(新高考)高考數(shù)學一輪復習學案6.3《平面向量的數(shù)量積及應用舉例》(含詳解)

第3講平面向量的數(shù)量積及應用舉例一、知識梳理1．向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角．(2)范圍：向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°．[注意]當a與b同向時，θ＝0°；a與b反向時，θ＝180°；a與b垂直時，θ＝90°.2．平面向量的數(shù)量積定義設兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cos_θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘積[注意]投影和兩向量的數(shù)量積都是數(shù)量，不是向量．3．向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量數(shù)量積的坐標運算及有關結論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，a·b＝x1x2＋y1y2.結論幾何表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0常用結論(1)兩向量a與b為銳角?a·b＞0且a與b不共線．(2)兩向量a與b為鈍角?a·b＜0且a與b不共線．(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(5)a與b同向時，a·b＝|a||b|.(6)a與b反向時，a·b＝－|a||b|.二、教材衍化已知a·b＝－12eq\r(2)，|a|＝4，a和b的夾角為135°，則|b|為()A．12 B．6C．3eq\r(3) D．3解析：選B．a·b＝|a|·|b|cos135°＝－12eq\r(2)，所以|b|＝eq\f(－12\r(2),4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2))))＝6.一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量．()(2)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結果是向量．()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·c)．()(5)兩個向量的夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()(6)若a·b>0，則a和b的夾角為銳角；若a·b<0，則a和b的夾角為鈍角．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×二、易錯糾偏常見誤區(qū)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())(1)沒有找準向量的夾角致誤；(2)不理解向量的數(shù)量積的幾何意義致誤；(3)向量的數(shù)量積的有關性質應用不熟練致誤．1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq\r(10)，則eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值為________．解析：在△ABC中，由余弦定理得cosA＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2×AC×AB)＝eq\f(22＋32－（\r(10)）2,2×2×3)＝eq\f(1,4).所以eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos(π－A)＝－|eq\o(BA,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|·cosA＝－3×2×eq\f(1,4)＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)2．已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為________．解析：由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.答案：－23．已知向量a與b的夾角為eq\f(π,3)，|a|＝|b|＝1，且a⊥(a－λb)，則實數(shù)λ＝________．解析：由題意，得a·b＝|a||b|coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，因為a⊥(a－λb)，所以a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝1－eq\f(λ,2)＝0，所以λ＝2.答案：2考點一平面向量數(shù)量積的運算(基礎型)復習指導eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系．3．掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算．核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、數(shù)學抽象(一題多解)(2019·高考天津卷)在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝2eq\r(3)，AD＝5，∠A＝30°，點E在線段CB的延長線上，且AE＝BE，則eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝________．【解析】法一：在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，則eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(AB2,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝5×2eq\r(3)×cos30°＋5×2×cos180°－12－2eq\r(3)×2×cos150°＝15－10－12＋6＝－1.法二：在△ABD中，由余弦定理可得BD＝eq\r(25＋12－2×5×2\r(3)×cos30°)＝eq\r(7)，所以cos∠ABD＝eq\f(12＋7－25,2×2\r(3)×\r(7))＝－eq\f(\r(21),14)，則sin∠ABD＝eq\f(5\r(7),14).設eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(AE,\s\up6(→))的夾角為θ，則cosθ＝cos(180°－∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABD·cos30°－sin∠ABD·sin30°＝－eq\f(\r(7),14)，在△ABE中，易得AE＝BE＝2，故eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\r(7)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(7),14)))＝－1.【答案】－1eq\a\vs4\al()求向量a，b的數(shù)量積a·b的兩種方法(1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.當已知向量是非坐標形式時，若圖形適合建立平面直角坐標系時，可建立坐標系，運用坐標法求解．1．(2020·河南新鄉(xiāng)二模)已知a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，c＝(m－2，－1)，若a∥b，則b·c＝()A．－7 B．－3C．3 D．7解析：選B．因為a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，a∥b，所以1×(m＋3)－2m＝0，所以m＝3，所以b·c＝m(m－2)－(m＋3)＝－3，故選B．2．(2019·高考全國卷Ⅱ)已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．－3 B．－2C．2 D．3解析：選C．因為eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，因為|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，所以eq\r(1＋（t－3）2)＝1，所以t＝3，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2×1＋3×0＝2，故選C．3．(一題多解)(2020·湖南省五市十校聯(lián)考)在直角三角形ABC中，∠C＝eq\f(π,2)，AB＝4，AC＝2，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝()A．－18 B．－6eq\r(3)C．18 D．6eq\r(3)解析：選C．通解：由∠C＝eq\f(π,2)，AB＝4，AC＝2，得CB＝2eq\r(3)，eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(CB,\s\up6(→))2＝18，故選C．優(yōu)解一：如圖，以C為坐標原點，CA，CB所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系，則C(0，0)，A(2，0)，B(0，2eq\r(3))．由題意得∠CBA＝eq\f(π,6)，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以D＝(－1，3eq\r(3))，則eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(－1，3eq\r(3))·(0，2eq\r(3))＝18，故選C．