(新高考)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心考點重難點練習(xí)01《七種零點問題》(解析版)

重難點01七種零點問題（核心考點講與練）方法技巧方法技巧1.轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)零點問題中的應(yīng)用方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題.2.判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法(1)通過解方程來判斷.(2)根據(jù)零點存在性定理，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)來判斷.(3)將函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)圖象公共點的個數(shù)來判斷.3.正弦型函數(shù)的零點個數(shù)問題，可先求出零點的一般形式，再根據(jù)零點的分布得到關(guān)于整數(shù)的不等式組，從而可求相應(yīng)的參數(shù)的取值范圍.4.涉及含參的函數(shù)零點問題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結(jié)合零點存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.5.函數(shù)零點的求解與判斷方法：（1）直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．（3）利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．6.對于復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)問題，求解思路如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（2）確定外層函數(shù)的零點；（3）確定直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點個數(shù)分別為、、、、，則函數(shù)的零點個數(shù)為.能力拓展能力拓展題型一：零點存在定理法判斷函數(shù)零點所在區(qū)間一、單選題1．（2022·河南河南·三模（理））若實數(shù)，，滿足，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)、函數(shù)零點存在性定理等知識求得正確答案.【詳解】，，對于函數(shù)，在上遞增，，所以存在唯一零點，，使，所以對于，有，所以.故選：A2．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)零點存在定理，先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再計算函數(shù)在端點處的函數(shù)值，即可得到答案.【詳解】,由對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在時為單調(diào)增函數(shù)，，，，，因為在內(nèi)是遞增，故，函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，由零點判斷定理知，的零點在區(qū)間內(nèi)，故選：B．3．（2022·北京密云·高三期末）心理學(xué)家有時使用函數(shù)來測定在時間內(nèi)能夠記憶的量，其中A表示需要記憶的量，表示記憶率．假設(shè)一個學(xué)生有200個單詞要記憶，心理學(xué)家測定在5min內(nèi)該學(xué)生記憶20個單詞．則記憶率所在區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)題意解方程，解出，在和端點值比較大小，由函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)連續(xù)得到結(jié)果.【詳解】將代入，解得：，其中單調(diào)遞減，而，，而在上單調(diào)遞減，所以，結(jié)合單調(diào)性可知，即，而，其中為連續(xù)函數(shù)，故記憶率所在區(qū)間為.故選：A4．（2022·河南焦作·一模（理））設(shè)函數(shù)的零點為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)零點存在性定理進行求解.【詳解】易知在R上單調(diào)遞增且連續(xù)．由于，，，當(dāng)時，，所以．故選：B5．（2021·江蘇·泰州中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，函數(shù)的零點為，的極小值點為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出的值，利用零點存在定理得出，然后比較、、的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】因為的定義域為，，則函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，，則，則，因為，由零點存在定理可知，由可得，.當(dāng)或時，；當(dāng)時，.所以，.因為，所以，，故.故選：A.6．（2022·安徽·安慶一中高三期末（理））函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)函數(shù)零點存在定理去判斷的零點所在的區(qū)間即可.【詳解】為上的遞增函數(shù)，，，，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間為故選：B二、多選題7．（2022·湖北·荊州中學(xué)高三開學(xué)考試）函數(shù)在區(qū)間的最小值為，且在區(qū)間唯一的極大值點．則下列說法正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由題可得，由可知，，進而可求，然后再證明即得；再利用數(shù)形結(jié)合可得在上存在唯一的零點，利用零點存在定理及三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】∵，∴，又函數(shù)在區(qū)間的最小值為，∴函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，又，∴時，函數(shù)在區(qū)間上取得最小值，可得原條件的一個必要條件，∴，即，下面證明充分性：當(dāng)時，，，令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，∴函數(shù)在上存在唯一的零點，且在上，在上，∴函數(shù)在區(qū)間的最小值為，綜上，故A正確；∵，令，得，由函數(shù)圖象可知在區(qū)間上只有一個交點，即存在唯一，使得，又，故，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在區(qū)間上，唯一的極大值點，，∵，，∴.故CD正確.故選：ACD.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為R，如果存在常數(shù)，對于任意，都有，則稱函數(shù)是“類周期函數(shù)”，T為函數(shù)的“類周期”．現(xiàn)有下面四個命題，正確的是（

）A．函數(shù)是“類周期函數(shù)”B．函數(shù)是“類周期函數(shù)”C．如果函數(shù)是“類周期函數(shù)”，那么“，”D．如果“類周期函數(shù)”的“類周期”為，那么它是周期為2的周期函數(shù)【答案】ACD【分析】根據(jù)類周期函數(shù)的定義，分別進行判斷即可．【詳解】解：對于A，若函數(shù)是“類周期函數(shù)”，則存在非零常數(shù)，使，即，即，即，令，因為，且函數(shù)在上連續(xù)，所以函數(shù)在上存在零點，即方程在上有解，即存在常數(shù)，對于任意，都有，所以函數(shù)是“類周期函數(shù)”，故A正確；對于B，若函數(shù)是“類周期函數(shù)”，則存在非零常數(shù)，使，即，則，即對任意的恒成立，則，矛盾，所以不存在常數(shù)，對于任意，都有，所以函數(shù)不是“類周期函數(shù)”，故B錯誤.對于C，若函數(shù)是“類周期函數(shù)”，則存在非零常數(shù)，使，即；故或，當(dāng)時，，由誘導(dǎo)公式得，；當(dāng)時，，由誘導(dǎo)公式得，；故“，”，故C正確；對于D，如果“類周期函數(shù)”的“類周期”為，則，即；故它是周期為2的周期函數(shù)；故D正確.故選：ACD.9．（2021·江西·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．不等式的解集為B．不等式的解集可能為空集C．D．【答案】AD【分析】構(gòu)造二次函數(shù)，分析函數(shù)的圖象特征即可判斷作答.【詳解】令，，因，則函數(shù)的圖象對稱軸，且在上遞減，在上遞增，又，，，于是得函數(shù)有兩個零點，且滿足，不等式的解集為，所以A正確，B不正確，C不正確，D正確.故選：AD三、填空題10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列命題中，正確的是___________．(寫出所有正確命題的編號)①在中，是的充要條件；②函數(shù)的最大值是；③若命題“，使得”是假命題，則；④若函數(shù)，，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點．