小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法：和倍問題差倍問題

和倍問題差倍問題和倍問題：已知兩個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問題。解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（即1倍數(shù)）一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就確定為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量是多少。根據(jù)另一個數(shù)（也可能是幾個數(shù)）與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再去求另一個數(shù)（或幾個數(shù)）的數(shù)量。解答和倍應(yīng)用題的最好助手是，采用畫線段圖的方法來表示兩種量間的數(shù)量關(guān)系，以便找到解題的途徑；理解和倍問題中各個量之間的關(guān)系。和倍問題 和土（倍數(shù)-1）=小數(shù) 小數(shù)乂倍數(shù)=大數(shù)差倍問題 差+（倍數(shù)-1）=小數(shù) 小數(shù)'倍數(shù)=大數(shù)一、和倍問題例題例1： 甲班和乙班共有圖書160本.甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？集體討論：甲班和己班各占多少分，你能不能畫出倍數(shù)圖線？分析與解答：設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1份，則甲班圖書為乙班的3倍，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)的4倍.還可以理解為4份的數(shù)量是160本，求出1份的數(shù)量也就求出了乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù).用下圖表示它們的關(guān)系：乙班〕?本位3倍 口本甲班（ ，.. ?， 1T本解：乙班：160?（3+1）=40（本）甲班：40X3=120（本）或160-40=120（本）答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。這道應(yīng)用題解答完了，怎樣驗算呢？可把求出的甲班本數(shù)和乙班本數(shù)相加，看和是不是160本；再把甲班的本數(shù)除以乙班本數(shù)，看是不是等于3倍.如果與條件相符，表明這題作對了.注意驗算決不是把原式再算一遍。驗算：120+40=160（本）120+40=3（倍）。例2：汽車運輸場有大小貨車115輛，大貨車比小貨車的5倍多7輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？分析：大貨車比小貨車的5倍還多7輛，這7輛也在總數(shù)115輛內(nèi)，為了使總數(shù)與（5+1）倍對應(yīng)，總車輛數(shù)應(yīng)（115-7）輛。列式為（115-7）+（5+1）=18（輛）18X5+7=97（輛）例3：甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的2倍？集體討論：你能畫出圖線來表示題中甲班和己班的倍數(shù)的關(guān)系嗎？工班1二p題本 甲班（ ：_ 、120本分析與解答：解這題的關(guān)鍵是找出哪個量是變量，哪個量是不變量從已知條件中得出，不管甲班給乙班多少本書，還是乙班從甲班得到多少本書，甲、乙兩班圖書總和是不變的量.最后要求甲班圖書是乙班圖書的2倍，那么甲、乙兩班圖書總和相當(dāng)于乙班現(xiàn)有圖書的3倍.依據(jù)解和倍問題的方法，先求出乙班現(xiàn)有圖書多少本，再與原有圖書本數(shù)相比較，可以求出甲班給乙班多少本書（見上圖）。解：①甲、乙兩班共有圖書的本數(shù)是：30+120=150（本）②甲班給乙班若干本圖書后，甲、乙兩班共有的倍數(shù)是：2+1=3（倍）③乙班現(xiàn)有的圖書本數(shù)是：150+3=50（本）④甲班給乙班圖書本數(shù)是：50-30=20（本）綜合算式：（30+120）+（2+1）=50（本）50-30=20（本）答：甲班給乙班20本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的2倍。驗算：（120-20）+（30+20）=2（倍）（120-20）+（30+20）=150 （本）。例4：光明小學(xué)有學(xué)生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？分析與解答：把女生人數(shù)看作一份，由于男生人數(shù)比女生人數(shù)的3倍還少40人，如果用男、女生人數(shù)總和760人再加上40人，就等于女生人數(shù)的4倍（見下圖）。