優(yōu)解二：因為∠C＝eq\f(π,2)，AB＝4，AC＝2，所以CB＝2eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))上的投影為2eq\r(3)，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))上的投影為eq\f(3,2)×2eq\r(3)＝3eq\r(3)，則eq\o(CD,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))上的投影為3eq\r(3)，所以eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|·|eq\o(CD,\s\up6(→))|cos〈eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))〉＝2eq\r(3)×3eq\r(3)＝18，故選C．考點二平面向量數(shù)量積的應用(基礎型)eq\a\vs4\al(復習,指導)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系．核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、邏輯推理角度一求兩平面向量的夾角(1)(一題多解)(2019·高考全國卷Ⅰ)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)(2)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，1)(x＞0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，2)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，則eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為()A．eq\f(2π,3) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,3)【解析】(1)法一：由題意得，(a－b)·b＝0?a·b＝|b|2，所以|a||b|·cosa，b＝|b|2，因為|a|＝2|b|，所以2|b|2cosa，b＝|b|2?cosa，b＝eq\f(1,2)，所以a，b＝eq\f(π,3)，故選B．法二：如圖，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，所以B＝eq\f(π,2)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OB,\s\up6(→))|，所以∠AOB＝eq\f(π,3)，即a，b＝eq\f(π,3).(2)因為eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－x，1)，所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝(1－x)2＋1＝5，即x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1(舍)．設eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(2),2)，所以θ＝eq\f(π,4).【答案】(1)B(2)Ceq\a\vs4\al()求向量夾角問題的方法(1)當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關系．(2)若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).角度二求平面向量的模(1)(一題多解)(2020·唐山市摸底考試)已知e1，e2是兩個單位向量，且|e1＋e2|＝eq\r(3)，則|e1－e2|＝________．(2)設x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a|＝________，則當t∈[－eq\r(3)，2]時，|a－tb|的取值范圍是________．【解析】(1)法一：|e1＋e2|＝eq\r(3)，兩邊平方，得eeq\o\al(2,1)＋2e1·e2＋eeq\o\al(2,2)＝3，又e1，e2是單位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝eeq\o\al(2,1)－2e1·e2＋eeq\o\al(2,2)＝1，所以|e1－e2|＝1.法二：如圖，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AD,\s\up6(→))＝e2，又e1，e2是單位向量，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，連接AC，BD，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(DB,\s\up6(→))＝e1－e2，因為|e1＋e2|＝eq\r(3)，即|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，所以∠ABC＝120°，則∠DAB＝60°，所以|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝1，即|e1－e2|＝1.(2)向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，所以x－2＝0，解得x＝2，所以|a|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).|a－tb|2＝a2＋t2b2－2ta·b＝5t2＋5，所以當t＝0時，取得最小值為5；當t＝2時，最大值為25.即|a－tb|的取值范圍是[eq\r(5)，5]．【答案】(1)1(2)eq\r(5)[eq\r(5)，5]eq\a\vs4\al()求向量的?；蚱浞秶姆椒?1)定義法：|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(a·a)，|a±b|＝eq\r(（a±b）2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).(2)坐標法：設a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).(3)幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用解三角形的相關知識求解．[提醒](1)求形如ma＋nb的向量的模，可通過平方，轉化為數(shù)量的運算．(2)用定義法和坐標法求模的范圍時，一般把它表示成某個變量的函數(shù)，再利用函數(shù)的有關知識求解；用幾何法求模的范圍時，注意數(shù)形結合的思想，常用三角不等式進行最值的求解．角度三兩平面向量垂直問題已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則實數(shù)λ的值為________．【解析】因為eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.又eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，所以(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝0，即(λ－1)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＝0，所以(λ－1)|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－9λ＋4＝0.解得λ＝eq\f(7,12).【答案】eq\f(7,12)eq\a\vs4\al()兩向量垂直的應用兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.[注意]若a＝0，雖然有a·b＝0，但不能說a⊥b.1．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(eq\r(3)，eq\r(2))，則|a＋2b|＝()A．2eq\r(2) B．2eq\r(5)C．eq\r(17) D．eq\r(15)解析：選C．因為a－b＝(eq\r(3)，eq\r(2))，所以|a－b|＝eq\r(5)，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－2a·b＝5，則a·b＝0，所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17，所以|a＋2b|＝eq\r(17).故選C．2．已知在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，則四邊形ABCD是()A．矩形 B．正方形C．菱形 D．梯形解析：選C．因為eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以四邊形ABCD是平行四邊形．又(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，所以四邊形的對角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形．3．(一題多解)已知正方形ABCD，點E在邊BC上，且滿足2eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，設向量eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))的夾角為θ，則cosθ＝________．解析：法一：因為2eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以E為BC的中點．設正方形的邊長為2，則|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×22－22＝－2，所以cosθ＝eq\f(\o(AE,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→)),|\a\vs4\al(\o(AE,\s\up6(→)))||\a\vs4\al(\o(BD,\s\up6(→)))|)＝eq\f(－2,\r(5)×2\r(2))＝－eq\f(\r(10),10).法二：因為2eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以E為BC的中點．