風(fēng)險(xiǎn)管理第2章

風(fēng)險(xiǎn)管理第2章

第二章風(fēng)險(xiǎn)度量2主要內(nèi)容風(fēng)險(xiǎn)的度量：基于定義的理解基于概率論的風(fēng)險(xiǎn)度量基于效用論的風(fēng)險(xiǎn)度量金融風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)度32.1風(fēng)險(xiǎn)的度量：基于定義的理解風(fēng)險(xiǎn)是損失發(fā)生的可能性1、主體2、損失3、可能性風(fēng)險(xiǎn)=損失×可能性風(fēng)險(xiǎn)=F（概率，損失）如何對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量？4風(fēng)險(xiǎn)概率（損失頻率）是表示風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的可能性大小。具體可以指一定時(shí)期內(nèi)，一定數(shù)目的風(fēng)險(xiǎn)單位可能（或?qū)嶋H）發(fā)生損失的數(shù)量次數(shù)，通常以分?jǐn)?shù)或百分率來表示。用于度量事件是否經(jīng)常發(fā)生。風(fēng)險(xiǎn)后果（損失程度）是指風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生對(duì)目標(biāo)產(chǎn)生的影響。

通常用一次風(fēng)險(xiǎn)事故發(fā)生造成的損失規(guī)模大小或金額多少來表示。通常情況下，發(fā)生損失的頻率和損失程度成反比關(guān)系。使用風(fēng)險(xiǎn)概率和風(fēng)險(xiǎn)后果來分析風(fēng)險(xiǎn)，可以幫助我們甄別出那些需要強(qiáng)有力地控制與管理的風(fēng)險(xiǎn)為什么用兩個(gè)變量（風(fēng)險(xiǎn)概率和風(fēng)險(xiǎn)后果）而不是一個(gè)變量（風(fēng)險(xiǎn)值）來度量風(fēng)險(xiǎn)？度量風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)5最大傷害事故小傷害事故無傷害事故工業(yè)傷害事故頻率與損失程度之間關(guān)系的HEINRICH三角圖1次300次29次62.2用概率論來度量風(fēng)險(xiǎn)--------用“錢”的數(shù)量直接來度量一、風(fēng)險(xiǎn)型經(jīng)濟(jì)結(jié)果的度量1.均值(Mean)均值是最常用的平均數(shù)：觀察值的總和除以觀察值的個(gè)數(shù)只要觀察數(shù)據(jù)中的任何一個(gè)值改變，均值也會(huì)相應(yīng)改變。而眾數(shù)、中位數(shù)一般沒有這個(gè)特點(diǎn)。2.眾數(shù)(Mode)出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)的取值眾數(shù)的計(jì)算簡(jiǎn)單，更適合描述分類變量眾數(shù)丟失了原始數(shù)據(jù)中比較多的信息：100個(gè)學(xué)生中有51個(gè)女生→性別變量的眾數(shù)為女生100個(gè)學(xué)生中有99個(gè)女生→性別變量的眾數(shù)為女生83.中位數(shù)(Median)

把一個(gè)變量的一組觀察數(shù)據(jù)從小到大排序，排在中間位置的那個(gè)數(shù)的數(shù)值稱為這個(gè)變量的中位數(shù)。中位數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)于極端值不敏感

4.分位數(shù)假定有100個(gè)數(shù)據(jù)，按從小到大排序。則最小的數(shù)據(jù)稱為“第一個(gè)百分位數(shù)”，次小的數(shù)據(jù)稱為“第二個(gè)百分位數(shù)”，…，中位數(shù)就是第五十個(gè)百分位數(shù)。9二、風(fēng)險(xiǎn)的定量表示1.標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)到均值的一種平均距離標(biāo)準(zhǔn)差的平方稱為“方差”2.平均絕對(duì)方差103.半方差風(fēng)險(xiǎn)的方差度量存在著一定缺陷，如對(duì)正離差和負(fù)離差的平等處理有違投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的真實(shí)心理感受。用半方差定義風(fēng)險(xiǎn)顯然更符合現(xiàn)實(shí)，因?yàn)橥顿Y者只把下降部分的價(jià)格波動(dòng)，即價(jià)格下跌認(rèn)為是風(fēng)險(xiǎn)，Semivar=E[min(0,(R-E(R)))

