ddd模擬濾波器的設(shè)計(jì)2

6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。典型的模擬濾波器巴特沃斯Butterworth濾波器

幅頻特性單調(diào)下降切比雪夫Chebyshev濾波器幅頻特性在通帶或者在阻帶有波動(dòng)橢圓Ellipse濾波器貝塞爾Bessel濾波器通帶內(nèi)有較好的線性相位持性為什么要借助于模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器以這些數(shù)學(xué)函數(shù)命名的濾波器是低通濾波器的原型6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展1模擬濾波器按幅度特性可分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器，它們的理想幅度特性如圖所示。通常只觀察正頻部分模擬濾波器按幅度特性可分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器，它2設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，總是先設(shè)計(jì)低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的濾波器。下面我們先介紹低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)和逼近方法，然后分別介紹巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法。設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，總是先設(shè)計(jì)低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波31.模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)構(gòu)造一個(gè)逼近設(shè)計(jì)指標(biāo)的傳輸函數(shù)Ha(s)

Butterworth（巴特沃斯）低通逼近

Chebyshev（切比雪夫）低通逼近1.模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指4模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有αp,Ωp,αs和Ωs。Ωp；通帶截止頻率Ωs：阻帶截止頻率αp：通帶中最大衰減系數(shù)αs；阻帶最小衰減系數(shù)αp和αs一般用dB數(shù)表示。對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：1.模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法(續(xù))模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有αp,Ωp,αs和Ωs。1.模擬5如果Ω=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示為以上技術(shù)指標(biāo)用圖所示。圖中Ωc稱為3dB截止頻率，因如果Ω=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,6

濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要構(gòu)造一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)αp和αs，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此逼近方法—用頻率響應(yīng)的幅度平方函數(shù)逼近幅度平方函數(shù)在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中起很重要的作用，對于上面介紹的典型濾波器，其幅度平方函數(shù)都有自己的表達(dá)式，可以直接引用。濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要構(gòu)造一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，7(1)由幅度平方函數(shù)確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實(shí)函數(shù)將左半平面的的極點(diǎn)歸將以虛軸為對稱軸的對稱零點(diǎn)的任一半作為的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一半歸(1)由幅度平方函數(shù)確定模擬8由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)將因式分解，得到各零極點(diǎn)對比和，確定增益常數(shù)由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)將92、Butterworth低通的設(shè)計(jì)方法幅度平方函數(shù)

1）幅度函數(shù)特點(diǎn)2）幅度平方函數(shù)的極點(diǎn)分布3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)4）濾波器的設(shè)計(jì)步驟2、Butterworth低通的設(shè)計(jì)方法幅度平方函數(shù)101）幅度平方函數(shù)當(dāng)稱為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N為濾波器的階數(shù)為通帶截止頻率1）幅度平方函數(shù)當(dāng)稱為Butterworth低通濾112）幅度函數(shù)特點(diǎn)：

3dB不變性通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小Butterworth低通濾波器的幅度函數(shù)只由階數(shù)N控制2）幅度函數(shù)特點(diǎn)：12Butterworth濾波器是一個(gè)全極點(diǎn)濾波器，其極點(diǎn)：

2）幅度平方函數(shù)的極點(diǎn)分布：

2N個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為的圓上(該圓稱為巴特沃斯圓)，間隔是π／Nrad。Butterworth濾波器是一個(gè)全極點(diǎn)濾波器，其極點(diǎn)：213

極點(diǎn)在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點(diǎn)

極點(diǎn)間的角度間隔為

極點(diǎn)不落在虛軸上

N為奇數(shù)，實(shí)軸上有極點(diǎn)，N為偶數(shù)，實(shí)軸上無極點(diǎn)一半極點(diǎn)在左半平面一半極點(diǎn)在右半平面？極點(diǎn)在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上14

為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個(gè)，它們分別為為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N15

由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為

式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ稱為歸一化頻率；令p=jλ，p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為3）歸一化系統(tǒng)函數(shù)由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的16pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：將極點(diǎn)展開可得到的Ha(p)的分母p的N階多項(xiàng)式，用下式表示：

上式為Buttterworth低通濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù)，分母多項(xiàng)式的系數(shù)有表可查。pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：上式為Buttter174）階數(shù)N與技術(shù)指標(biāo)的關(guān)系