1男生解：①女生人數(shù)：（760+40）+（3+1）=200（人）②男生人數(shù)：200X3-40=560（人）或760-200=560（人）答：男生有560人，女生有200人。驗算：560+200=760（人）（560+40）+200=3（倍）。例5： 果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵.桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？分析與解答：下圖可以看出桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，都是同梨樹相比較、以梨樹的棵數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)、作為1份數(shù)容易解答.又知三種樹的總數(shù)是552棵.如果給蘋果樹增加20棵，那么就和梨樹同樣多了；再從桃樹里減少12棵，那么就相當(dāng)于梨樹的2倍了，而總棵樹則變?yōu)?52+20-12=560（棵），相當(dāng)于梨樹棵數(shù)的4倍。梨樹I 12倍 、桃樹? ；匕W52棵萃果樹I j 因棵/如棵解：①梨樹的棵數(shù)：(552+20-12)+(1+1+2)=560+4=140(棵)②桃樹的棵數(shù)：140X2+12=292(棵)③蘋果樹的棵數(shù)：140-20=120(棵)答：桃樹、梨樹、蘋果樹分別是292棵、140棵和120棵。例6： 549是甲、乙、丙、丁4個數(shù)的和.如果甲數(shù)加上2,乙數(shù)減少2,丙數(shù)乘以2,丁數(shù)除以2以后，則4個數(shù)相等.求4個數(shù)各是多少？分析與解答：上圖可以看出，丙數(shù)最小.由于丙數(shù)乘以2和丁數(shù)除以2相等，也就是丙數(shù)的2倍和丁數(shù)的一半相等，即丁數(shù)相當(dāng)于丙數(shù)的4倍.乙減2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根據(jù)這些倍數(shù)關(guān)系，可以先求出丙數(shù)，再分別求出其他各數(shù)。解：①丙數(shù)是：(549+2-2)+(2+2+1+4)=549+9=61②甲數(shù)是：61X2-2=120③乙數(shù)是：61X2+2=124④丁數(shù)是：61X4=244驗算：120+124+61+244=549120+2=122124-2=12261X2=122244+2=122答：甲、乙、丙、丁分別是120、124、61、244.例7：甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分種23立方米的速度流入乙水池，那么多少分種后，乙水池中的水是甲水池的4倍？解析：(2600+1200)+(1+4)=760…變甲(2600-760)+23=80分鐘例8.花園里的菊花、月季花、杜鵑花共1200棵，其中月季花是菊花的2倍，杜鵑花是菊花的3倍，求三種花各多少棵?分析：看圖：菊花—2倍月季花（ ^ >1200棵3倍杜鵑花（「2?勺j我們把菊花看作1份，總棵數(shù)是菊花的（2+3+1）份，所以菊花的棵數(shù)是1200+（2+3+1）=200棵，月季花的棵數(shù)是200x2=400棵，杜鵑花的棵數(shù)是200x3=600棵。解：1200+（2+3+1）=200（棵）200x2=400（棵）200x3=600（棵）例9學(xué)校購買840本圖書，分給高、中、低三個年級，高年級分得的是低年級的3倍多5本，中年級分得的是低年級的2倍多1本，問：高、中、低三個年級各分到多少本圖書？(840-5-1)+(1+3+2)=139……低139x3+5=422 高139x2+1=269 中二、和倍問題訓(xùn)練1、典型基礎(chǔ)題（1）、甲班和乙班共有圖書160本.甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？（例1）（2）、汽車運輸場有大小貨車115輛，大貨車比小貨車的5倍多7輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？（例2）（3）、甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的2倍？（例3）（4）、光明小學(xué)有學(xué)生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人?（例4）（5）、果園里一共種340棵桃樹和杏樹，其中桃樹的棵數(shù)比杏樹的3倍多20棵，兩種樹各種了多少棵？2、提高練習(xí)（1）、甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分種23立方米的速度流入乙水池，那么多少分種后，乙水池中的水是甲水池的4倍？（例7）3、奧數(shù)練習(xí)（1）、果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵.桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？（例5）（2）、549是甲、乙、丙、丁4個數(shù)的和.如果甲數(shù)加上2，乙數(shù)減少2,丙數(shù)乘以2，丁數(shù)除以2以后，則4個數(shù)相等.求4個數(shù)各是多少？（例6）（3）、花園里的菊花、月季花、杜鵑花共1200棵，其中月季花是菊花的2倍，杜鵑花是菊花的3倍，求三種花各多少棵？（例8）（4）、學(xué)校購買840本圖書，分給高、中、低三個年級，高年級分得的是低年級的3倍多5本，中年級分得的是低年級的2倍多1本，問：高、中、低三個年級各分到多少本圖書？（例9）三、差倍問題例題例1、光明小學(xué)開展冬季體育比賽，參加跳繩比賽的人數(shù)是踺子人數(shù)的3倍，比踢踺子的多36人。參加跳繩和踢踺子比賽的各有多少人？解析：36+(3—1)=18人； 18X3=54人。例2、已知兩個數(shù)相除的商為4,相減的差是39,者兩個數(shù)分別為多少？解析：39+(4-1)=13…除數(shù) 13+39=52…被除數(shù)例3、倉庫里存放大米和面粉兩種糧食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克數(shù)比大米的2倍還多100千克。倉庫有大米和面粉各多少千克？解析： (3900—100)+(2—1)=3800千克…大米3800+3900=7700千克…面粉例4、甲乙兩根繩子，甲繩長63米，乙繩長29米，兩根繩剪去同樣的長度，結(jié)果甲所剩的長度是乙繩長的3倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？各減去多少米？分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的3倍，實比乙繩多(3-1)倍，以乙繩的長度為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。列式(63-29)+(3-1)=17(米)…乙繩剩下的長度，17X3=51(米)…甲繩剩下的長度，29-17=12(米)…剪去的長度。例5、有兩個自然數(shù)相除，商是17,余數(shù)是13,已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和等于2113,則被除數(shù)是多少？(2003奧數(shù)初賽A卷)解析：(2113-17-13-13)+(17+1)=115 115X17+13==1968例6、甲倉庫存糧104噸，乙倉庫存糧140噸，要使甲倉庫是乙倉庫的3倍，那么必須從乙倉庫運出多少噸放入甲倉庫？(長春南關(guān)區(qū)86年6年級數(shù)學(xué)競賽)解析：(104+140)+(3+1)=61…變乙140-61=79例7、甲、乙兩桶油重量相等，甲桶取走16千克油，乙桶加入14千克油后，乙桶油的重量是甲桶油的重量的4倍，甲桶原來有油多少千克？（南京2屆興趣杯邀請賽預(yù)賽A卷）解析：（14+16）?（4-1）=10千克16+10=26千克例8、有大、小兩個水池，大水池里已有水300立方米，小水池里已有水70立方米，現(xiàn)在往兩個水池里注同樣多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍，問每個水池注入了多少立方米的水。解析： （300-70）+（3-1）=115立方米要注入的量：115-70=45立方米四、差倍問題訓(xùn)練差倍問題：已知兩個數(shù)的差，及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題。解題規(guī)律：兩個數(shù)的差?（倍數(shù)一1）=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)又倍數(shù)=另一個數(shù)。1、典型基礎(chǔ)題（1）、光明小學(xué)開展冬季體育比賽，參加跳繩比賽的人數(shù)是踺子人數(shù)的3倍，比踢踺子的多36人。參加跳繩和踢踺子比賽的各有多少人？（例1）（2）、已知兩個數(shù)相除的商為4,相減的差是39,者兩個數(shù)分別為多少？（例2）（3）、倉庫里存放大米和面粉兩種糧食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克數(shù)比大米的2倍還多100千克。倉庫有大米和面粉各多少千克？（例3）2、提高練習(xí)（1）、甲乙兩根繩子，甲繩長63米，乙繩長29米，兩根繩剪去同樣的長度，結(jié)果甲所剩的長度是乙繩長的3倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？各減去多少米？（例4）（2）、有大、小兩個水池，大水池里已有水300立方米，小水池里已有水70立方米，現(xiàn)在往兩個水池里注同樣多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍，問每個