【答案】①③④【分析】①利用大邊對大角和正弦定理可證；②變形后利用基本不等式進行求解最大值；③先把命題否定，得到對，恒成立，分與兩種情況求出的取值范圍；④先根據(jù)得到，得到，接下來分與，利用零點存在性定理得到答案.【詳解】在中，因為，所以，由正弦定理得：，所以，同理可證，當(dāng)時，，故在中，是的充要條件，①正確；因為，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以函數(shù)的最大值是，②錯誤；命題“，使得”是假命題，則對，恒成立，當(dāng)時，不恒成立，當(dāng)時，只需，解得：，綜上：若命題“，使得”是假命題，則；③正確；，所以，因為，，當(dāng)時，，因為，所以，故，由零點存在性定理得：在區(qū)間上，至少存在一個零點，當(dāng)，，，由零點存在性定理得：在區(qū)間上至少存在一個零點，綜上：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點，④正確.故答案為：①③④11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且，為的導(dǎo)函數(shù)，下列命題：①存在實數(shù)，使得導(dǎo)函數(shù)為增函數(shù)；②當(dāng)時，函數(shù)不單調(diào)；③當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；④當(dāng)時，函數(shù)有極值．在以上命題中，正確的命題序號是______．【答案】①②③④【分析】求，令可判斷①；根據(jù)零點存性定理可判斷使得，可判斷②；令，求，由的符號判斷的單調(diào)性，可求得恒成立即恒成立可判斷③；求的單調(diào)性，根據(jù)零點存在性定理可知，使得可判斷④，進而可得正確答案.【詳解】由可得，對于①，若時，為增函數(shù)，故①對；對于②，若時，，，，使得，所以函數(shù)不單調(diào)，故②對；對于③，令，則，當(dāng)時，由得，由得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，要使，則令，則，所以，令，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而，所以恒成立，從而，即恒成立，即在上單調(diào)減．故③正確；對于④，當(dāng)時，，，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因為，，，使得，所以函數(shù)有極值，故④對．綜上所述：①②③④都正確，故答案為：①②③④.12．（2021·福建·三明一中高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的零點，則__________．【答案】-3或2【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，借助導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性，再用零點存在性定理分析計算即得.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得：，由得，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是得在上遞減，在上遞增，顯然，，則函數(shù)在區(qū)間上存在一個零點，又，即函數(shù)在區(qū)間上存在一個零點，因函數(shù)的零點，則或，所以或.故答案為：-3或213．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，均為正實數(shù)，且滿足，，則下面四個判斷：①；②；③；④.其中一定成立的有__（填序號即可）.【答案】②③④【分析】令，利用零點存在性定理可得，，從而可得，然后利用不等式的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性逐個分析判斷【詳解】令，則在上單調(diào)遞減，因為（1），，，所以.，，，，，①：可能小于等于0，①錯誤，②：，，②正確，③：，，，③正確，④：，，，，.④正確，故答案為：②③④.14．（2020·湖南邵陽·三模（理））在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓樸學(xué)里一個非常重要的不動點定理，它可應(yīng)用到有限維空間并構(gòu)成了一般不動點定理的基石，簡單來講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，給出下列函數(shù)：①；②③；④（）；⑤；其中為“不動點”函數(shù)的是_________.（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號）【答案】①②③④【分析】對于選項①②⑤，直接代入求解即可判斷；對于選項③④，先根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用零點存在性定理判斷即可.【詳解】①，得或滿足條件，故①滿足題意；②，當(dāng)時，或；當(dāng)時，或，即；滿足條件，故②滿足題意；③，令，易知為上的增函數(shù)，又，由零點存在性定理得在區(qū)間存在唯一的零點.故③滿足題意；④（），，令，又，則，易知為上的增函數(shù)，又，由零點存在性定理得在區(qū)間存在唯一的零點.故④滿足題意；⑤無實數(shù)解，故⑤滿足題意；故答案為：①②③④.【點睛】本題主要考查了對布勞威爾不動點定理的理解，考查了零點存在性定理；考查學(xué)生的邏輯推理能力，運算求解能力.屬于中檔題.15．（2020·全國·高三專題練習(xí)（理））函數(shù)f(x)＝1＋x－＋，g(x)＝1－x＋－，若函數(shù)F(x)＝f(x＋3)g(x－4)，且函數(shù)F(x)的零點均在[a，b](a<b，a，b∈Z)內(nèi)，則b－a的最小值為________.【答案】10【分析】分別求出f(x)、g(x)零點所在區(qū)間，即可得到f(x＋3)、g(x－4)的零點所在區(qū)間，結(jié)合題意，即可得到b－a的最小值.【詳解】∵f(x)＝1＋x－＋，∴，∵恒成立，∴f(x)＝1＋x－＋在R上是單調(diào)遞增函數(shù).∵f(0)＝1>0，f(－1)＝，∴f(x)在區(qū)間[－1，0]上存在唯一零點，∴f(x＋3)在區(qū)間[－4，－3]上存在唯一零點；又∵g(x)＝1－x＋－，∴，∵恒成立，∴g(x)＝1－x＋－在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，∵g(2)＝，g(1)＝，∴g(x)在區(qū)間[1，2]上存在唯一零點，∴g(x－4)在區(qū)間[5，6]上存在唯一零點，由F(x)＝f(x＋3)g(x－4)＝0，得f(x＋3)＝0或g(x－4)＝0，故函數(shù)F(x)的零點均在[－4，6]內(nèi)，則b－a的最小值為10.故答案為：10.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點與方程，考查分析理解，求值計算的能力，屬中檔題.四、解答題16．（2022·陜西西安·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)，）.(1)若，求證：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點；(2)若在其定義域上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）把代入，求出并探討其單調(diào)性，再結(jié)合零點存在性定理判斷作答.（2）利用給定單調(diào)性建立不等式，再分類分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，討論求解作答.(1)當(dāng)時，，求導(dǎo)得：，令，則，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，，由函數(shù)零點存在性定理知，存在唯一，有，所以在區(qū)間內(nèi)有唯一零點.(2)函數(shù)的定義域是R，依題意，，成立，當(dāng)時，成立，，當(dāng)時，，令，，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，恒成立，于是得，當(dāng)時，，令，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，于是得，綜上得：，所以a的取值范圍是.【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)不等式恒成立問題，可以探討函數(shù)的最值，借助函數(shù)最值轉(zhuǎn)化解決問題.17．（2022·貴州遵義·高三開學(xué)考試（理））已知函數(shù).(1)討論的導(dǎo)函數(shù)零點的個數(shù)；(2)若的最小值為e，求a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）對求導(dǎo)有，再研究的單調(diào)性，結(jié)合及零點存在性定理，討論a的范圍判斷零點的個數(shù).（2）討論、、、，結(jié)合的符號研究的單調(diào)性并結(jié)合求參數(shù)a的范圍.(1)，令，則，故在上單調(diào)遞增，而，當(dāng)時，無解；當(dāng)時，由，，故有一個在上的解；當(dāng)時，由，故的解為1；當(dāng)時，由，，故有一個在上的解；綜上，當(dāng)或時，導(dǎo)函數(shù)只有一個零點.當(dāng)或時，導(dǎo)函數(shù)有兩個零點.(2)當(dāng)時，，則函數(shù)在處取得最小值.當(dāng)時，由（1）知：在上單調(diào)遞增，則必存在正數(shù)使得.若則，在上，則，在上，則，在上，則，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，不合題意.若則，在上，則在上單調(diào)遞增，又，不合題意.若則，在上，則，在上，則，在上，則，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，解得，即.綜上，.題型二：方程法判斷零點個數(shù)一、單選題1．（2022·福建福州·三模）已知函數(shù)，以下結(jié)論中錯誤的是（