2]4.風(fēng)險(xiǎn)度即在特定的客觀條件下、特定的時(shí)間內(nèi)，的均方誤差與預(yù)測(cè)損失的數(shù)學(xué)期望之比。它表示風(fēng)險(xiǎn)損失的相實(shí)際損失與預(yù)測(cè)損失之間對(duì)變異程度（即不可預(yù)測(cè)程度）的一個(gè)無量綱（或以百分比表示）的量

112.3用效用論來衡量風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度--------用“錢”的函數(shù)來度量12錢的數(shù)學(xué)期望是用來做決策的合適方法嗎?一元錢對(duì)一個(gè)富翁和乞丐的意義是不同的.13RiskisintheeyeofthebeholderRiskisintangibleandwillbeseendifferentlybydifferentpeople.Thefactorsthatwillinfluencepeople’sperceptionsofriskinclude:Experience，Knowledge，Culture，Position，F(xiàn)inancialstatusAbilitytoinfluencetheoutcomeAsymmetry：putmoreweightontheimpactofalossthanonthebenefitfromagain,Complacency(自信或過于自信，自我感覺不錯(cuò)）Inadequatetimehorizons距離損失發(fā)生的時(shí)間越近，對(duì)損失的感受越大。14“圣彼得堡悖論”問題

傳說當(dāng)時(shí)在圣彼得

堡街頭流行著一種賭博,規(guī)則是由參加者先付一定數(shù)目錢。比如100盧布,然后擲分幣,當(dāng)?shù)谝?/p>

次出現(xiàn)人像面朝上時(shí)一局賭博終止;如果到第n次才出現(xiàn)了人像朝上,參加者收回2n個(gè)盧布,

n=1,2,3,……。決策人面臨的問題是究竟參不參加賭?

從數(shù)學(xué)期望來看,似乎只花100盧布就可以贏得(平均來說)“無窮多盧布”,參加賭

是絕對(duì)合算的?？墒菍?shí)際情況與此相反,總是擲不了幾次就結(jié)束,極少有收回100盧布以上的

情況。15“圣彼得堡悖論”1738年發(fā)表《對(duì)機(jī)遇性賭博的分析》提出解決“圣彼得堡悖論”的“風(fēng)險(xiǎn)度量新理論”。指出用“錢的數(shù)學(xué)期望”來作為決策函數(shù)不妥。應(yīng)該用“錢的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望”。DanielBernoulli（1700-1782)16期望效用函數(shù)1944年在巨著《對(duì)策論與經(jīng)濟(jì)行為》中用數(shù)學(xué)公理化方法提出期望效用函數(shù)。這是經(jīng)濟(jì)學(xué)中首次嚴(yán)格定義風(fēng)險(xiǎn)。JohnvonNeumann(1903-1957)OskarMorgenstern(1902-1977)17一、效用函數(shù)效用依賴于各種可能狀態(tài)下的結(jié)果以及這些結(jié)果出現(xiàn)的概率。假設(shè)只有兩種狀態(tài)I和II，相應(yīng)結(jié)果分別記為c1,c2，各結(jié)果出現(xiàn)的概率分別記為π1，π2。那么，效用函數(shù)的一般形式為

U=f(c1,c2；π1,π2)效用函數(shù)可以取不同具體形式。如，U=f(c1,c2；π1,π2)=π1c1+π2c2.U=c1πc21-π(Cobb-Douglas效用函數(shù))。U=π1lnc1+π2lnc2.18二、期望效用

期望效用(expectedutility)是各狀態(tài)下結(jié)果的效用的數(shù)學(xué)期望，即各狀態(tài)下結(jié)果的效用以概率為權(quán)重的加權(quán)平均。U=π1u(c1)+π2u(c2)這一效用函數(shù)也稱紐曼-摩根斯頓（vonNeumann-Morgenstern）效用函數(shù)。

