(新高考)高考數(shù)學(xué)三輪沖刺小題必練6《立體幾何與空間向量》(解析版)

2017年高考“2017年高考“最后三十天”專題透析好教育云平臺——教育因你我而變好教育云平臺——教育因你我而變（新（新高考）小題必練6：立體幾何與空間向量立體幾何研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系．本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生以長方體為載體，認識和理解空間點、直線、平面的位置關(guān)系；用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對某些結(jié)論進行論證；了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法；運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認識和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念．學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，利用類比的方法理解空間向量的概念、運算、基本定理和應(yīng)用，體會平面向量和空間向量的共性和差異，運用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，體會向量方法和綜合幾何方法的共性和差異，運用向量方法解決筒單的數(shù)學(xué)問題和實際問題，感悟向量是研究幾何問題的有效工具．內(nèi)容包括：基本立體圖形、基本圖形位置關(guān)系、空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運算、向量基本定理及坐標(biāo)表示、空間向量的應(yīng)用．1．基本立體圖形①利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．②知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題．③能用斜二測法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合）的直觀圖．2．基本圖形位置關(guān)系①借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義，了解以下基本事實（基本事實1~4也稱公理）和定理．基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面．基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行．定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．②從上述定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關(guān)系，歸納出以下判定定理，并加以證明．◆一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行．◆兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．◆垂直于同一個平面的兩條直線平行．◆兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直．③從上述定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關(guān)系，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明．◆如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行．◆如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行．◆如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．◆如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直．3．空間直角坐標(biāo)系①在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，了解空間直角坐標(biāo)系，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點的位置．②借助特殊長方體（所有棱分別與坐標(biāo)軸平行)頂點的坐標(biāo)．探索并得出空間兩點間的距離公式．4．空間向量及其運算①經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念．②經(jīng)歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程．5．向量基本定理及坐標(biāo)表示①了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．②掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示．③掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示．④了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義（參見案例9）．6．空間向量的應(yīng)用①能用向量語言指述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量．②能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關(guān)系．③能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理．④能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．1．【2020·全國高考真題（理）】已知SKIPIF1<0是面積為SKIPIF1<0的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上．若球O的表面積為SKIPIF1<0，則O到平面SKIPIF1<0的距離為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0外接圓半徑為SKIPIF1<0，邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是面積為SKIPIF1<0的等邊三角形，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，故選C．【點睛】本題考查球的相關(guān)問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面．2．【2020全國Ⅱ卷】下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，根據(jù)立體圖形可得SKIPIF1<0，根據(jù)勾股定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，根據(jù)三角形面積公式可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0該幾何體的表面積是SKIPIF1<0，故選C．【點睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．一、單選題．1．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩平面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩直線．下列說法正確的是（）①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0③若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0④若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【解析】由平行公理知①對；垂直于同一平面的兩條直線平行，故②對；垂直于同一直線的兩個平面平行，故③對；由面面垂直性質(zhì)定理知④對，故選D．2．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中，最大的是（）A．4 B．8 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根據(jù)幾何體的三視圖還原得到該幾何體的直觀圖為：該幾何體為三棱錐體．如圖所示：由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下底面SKIPIF1<0為等腰直角三角形．可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以該四面體四個面的面積中，最大的是SKIPIF1<0，故選C．3．已知球面上SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點，如果SKIPIF1<0，且球的體積為SKIPIF1<0，則球心到平面SKIPIF1<0的距離為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)球的半徑SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0外接圓的半徑SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選D．4．如圖，正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，以下結(jié)論錯誤的是（）A．面對角線中與直線SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0的有8條B．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直C．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行D．三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．