）A．是偶函數(shù) B．有無數(shù)個零點C．的最小值為 D．的最大值為【答案】C【分析】由奇偶性定義可判斷出A正確；令可確定B正確；根據(jù)定義域為，，可知若最小值為，則是的一個極小值點，根據(jù)可知C錯誤；由時，取得最大值，取得最小值可確定D正確.【詳解】對于A，定義域為，，為偶函數(shù)，A正確；對于B，令，即，，解得：，有無數(shù)個零點，B正確；對于C，，若的最小值為，則是的一個極小值點，則；，，不是的極小值點，C錯誤；對于D，，；則當(dāng)，，即時，取得最大值，D正確.故選：C.2．（2022·北京·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且，則的零點個數(shù)為（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】解三角方程求得的零點即可解決【詳解】由可得或，又，則，或，或則的零點個數(shù)為3故選：C3．（2022·安徽·蕪湖一中一模（理））聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，我們聽到的聲音中包含著正弦函數(shù)．若某聲音對應(yīng)的函數(shù)可近似為，則下列敘述正確的是（

）A．為的對稱軸 B．為的對稱中心C．在區(qū)間上有3個零點 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【分析】利用知關(guān)于直線對稱的性質(zhì)驗證A；求得可判斷B；化簡，令，得，進而判斷C；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對于A，由已知得，即，故不關(guān)于對稱，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，利用二倍角公式知，令得或，即，所以該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個零點，故C錯誤；對于D，求導(dǎo)，令，由，知，即，利用二次函數(shù)性質(zhì)知，即，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；故選：D.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x+2,x<1,x+2xA．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】當(dāng)時和時，分別化簡函數(shù)的解析式可直接判斷零點的個數(shù).【詳解】當(dāng)時，，所以不存在零點；當(dāng)時，，也不存在零點，所以函數(shù)的零點個數(shù)為0.故選：A.二、多選題5．（2022·海南?？凇つM預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．的定義域為R B．是奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞減 D．有兩個零點【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對：的定義域為，錯誤；對：，且定義域關(guān)于原點對稱，故是奇函數(shù)，正確；對：當(dāng)時，，單調(diào)遞減，正確；對：因為，，所以無解，即沒有零點，錯誤．故選：.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）.A．是周期函數(shù)B．若，則（）C．在區(qū)間上是增函數(shù)D．函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點【答案】AB【分析】寫出的分段函數(shù)形式，A應(yīng)用正余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷的周期性，B由已知可得，則，（），即可判斷正誤；根據(jù)解析式，應(yīng)用特殊值法判斷C、D的正誤.【詳解】將函數(shù)化作分段函數(shù)，即，A，，是周期為的函數(shù)，對；B，由得，則，此時，（），可得，對；C，由解析式得，在上不單調(diào)，錯；D，由解析式知，即在上至少有兩個零點，錯.故選：AB.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若和都是定義在上的函數(shù)，且方程有實數(shù)解，則下列式子中可以為的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由方程有實數(shù)解可得，再用替代，即有解，逐個判斷選項即可得出答案.【詳解】由方程有實數(shù)解可得，再用替代，即有解.對于A，，即，方程有解，故A正確；對于B，，即，方程無解，故B錯誤；對于C，當(dāng)令，因為，，由零點的存在性定理可知，在上存在零點，所以方程有解，故選項C正確；對于D，當(dāng)時，為方程的解，所以方程有解，故選項D正確.故選：ACD.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論，則（

）A．是偶函數(shù) B．的最小值為C．在上有4個零點 D．在區(qū)間單調(diào)遞增【答案】ABC【分析】對A：根據(jù)偶函數(shù)的定義即可作出判斷；對B：由有界性，，且時即可作出判斷；對C：當(dāng)時，，可得函數(shù)有兩個零點，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性即可作出判斷；對D：當(dāng)時，，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可作出判斷.【詳解】解：對A：因為，所以是偶函數(shù)，故選項A正確；對B：因為，，所以，而時，所以的最小值為，故選項B正確；對C：當(dāng)時，，令，可得，，又由A知函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上也有兩個零點，，所以函數(shù)在區(qū)間上有4個零點，故選項C正確；對D：當(dāng)時，，因為，所以，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故選項D錯誤.故選：ABC.三、填空題9．（2022·福建·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間(，)上恰有2個零點，則的取值范圍是____________.【答案】或.【分析】先求出零點的一般形式，再根據(jù)在區(qū)間(，)上恰有2個零點可得關(guān)于整數(shù)的不等式組，從而可求的取值范圍.【詳解】令，則，故，故，因為在區(qū)間(，)上恰有2個零點，所以存在整數(shù)，使得：，若為偶數(shù)，則，整理得到：①，因為，故，當(dāng)時，，故①無解，當(dāng)時，有即.若為奇數(shù)，則，整理得到：②，因為，故，當(dāng)時，，故②無解，當(dāng)時，有，無解.當(dāng)時，有，故.綜上，或.故答案為：或.【點睛】思路點睛：對于正弦型函數(shù)的零點個數(shù)問題，可先求出零點的一般形式，再根據(jù)零點的分布得到關(guān)于整數(shù)的不等式組，從而可求相應(yīng)的參數(shù)的取值范圍.10．（2022·河南·襄城縣教育體育局教學(xué)研究室二模（文））已知函數(shù)有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍為______．【答案】[0,1)【分析】根據(jù)m的范圍分類討論f(x)的零點即可.【詳解】①m＝0時，fx=x2+3x,x≤0,x-1,x>0，令f(x)＝0，則x＝0或x＝－3或②m≠0時，令f(x)＝0，則x＞0時，，則(*)，x≤0時，(**)，顯然x≤0時的方程(**)最多有兩個負根，而x＞0時的方程(*)最多只有一正根，為了滿足題意，則x＞0時必有1根，則1－m＞0，且根為x＝，∴m＜1；x≤0時方程必然有兩個負根，則，∴0＜m＜1；綜上所述，m∈.故答案為：.四、解答題11．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，證明在上有且僅有兩個零點.【分析】（1）求得，分、、三種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）由可得出，由結(jié)合判別式可判斷出方程的根的個數(shù)，由此可證得結(jié)論成立.(1)解：函數(shù)的定義域為，.當(dāng)時，則，由可得，由可得，此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，由可得或.①當(dāng)時，，由可得或，由可得，此時函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、，單調(diào)遞增區(qū)間為；②當(dāng)時，，由可得，由可得或，此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)解：由可得，因為，則，即關(guān)于的方程有兩個不等的實根，所以，當(dāng)時，在上有且僅有兩個零點.