ddd模擬濾波器的設(shè)計2

6.2模擬濾波器的設(shè)計

模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，這些濾波器都有嚴格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。典型的模擬濾波器巴特沃斯Butterworth濾波器

幅頻特性單調(diào)下降切比雪夫Chebyshev濾波器幅頻特性在通帶或者在阻帶有波動橢圓Ellipse濾波器貝塞爾Bessel濾波器通帶內(nèi)有較好的線性相位持性為什么要借助于模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器以這些數(shù)學函數(shù)命名的濾波器是低通濾波器的原型6.2模擬濾波器的設(shè)計

模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展1模擬濾波器按幅度特性可分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器，它們的理想幅度特性如圖所示。通常只觀察正頻部分模擬濾波器按幅度特性可分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器，它2設(shè)計濾波器時，總是先設(shè)計低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的濾波器。下面我們先介紹低通濾波器的技術(shù)指標和逼近方法，然后分別介紹巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器的設(shè)計方法。設(shè)計濾波器時，總是先設(shè)計低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波31.模擬低通濾波器的設(shè)計指標及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計指標構(gòu)造一個逼近設(shè)計指標的傳輸函數(shù)Ha(s)

Butterworth（巴特沃斯）低通逼近

Chebyshev（切比雪夫）低通逼近1.模擬低通濾波器的設(shè)計指標及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計指4模擬低通濾波器的設(shè)計指標有αp,Ωp,αs和Ωs。Ωp；通帶截止頻率Ωs：阻帶截止頻率αp：通帶中最大衰減系數(shù)αs；阻帶最小衰減系數(shù)αp和αs一般用dB數(shù)表示。對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：1.模擬低通濾波器的設(shè)計指標及逼近方法(續(xù))模擬低通濾波器的設(shè)計指標有αp,Ωp,αs和Ωs。1.模擬5如果Ω=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示為以上技術(shù)指標用圖所示。圖中Ωc稱為3dB截止頻率，因如果Ω=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,6

濾波器的技術(shù)指標給定后，需要構(gòu)造一個傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標αp和αs，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實數(shù)，因此逼近方法—用頻率響應(yīng)的幅度平方函數(shù)逼近幅度平方函數(shù)在模擬濾波器的設(shè)計中起很重要的作用，對于上面介紹的典型濾波器，其幅度平方函數(shù)都有自己的表達式，可以直接引用。濾波器的技術(shù)指標給定后，需要構(gòu)造一個傳輸函數(shù)Ha(s)，7(1)由幅度平方函數(shù)確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實函數(shù)將左半平面的的極點歸將以虛軸為對稱軸的對稱零點的任一半作為的零點，虛軸上的零點一半歸(1)由幅度平方函數(shù)確定模擬8由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)將因式分解，得到各零極點對比和，確定增益常數(shù)由零極點及增益常數(shù)，得由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)將92、Butterworth低通的設(shè)計方法幅度平方函數(shù)

1）幅度函數(shù)特點2）幅度平方函數(shù)的極點分布3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)4）濾波器的設(shè)計步驟2、Butterworth低通的設(shè)計方法幅度平方函數(shù)101）幅度平方函數(shù)當稱為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N為濾波器的階數(shù)為通帶截止頻率1）幅度平方函數(shù)當稱為Butterworth低通濾112）幅度函數(shù)特點：

3dB不變性通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小Butterworth低通濾波器的幅度函數(shù)只由階數(shù)N控制2）幅度函數(shù)特點：12Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：

2）幅度平方函數(shù)的極點分布：

2N個極點等間隔分布在半徑為的圓上(該圓稱為巴特沃斯圓)，間隔是π／Nrad。Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：213

極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點

極點間的角度間隔為

極點不落在虛軸上

N為奇數(shù)，實軸上有極點，N為偶數(shù)，實軸上無極點一半極點在左半平面一半極點在右半平面？極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上14

為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個極點構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為設(shè)N=3，極點有6個，它們分別為為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N15

由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為

式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ稱為歸一化頻率；令p=jλ，p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為3）歸一化系統(tǒng)函數(shù)由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計統(tǒng)一，將所有的16pk為歸一化極點，用下式表示：將極點展開可得到的Ha(p)的分母p的N階多項式，用下式表示：