19如果對(duì)于每一個(gè)單賭，效用函數(shù)u(gs)有則稱u(gs)是關(guān)于單賭gs的期望效用函數(shù)，即VNM效用函數(shù)。20三、風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度有些人為可能發(fā)生的意外購買保險(xiǎn)，減少風(fēng)險(xiǎn)；有些人則購買彩票，增加風(fēng)險(xiǎn)。這些行為表現(xiàn)出人們不同的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度。買彩票案例21購買彩票使你以0.5的概率擁有$5,以0.5的概率擁有$15，即c1=$5,c2=15,π1=0.5,π2=0.5

。不購買彩票，你無風(fēng)險(xiǎn)地?fù)碛?10。一張彩票的期望價(jià)值=0.5×5+0.5×15=$10。這是說，如果試驗(yàn)次數(shù)足夠大的話，購買彩票的平均結(jié)果是$10。但是，假如只有一次試驗(yàn)機(jī)會(huì)，你選擇什么呢？$10的效用與期望價(jià)值為$10美元的彩票的期望效用相比如何呢？如果你認(rèn)為$10美元的效用更大，即$10的效用>彩票的期望效用0.5×v(5)+0.5×v(15)即期望值的效用>期望效用那么，你是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)回避者。也就是說，在平均結(jié)果相同的資產(chǎn)中，你選擇價(jià)值穩(wěn)定者。22051510V(5)V(15)期望值的效用

期望效用效用函數(shù)財(cái)富風(fēng)險(xiǎn)回避者：期望值的效用>期望效用（凹函數(shù)，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者）期望值23厭惡風(fēng)險(xiǎn)（規(guī)避）型(保守型)厭惡風(fēng)險(xiǎn)的表現(xiàn)：Payextratoreducerisk(buyinsuranceeventhoughpremiumexceedsexpectedclaimcosts)；Requirehigherexpectedreturnstotakeonmorerisk(demandhigherexpectedreturnsonriskierstocks)厭惡風(fēng)險(xiǎn)（規(guī)避）者的財(cái)富效用函數(shù)曲線是向下凹的，意味著隨著財(cái)富的增加，財(cái)富帶來的邊際效益在遞減。風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型的人重視風(fēng)險(xiǎn)的損失性，寧愿付出較高的代價(jià)來進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)的轉(zhuǎn)移。Riskpersehasanegativevalueforriskaverse.24051510V(5)V(15)期望值的效用

期望效用效用函數(shù)財(cái)富風(fēng)險(xiǎn)愛好者：期望值的效用<期望效用期望值25051510V(5)V(15)期望值的效用=

期望效用效用函數(shù)財(cái)富風(fēng)險(xiǎn)中立者：期望值的效用=期望效用期望值26四、風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度的度量在面臨相同的風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，不同風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型經(jīng)濟(jì)主體，為了避免風(fēng)險(xiǎn)愿意放棄的財(cái)富數(shù)量也是不同的。(一）風(fēng)險(xiǎn)的Markowitz度量1.風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格表示一個(gè)賭局，其兩個(gè)結(jié)果為a和b，α為a出現(xiàn)的概率對(duì)這個(gè)經(jīng)濟(jì)主體而言，確定性的結(jié)果D與該賭局無差異。D稱為確定性等效結(jié)果。風(fēng)險(xiǎn)性結(jié)果的期望值與確定性等效結(jié)果之差稱為Markowitz的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格。即