【點睛】思路點睛：討論含參函數(shù)的單調(diào)性，通常注意以下幾個方面：（1）求導(dǎo)后看最高次項系數(shù)是否為，須需分類討論；（2）若最高次項系數(shù)不為，通常是二次函數(shù)，若二次函數(shù)開口方向確定時，再根據(jù)判別式討論無根或兩根相等的情況；（3）再根據(jù)判別式討論兩根不等時，注意兩根大小比較，或與定義域比較.12．（2022·四川省高縣中學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知函數(shù).(1)當(dāng)時，判定的零點的個數(shù)；(2)是否存在實數(shù)，使得當(dāng)時，恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)個(2)存在，且的取值范圍是.【分析】（1）解方程，即可得解；（2）由，分析可知當(dāng)且時，由可得，分、、三種情況分析，結(jié)合一次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，綜合可求得實數(shù)的取值范圍.(1)解：當(dāng)時，，令，可得或，此時函數(shù)有個零點.(2)解：當(dāng)時，由.當(dāng)時，對任意的，，滿足題意；當(dāng)且時，由可得，若，則有，合乎題意；若，當(dāng)時，，則對任意的不可能恒成立，舍去；若，則有，解得，此時.綜上所述，當(dāng)時，當(dāng)時，恒成立.題型三：數(shù)形結(jié)合法判段函數(shù)零點個數(shù)一、單選題1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的描述中，其中正確的是（

）．①當(dāng)時，函數(shù)沒有零點；②當(dāng)時，函數(shù)有兩不同零點，它們互為倒數(shù)；③當(dāng)時，函數(shù)有兩個不同零點；④當(dāng)時，函數(shù)有四個不同零點，且這四個零點之積為1．A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】畫出函數(shù)圖象即可判斷①，令解方程即可判斷③，將零點問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象交點的問題，利用數(shù)形結(jié)合即可判斷②和④.【詳解】當(dāng)時，，函數(shù)圖象如下圖所示，由此可知該函數(shù)只有一個零點，故①不正確；當(dāng)時，則函數(shù)的零點為和，∵函數(shù)有兩個不同零點，∴由函數(shù)的圖象可知，解得，當(dāng)時，則函數(shù)的零點為和，此情況不存在有兩不同零點，則函數(shù)有兩不同零點時的取值范圍是，設(shè)對應(yīng)的兩個零點為，，即或，解得，，則，所以它們互為倒數(shù)，故②正確；當(dāng)時，函數(shù)解析式為，令，解得，令，解得或，由此可知函數(shù)有三個零點，故③不正確；當(dāng)時，則函數(shù)的零點為和，∵函數(shù)有四個不同零點，∴由函數(shù)的圖象可知，解得，當(dāng)時，則函數(shù)的零點為和，此情況不存在有兩不同零點；設(shè)對應(yīng)的兩個零點為，，，，即或，解得，，當(dāng)時，整理得，當(dāng)時，，則該方程存在兩個不等的實數(shù)根和，由韋達定理得，所以，則故④正確；故選：.2．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，則關(guān)于的方程有個不同實數(shù)解，則實數(shù)滿足（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【分析】令，利用換元法可得，由一元二次方程的定義知該方程至多有兩個實根、，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合題意和圖象可得、，進而得出結(jié)果.【詳解】令，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由于方程至多兩個實根，設(shè)為和，由圖象可知，直線與函數(shù)圖象的交點個數(shù)可能為0?2?3?4，由于關(guān)于x的方程有7個不同實數(shù)解，則關(guān)于u的二次方程的一根為，則，則方程的另一根為，直線與函數(shù)圖象的交點個數(shù)必為4，則，解得.所以且.故選：C.3．（2022·安徽·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，若有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，根據(jù)有4個零點求解.【詳解】解：令，得，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，如圖所示：由圖象知：若有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍是，故選：A4．（2022·河南河南·三模（理））函數(shù)的所有零點之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】結(jié)合函數(shù)的對稱性求得正確答案.【詳解】令，得，圖象關(guān)于對稱，在上遞減.，令，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以圖象關(guān)于對稱，，在上遞增，所以與有兩個交點，兩個交點關(guān)于對稱，所以函數(shù)的所有零點之和為.故選：B二、多選題5．（2022·廣東·普寧市華僑中學(xué)二模）對于函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．任取，都有B．，其中；C．對一切恒成立；D．函數(shù)有個零點；【答案】ACD【分析】作出函數(shù)的圖象.對于A：利用圖象求出，即可判斷；對于B：直接求出，即可判斷；對于C：由，求得，即可判斷；對于D：作出和的圖象，判斷出函數(shù)有3個零點.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示.所以.對于A：任取，都有.故A正確；對于B：因為，所以.故B錯誤；對于C：由，得到，即.故C正確；對于D：函數(shù)的定義域為.作出和的圖象如圖所示：當(dāng)時,;當(dāng)時,函數(shù)與函數(shù)的圖象有一個交點;當(dāng)時,因為,，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象有一個交點,所以函數(shù)有3個零點.故D正確.故選：ACD6．（2022·江蘇·南京市寧海中學(xué)模擬預(yù)測）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意，有，當(dāng)時，，則（

）A．是以2為周期的周期函數(shù)B．點是函數(shù)的一個對稱中心C．D．函數(shù)有3個零點【答案】BD【分析】首先根據(jù)函數(shù)的對稱性求出的周期和對稱中心，然后求得.利用圖象法即可判斷D.【詳解】依題意，為偶函數(shù)，且，有，即關(guān)于對稱，則，所以是周期為4的周期函數(shù)，故A錯誤；因為的周期為4，關(guān)于對稱，所以是函數(shù)的一個對稱中心，故B正確；因為的周期為4，則，，所以，故C錯誤；作函數(shù)和的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個函數(shù)圖象有3個交點，所以函數(shù)有3個零點，故D正確.故選：BD.三、填空題7．（2022·四川·成都七中三模（文））已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是______個．【答案】3【分析】函數(shù)的零點個數(shù)等價于函數(shù)函數(shù)與的交點個數(shù)，作出函數(shù)與的圖象，結(jié)合圖象即可求出結(jié)果.【詳解】函數(shù)有的零點個數(shù)等價于函數(shù)函數(shù)與的交點個數(shù)，作出函數(shù)與的圖象，如圖：，由圖可知，函數(shù)與有3個交點，故函數(shù)有的零點個數(shù)為3，故答案為：3.8．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模（理））下面四個命題：①已知函數(shù)的定義域為，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則；②存在負數(shù)，使得恰有3個零點；③已知多項式，則；④設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為其中真命題的序號為___________.【答案】①③【分析】對于①利用函數(shù)奇偶性性質(zhì)求解即可；對于②數(shù)形結(jié)合判斷即可；對于③利用二項式定理求解即可；對于④利用平均數(shù)和方差公式求解即可.【詳解】對于①：因為為偶函數(shù)，即，令，所以，又因為為奇函數(shù)，所以，令，所以，所以，故①正確；對于②：存在負數(shù)，使得恰有3個零點等價于和，有三個不同交點，且恒過點，畫出圖像如下所示：根據(jù)圖像判斷至多有兩個交點，故②不正確；對于③：，，所以的系數(shù)為：5，故③正確；對于④：設(shè)的平均數(shù)為，則其方差為：，則的平均數(shù)為，則其方差為：，故④不正確.故答案為：①③.9．（2022·四川成都·二模（文））定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足，且當(dāng)時，．則函數(shù)的所有零點之和為______．【答案】【分析】判斷出的對稱性、周期性，畫出的圖象，結(jié)合圖象求得的所有零點之和.