上式為Buttterworth低通濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù)，分母多項式的系數(shù)有表可查。pk為歸一化極點，用下式表示：上式為Buttter174）階數(shù)N與技術(shù)指標的關(guān)系

根據(jù)技術(shù)指標求出濾波器階數(shù)N：確定技術(shù)指標：由得：同理：令則：技術(shù)指標轉(zhuǎn)化為階數(shù)取大于等于N的最小整數(shù)4）階數(shù)N與技術(shù)指標的關(guān)系

根據(jù)技術(shù)指標求出濾波器階數(shù)N：確18關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標中沒有給出，可由下式求出因為反歸一時要用此參數(shù)關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標中沒有給出，可由下式求出195）低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟

(1)根據(jù)技術(shù)指標Ωp,αp,Ωs和αs，求出濾波器的階數(shù)N。(2)求出歸一化極點pk，由pk構(gòu)造歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。(3)將Ha(p)反歸一化，阻帶指標有富裕通帶指標有富裕此環(huán)節(jié)可由查表得到5）低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟

(20巴特沃斯歸一化低通濾波器的極點巴特沃斯歸一化低通濾波器的極點21巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項式系數(shù)注意：巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項式系數(shù)注意：22巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項式的因式分解巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項式的因式分解23例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，按照以上技術(shù)指標設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。解(1)確定階數(shù)N。例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減α24

(2)由其極點為傳輸函數(shù)或由N=5，直接查表得到：極點：-0.3090±j0.9511,-8090±j0.5878;-1.0000系數(shù)：b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(2)由其25先求3dB截止頻率Ωc將Ωc代入(6.2.18)式，得到：將p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：（3）為將Ha(p)去歸一化

此時算出的截至頻率比題目中給出的小，或者說在截至頻率處的衰減大于30dB，所以說阻帶指標有富裕量。先求3dB截止頻率Ωc將Ωc代入(6.2.18)式，得到：將263.Chebyshev低通濾波器的設(shè)計方法提出的背景巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶和阻帶都是頻率的單調(diào)函數(shù)。因此．當通帶邊界處滿足指標要求時，通帶內(nèi)肯定會有余量。因此，更有效的設(shè)計方法應(yīng)該是將精確度均勻地分布在整個通帶內(nèi)，或者均勻分布在整個阻帶內(nèi)，或者同時分布在兩者之內(nèi)。這樣，就可用階數(shù)較低的系統(tǒng)滿足要求。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來達到。3.Chebyshev低通濾波器的設(shè)計方法提出的背景271）Chebyshev低通濾波器的幅度平方函數(shù)

1）Chebyshev低通濾波器的幅度平方函數(shù)28ChebyshevΙ型濾波器的幅度平方函數(shù)歸一化ChebyshevΙ型濾波器的幅度平方函數(shù)歸一化29N：濾波器的階數(shù)ChebyshevΙ型濾波器幅度平方函數(shù)：：截止頻率，不一定為3dB帶寬，表示通帶波紋大小，越大，波紋越大：N階Chebyshev多項式λs=Ωs/ΩpN：濾波器的階數(shù)ChebyshevΙ型濾波器幅度平方函數(shù)：30ddd模擬濾波器的設(shè)計231當N=0時，C0(x)=1；當N=1時，C1(x)=x；當N=2時，C2(x)=2x2-1；當N=3時，C3(x)=4x3-3x。由此可歸納出高階切比雪夫多項式的遞推公式為CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x)前兩項給出后才能迭代下一個當N=0時，C0(x)=1；前兩項給出后才能迭代下一個32ddd模擬濾波器的設(shè)計233N=0,4,5切比雪夫多項式曲線N=0,4,5切比雪夫多項式曲線34

1）幅度函數(shù)特點：通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0N為偶數(shù)N為奇數(shù)通帶內(nèi)：在1和間等波紋起伏

1）幅度函數(shù)特點：通帶外：迅35切比雪夫Ⅰ型與巴特沃斯低通的幅度函數(shù)平方曲線切比雪夫Ⅰ型與巴特沃斯低通的幅度函數(shù)平方曲線362）Chebyshev濾波器的三個參量：：通帶截止頻率，給定：表征通帶內(nèi)波紋大小由通帶衰減決定2）Chebyshev濾波器的三個參量：：通帶截止頻37