Pm＝E（G）－D27baE(G)D28風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格例子一經(jīng)濟(jì)主體具有對(duì)數(shù)型的效用函數(shù)，即U(W)=ln(W)現(xiàn)在面臨一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)性經(jīng)濟(jì)機(jī)會(huì)，單位為萬元。求風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格（愿意放棄的量）。解：先求出風(fēng)險(xiǎn)性經(jīng)濟(jì)機(jī)會(huì)的期望效用，U(G)=0.2*U(30)+0.8*U(5)=0.2*ln30+0.8*ln5=1.97U(G)=U(D)，其中D為確定性等效結(jié)果則U(D)=lnD＝1.97，即D＝7.17萬元而E(G)=0.2*30+0.8*5=10萬元?jiǎng)t風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格Pm＝E(G)－D＝10-7.17＝2.83萬元?jiǎng)t為了避免風(fēng)險(xiǎn)，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型經(jīng)濟(jì)主體愿意放棄的最大財(cái)富數(shù)量就是2.83萬元。292.加入初始財(cái)富后的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格假設(shè)經(jīng)濟(jì)主體目前的財(cái)富水平為W0，面臨一個(gè)賭局，其兩個(gè)結(jié)果為a和b，α為a出現(xiàn)的概率則參加這個(gè)賭局后經(jīng)濟(jì)主體的財(cái)富水平為：其期望值為：令對(duì)參加這個(gè)賭局之后，消費(fèi)者的效用變?yōu)榱薝(D1)30例子一經(jīng)濟(jì)主體具有對(duì)數(shù)型的效用函數(shù)，即U(W)=ln(W)，其目前財(cái)富水平為10萬元，現(xiàn)在面臨一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)性經(jīng)濟(jì)機(jī)會(huì)G(100,10:0.9)，單位為萬元。求賭局代價(jià)解：如果接受賭局，經(jīng)濟(jì)主體以0.9的可能財(cái)富變?yōu)?10，0.1的可能財(cái)富變?yōu)?0，其期望效用為U(G)=0.9*U(110)+0.1*U(20)=0.9*ln110+0.1*ln20=4.53U(G)=U(D)，其中D為確定性等效結(jié)果則D＝92.76萬元而E(G)=0.9*110+0.1*20=101萬元?jiǎng)t風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格Pm＝E(G)－D＝101-92.76＝8.24萬元31（二）Arrow-Pratt風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避度量Arrow(1965)和Pratt(1964)提出。定義：給定一個(gè)（二次可微的）關(guān)于貨幣的伯努利效用函數(shù)，x處的Arrow-Pratt絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避(absoluteriskaverse)系數(shù)定義為

ARA=原因：風(fēng)險(xiǎn)中性等價(jià)于u（?）是線性的，即對(duì)于所有的x,。即風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的程度與曲率是相關(guān)的，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度的比較歸結(jié)為函數(shù)u

的凸性的比較。32rA(w)>0,風(fēng)險(xiǎn)厭惡，凹函數(shù)，rA(w)=0,風(fēng)險(xiǎn)中性，線性函數(shù)，rA(w)<0,風(fēng)險(xiǎn)愛好：凸函數(shù)，332.4金融風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)度34風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度或風(fēng)險(xiǎn)度量（measurement)為什么要測(cè)度風(fēng)險(xiǎn)？從金融學(xué)角度而言：定價(jià)（投資學(xué)、保險(xiǎn)學(xué)---無套利）

流通類比：風(fēng)險(xiǎn)之于風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)

商品之于貨幣統(tǒng)一化的度量指標(biāo)—構(gòu)造一種共同的“語言”、一種“交換媒介”概率與損失風(fēng)險(xiǎn)度量

WhyWhymeasuresrisk?Pre-Markowitz---(expectedreturn)“portfolioselection”---(mean-variance)Investmentswiththesameexpectedreturn,weallalsoneeddiversification.Variancedon’tmeasurerisk!Twoinvestments:Ex1=—2000,Ex2=+2000,variance=2000.Variancesarethesame,butintuitivelyrisksaredifferent!!風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度（measurement)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度——把一個(gè)代表風(fēng)險(xiǎn)的隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化成一個(gè)實(shí)際值的過程。即：建立規(guī)則。假設(shè)X表示隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn),ρ為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度函數(shù),r為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度值,則風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度過程可以表示為:r=ρ(X)定義：若Ω為一個(gè)樣本空間，X:Ω→R為代表一個(gè)投資在某階段內(nèi)的損失的隨機(jī)變量。那么考慮一個(gè)概率空間(Ω,P)，并令所有的風(fēng)險(xiǎn)X構(gòu)成一個(gè)集合X。則函數(shù):X→R就是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。風(fēng)險(xiǎn)度量的種類VaRCoherentmeasuresofrisk(一致性風(fēng)險(xiǎn)度量)CVaRExpectedShortfallDistortionRiskmeasureVaR在正常市場(chǎng)條件下和一定概率水平（置信度）下，某一金融資產(chǎn)或證券組合價(jià)值在未來特定時(shí)期內(nèi)的最大可能損失。設(shè)G是一項(xiàng)投資收益的現(xiàn)值，服從正態(tài)分布，并且假設(shè)置信度為1%==0.01此時(shí)的v就是VaR由于所以2.33=即VaR=-+2.33我們要選擇VaR最小的投資VaR模型的不足不具有次可加性，不是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量VaR模型只關(guān)心超過VaR值的頻率，而不關(guān)心超過VaR值的損失分布情況。一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度(Coherentmeasureofrisk)必須滿足下面的約束條件：1、單調(diào)性2、次可加性3、正齊次性4、平移不變性ARTZNER