【詳解】依題意，定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足，，所以關(guān)于對稱，，所以是周期為的周期函數(shù).，所以關(guān)于點對稱.關(guān)于點對稱.當(dāng)時，，畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，有個公共點，所以的所有零點和為.故答案為：10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，給出下列四個結(jié)論：（1）若，則有兩個零點；（2），使得有一個零點；（3），使得有三個零點；（4），使得有三個零點．以上正確結(jié)論的序號是__．【答案】（1）（2）（4）【分析】將函數(shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，作圖可解.【詳解】函數(shù)的零點的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點的個數(shù)；作函數(shù)與直線的圖象如圖，若，則函數(shù)與直線的圖象在與上各有一個交點，則有兩個零點，故（1）正確；若，則當(dāng)函數(shù)與直線的圖象相切時，有一個零點，故（2）正確；當(dāng)時，函數(shù)與直線的圖象至多有兩個交點，故（3）不正確；當(dāng)且足夠小時，函數(shù)與直線的圖象在與上分別有1個、2個交點，故（4）正確；故答案為：（1）（2）（4）．四、解答題11．（2022·北京·高三學(xué)業(yè)考試）給定集合，為定義在D上的函數(shù)，當(dāng)時，，且對任意，都有___________．從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，補充在橫線處，使存在且唯一確定．條件①：；條件②：；條件③：．解答下列問題：（1）寫出和的值；（2）寫出在上的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，寫出的零點個數(shù)．【分析】判斷條件③不合題意.選擇條件①②、則先求得當(dāng)時，的表達式，然后結(jié)合函數(shù)的解析式、單調(diào)性、零點，對（1）（2）（3）進行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意的定義域為，當(dāng)時，.對于條件③，對任意，都有，以替換，則，這與矛盾，所以條件③不合題意.若選條件①，當(dāng)時，，.（1）.（2）對于函數(shù)，任取，，其中，當(dāng)時，，，所以在上遞減.當(dāng)時，，，所以在上遞增.所以在區(qū)間，.同理可證得：在上遞增，在上遞減，.當(dāng)時，，由上述分析可知，在上遞增，在上遞減.且.（3），由（2）的分析可畫出的大致圖象如下圖所示，所以，當(dāng)或或時，的零點個數(shù)是0；當(dāng)或時，的零點個數(shù)是1；當(dāng)或時，的零點個數(shù)是2．若選條件②，當(dāng)時，，由得，（1）.（2）對于函數(shù)，根據(jù)上述分析可知：在上遞減，在上遞增，且在區(qū)間，.對于，任取，.其中.當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減.所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.且.（3），結(jié)合上述分析畫出的大致圖象如下圖所示，所以當(dāng)時，的零點個數(shù)是0；當(dāng)時，的零點個數(shù)是2．【點睛】利用函數(shù)的單調(diào)性的定義求函數(shù)的單調(diào)性，主要是計算出的符號.求解函數(shù)零點問題，可利用分離參數(shù)法，結(jié)合函數(shù)圖象來進行求解.12．（2021·河北·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若先將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將其圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，求方程在上根的個數(shù).【答案】（1），；（2）4.【分析】（1）由題意利用三角恒等變換，化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求出，可求出解析式，進而結(jié)合函數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)伸縮變換求得的解析式，進而本題等價于求和在上交點的個數(shù)，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）;因為的最小正周期，所以，故.令，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由題意可得.方程在上根的個數(shù)，即方程的根的個數(shù).結(jié)合和的圖像，如圖所示：因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，所以結(jié)合圖像可知函數(shù)在上有4個零點，即方程在上根的個數(shù)為4.13．（2021·遼寧·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期為．（I）求函數(shù)的解析式；（II）若先將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將其圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的零點個數(shù)．【答案】（I）；（II）函數(shù)在上有個零點．【分析】（I）由已知解析式，應(yīng)用二倍角余弦公式、輔助角公式可得，由最小正周期即可求，寫出的三角函數(shù)解析式.（II）由圖像平移可得，在上的零點即為和圖象交點的橫坐標(biāo)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合及對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷交點的個數(shù).【詳解】（I）由題意得：．∵的最小正周期，故，∴．（II）由（I）得：，．求函數(shù)在上的零點個數(shù)，即求方程的根的個數(shù)．和的圖象，如下圖示，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，又，∴由圖象知：函數(shù)在上有個零點．題型四：轉(zhuǎn)化法判斷函數(shù)零點個數(shù)一、單選題1．（2022·安徽·巢湖市第一中學(xué)高三期中（文））已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由的性質(zhì)求出對應(yīng)區(qū)間的值域及單調(diào)性，令并將問題轉(zhuǎn)化為與交點橫坐標(biāo)對應(yīng)值的個數(shù)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法求零點個數(shù)即可.【詳解】令，當(dāng)時，且遞增，此時，當(dāng)時，且遞減，此時，當(dāng)時，且遞增，此時，當(dāng)時，且遞增，此時，所以，的零點等價于與交點橫坐標(biāo)對應(yīng)的值，如下圖示：由圖知：與有兩個交點，橫坐標(biāo)、：當(dāng)，即時，在、、上各有一個解；當(dāng)，即時，在有一個解.綜上，的零點共有4個.故選：B2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．2 D．1【答案】A【分析】令，令，得出，求出關(guān)于的方程的根或，然后再考查直線或與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，即可得出答案．【詳解】令，令，則,當(dāng)時，則，所以，，當(dāng)時，，則，作出函數(shù)的圖象如下圖所示，直線與函數(shù)的圖象只有1個交點，線，與函數(shù)的圖象只有2個交點，因此，函數(shù)只有3個零點，故選：．3．（2021·天津市實驗中學(xué)濱海學(xué)校高三期中）已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】作出函數(shù)的圖象，換元，問題轉(zhuǎn)化為解得個數(shù)，分類討論，結(jié)合二次方程根個數(shù)的判斷及數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】函數(shù)的圖象如圖，令，則函數(shù)的零點即方程組的解．設(shè)，則．若，則，有兩個零點，且由知，此時方程組有2個解；若，則，有一個零點，此時方程組有1個解；若，則，沒有零點，此時方程組無解；若，則，有一個零點，此時方程組有2個解；若，則，有兩個零點，且由知，此時方程組有4個解，故選：C4．（2021·遼寧沈陽·高三階段練習(xí)）對于任意正實數(shù)，關(guān)于的方程的解集不可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別將等式左側(cè)和右側(cè)看做函數(shù)的形式，可得函數(shù)的單調(diào)性和對稱軸，并求得左右兩側(cè)函數(shù)的最值；通過單調(diào)性和最值的大小關(guān)系可得解的個數(shù)有個，個或個的情況，由此可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)是開口向上且關(guān)于直線對稱的二次函數(shù)，；函數(shù)關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；若，則方程無解；若，則方程有唯一解；若，則方程有兩解，且兩解關(guān)于對稱；綜上所述：方程的解集不可能是.