根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：確定技術(shù)指標(biāo)：由得：同理：令則：技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為階數(shù)取大于等于N的最小整數(shù)4）階數(shù)N與技術(shù)指標(biāo)的關(guān)系

根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：確18關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可由下式求出因?yàn)榉礆w一時(shí)要用此參數(shù)關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可由下式求出195）低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟

(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp,αp,Ωs和αs，求出濾波器的階數(shù)N。(2)求出歸一化極點(diǎn)pk，由pk構(gòu)造歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。(3)將Ha(p)反歸一化，阻帶指標(biāo)有富裕通帶指標(biāo)有富裕此環(huán)節(jié)可由查表得到5）低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟

(20巴特沃斯歸一化低通濾波器的極點(diǎn)巴特沃斯歸一化低通濾波器的極點(diǎn)21巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項(xiàng)式系數(shù)注意：巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項(xiàng)式系數(shù)注意：22巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項(xiàng)式的因式分解巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項(xiàng)式的因式分解23例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解(1)確定階數(shù)N。例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減α24

(2)由其極點(diǎn)為傳輸函數(shù)或由N=5，直接查表得到：極點(diǎn)：-0.3090±j0.9511,-8090±j0.5878;-1.0000系數(shù)：b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(2)由其25先求3dB截止頻率Ωc將Ωc代入(6.2.18)式，得到：將p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：（3）為將Ha(p)去歸一化

此時(shí)算出的截至頻率比題目中給出的小，或者說在截至頻率處的衰減大于30dB，所以說阻帶指標(biāo)有富裕量。先求3dB截止頻率Ωc將Ωc代入(6.2.18)式，得到：將263.Chebyshev低通濾波器的設(shè)計(jì)方法提出的背景巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶和阻帶都是頻率的單調(diào)函數(shù)。因此．當(dāng)通帶邊界處滿足指標(biāo)要求時(shí)，通帶內(nèi)肯定會(huì)有余量。因此，更有效的設(shè)計(jì)方法應(yīng)該是將精確度均勻地分布在整個(gè)通帶內(nèi)，或者均勻分布在整個(gè)阻帶內(nèi)，或者同時(shí)分布在兩者之內(nèi)。這樣，就可用階數(shù)較低的系統(tǒng)滿足要求。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來達(dá)到。3.Chebyshev低通濾波器的設(shè)計(jì)方法提出的背景271）Chebyshev低通濾波器的幅度平方函數(shù)

1）Chebyshev低通濾波器的幅度平方函數(shù)28ChebyshevΙ型濾波器的幅度平方函數(shù)歸一化ChebyshevΙ型濾波器的幅度平方函數(shù)歸一化29N：濾波器的階數(shù)ChebyshevΙ型濾波器幅度平方函數(shù)：：截止頻率，不一定為3dB帶寬，表示通帶波紋大小，越大，波紋越大：N階Chebyshev多項(xiàng)式λs=Ωs/ΩpN：濾波器的階數(shù)ChebyshevΙ型濾波器幅度平方函數(shù)：30ddd模擬濾波器的設(shè)計(jì)231當(dāng)N=0時(shí)，C0(x)=1；當(dāng)N=1時(shí)，C1(x)=x；當(dāng)N=2時(shí)，C2(x)=2x2-1；當(dāng)N=3時(shí)，C3(x)=4x3-3x。由此可歸納出高階切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式為CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x)前兩項(xiàng)給出后才能迭代下一個(gè)當(dāng)N=0時(shí)，C0(x)=1；前兩項(xiàng)給出后才能迭代下一個(gè)32ddd模擬濾波器的設(shè)計(jì)233N=0,4,5切比雪夫多項(xiàng)式曲線N=0,4,5切比雪夫多項(xiàng)式曲線34

1）幅度函數(shù)特點(diǎn)：通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0N為偶數(shù)N為奇數(shù)通帶內(nèi)：在1和間等波紋起伏

1）幅度函數(shù)特點(diǎn)：通帶外：迅35切比雪夫Ⅰ型與巴特沃斯低通的幅度函數(shù)平方曲線切比雪夫Ⅰ型與巴特沃斯低通的幅度函數(shù)平方曲線362）Chebyshev濾波器的三個(gè)參量：：通帶截止頻率，給定：表征通帶內(nèi)波紋大小由通帶衰減決定2）Chebyshev濾波器的三個(gè)參量：：通帶截止頻37

