高考數(shù)學(xué)壓軸題講義（選填題）：探索分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第第頁(yè)探索分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、方法綜述分段函數(shù)：對(duì)于自變量的不同的取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．它是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)：分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集，值域也是各段函數(shù)值域的并集．求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)首先確定所給自變量的取值屬于哪一個(gè)范圍，然后選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．若自變量值為較大的正整數(shù)，一般可考慮先求函數(shù)的周期．若給出函數(shù)值求自變量值，應(yīng)根據(jù)每一段函數(shù)的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值是否屬于相應(yīng)段自變量的范圍．對(duì)于分段函數(shù)應(yīng)用題，尤其是求最值問(wèn)題，不僅要分段考慮，最后還要再將各段綜合起來(lái)進(jìn)行比較．要注意分段函數(shù)值域是各段上函數(shù)值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的．二、解題策略類型一：分段函數(shù)的圖象例1．【2019河北保定上學(xué)期期末考】定義運(yùn)算，則函數(shù)的圖象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】從定義運(yùn)算a⊕b上看，對(duì)于任意的a，b，a⊕b實(shí)質(zhì)上是求a與b中最大的，∴1⊕log2x就是取1與log2x中較大的一個(gè)，∴對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x，當(dāng)x≥2，log2x≥1，∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＝1．，故選C．【名師點(diǎn)睛】函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．【舉一反三】【2019湖北1月聯(lián)考】已知函數(shù)，，則函數(shù)的圖象是（）A．B．C．D．【答案】A類型二：分段函數(shù)的周期性例2．【2019廣東六校一聯(lián)】在上函數(shù)滿足，且，其中，若，則a=()A．0．5B．1．5C．2．5D．3．5【答案】C【解析】在上函數(shù)滿足，可得到函數(shù)的周期為2，故，故f(-1)=a-1，f(0．5)=1．5，所以a-1=1．5，解得a=2．5．故答案為：C．【名師點(diǎn)睛】判斷周期函數(shù)的一般方法：（1）定義法：應(yīng)用定義法判斷或證明函數(shù)是否具有周期性的關(guān)鍵是從函數(shù)周期的定義出發(fā)，充分挖掘隱含條件，合理賦值，巧妙轉(zhuǎn)化．考點(diǎn)梳理欄目中有關(guān)周期的結(jié)論應(yīng)熟記．（2）公式法：若函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期為T(mén)，則函數(shù)f(ax＋b)(a≠0)也為周期函數(shù)，且周期T′＝eq\f(T,|a|)．【舉一反三】【2019安徽肥東8月調(diào)研】已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（）A．B．C．D．【答案】C類型三：分段函數(shù)的奇偶性例3．【2019山東濟(jì)南模擬】若函數(shù)為奇函數(shù)，則()A．B．C．D．0【答案】B【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，f（g（﹣3））＝f[﹣（log33﹣2）]＝f（1）＝log31﹣2＝0﹣2＝﹣2，故選B．【名師點(diǎn)睛】判斷函數(shù)奇偶性的方法通常有：【舉一反三】已知函數(shù)是奇函數(shù)，則．【答案】-15【解析】類型四：分段函數(shù)的單調(diào)性例4．【2019河北廊坊聯(lián)合體三聯(lián)】若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，且存在負(fù)的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【名師點(diǎn)睛】本題主要靠考查了分段函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．其中熟練掌握分段的基本性質(zhì)，列出相應(yīng)的不等式關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于偏難題．【舉一反三】【2019甘肅蘭州一中模擬】已知函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．(0，3)B．(0，3]C．(0，2)D．(0，2]【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為上的減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，遞減，即，當(dāng)時(shí)，遞減，即，且，解得，綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選D．三、強(qiáng)化訓(xùn)練1．【2019陜西四校聯(lián)考】已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由題意知，，又，則，又，解得．故選B．2．【2019好湖北四地七校10月聯(lián)考】已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C3．【2019山東師大附中二模】函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的范圍（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋?，解得，故選C．4．【2019河南開(kāi)封一?！恳阎瘮?shù)若，則的取值范圍是A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，∴或，即或，即，∴的取值范圍是，故選B．5．【2019河北衡水中學(xué)一摸】對(duì)于函數(shù)，若存在，使，則稱點(diǎn)是曲線的“優(yōu)美點(diǎn)”．已知，則曲線的“優(yōu)美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為A．1B．2C．4D．6【答案】B6．【2019廣東佛山二?！咳艉瘮?shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可得，作出函數(shù)的圖象，而表示過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線，由圖可知，當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，滿足題意；過(guò)原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線方程為，將代入，得，此時(shí)切線的斜率為，也即當(dāng)時(shí)，與相切，由圖可知，當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，滿足題意；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選D．7．【2019齊魯名校一聯(lián)】已知函數(shù)，若且滿足，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，即，的取值范圍是（以為變量時(shí)，注意的取值范圍為），故選D．8．【2019安徽皖中名校10月聯(lián)考】已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】B繪制函數(shù)的圖象如圖所示，觀察可得，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，故選B．9．【2019山東青島零?！恳阎瘮?shù)，的取值范圍是A．B．C．D．【答案】D【解析】若f（m）＞1，則，即，解得，m＞2或m＜0，故選D．10．【2019四川綿陽(yáng)一?！咳艉瘮?shù)，則不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B11．【2019山東濰坊期末考】已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當(dāng)，滿足條件，解不等式，解得解得，所以解集為，故選D．12．【2019河北張家口期末考】函數(shù)，則的解集為（）A．B．C．D．【答案】A13．【2019安徽黃山一?！恳阎?，則______________．【答案】【解析】由題意知，，則．學(xué)科*網(wǎng)14．【2019四川廣元一?！吭谏系暮瘮?shù)滿足：①（為正常數(shù)）；②當(dāng)時(shí)，，若的圖象上所有極大值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均落在同一條直線上，則___．【答案】1或2【解析】∵當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）＝1﹣（x﹣3）2；當(dāng)1≤x＜2時(shí)，2≤2x＜4，則f（x）f（2x）[1﹣（2x﹣3）2]，此時(shí)當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取極大值；當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）＝1﹣（x﹣3）2，此時(shí)當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)取極大值1；當(dāng)4＜x≤8時(shí)，2x≤4，則f（x）＝cf（x）＝c[1﹣（x﹣3）2]，此時(shí)當(dāng)x＝6時(shí)，函數(shù)取極大值c．∵函數(shù)的所有極大值點(diǎn)均落在同一條直線上，即點(diǎn)（，），（3，1），（6，c）共線，∴，解得c＝1或2．故答案為：1或2．15．【2019云南曲靖模擬】已知定義在R上的函數(shù)滿足：，且，，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為_(kāi)_____．【答案】【解析】∵，∴函數(shù)的周期為2．