故選：C.二、多選題5．（2022·江蘇無錫·高三期末）高斯被人認為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱.有這樣一個函數(shù)就是以他名字命名的：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，又稱為取整函數(shù).如：，.則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)B．函數(shù)有個零點C．是上的奇函數(shù)D．對于任意實數(shù)，都有【答案】BD【分析】對于AC，舉例判斷，對于B，利用取整函數(shù)和零點的定義判斷即可，對于D，定義這樣一個函數(shù)，就會有，然后結(jié)合高斯函數(shù)的定義判斷即可【詳解】對于A，，，，在上不是單調(diào)增函數(shù)，所以A錯.對于B，由，可得，所以，若函數(shù)要有零點，則，得，因為要想為，必須也為整數(shù)，在這個范圍內(nèi)，只有兩個點，所以B正確，對于C，，，不是奇函數(shù)，所以C錯，對于D，如果我們定義這樣一個函數(shù)，就會有，同時有，當(dāng)時，會有，當(dāng)時，，所以D正確，故選：BD.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義域和值域均為（常數(shù)）的函數(shù)和圖象如圖所示，給出下列四個命題，那么，其中正確命題是（

）A．方程有且僅有三個解B．方程有且僅有三個解C．方程有且僅有九個解D．方程有且僅有一個解【答案】AD【分析】通過利用或，結(jié)合函數(shù)和的圖象，分析每個選項中外層函數(shù)的零點，再分析外層零點對應(yīng)的直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點個數(shù)，即可得出結(jié)論.【詳解】解：對于A中，設(shè)，則由，即，由圖象知方程有三個不同的解，設(shè)其解為，，，由于是減函數(shù)，則直線與函數(shù)只有1個交點，所以方程，，分別有且僅有一個解，所以有三個解，故A正確；對于B中，設(shè)，則由，即，由圖象可得有且僅有一個解，設(shè)其解為b，可知，則直線與函數(shù)只有2個交點，所以方程只有兩個解，所以方程有兩個解，故B錯誤；對于C中，設(shè)，若，即，方程有三個不同的解，設(shè)其解為，，，設(shè)，則由函數(shù)圖象，可知，，由圖可知，直線和直線分別與函數(shù)有3個交點，直線與函數(shù)只有1個交點，所以或或共有7個解，所以共有七個解，故C錯誤；對于D中，設(shè)，若，即，由圖象可得有且僅有一個解，設(shè)其解為b，可知，因為是減函數(shù)，則直線與函數(shù)只有1個交點，所以方程只有1解，所以方程只有一個解，故D正確.故選：AD.三、填空題7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，=，則方程解的個數(shù)為___________.【答案】3【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)求得解析式，再根據(jù)解析式作出的圖像即可得解.【詳解】當(dāng)時，，所以，因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以=，所以，所以，所以=，由的圖象知，有3個零點，所以方程解的個數(shù)為3.故答案為：3.8．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)若直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點，且滿足，其中O為坐標(biāo)原點，則k值的個數(shù)為___________.【答案】2【分析】原題可轉(zhuǎn)換為存在，使得→函數(shù)與的圖象有公共點，當(dāng)時，，時，與的圖象的交點個數(shù)即所求，作出圖像，即可求出k值的個數(shù)【詳解】由題意知，函數(shù)的圖象上有關(guān)于原點O對稱的點，因此存在，使得，即函數(shù)與的圖象有公共點.當(dāng)時，，，，作出，在上的圖象，如圖所示，則當(dāng)時，與的圖象的交點個數(shù)即所求k值的個數(shù)，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)時，與的圖象有2個交點，所以k值的個數(shù)為2.故答案為：2四、解答題9．（2021·全國·高三專題練習(xí)）證明：函數(shù)的圖象與的圖象有且僅有一個公共點．【分析】把要證兩函數(shù)的圖象有且僅有一個公共點轉(zhuǎn)化為證明方程有且僅有一個實根.易觀察出為其一根，再假設(shè)是函數(shù)圖象的另一個公共點，然后得出矛盾即可.【詳解】要證明兩函數(shù)和的圖象有且僅有一個公共點，只需證明方程有且僅有一個實根，觀察上述方程，顯然有，則兩函數(shù)的圖象必有交點．設(shè)是函數(shù)圖象的另一個公共點．則，，，∴，即，令，易知函數(shù)為指數(shù)型函數(shù)．顯然在內(nèi)是減函數(shù)，且，故方程有唯一解，從而，與矛盾，從而知兩函數(shù)圖象僅有一個公共點．10．（2020·安徽·淮南市第五中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，（1）求，的值；（2）求的解析式并畫出函數(shù)的簡圖；（3）討論方程的根的情況.【答案】（1）；（2），圖像見解析；（3）當(dāng)，方程無實根、當(dāng)或，有2個根、當(dāng)，有3個根、當(dāng)，有4個根；【分析】（1）函數(shù)求值只需將自變量值代入函數(shù)式計算即可；（2）求時的解析式時，轉(zhuǎn)化為，將其代入已知關(guān)系式，再借助于偶函數(shù)得到函數(shù)解析式，最后將解析式化成分段函數(shù)形式；（3）結(jié)合做出的函數(shù)圖像可知函數(shù)值取不同值時對應(yīng)的自變量個數(shù)是不同的，本題求解主要利用數(shù)形結(jié)合法【詳解】解：（1）是定義在R上的偶函數(shù)，（2）當(dāng)時，于是是定義在上的偶函數(shù)，，圖像如圖所示：（3）數(shù)形結(jié)合易知：當(dāng)，方程無實根；當(dāng)或，有2個根；當(dāng)，有3個根；當(dāng)，有4個根；【點睛】本題考查根據(jù)奇偶函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)解析式，數(shù)形結(jié)合解決方程根的個數(shù)問題，考查運算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于利用數(shù)形結(jié)合思想求解.題型五：零點存在定理與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合判斷零點個數(shù)一、單選題1．（2022·廣東韶關(guān)·二模）已知直線既是函數(shù)的圖象的切線，同時也是函數(shù)的圖象的切線，則函數(shù)零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．0或1 D．1或2【答案】B【分析】設(shè)是函數(shù)圖象的切點，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得，設(shè)是函數(shù)的切點，同樣利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出，然后根據(jù)零點存在性定理可求得結(jié)果【詳解】設(shè)是函數(shù)圖象的切點，則，∴（1）又（2），將（1）代入（2）消去整理得：，∴，設(shè)是函數(shù)的切點，據(jù)題意，又故，令，，∴，故，在定義域上為增函數(shù)，又，故，故，∴，在上是增函數(shù)當(dāng)時，；當(dāng)時，；由零點存在性定理可得，g(x)存在唯一一個函數(shù)零點個數(shù)是1，故選：B．2．（2022·天津·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)有5個不同的零點，則正實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分段函數(shù)分段處理，顯然有1個零點，所以有4個零點，利用三角函數(shù)求出所有的零點，保證之間有4個零點即可.【詳解】易知函數(shù)、在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)無限接近0時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上存在一點，使得，即在上有且只有一個零點；所以當(dāng)時，函數(shù)有4個零點，令，即Z，解得Z，由題可得區(qū)間內(nèi)的4個零點分別是，所以即在之間，即，解得故選：A3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】顯然需要參數(shù)分離，將原題改造成為，求與有兩個交點?！驹斀狻坑傻玫剑?；令，由題意可以看做是與有兩個交點；則，其中，，是單調(diào)遞減的，并且時，=0；因此函數(shù)存在唯一零點，；當(dāng)時，；時，；；得如下函數(shù)圖像：顯然當(dāng)時，與有兩個交點；故答案為：B.二、多選題4．（2021·江蘇·泰州中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝sin(|cosx|)＋cos(|sinx|)，則以下結(jié)論正確的是（