etc.(1999),COHERENTMEASURESOFRISK,MathematicalFinance,9(3):203-228風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則：一致風(fēng)險(xiǎn)度量Artzneretal.(1999)提出了一致風(fēng)險(xiǎn)度量，并認(rèn)為一個(gè)良好的風(fēng)險(xiǎn)度量必須滿足以下條件。1)單調(diào)性：對(duì)任意

，若滿足，則有2)次可加性：對(duì)任意，有3)正齊次性：對(duì)任意，有4)平移不變性：對(duì)任意

，有風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則：一致風(fēng)險(xiǎn)度量1、單調(diào)性：對(duì)任意隨機(jī)損失變量

，若滿足則有：

經(jīng)濟(jì)含義的解釋：?jiǎn)握{(diào)性說明資產(chǎn)面臨的損失越大，則風(fēng)險(xiǎn)也越大。風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則：一致風(fēng)險(xiǎn)度量2、次可加性：對(duì)任意，有經(jīng)濟(jì)含義的解釋：次可加性說明分散可以降低風(fēng)險(xiǎn)，即投資組合的風(fēng)險(xiǎn)分散化效應(yīng)。風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則：一致風(fēng)險(xiǎn)度量3、正齊次性：對(duì)任意，有經(jīng)濟(jì)含義的解釋：正齊次性說明隨著損失的增加，風(fēng)險(xiǎn)也相應(yīng)增加，也說明當(dāng)收益以不同的貨幣單位表示時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)度量必須做相同尺度的變化，資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)與采用的貨幣單位是獨(dú)立的，不受計(jì)量單位影響，類比分離定理。風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則：一致風(fēng)險(xiǎn)度量4、平移不變性：對(duì)任意

，有經(jīng)濟(jì)含義的解釋：平移不變性說明損失增加一個(gè)確定的現(xiàn)金值，風(fēng)險(xiǎn)也相應(yīng)的增加一個(gè)確定的值。

風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則：其它準(zhǔn)則客觀性：若X和Y同分布，則有

客觀性是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)度量可以實(shí)際應(yīng)用的前提，只有風(fēng)險(xiǎn)度量具有客觀性，這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)度量才有意義。投資心理：VaRCVaR風(fēng)險(xiǎn)厭惡

總而言之，風(fēng)險(xiǎn)度量是對(duì)現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)規(guī)律和投資人心理的一種模擬。條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）

——風(fēng)險(xiǎn)度量方法（二）CVaR條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）模型是指在正常市場(chǎng)條件下和一定的置信水平a上，測(cè)算出在給定的時(shí)間段內(nèi)損失超過VaR的條件期望值。CVAR=由于我們可以得到：對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Z有：所以我們要選擇此值最小的資產(chǎn)，在這里，相比VaR模型中的值給了方差更大的權(quán)重。CVaR模型想對(duì)于VaR模型的改進(jìn)CVaR模型在一定程度上克服了VaR模型的缺點(diǎn)不僅考慮了超過VaR值的頻率，而且考慮了超過VaR值損失的條件期望。CVaR的不足

1、對(duì)于超過VaR(α)的損失進(jìn)行了考慮,但忽視了低端部分的損失。

2、由于僅僅通過期望值度量超過了VaR(α)的損失,因此對(duì)“低頻率,高額度”的損失沒有進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。事實(shí)上,在期望值相同的情況下,“低頻率,高額度”的損失意味著更大的風(fēng)險(xiǎn)。CVaR的不足3、當(dāng)證券組合損失分布是連續(xù)的時(shí)，CVaR模型是一個(gè)一致性風(fēng)險(xiǎn)度量模型，具有次可加性；當(dāng)證券組合損失分布不是連續(xù)的時(shí)，CVaR模型由于不具有次可加性而不再是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量模型。舉例假定某一投資組合在2006年7月29日在置信度取95%時(shí)日VaR值為100萬元，