設(shè)阻帶的起始點(diǎn)頻率(阻帶截止頻率)用Ωs表示濾波器階數(shù)N的確定阻帶衰減越大所需階數(shù)越高設(shè)阻帶的起始點(diǎn)頻率(阻帶截止頻率)用Ωs表示濾383）幅度平方特性的極點(diǎn)分布

以上Ωp,ε和N確定后，可以求出濾波器的極點(diǎn)，并確定Ha(p)，p=s/Ωp。有用的結(jié)果。設(shè)Ha(s)的極點(diǎn)為si=σi+jΩi，可以證明：3）幅度平方特性的極點(diǎn)分布以上Ωp,39上式是一個(gè)橢圓方程，因?yàn)閏h(x)大于sh(x)，長半軸為Ωpchξ(在虛軸上)，短半軸為Ωpshξ(在實(shí)軸上)。令bΩp和aΩp分別表示長半軸和短半軸，可推導(dǎo)出：(6.2.29)(6.2.30)(6.2.31)因此切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)就是一組分布在長半軸為bΩp，短半軸為aΩp的橢圓上的點(diǎn)。上式是一個(gè)橢圓方程，因?yàn)閏h(x)大于sh(x)，長半軸為Ω40設(shè)N=3，平方幅度函數(shù)的極點(diǎn)分布如圖6.2.8所示(極點(diǎn)用X表示)。為穩(wěn)定，用左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成Ha(p)，即(6.2.32)式中c是待定系數(shù)。根據(jù)幅度平方函數(shù)(6.2.19)式可導(dǎo)出：c=ε·2N-1，代入(6.2.32)式，得到歸一化的傳輸函數(shù)為(6.2.33a)設(shè)N=3，平方幅度函數(shù)的極點(diǎn)分布如圖6.2.8所41圖6.2.8三階切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布圖6.2.8三階切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布42ddd模擬濾波器的設(shè)計(jì)243去歸一化后的傳輸函數(shù)為(6.2.33b)去歸一化后的傳輸函數(shù)為(6.2.33b)445.濾波器的設(shè)計(jì)步驟: 歸一化：1）確定技術(shù)指標(biāo)：2)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N及：其中：5.濾波器的設(shè)計(jì)步驟: 歸一化：1）確定技術(shù)指標(biāo)：2)根據(jù)技453）求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：

或者由N和，直接查表得其中極點(diǎn)由下式求出：4）去歸一化

3）求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：

或者由N和，直接查表得其中46ddd模擬濾波器的設(shè)計(jì)247ddd模擬濾波器的設(shè)計(jì)248例6.2.2設(shè)計(jì)低通切比雪夫?yàn)V波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減αp=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=60dB。解(1)濾波器的技術(shù)指標(biāo)：例6.2.2設(shè)計(jì)低通切比雪夫?yàn)V波器，要求通帶49(2)求階數(shù)N和ε：此過程可直接查表(2)求階數(shù)N和ε：此過程可直接查表50(3)求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ha(p):由(6.2.38)式求出N=5時(shí)的極點(diǎn)pi，代入上式，得到：(4)將Ha(p)去歸一化，得到：此過程也可直接查表完成(3)求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ha(p):由(6.2.38)式求出51小結(jié)：模擬濾波器設(shè)計(jì)的步驟

通帶截止頻率、通帶衰減 阻帶截止頻率、阻帶衰減確定濾波器的技術(shù)指標(biāo)：將模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為低通原型濾波器的參數(shù)Butterworth低通濾波器Chebyshev低通濾波器構(gòu)造歸一化低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)反歸一小結(jié)：模擬濾波器設(shè)計(jì)的步驟 通帶截止頻率、通帶衰526.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。典型的模擬濾波器巴特沃斯Butterworth濾波器

幅頻特性單調(diào)下降切比雪夫Chebyshev濾波器幅頻特性在通帶或者在阻帶有波動(dòng)橢圓Ellipse濾波器貝塞爾Bessel濾波器通帶內(nèi)有較好的線性相位持性為什么要借助于模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器以這些數(shù)學(xué)函數(shù)命名的濾波器是低通濾波器的原型6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展53模擬濾波器按幅度特性可分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器，它們的理想幅度特性如圖所示。通常只觀察正頻部分模擬濾波器按幅度特性可分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器，它54設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，總是先設(shè)計(jì)低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的濾波器。下面我們先介紹低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)和逼近方法，然后分別介紹巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法。設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，總是先設(shè)計(jì)低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波551.模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)構(gòu)造一個(gè)逼近設(shè)計(jì)指標(biāo)的傳輸函數(shù)Ha(s)