）A．f(x)的圖象關(guān)于直線對稱 B．f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)C．f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．方程恰有三個不相等的實數(shù)根【答案】ACD【分析】根據(jù)對稱性，周期性，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷選項ABC，結(jié)合單調(diào)性和周期性對函數(shù)和的圖象交點情況討論可判斷D.【詳解】，，，故A正確；，故B不正確；當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，單調(diào)遞減，同理，單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以C正確；易知為偶函數(shù)，綜上可知：的周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.令，因為，，故函數(shù)與的圖象在區(qū)間內(nèi)有且只有一個交點；又，故函數(shù)與的圖象在區(qū)間內(nèi)有且只有一個交點；又，故函數(shù)與的圖象在區(qū)間內(nèi)有且只有一個交點.因為，由周期性和單調(diào)性可知，當(dāng)或時，兩函數(shù)圖象無交點.綜上所述，方程恰有三個不相等的實數(shù)根故選：ACD5．（2021·湖北恩施·高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，則以下說法正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時，D．方程有且只有兩個實根【答案】ABD【分析】A．利用奇偶性定義進行判斷；B．利用導(dǎo)數(shù)分析的正負并進行判斷；C．根據(jù)條件分析在上的單調(diào)性，由此確定出最小值并判斷；D．利用在上的單調(diào)性結(jié)合零點的存在性定理分析在上的零點數(shù)，由此確定出的實數(shù)根個數(shù).【詳解】A．的定義域為關(guān)于原點對稱，，所以為偶函數(shù)，故正確；B．當(dāng)時，，，，所以，所以在上單調(diào)遞增，故正確；C．因為為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以，，故錯誤；D．因為在上單調(diào)遞增，且，所以在上有唯一零點，又因為為偶函數(shù)，所以方程有且僅有兩根，故正確；故選：ABD．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)B．對于任意實數(shù)，不等式恒成立C．若，且，則D．方程有3個不相等實數(shù)解【答案】BD【分析】對于A，通過比較零左右兩邊的函數(shù)值來判斷；對于B，分和兩種情況分析判斷；對于C，舉反例判斷；對于D，由零點存在性定理判斷即可【詳解】解：函數(shù)是和上的單調(diào)遞增函數(shù)，但是，在上不單調(diào)，A錯誤；當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，由函數(shù)在上單調(diào)遞增知；B正確；令，，，且，C錯誤；當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，，故存在1個解；同理知時也存在1個解；是函數(shù)的一個零點，故方程共有3個解，D正確，故選：BD．三、解答題7．（2022·江西南昌·二模（文））已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，證明：方程有且僅有一個正根.【答案】(1)增區(qū)間為，無減區(qū)間；(2)證明見解析【分析】（1）時，求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號即可得出單調(diào)區(qū)間；（2）先證明出一個點，當(dāng)，，再證時函數(shù)遞增，結(jié)合零點存在定理即可說明.(1)因為，所以，則，當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；(2)因為，所以，設(shè)，，所以，當(dāng)時，，則在為減函數(shù)；當(dāng)時，，則在為增函數(shù)；因為，當(dāng)時，，所以存在，使得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；因為，所以當(dāng)時，，；且當(dāng)時，，所以在區(qū)間有且僅有一個零點，即方程有且僅有一個正根.8．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)請研究函數(shù)在上的零點個數(shù)并證明；(2)當(dāng)時，證明：.【答案】(1)4，證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，所以只要考慮上的零點，利用函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，用縮放法可以證明不等式.(1)為奇函數(shù)，所以只需要研究函數(shù)上的零點個數(shù)，當(dāng)時，，是單調(diào)遞減的，，，所以當(dāng)時，有一個零點；當(dāng)時，令，，是單調(diào)遞增的，，，所以存在，使得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減的，當(dāng)時，，是單調(diào)遞增的，又，所以，，所以存在使得，當(dāng)時，無零點，綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，即在上，函數(shù)有四個零點；(2)當(dāng)時，，兩邊取自然對數(shù)得：構(gòu)造函數(shù)，即，即，即，則，于是，，所以.【點睛】一般來說當(dāng)三角函數(shù)和其他基本初等函數(shù)同時出現(xiàn)在同一解析式時，由于三角函數(shù)是周期函數(shù)，而其他函數(shù)往往沒有周期性，所以需要一個區(qū)間一個區(qū)間取討論，不論是單調(diào)性還是零點，最好在討論之前先畫一個草圖；對于第二問難點在于構(gòu)造函數(shù)，因為對數(shù)函數(shù)是非線性函數(shù)，直接計算難度很大，因此考慮縮放的方法，構(gòu)造一個新函數(shù)，將原對數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個比較容易計算的函數(shù)，像，等比較多見.9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為實數(shù)，函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，討論在上的零點個數(shù).【答案】(1)，(2)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(3)有2個零點【分析】（1）寫出，討論a的取值情況，解得答案；（2）分類討論去掉絕對值符號，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得答案；（3）分段討論去掉絕對值符號，得到的解析式，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱軸確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理即可得答案.(1),當(dāng)時，不等式為恒成立，滿足條件，當(dāng)時，不等式為，，綜上所述的取值范圍為，；（2）當(dāng)時，函數(shù)，其對稱軸為，此時在時是減函數(shù)，當(dāng)時，，其對稱軸為：，在時是增函數(shù)，綜上所述，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（3）設(shè)g(x)=f(x)+|x|=x當(dāng)時，其對稱軸為，當(dāng)時，其對稱軸為，當(dāng)時，其對稱軸為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，（a），又，（a）在上單調(diào)遞減，（a）（2），在和上各有一個零點，綜上所述時，在上有2個零點.10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在上的零點個數(shù)；(2)當(dāng)時都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)只有一個零點(2)【分析】（1）首先利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點存在定理即可判斷函數(shù)的零點個數(shù)（2）可通過討論在的最小值，使恒成立，來確定實數(shù)的取值范圍(1)因為，所以，，因為，所以，所以在上是單調(diào)增函數(shù)，又因為，，所以在上只有一個零點.(2)因為，所以，令，，因為，所以，為增函數(shù)，，當(dāng)時，即時，，即，所以在上為增函數(shù)，，所以時滿足時都有；當(dāng)時，即時，，又，所以，使，所以時，即，為減函數(shù)，，與矛盾，所以不成立，綜上實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題為函數(shù)綜合問題，針對函數(shù)不等式恒成立問題，我們經(jīng)常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，而函數(shù)最值問題，熟練地應(yīng)用單調(diào)性法是突破的關(guān)鍵.題型六：利用函數(shù)零點（方程有根）求參數(shù)值或參數(shù)范圍一、單選題1．（2022·四川成都·三模（理））若函數(shù)的零點為，則（