CVaR值為130萬元，根據(jù)VaR和CVaR的定義可知:該組合有95%的把握可以保證，這一天該組合由于多種因素而帶來的極端潛在損失不會(huì)超過130萬元，或者說損失超過100萬元的條件損失為130萬元。

期望短缺（expectedshortfall)ES定義期望短缺(expectedshortfall，簡(jiǎn)稱ES)，直觀上的解釋是損失超過VaR的條件期望值。亦可表述為在一定時(shí)間內(nèi)，置信水平為α的情況下，損失分布尾部(1-α)部分的期望值。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：由于ES可以明確指出VaR估計(jì)失敗時(shí)損失的條件期望值，所以它更有助于對(duì)尾部風(fēng)險(xiǎn)的深入認(rèn)識(shí)，也更接近于投資者的心理感受。ES的嚴(yán)格定義對(duì)于已知可積的隨機(jī)變量L和置信水平α∈(0,1)，在置信水平α下的ES定義為：上式中項(xiàng)在損失分布連續(xù)時(shí)為0；在離散條件下，故需要將它從均值中減去。ES模型在信用資產(chǎn)組合優(yōu)化中的應(yīng)用

共選擇20支債券作為樣本進(jìn)行分析，分別是10支國債和10支企業(yè)債。我們將國債看成一種無風(fēng)險(xiǎn)債券，企業(yè)債看成一種有違約風(fēng)險(xiǎn)的債券，它們的到期收益率可以分別看成無風(fēng)險(xiǎn)債券和有違約風(fēng)險(xiǎn)債券的利率。我們?nèi)∽?004年01月01日到2005年08月30日，共401個(gè)交易日的收盤價(jià)作為樣本數(shù)據(jù)。從上表中，我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著置信水平的提高，VaR值和ES值也分別增大，但無論在哪個(gè)置信水平下，基于ES度量的風(fēng)險(xiǎn)值都會(huì)大于等于VaR度量的值，這與ES的定義是一致的。DistortionRisk-Measure

定義定義1設(shè)映射g:[0,1]→[0,1]是增函數(shù),且g(0)=0,g(1)=1,若變換F*(x)=g(F(x))為扭曲概率分布,則稱g為扭曲函數(shù).定義2若對(duì)隨機(jī)損失變量X的生存函數(shù)S(X)=1-F(X),有則稱為扭曲風(fēng)險(xiǎn)度量.扭曲風(fēng)險(xiǎn)度量是調(diào)整后的概率測(cè)量,更多的考慮了高風(fēng)險(xiǎn)事件,g(S(X))是調(diào)整后的生存函數(shù).WT-measure的扭曲函數(shù)Wang.s.s(2000)提出了一種特殊的扭曲函數(shù):其中正態(tài)分布,稱其為Wang-transform.在Wang-transform中有這里的扭曲函數(shù)是連續(xù)的且一一對(duì)應(yīng)的.Wang可以看到，扭曲函數(shù)g使得變換后的分布函數(shù)比原始分布函數(shù)尾部更厚些，因此能更好的擬合分布的尾部區(qū)域。另外，從圖中還可以看出函數(shù)型風(fēng)險(xiǎn)度量的值比風(fēng)險(xiǎn)度量的值大，這更加符合風(fēng)險(xiǎn)管理的謹(jǐn)慎性。定理一：扭曲風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量滿足一致性的充要條件是扭曲函數(shù)為凹函數(shù)。證明：對(duì)四個(gè)條件逐一證明。1、單調(diào)性由扭曲函數(shù)定義可知，扭曲函數(shù)為增函數(shù)。對(duì)當(dāng)時(shí)，有，又因?yàn)椋?/p>

所以有：Wang-Distortion的一致風(fēng)險(xiǎn)度量證明2、正齊次性：已知：

Wang-Distortion的一