拐點(diǎn)呢？

可能成為拐點(diǎn)的點(diǎn)：二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。例.求曲線的拐點(diǎn).

解:不存在因此點(diǎn)(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).凹凸例.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求可能成為拐點(diǎn)的坐標(biāo)令得對(duì)應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上凹,凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸例.

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).2)求可能成為拐點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)令得3)列表判別故該曲線在及上凹,凸,點(diǎn)(0,0)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸解:1）x=0時(shí)，函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)不存在。第五節(jié)、函數(shù)的極值與

最大值最小值第三章函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)（駐點(diǎn)）函數(shù)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)稱為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)或駐點(diǎn)。1、函數(shù)的極值及其求法極值的定義:為極大點(diǎn),是極大值是極小值為極小點(diǎn),2、極值的判定定理1（極值的必要條件）：若函數(shù)f(x)在x0可導(dǎo)，并且在x0處取得極值，則證明由費(fèi)馬引理直接得。結(jié)論：可導(dǎo)的極值點(diǎn)是穩(wěn)定點(diǎn)（駐點(diǎn)）定理2

(極值第一充分條件)單調(diào)函數(shù)必?zé)o極值。函數(shù)可能的極值點(diǎn)：穩(wěn)定點(diǎn)、不可導(dǎo)的點(diǎn)。極值點(diǎn)可能會(huì)是那些點(diǎn)？例.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)令得函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)為3)列表判別是極大值點(diǎn)，極大值為是極小值點(diǎn)，極小值為函數(shù)的不可導(dǎo)的點(diǎn)為x=0定理3(極值第二充分條件)證:(1)存在由極值判斷的第一充分條件知(2)類似可證.例.求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別在駐點(diǎn)處，函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)。因故為極小值;用極值的第二充分條件判別失靈.求函數(shù)求函數(shù)y=2x3-9x2的單調(diào)區(qū)間。的極值課堂練習(xí)3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值與最小值則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.那些點(diǎn)可能是最值點(diǎn)？最值點(diǎn)與最值求函數(shù)最值的方法:(2)

最大值最小值(1)求在內(nèi)的極值點(diǎn)例.求函數(shù)在[-1,2]上的最大值和最小值.第三章復(fù)習(xí)與習(xí)題羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理(條件與結(jié)論)理解泰勒定理及多項(xiàng)式逼近函數(shù)的思想。理解:理解函數(shù)極值的概念.掌握與會(huì)求:掌握洛必達(dá)法則求極限的方法(各種類型的不定式極限);掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求極值的方法。會(huì)求解最大值最小值應(yīng)用問(wèn)題。會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)與漸近線。

1、討論函數(shù)在區(qū)間是否存在穩(wěn)定點(diǎn)。2、驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù)在區(qū)間上的正確性。3、按的冪展開(kāi)多項(xiàng)式4、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)和漸近線。5、若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)在x=a處連續(xù)，又問(wèn)：函數(shù)在x=a處是否有二階導(dǎo)數(shù)？在x=a處是否取是極值，是否是函數(shù)的拐點(diǎn)？6、若函數(shù)f(x)在[-a,a]上有連續(xù)三階導(dǎo)數(shù)，且問(wèn)：0是不是極值點(diǎn)，（0，f(0))是不是函數(shù)的拐點(diǎn)？7、證明8、求極限：課后作業(yè)P152習(xí)題3-4：3[1，4]、5[1、3]、9[1，3]P162習(xí)題3-5：1[1，4]、4[1、3]補(bǔ)：求函數(shù)的漸近線。2、曲線的漸近線第三章定義.若曲線C上的點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中與某一直線L的距離趨于0,則稱直線L為曲線C的漸近線.曲線的漸近線例如,雙曲線有漸近線（1）.水平與垂直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線垂直漸近線只能在無(wú)窮間斷點(diǎn)處取。例.

求曲線的水平與垂直漸近線.解:為水平漸近線;為垂直漸近線.（2）.斜漸近線例.

求曲線的漸近線.解:所以有垂直漸近線及又因?yàn)榍€的斜漸近線.92第五節(jié)、函數(shù)的極值與

最大值最小值

第三章93函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)（駐點(diǎn)）函數(shù)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)稱為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)或駐點(diǎn)。941、函數(shù)的極值及其求法極值的定義:95為極大值點(diǎn),

是極大值

是極小值

為極小值點(diǎn),

962、極值的判定定理1（極值的必要條件）：若函數(shù)f(x)在x0可導(dǎo)，并且在x0處取得極值，則證明由費(fèi)馬引理直接得。結(jié)論：可導(dǎo)的極值點(diǎn)是穩(wěn)定點(diǎn)（駐點(diǎn)）97定理2

(極值第一充分條件)98結(jié)論1：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)必?zé)o極值。結(jié)論2：若函數(shù)在（a,b）連續(xù)，且取得最值，則最值必為極值。99函數(shù)可能的極值點(diǎn)：穩(wěn)定點(diǎn)、不可導(dǎo)的點(diǎn)。極值點(diǎn)可能會(huì)是那些點(diǎn)？100例.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)令得函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)為3)列表判別是極大值點(diǎn)，極大值為是極小值點(diǎn)，極小值為函數(shù)的不可導(dǎo)的點(diǎn)為x=0101定理3(極值第二充分條件)102證:(1)存在由極值判斷的第一充分條件知(2)類似可證.103例.求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別在駐點(diǎn)處，函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)。因故為極小值;用極值的第二充分條件判別失靈.1043、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值與最小值則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.那些點(diǎn)可能是最值點(diǎn)？最值點(diǎn)與最值105求函數(shù)最值的方法:(2)

最大值最小值(1)求在內(nèi)的極值點(diǎn)106例.求函數(shù)在[-1,2]上的最大值和最小值.關(guān)于曲線的漸近線

第三章

定義.若曲線C上的點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中與某一直線L的距離趨于0,則稱直線L為曲線C的漸近線.曲線的漸近線例如,雙曲線有漸近線（1）.水平與垂直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線垂直漸近線只能在無(wú)窮間斷點(diǎn)處取。例.

求曲線的水平與垂直漸近線.解:為水平漸近線;為垂直漸近線.（2）.斜漸近線例.

求曲線的漸近線.解:所以有垂直漸