設正方形的邊長為2，建立如圖所示的平面直角坐標系xAy，則點A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2，2)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cosθ＝eq\f(\o(AE,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AE,\s\up6(→))||\o(BD,\s\up6(→))|))＝eq\f(－2,\r(5)×2\r(2))＝－eq\f(\r(10),10).答案：－eq\f(\r(10),10)考點三向量數(shù)量積的綜合應用(綜合型)eq\a\vs4\al(復習,指導)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())解決此類問題的關鍵是把向量關系轉化為向量數(shù)量積的有關運算，進一步轉化為實數(shù)運算，進而利用相關知識求解．(2020·廣州海珠區(qū)摸底)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－eq\f(3,5).(1)求sinA的值；(2)若a＝4eq\r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影．【解】(1)由m·n＝－eq\f(3,5)，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－eq\f(3,5)，所以cosA＝－eq\f(3,5).因為0<A<π，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2))＝eq\f(4,5).(2)由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(5×\f(4,5),4\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，因為a>b，所以A>B，則B＝eq\f(π,4)，由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(2)))eq\s\up12(2)＝52＋c2－2×5c×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))，解得c＝1.故向量eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影為|eq\o(BA,\s\up6(→))|cosB＝ccosB＝1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2).eq\a\vs4\al()平面向量與三角函數(shù)的綜合問題(1)題目條件給出的向量坐標中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關系式，然后求解．(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路是經過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內的有界性，求得值域等．(2020·石家莊模擬)已知A，B，C分別為△ABC的三邊a，b，c所對的角，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，且m·n＝sin2C．(1)求角C的大小；(2)若sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，且eq\o(CA,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝18，求邊c的長．解：(1)由已知得m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)，因為A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以m·n＝sinC，又m·n＝sin2C，所以sin2C＝sinC，所以cosC＝eq\f(1,2).又0＜C＜π，所以C＝eq\f(π,3).(2)由已知及正弦定理得2c＝a＋b.因為eq\o(CA,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝18，所以abcosC＝18，所以ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab，所以c2＝4c2－3×36，所以c2＝36，所以c＝6.[基礎題組練]1．設a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，則實數(shù)k的值等于()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(5,3)C．eq\f(5,3) D．eq\f(3,2)解析：選A．c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因為b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－eq\f(3,2).2．(2020·湖南省五市十校聯(lián)考)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，則|a＋b|＝()A．eq\r(6) B．eq\r(5)C．2 D．eq\r(3)解析：選A．由題意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋1＋4)＝eq\r(6).故選A．3．(2020·廣州市綜合檢測(一))a，b為平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，則a，b夾角的余弦值等于()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)解析：選B．設b＝(x，y)，則有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－2x＝0,4－2y＝8))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－2))，故b＝(1，－2)，|b|＝eq\r(5)，|a|＝2eq\r(5)，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2－8,\r(5)×2\r(5))＝－eq\f(3,5)，故選B．4．已知向量|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，若eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為60°，且eq\o(OC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，則實數(shù)eq\f(m,n)的值為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．6 D．4解析：選A．因為向量|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))夾角為60°，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝3×2×cos60°＝3，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))·(meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→)))＝(m－n)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))－m|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋n|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以eq\f(m,n)＝eq\f(1,6)，故選A．5．(多選)已知△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為2，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，下列結論正確的是()A．eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影長為－eq\r(3)B．eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影長為eq\r(3)D．eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))解析：選BCD．由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0得eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))，所以四邊形OBAC為平行四邊形．又O為△ABC外接圓的圓心，所以|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|，又|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以△OAB為正三角形．因為△ABC的外接圓半徑為2，所以四邊形OBAC是邊長為2的菱形，所以∠ACB＝eq\f(π,6)，所以eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))上的投影為|eq\o(CA,\s\up6(→))|coseq\f(π,6)＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故C正確．因為eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2，eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2，故B，D正確．6．設向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b與2a－b平行，那么a與b的數(shù)量積等于________．