設(shè)阻帶的起始點頻率(阻帶截止頻率)用Ωs表示濾波器階數(shù)N的確定阻帶衰減越大所需階數(shù)越高設(shè)阻帶的起始點頻率(阻帶截止頻率)用Ωs表示濾383）幅度平方特性的極點分布

以上Ωp,ε和N確定后，可以求出濾波器的極點，并確定Ha(p)，p=s/Ωp。有用的結(jié)果。設(shè)Ha(s)的極點為si=σi+jΩi，可以證明：3）幅度平方特性的極點分布以上Ωp,39上式是一個橢圓方程，因為ch(x)大于sh(x)，長半軸為Ωpchξ(在虛軸上)，短半軸為Ωpshξ(在實軸上)。令bΩp和aΩp分別表示長半軸和短半軸，可推導出：(6.2.29)(6.2.30)(6.2.31)因此切比雪夫濾波器的極點就是一組分布在長半軸為bΩp，短半軸為aΩp的橢圓上的點。上式是一個橢圓方程，因為ch(x)大于sh(x)，長半軸為Ω40設(shè)N=3，平方幅度函數(shù)的極點分布如圖6.2.8所示(極點用X表示)。為穩(wěn)定，用左半平面的極點構(gòu)成Ha(p)，即(6.2.32)式中c是待定系數(shù)。根據(jù)幅度平方函數(shù)(6.2.19)式可導出：c=ε·2N-1，代入(6.2.32)式，得到歸一化的傳輸函數(shù)為(6.2.33a)設(shè)N=3，平方幅度函數(shù)的極點分布如圖6.2.8所41圖6.2.8三階切比雪夫濾波器的極點分布圖6.2.8三階切比雪夫濾波器的極點分布42ddd模擬濾波器的設(shè)計243去歸一化后的傳輸函數(shù)為(6.2.33b)去歸一化后的傳輸函數(shù)為(6.2.33b)445.濾波器的設(shè)計步驟: 歸一化：1）確定技術(shù)指標：2)根據(jù)技術(shù)指標求出濾波器階數(shù)N及：其中：5.濾波器的設(shè)計步驟: 歸一化：1）確定技術(shù)指標：2)根據(jù)技453）求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：

或者由N和，直接查表得其中極點由下式求出：4）去歸一化

3）求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：

或者由N和，直接查表得其中46ddd模擬濾波器的設(shè)計247ddd模擬濾波器的設(shè)計248例6.2.2設(shè)計低通切比雪夫濾波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減αp=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=60dB。解(1)濾波器的技術(shù)指標：例6.2.2設(shè)計低通切比雪夫濾波器，要求通帶49(2)求階數(shù)N和ε：此過程可直接查表(2)求階數(shù)N和ε：此過程可直接查表50(3)求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ha(p):由(6.2.38)式求出N=5時的極點pi，代入上式，得到：(4)將Ha(p)去歸一化，得到：此過程也可直接查表完成(3)求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ha(p):由(6.2.38)式求出51小結(jié)：模擬濾波器設(shè)計的步驟

通帶截止頻率、通帶衰減 阻帶截止頻率、阻帶衰減確定濾波器的技術(shù)指標：將模擬濾波器的技術(shù)指標設(shè)計轉(zhuǎn)化為低通原型濾波器的參數(shù)Butterworth低通濾波器Chebyshev低通濾波器構(gòu)造歸一化低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)反歸一小結(jié)：模擬濾波器設(shè)計的步驟 通帶截止頻率、通帶衰526.2模擬濾波器的設(shè)計

模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，這些濾波器都有嚴格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。典型的模擬濾波器巴特沃斯Butterworth濾波器

幅頻特性單調(diào)下降切比雪夫Chebyshev濾波器幅頻特性在通帶或者在阻帶有波動橢圓Ellipse濾波器貝塞爾Bessel濾波器通帶內(nèi)有較好的線性相位持性為什么要借助于模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器以這些數(shù)學函數(shù)命名的濾波器是低通濾波器的原型6.2模擬濾波器的設(shè)計