）．A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】由已知有，根據(jù)零點得到，利用指對數(shù)的關(guān)系及運算性質(zhì)得到關(guān)于t的表達式，進而由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定t值即可.【詳解】由題設(shè)，由得：，若，可得，若，可得，綜上，，故.故選：B2．（2022·湖南岳陽·三模）已知函數(shù)，若不等式有且僅有2個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化不等式有且僅有2個整數(shù)解有兩個整數(shù)解，數(shù)形結(jié)合列出不等式及可求得答案.【詳解】解：由題意得：不等式有且僅有2個整數(shù)解，即可知有兩個整數(shù)解于是有兩個整數(shù)解令，當(dāng)時，，則，此時有無數(shù)個整數(shù)解，不成立；當(dāng)時，如圖所示，有無數(shù)個整數(shù)解，也不成立；當(dāng)時，如圖所示，要使得有兩個整數(shù)解，則可知：所以則實數(shù)的取值范圍是.故選：B3．（2022·山西·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出時，函數(shù)有一個零點，故時，函數(shù)有兩個零點，令，由且解出a的取值范圍即可.【詳解】函數(shù)當(dāng)時，方程．可得．解得，函數(shù)有一個零點，則當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，即，在時有兩個解．設(shè)，其開口向上，對稱軸為：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，且，解得．故選：C．二、多選題4．（2021·遼寧·東北育才學(xué)校二模）一般地，若函數(shù)的定義域為，值域為，則稱為的“倍跟隨區(qū)間”；若函數(shù)的定義域為，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是（

）A．若為的跟隨區(qū)間，則B．函數(shù)存在跟隨區(qū)間C．若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則D．二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”【答案】ACD【分析】A，由已知可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，進而可以求解的值；B，假設(shè)存在跟隨區(qū)間，則根據(jù)跟隨區(qū)間的條件求解，的值，結(jié)合函數(shù)圖象進行判斷；C，先設(shè)跟隨區(qū)間為，，則根據(jù)跟隨區(qū)間滿足的條件建立方程組，找出，的關(guān)系，然后統(tǒng)一變量表示出，列出關(guān)于的關(guān)系式，利用方程思想求解的取值范圍，D，若存在3倍跟隨區(qū)間，則設(shè)定義域為，，值域為，，由此建立方程組，再等價轉(zhuǎn)化為一個方程有兩個不相等的實數(shù)根，進而可以求解．【詳解】選項：由已知可得函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，則有，解得或1（舍，所以，正確；選項：若存在跟隨區(qū)間，，又因為函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上遞減，圖象如圖示，則區(qū)間，一定是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即或,則有，解得，此時異號，故函數(shù)不存在跟隨區(qū)間，不正確；選項：由已知函數(shù)可得：函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，若存在跟隨區(qū)間，，則有，即，兩式作差得：，即，又，所以，得，所以，設(shè)，，則，即在區(qū)間，上有兩個不相等的實數(shù)根，只需：，解得，正確；選項：若函數(shù)存在3倍跟隨區(qū)間，設(shè)定義域為，，值域為，，當(dāng)時，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，解得或，故存在定義域為，使得值域為，，正確，故選：．【點睛】本題是根據(jù)新的定義求解參數(shù)或者是判斷函數(shù)是否符合新定義，考查學(xué)生的理解新知識運用新知識的能力，解答時要能根據(jù)新定義，靈活求解，綜合性較強.三、填空題5．（2022·福建南平·三模）已知函數(shù)有零點，則實數(shù)___________.【答案】【分析】先由基本不等式求得，再由二次函數(shù)求得，要使函數(shù)有零點，必須同時取等，即，，解方程即可.【詳解】由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等.要使函數(shù)有零點，則且，化簡得，解得.故答案為：.6．（2022·四川·石室中學(xué)三模（文））若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且直線與函數(shù)的圖象有三個不同的公共點，則實數(shù)k的值為______．【答案】【分析】依題意是的兩個零點，根據(jù)對稱性可得和也是的零點，即可得到的解析式，整理得，令，依題意關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)解，，且關(guān)于的方程與中一個方程有兩個相同的實數(shù)解，另一個方程有兩個不同的實數(shù)解，即可求出（或）的值，代入計算可得；【詳解】解：由已知可得，是的兩個零點，因為函數(shù)圖象關(guān)于直線，因此和也是的零點，所以．由題意可知，關(guān)于的方程有三個不同的實數(shù)解．令，則關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)解，，且關(guān)于的方程與中一個方程有兩個相同的實數(shù)解，另一個方程有兩個不同的實數(shù)解，則或，因此與中有一個等于，另一個大于．不妨設(shè)，則，解得，此時，解得、滿足條件，因此．故答案為：四、解答題7．（2021·遼寧·東北育才學(xué)校二模）已知二次函數(shù)滿足以下條件：①經(jīng)過原點;②，;③函數(shù)只有一個零點(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)與的圖象有兩個公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合已知可知的對稱軸為，的最值為，由此可設(shè)二次函數(shù)的頂點式，代入原點，求得答案；（2）令，整理為，將函數(shù)圖象的交點問題，轉(zhuǎn)化為方程的解的問題，采用換元法，結(jié)合二次方程有根的情況，討論求得答案.(1)由條件知的對稱軸為，的最值為，可設(shè)頂點式，再根據(jù)，解得，故.(2)由函數(shù)與的圖象有兩個公共點，即，整理得,此方程有兩個實數(shù)根，令，，則關(guān)于m的方程只有一個正實數(shù)根，若即時，，所以；若即時，滿足只有一個正實數(shù)根，有兩種情況，有2個相等的正實根或兩異號根，即或,解得或，綜上所述，t的取值范圍是.題型七：利用函數(shù)的交點（交點個數(shù)）求參數(shù)一、單選題1．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)（且），若函數(shù)的零點有5個，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．或C．或或 D．或【答案】D【分析】依題意函數(shù)的零點即為方程的根，對分四種情況討論，結(jié)合函數(shù)圖形即可得解；【詳解】解：依題意函數(shù)的零點即為方程的根，①當(dāng)時函數(shù)的函數(shù)圖象如下所示：所以有兩個根，（，），而對應(yīng)2個根，所以需要對應(yīng)3個根，所以，即，解得；②當(dāng)時函數(shù)的函數(shù)圖象如下所示：所以有兩個根，（，），而對應(yīng)2個根，對應(yīng)2個根，即共四個根，所以不滿足題意；③當(dāng)時函數(shù)的函數(shù)圖象如下所示：所以有三個根，，，從而，，，所對應(yīng)2、2、1個根，即共5個根，所以滿足題意；④當(dāng)時函數(shù)的函數(shù)圖象如下所示：所以有三個根，，，（，，），而，，分別對應(yīng)2、2、0個根，即共四個根，所以不滿足題意；綜上可得實數(shù)的取值范圍為或；故選：D2．（2022·山東濟寧·二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有5個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過分析得到當(dāng)時，要有2個根，參變分離后構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性和極值，數(shù)形結(jié)合求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】與關(guān)于y軸對稱，且，要想有5個零點，則當(dāng)時，要有2個根，結(jié)合對稱性可知時也有2個零點，故滿足有5個零點，當(dāng)時，，不合題意；當(dāng)時，此時令，定義域為，，令得：，，令得