解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由題意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，則m＝－eq\f(1,2)，所以a·b＝－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋2×1＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)7．已知點M，N滿足|eq\o(MC,\s\up6(→))|＝|eq\o(NC,\s\up6(→))|＝3，且|eq\o(CM,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，則M，N兩點間的距離為________．解析：依題意，得|eq\o(CM,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CM,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CN,\s\up6(→))|2＋2eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))＝18＋2eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))＝20，則eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))＝1，故M，N兩點間的距離為|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝|eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(CN,\s\up6(→))|2＋|\o(CM,\s\up6(→))|2－2\o(CN,\s\up6(→))·\o(CM,\s\up6(→)))＝eq\r(9＋9－2)＝4.答案：48．(2020·山東師大附中二模改編)已知向量a，b，其中|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，則向量a和b的夾角是________，a·(a＋b)＝________．解析：由題意，設向量a，b的夾角為θ，因為|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cosθ＝3－2eq\r(3)·cosθ＝0，解得cosθ＝eq\f(\r(3),2).又因為0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(π,6).則a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cosθ＝3＋2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝6.答案：eq\f(π,6)69．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a與b夾角的大?。猓?1)由題意得a＋b＝(3，－1＋x)．由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，解得x＝7，即b＝(1，7)，所以|b|＝eq\r(50)＝5eq\r(2).(2)由題意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，故x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(（2，－1）·（1，－3）,\r(5)×\r(10))＝eq\f(\r(2),2)，因為〈a，b〉∈[0，π]，所以a與b夾角是eq\f(π,4).10．在平面直角坐標系xOy中，點A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2)設實數(shù)t滿足(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．解：(1)由題設知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，1)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，6)，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4，4)．所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(10)，|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4eq\r(2).故所求的兩條對角線的長分別為4eq\r(2)，2eq\r(10).(2)法一：由題設知：eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→))＝(3＋2t，5＋t)．由(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得：(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，從而5t＝－11，所以t＝－eq\f(11,5).法二：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝teq\o(OC,\s\up6(→))2，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，t＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OC,\s\up6(→))|2))＝－eq\f(11,5).[綜合題組練]1．(2020·安徽五校聯(lián)盟第二次質檢)已知O是△ABC內部一點，且滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，又eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\r(3)，∠BAC＝60°，則△OBC的面積為()A．eq\f(\r(3),2) B．3C．1 D．2解析：選C．由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\r(3)，∠BAC＝60°，可得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos∠BAC＝eq\f(1,2)·|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|sin∠BAC＝3，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以O為△ABC的重心，所以S△OBC＝eq\f(1,3)S△ABC＝1，故選C．2．(2020·鄭州市第二次質量預測)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在邊AC的中線BD上，則eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))的最小值為()A．－eq\f(1,2) B．0C．4 D．－1解析：選A．依題意，以C為坐標原點，分別以AC，BC所在的直線為x，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則B(0，2)，D(2，0)，所以直線BD的方程為y＝－x＋2，因為點P在邊AC的中線BD上，所以可設P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以eq\o(CP,\s\up6(→))＝(t，2－t)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(t，－t)，所以eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,2)，當t＝eq\f(1,2)時，eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))取得最小值－eq\f(1,2)，故選A．3．設x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a|＝________，則當t∈[－eq\r(3)，2]時，|a－tb|的取值范圍是________．解析：向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，所以x－2＝0，解得x＝2，所以|a|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).|a－tb|2＝a2＋t2b2－2ta·b＝5t2＋5，所以當t＝0時，取得最小值為5；當t＝2時，取得最大值為25.即|a－tb|的取值范圍是[eq\r(5)，5]．答案：eq\r(5)[eq\r(5)，5]4．在邊長為2的菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，E為線段CD上的任意一點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))的最大值為________；向量eq\o(AE,\s\up6(→))的模的取值范圍是________．解析：以AC所在直線為x軸，BD所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，由∠BAD＝60°，|AB|＝2，可知△ABD為正三角形，|AO|＝eq\r(3)，|DO|＝1，所以點A(－eq\r(3)，0)，C(eq\r(3)，0)，D(0，1)，B(0，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1)．因為D，E，C三點共線，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AC,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AD,\s\up6(→))，0≤x≤1，即eq\o(AE,\s\up6(→))＝x(2eq\r(3)，0)＋(1－x)(eq\r(3)，1)＝(eq\r(3)(1＋x)，1－x)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(0，2)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝2(1－x)．又0≤x≤1，所