Butterworth（巴特沃斯）低通逼近

Chebyshev（切比雪夫）低通逼近1.模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指56模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有αp,Ωp,αs和Ωs。Ωp；通帶截止頻率Ωs：阻帶截止頻率αp：通帶中最大衰減系數(shù)αs；阻帶最小衰減系數(shù)αp和αs一般用dB數(shù)表示。對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：1.模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法(續(xù))模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有αp,Ωp,αs和Ωs。1.模擬57如果Ω=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示為以上技術(shù)指標(biāo)用圖所示。圖中Ωc稱為3dB截止頻率，因如果Ω=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,58

濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要構(gòu)造一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)αp和αs，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此逼近方法—用頻率響應(yīng)的幅度平方函數(shù)逼近幅度平方函數(shù)在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中起很重要的作用，對于上面介紹的典型濾波器，其幅度平方函數(shù)都有自己的表達(dá)式，可以直接引用。濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要構(gòu)造一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，59(1)由幅度平方函數(shù)確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實(shí)函數(shù)將左半平面的的極點(diǎn)歸將以虛軸為對稱軸的對稱零點(diǎn)的任一半作為的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一半歸(1)由幅度平方函數(shù)確定模擬60由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)將因式分解，得到各零極點(diǎn)對比和，確定增益常數(shù)由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)將612、Butterworth低通的設(shè)計(jì)方法幅度平方函數(shù)

1）幅度函數(shù)特點(diǎn)2）幅度平方函數(shù)的極點(diǎn)分布3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)4）濾波器的設(shè)計(jì)步驟2、Butterworth低通的設(shè)計(jì)方法幅度平方函數(shù)621）幅度平方函數(shù)當(dāng)稱為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N為濾波器的階數(shù)為通帶截止頻率1）幅度平方函數(shù)當(dāng)稱為Butterworth低通濾632）幅度函數(shù)特點(diǎn)：

3dB不變性通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小Butterworth低通濾波器的幅度函數(shù)只由階數(shù)N控制2）幅度函數(shù)特點(diǎn)：64Butterworth濾波器是一個(gè)全極點(diǎn)濾波器，其極點(diǎn)：

2）幅度平方函數(shù)的極點(diǎn)分布：

2N個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為的圓上(該圓稱為巴特沃斯圓)，間隔是π／Nrad。Butterworth濾波器是一個(gè)全極點(diǎn)濾波器，其極點(diǎn)：265

極點(diǎn)在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點(diǎn)

極點(diǎn)間的角度間隔為

極點(diǎn)不落在虛軸上

N為奇數(shù)，實(shí)軸上有極點(diǎn)，N為偶數(shù)，實(shí)軸上無極點(diǎn)一半極點(diǎn)在左半平面一半極點(diǎn)在右半平面？極點(diǎn)在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上66

為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個(gè)，它們分別為為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N67

由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為

式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ稱為歸一化頻率；令p=jλ，p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為3）歸一化系統(tǒng)函數(shù)由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的68pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：將極點(diǎn)展開可得到的Ha(p)的分母p的N階多項(xiàng)式，用下式表示：

上式為Buttterworth低通濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù)，分母多項(xiàng)式的系數(shù)有表可查。pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：上式為Buttter694）階數(shù)N與技術(shù)指標(biāo)的關(guān)系

根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：確定技術(shù)指標(biāo)：由得：同理：令則：技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為階數(shù)取大于等于N的最小整數(shù)4）階數(shù)N與技術(shù)指標(biāo)的關(guān)系

根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：確70關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可由下式求出因?yàn)榉礆w一時(shí)要用此參數(shù)關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可由下式求出715）低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟

(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp,αp,Ωs和αs，求出濾波器的階數(shù)N。(2)求出歸一化極點(diǎn)pk，由pk構(gòu)造歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。(3)將Ha(p)反歸一化，阻帶指標(biāo)有富裕通帶指標(biāo)有富裕此環(huán)節(jié)可由查表得到5）低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟

(72巴特沃斯歸一化低通濾波器的極點(diǎn)巴特沃斯歸一化低通濾波器的極點(diǎn)73巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項(xiàng)式系數(shù)注意：巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項(xiàng)式系數(shù)注意：74巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項(xiàng)式的因式分解巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項(xiàng)式的因式分解75例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解(1)確定階數(shù)N。例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減α76

(2)由其極點(diǎn)為傳輸函數(shù)或由N=5，直接查表得到：極點(diǎn)：-0.3090±j0.9511,-8090±j0.5878;-1.0000系數(shù)：b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(2)由其77先求3dB截止頻率Ωc將Ωc代入(6.2.18)式，得到：將p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：（3）為將Ha(p)去歸一化

此時(shí)算出的截至頻率比題目中給出的小，或者說在截至頻率處的衰減大于30dB，所以說阻帶指標(biāo)有富裕量。先求3dB截止頻率Ωc將Ωc代入(6.2.18)式，得到：將783.Chebyshev低通濾波器的設(shè)計(jì)方法提出的背景巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶和阻帶都是頻率的單調(diào)函數(shù)。因此．當(dāng)通帶邊界處滿足指標(biāo)要求時(shí)，通帶內(nèi)肯定會(huì)有余量。因此，更有效的設(shè)計(jì)方法應(yīng)該是將精確度均勻地分布在整個(gè)通帶內(nèi)，或者均勻分布在整個(gè)阻帶內(nèi)，或者同時(shí)分布在兩者之內(nèi)。這樣，就可用階數(shù)較低的系統(tǒng)滿足要求。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來達(dá)到。3.Chebyshev低通濾波器的設(shè)計(jì)方法提出的背景791）Chebyshev低通濾波器的幅度平方函數(shù)

1）Chebyshev低通濾波器的幅度平方函數(shù)80ChebyshevΙ型濾波器的幅度平方函數(shù)歸一化ChebyshevΙ型濾波器的幅度平方函數(shù)歸一化81N：濾波器的階數(shù)ChebyshevΙ型濾波器幅度平方函數(shù)：：截止頻率，不一定為3dB帶寬，表示通帶波紋大小，越大，波紋越大：N階Chebyshev多項(xiàng)式λs=Ωs/ΩpN：濾波器的階數(shù)ChebyshevΙ型濾波器幅度平方函數(shù)：82ddd模擬濾波器的設(shè)計(jì)283當(dāng)N=0時(shí)，C0(x)=1；當(dāng)N=1時(shí)，C1(x)=x；當(dāng)N=2時(shí)，C2(x)=2x2-1；當(dāng)N=3時(shí)，C3(x)=4x3-3x。由此可歸納出高階切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式為CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x)前兩項(xiàng)給出后才能迭代下一個(gè)當(dāng)N=0時(shí)，C0(x)=1；前兩項(xiàng)給出后才能迭代下一個(gè)84ddd模擬濾波器的設(shè)計(jì)285N=0,4,5切比雪夫多項(xiàng)式曲線N=0,4,5切比雪夫多項(xiàng)式曲線86

1）幅度函數(shù)特點(diǎn)：通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0N為偶數(shù)N為奇數(shù)通帶內(nèi)：在1和間等波紋起伏

1）幅度函數(shù)特點(diǎn)：通帶外：迅87切比雪夫Ⅰ型與巴特沃斯低通的幅度函數(shù)平方曲線切比雪夫Ⅰ型與巴特沃斯低通的幅度函數(shù)平方曲線882）Chebyshev濾波器的三個(gè)參量：：通帶截止頻率，給定：表征通帶內(nèi)波紋大小由通帶衰減決定2）Chebyshev濾波器的三個(gè)參量：：通帶截止頻89

設(shè)阻帶的起始點(diǎn)頻率(阻帶截止頻率)用Ωs表示濾波器階數(shù)N的確定阻帶衰減越大所需階數(shù)越高設(shè)阻帶的起始點(diǎn)頻率(阻帶截止頻率)用Ωs表示濾903）幅度平方特性的極點(diǎn)分布

以上Ωp,ε和N確定后，可以求出濾波器的極點(diǎn)，并確定Ha(p)，p=s/Ωp。有用的結(jié)果。設(shè)Ha(s)的極點(diǎn)為si=σi+jΩi，可以證明：3）幅度平方特性的極點(diǎn)分布