模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展53模擬濾波器按幅度特性可分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器，它們的理想幅度特性如圖所示。通常只觀察正頻部分模擬濾波器按幅度特性可分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器，它54設(shè)計濾波器時，總是先設(shè)計低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的濾波器。下面我們先介紹低通濾波器的技術(shù)指標和逼近方法，然后分別介紹巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器的設(shè)計方法。設(shè)計濾波器時，總是先設(shè)計低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波551.模擬低通濾波器的設(shè)計指標及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計指標構(gòu)造一個逼近設(shè)計指標的傳輸函數(shù)Ha(s)

Butterworth（巴特沃斯）低通逼近

Chebyshev（切比雪夫）低通逼近1.模擬低通濾波器的設(shè)計指標及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計指56模擬低通濾波器的設(shè)計指標有αp,Ωp,αs和Ωs。Ωp；通帶截止頻率Ωs：阻帶截止頻率αp：通帶中最大衰減系數(shù)αs；阻帶最小衰減系數(shù)αp和αs一般用dB數(shù)表示。對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：1.模擬低通濾波器的設(shè)計指標及逼近方法(續(xù))模擬低通濾波器的設(shè)計指標有αp,Ωp,αs和Ωs。1.模擬57如果Ω=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示為以上技術(shù)指標用圖所示。圖中Ωc稱為3dB截止頻率，因如果Ω=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,58

濾波器的技術(shù)指標給定后，需要構(gòu)造一個傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標αp和αs，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實數(shù)，因此逼近方法—用頻率響應(yīng)的幅度平方函數(shù)逼近幅度平方函數(shù)在模擬濾波器的設(shè)計中起很重要的作用，對于上面介紹的典型濾波器，其幅度平方函數(shù)都有自己的表達式，可以直接引用。濾波器的技術(shù)指標給定后，需要構(gòu)造一個傳輸函數(shù)Ha(s)，59(1)由幅度平方函數(shù)確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實函數(shù)將左半平面的的極點歸將以虛軸為對稱軸的對稱零點的任一半作為的零點，虛軸上的零點一半歸(1)由幅度平方函數(shù)確定模擬60由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)將因式分解，得到各零極點對比和，確定增益常數(shù)由零極點及增益常數(shù)，得由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)將612、Butterworth低通的設(shè)計方法幅度平方函數(shù)

1）幅度函數(shù)特點2）幅度平方函數(shù)的極點分布3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)4）濾波器的設(shè)計步驟2、Butterworth低通的設(shè)計方法幅度平方函數(shù)621）幅度平方函數(shù)當稱為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N為濾波器的階數(shù)為通帶截止頻率1）幅度平方函數(shù)當稱為Butterworth低通濾632）幅度函數(shù)特點：

3dB不變性通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小Butterworth低通濾波器的幅度函數(shù)只由階數(shù)N控制2）幅度函數(shù)特點：64Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：

2）幅度平方函數(shù)的極點分布：

2N個極點等間隔分布在半徑為的圓上(該圓稱為巴特沃斯圓)，間隔是π／Nrad。Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：265

極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點

極點間的角度間隔為

極點不落在虛軸上

N為奇數(shù)，實軸上有極點，N為偶數(shù)，實軸上無極點一半極點在左半平面一半極點在右半平面？極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上66

為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個極點構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為設(shè)N=3，極點有6個，它們分別為為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N67

由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為

式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ稱為歸一化頻率；令p=jλ，p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為3）歸一化系統(tǒng)函數(shù)由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計統(tǒng)一，將所有的68pk為歸一化極點，用下式表示：將極點展開可得到的Ha(p)的分母p的N階多項式，用下式表示：

上式為Buttterworth低通濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù)，分母多項式的系數(shù)有表可查。pk為歸一化極點，用下式表示：上式為Buttter694）階數(shù)N與技術(shù)指標的關(guān)系

根據(jù)技術(shù)指標求出濾波器階數(shù)N：確定技術(shù)指標：由得：同理：令則：技術(shù)指標轉(zhuǎn)化為階數(shù)取大于等于N的最小整數(shù)4）階數(shù)N與技術(shù)指標的關(guān)系

根據(jù)技術(shù)指標求出濾波器階數(shù)N：確70關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標中沒有給出，可由下式求出因為反歸一時要用此參數(shù)關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標中沒有給出，可由下式求出715）低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟

(1)根據(jù)技術(shù)指標Ωp,αp,Ωs和αs，求出濾波器的階數(shù)N。(2)求出歸一化極點pk，由pk構(gòu)造歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。(3)將Ha(p)反歸一化，阻帶指標有富裕通帶指標有富裕此環(huán)節(jié)可由查表得到5）低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟

(72巴特沃斯歸一化低通濾波器的極點巴特沃斯歸一化低通濾波器的極點73巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項式系數(shù)注意：巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項式系數(shù)注意：74巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項式的因式分解巴特沃斯歸一化低通濾波器分母多項式的因式分解75例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，按照以上技術(shù)指標設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。解(1)確定階數(shù)N。例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減α76

(2)由其極點為傳輸函數(shù)或由N=5，直接查表得到：極點：-0.3090±j0.9511,-8090±j0.5878;-1.0000系數(shù)：b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(2)由其77先求3dB截止頻率Ωc將Ωc代入(6.2.18)式，得到：將p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：（3）為將Ha(p)去歸一化

此時算出的截至頻率比題目中給出的小，或者說在截至頻率處的衰減大于30dB，所以說阻帶指標有富裕量。先求3dB截止頻率Ωc將Ωc代入(6.2.18)式，得到：將783.Chebyshev低通濾波器的設(shè)計方法提出的背景巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶和阻帶都是頻率的單調(diào)函數(shù)。因此．當通帶邊界處滿足指標要求時，通帶內(nèi)肯定會有余量。因此，更有效的設(shè)計方法應(yīng)該是將精確度均勻地分布在整個通帶內(nèi)，或者均勻分布在整個阻帶內(nèi)，或者同時分布在兩者之內(nèi)。這樣，就可用階數(shù)較低的系統(tǒng)滿足要求。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來達到。3.Chebyshev低通濾波器的設(shè)計方法提出的背景791）Chebyshev低通濾波器的幅度平方函數(shù)

1）Chebyshev低通濾波器的幅度平方函數(shù)80ChebyshevΙ型濾波器的幅度平方函數(shù)歸一化ChebyshevΙ型濾波器的幅度平方函數(shù)歸一化81N：濾波器的階數(shù)ChebyshevΙ型濾波器幅度平方函數(shù)：：截止頻率，不一定為3dB帶寬，表示通帶波紋大小，越大，波紋越大：N階Chebyshev多項式λs=Ωs/ΩpN：濾波器的階數(shù)ChebyshevΙ型濾波器幅度平方函數(shù)：82ddd模擬濾波器的設(shè)計283當N=0時，C0(x)=1；當N=1時，C1(x)=x；當N=2時，C2(x)=2x2-1；當N=3時，C3(x)=4x3-3x。由此可歸納出高階切比雪夫多項式的遞推公式為CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x)前兩項給出后才能迭代下一個當N=0時，C0(x)=1；前兩項給出后才能迭代下一個84ddd模擬濾波器的設(shè)計285N=0,4,5切比雪夫多項式曲線N=0,4,5切比雪夫多項式曲線86

1）幅度函數(shù)特點：通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0N為偶數(shù)N為奇數(shù)通帶內(nèi)：在1和間等波紋起伏

1）幅度函數(shù)特點：通帶外：迅87切比雪夫Ⅰ型與巴特沃斯低通的幅度函數(shù)平方曲線切比雪夫Ⅰ型與巴特沃斯低通的幅度函數(shù)平方曲線882）Chebyshev濾波器的三個參量：：通帶截止頻率，給定：表征通帶內(nèi)波紋大小由通帶衰減決定2）Chebyshev濾波器的三個參量：：通帶截止頻89

設(shè)阻帶的起始點頻率(阻帶截止頻率)用Ωs表示濾波器階數(shù)N的確定阻帶衰減越大所需階數(shù)越高設(shè)阻帶的起始點頻率(阻帶截止頻率)用Ωs表示濾903）幅度平方特性的極點分布

以上Ωp,ε和N確定后，可以求出濾波器的極點，并確定Ha(p)，p=s/Ωp。有用的結(jié)果。設(shè)Ha(s)的極點為si=σi+jΩi，可以證明：3）幅度平方特性的極點分布