《相似》 知識點總結(jié)及測試-學(xué)生版

<相似>知識點總結(jié)及測試知識框架知識點、概念總結(jié)1.相似：每組圖形中的兩個圖形形狀相同，大小不同，具有相同形狀的圖形叫相似圖形。相似圖形強調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關(guān)。相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。我們可以這樣理解相似形：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大或縮小得到的．若兩個圖形形狀與大小都相同，這時是相似圖形的一種特例——全等形．2.相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形?；橄嗨菩蔚娜切谓凶鱿嗨迫切蜗嗨菩蔚淖R別：對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等。成比例線段（簡稱比例線段）：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。黃金分割：用一點P將一條線段AB分割成大小兩條線段，若小段與大段的長度之比等于大段與全長之比，則可得出這一比值等于0·618…。這種分割稱為黃金分割，分割點P叫做線段AB的黃金分割點，較長線段叫做較短線段與全線段的比例中項。3.相似三角形的判定方法:根據(jù)相似圖形的特征來判斷。（對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等）

eq\o\ac(○,1).平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

eq\o\ac(○,2).如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等,那么這兩個三角形相似；

eq\o\ac(○,3.)如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個三角形相似；

eq\o\ac(○,4.)如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等,那么這兩個三角形相似；4.直角三角形相似判定定理:

eq\o\ac(○,1).斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。

eq\o\ac(○,2).直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似。5.一定相似的三角形（1）兩個全等的三角形一定相似。（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1）（2）兩個等腰直角三角形一定相似（兩個等腰三角形，如果其中的任意一個頂角或底角相等，那么這兩個等腰三角形相似。）（3）兩個等邊三角形一定相似。6.三角形相似的判定定理推論推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。推論二：腰和底對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似。推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個三角形相似。7.相似的性質(zhì)（1）相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。（2）相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。（3）相似三角形周長的比等于相似比。（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。（5）相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內(nèi)切圓、外接圓面積比是相似比的平方（6）若a:c=c:b，即c2=ab,則c叫做a,b的比例中項（7）c/d=a/b等同于ad=bc.9.相似的應(yīng)用：位似（1）位似圖形：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比．（2）掌握位似圖形概念，需注意：①位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；②兩個位似圖形的位似中心只有一個；③兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；④位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似．（3）位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)．位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離等于位似比（相似比）．（4）兩個位似圖形的主要特征是：每對位似對應(yīng)點與位似中心共線；不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行．（5）利用位似，可以將一個圖形放大或縮小，其步驟見下面例題．作圖時要注意:①首先確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；②確定原圖形的關(guān)鍵點，如四邊形有四個關(guān)鍵點，即它的四個頂點；③確定位似比，根據(jù)位似比的取值，可以判斷是將一個圖形放大還是縮??；④符合要求的圖形不惟一，因為所作的圖形與所確定的位似中心的位置有關(guān)，并且同一個位似中心的兩側(cè)各有一個符合要求的圖形?！断嗨啤窚y試一、試試你的身手（每小題3分，共30分）1．在比例尺為1∶500000的福建省地圖上，量得省會福州到漳州的距離約為46厘米，則福州到漳州實際距離約為千米．2．若線段，，，成比例，其中，，，則．3．已知，則的值為．4．兩個相似三角形面積比是9∶25，其中一個三角形的周長為36cm，則另一個三角形的周長是．5．把一個矩形的各邊都擴大4倍，則對角線擴大到倍，其面積擴大到倍．6．廚房角柜的臺面是三角形(如圖1)，如果把各邊中點連線所圍成三角形鋪成黑色大理石，其余部分鋪成白色大理石，則黑色大理石的面積與白色大理石的面積之比為．7．頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖2，，，都是黃金三角形，已知，則的長．8．在同一時刻，高為1.5m的標(biāo)桿的影長為2.5m，一古塔在地面上影長為50m，那么古塔的高為．9．如圖3，中，，，，，則．10．如圖4，在和中，，與的周長之差為10cm，則的周長是．二、相信你的選擇(每小題3分，共30分)1．在下列說法中，正確的是（）A．兩個鈍角三角形一定相似B．兩個等腰三角形一定相似C．兩個直角三角形一定相似D．兩個等邊三角形一定相似2．如圖5，在中，，分別是、邊上的點，，，，則（）A．60° B．45° C．30° D．20°3．如果三角形的每條邊都擴大為原來的5倍，那么三角形的每個角（）A．都擴大為原來的5倍B．都擴大為原來的10倍C．都擴大為原來的25倍D．都與原來相等4．如圖6，在中，，于，若，，則（）A．2 B．4 C．2 D．35．如圖7，，，分別是線段和線段的中點，那么線段的長是（）A．6 B．5 C．4.5 D．36．如圖8，點是的邊延長線上的一點，與相交于點，是的對角線，則圖中相似三角形共有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對7．如圖9，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是（）8．如圖10，梯形的對角線交于點，有以下四個結(jié)論：①；②；③；④．其中始終正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．用作相似圖形的方法，可以將一個圖形放大或縮小，相似中心位置可選在（）A．原圖形的外部 B．原圖形的內(nèi)部C．原圖形的邊上 D．任意位置10．如圖11是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖中所標(biāo)注的尺寸，這支蠟燭在暗盒中所成的像的長是（）A．cm B．cm C．cm D．1cm三、挑戰(zhàn)你的選擇(本大題共60分)1．(8分)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形，也知道:如果兩個幾何圖形形狀相同而大小不一定相同，我們就把它們叫做相似圖形．比如兩個正方形，它們的邊長，對角線等所有元素都對應(yīng)成比例，就可以稱它們?yōu)橄嗨茍D形．現(xiàn)給出下列4對幾何圖形：①兩個圓；②兩個菱形；③兩個長方形；④兩個正六邊形．請指出其中哪幾對是相似圖形，哪幾對不是相似圖形，并簡單地說明理由．2．（8分）如圖12，梯形中，，，為上一點，且．若，，BE∶EC=1∶2，求AB的長．3．（8分）如圖13，已知中，點是的中點，，則和有怎樣的關(guān)系？請你說明理由．4．(8分)某中學(xué)平整的操場上有一根旗桿（如圖14），一數(shù)學(xué)興趣小組欲測量其高度，現(xiàn)有測量工具（皮尺、標(biāo)桿）可供選用，請你用所學(xué)的知識，幫助他們設(shè)計測量方案．要求：（1）畫出你設(shè)計的測量平面圖；（2）簡述測量方法，并寫出測量的數(shù)據(jù)(長度用a，b，c…表示)．5．(14分)陽光通過窗戶照到室內(nèi)，在地面上留下2.7米寬的光亮區(qū)，如圖15，已知亮區(qū)一邊到窗下墻腳的距離8.7米，窗口高1.8米，那么窗口底邊離地面的高是多少米？6．(14分)如圖16，在一個長40m、寬30m的長方形小操場上，王剛從A點出發(fā)，沿著A→B→C的路線以3m/s的速度跑向C地．當(dāng)他出發(fā)4s后，張華有東西需要交給他，就從A地出發(fā)沿王剛走的路線追趕，當(dāng)張華跑到距B地m的D處時，他和王剛在陽光下的影子恰好重疊在同一條直線上．此時，A處一根電線桿在陽光下的影子也恰好落在對角線AC上．（1）求他們的影子重疊時，兩人相距多少米(DE的長)？（2）求張華追趕王剛的速度是多少(精確到0.1m/s)？1、如圖，某同學(xué)身高AB＝1.60m，他從路燈桿底部的點D直行4m到點B，此時其影長PB＝2m,求路燈桿CD的高度。2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分線，求證：△ABC∽△BCD3、如圖所示，△ABC中AB=AC，D為CB的延長線上一點，E為BC延長線上一點，滿足AB2=DB·CE。ADBCE（1）求證：ADBCE（2）若∠BAC=40°，求∠EAD大小。4、已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中點，DM⊥BC于點E，交BA的延長線于點D。求證：（1）MA2=MDME；（2）5、如圖,⊿ABC是等邊三角形,點D,E分別在BC