對于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由于兩異面直線的夾角范圍是SKIPIF1<0，∴異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，同理：正方體的六個面中除了平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面對角線外，其他的面對角線都與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則共有8條，故A正確；對于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，故B正確；對于C，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，不平行，故C錯誤；對于D，三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，故D正確，綜上可知，只有C不正確，故選C．5．直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以三角形SKIPIF1<0是等邊三角形，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，以點SKIPIF1<0為原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，故選C．6．三棱錐SKIPIF1<0的三條側(cè)棱互相垂直，且SKIPIF1<0，則其外接球上的點到平面SKIPIF1<0的距離的最大值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】空間四個點SKIPIF1<0在同一球面上，SKIPIF1<0兩兩垂直，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可看作是正方體的一個頂點發(fā)出的三條棱，所以過空間四個點SKIPIF1<0的球面即為的正方體的外接球，球的直徑即是正方體的對角線，長為SKIPIF1<0，球心O到平面SKIPIF1<0的距離為體對角線的SKIPIF1<0，即球心O到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．其外接球上的點到平面SKIPIF1<0的距離的最大值為SKIPIF1<0，故選B．7．用斜二測畫法畫水平放置的SKIPIF1<0的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形SKIPIF1<0．已知點SKIPIF1<0是斜邊SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0邊上的高為（）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】∵直觀圖是等腰直角三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，根據(jù)直觀圖中平行于SKIPIF1<0軸的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，∴SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0上的高SKIPIF1<0，故選D．8．如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，底面為直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上一動點，則SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】連SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0將SKIPIF1<0展開與SKIPIF1<0在同一個平面內(nèi)，連接SKIPIF1<0，長度即是所求．∵直三棱柱SKIPIF1<0中，底面為直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴矩形SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正方形；則SKIPIF1<0，另外SKIPIF1<0；在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；易發(fā)現(xiàn)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故答案為B．二、多選題．9．如圖，正方體SKIPIF1<0的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則（）A．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直B．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行C．點C與點G到平面SKIPIF1<0的距離相等D．平面SKIPIF1<0截正方體所得的截面面積為SKIPIF1<0【答案】BD【解析】對于A，取SKIPIF1<0中點M，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的射影，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，故A錯；對于B，取SKIPIF1<0中點N，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可證SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故B正確；對于C，假設(shè)C與G到平面SKIPIF1<0的距離相等，即平面SKIPIF1<0將SKIPIF1<0平分，則平面SKIPIF1<0必過SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于H，而H不是SKIPIF1<0中點，則假設(shè)不成立，故C錯；對于D，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，把截面SKIPIF1<0補形為四邊形SKIPIF1<0，由等腰梯形計算其面積SKIPIF1<0，故D正確，故選BD．10．已知SKIPIF1<0是兩個不重合的平面，SKIPIF1<0是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角和SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角相等【答案】BCD【解析】選項A：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，并不能得到SKIPIF1<0這一結(jié)論，故選項A錯誤；選項B：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則由線面垂直的性質(zhì)定理和線面平行的性質(zhì)定理可得SKIPIF1<0，故選項B正確；選項C：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有面面平行的性質(zhì)定理可知SKIPIF1<0，故選項C正確；選項D：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則由線面角的定義和等角定理知，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角和SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角相等，故選項D正確，故選BCD．11．如圖所示，在長方體SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，則下列結(jié)論中成立的是（）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直 B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，對于A選項，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A選項正確；對于B選項，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為正方形，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，B選項正確；對于C選項，易知SKIPIF1<0為等邊三角形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，C選項錯誤；對于D選項，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，D選項正確，故選ABD．12．如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是等邊三角形，側(cè)棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0C．異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】AC【解析】A：因為側(cè)棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，A正確；以SKIPIF1<0為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，B不正確，C正確；又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0不成立，D不正確，故選AC．三、填空題．13．在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若E，F(xiàn)是SKIPIF1<0的三等分點，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖所示：以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，平面SKIPIF1<0內(nèi)垂直于SKIPIF1<0的直線為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，故答案為SKIPIF1<0．14．如圖所示，已知平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0長度為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為SKIPIF1<0．15．在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1