橢圓的定義及性質

關于橢圓的定義及性質第1頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五．．．．ABP．PPPP|PA|+|PB|=500|AB|=200第2頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五定義：平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a(>|F1F2|)的點的軌跡叫橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩個焦點的距離2c叫做橢圓的焦距橢圓的定義和標準方程第3頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五求方程的過程:解(1)建系：以F1F2所在的直線為x軸，以線段F1F2的中垂線為y軸建立直角坐標系,則有兩焦點坐標分別為：F1(-c,0),F2(c,o)(2)設點p(x,y)是橢圓上一點,如圖：根據已知有：|PF1|+|PF2|=2a·F1P(x,y)·yoF2x·這個橢圓的一個標準方程為：(a>b>0,a2=b2+c2)第4頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五求方程的過程:解(1)建系：以F1F2所在的直線為y軸，以線段F1F2的中垂線為x軸建立直角坐標系,則有兩焦點坐標分別為：F1(0,-c),F2(0,c)(2)設點p(x,y)是橢圓上一點,如圖：根據已知有：|PF1|+|PF2|=2a·F1P(x,y)·yoF2x·這個橢圓的標準方程為：(a>b>0,a2=b2+c2)第5頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五橢圓的標準方程分類圖示焦點坐標共性F1(-c,0)F2(c,0)長軸長:2a短軸長:2b焦距:2c(a2=b2+c2）F1(0,-c)F2(0,c)第6頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五橢圓的幾何性質:()1.范圍:|x|≤a|y|≤b

橢圓位于直線x=±a

和直線y=±b所圍成的矩形區(qū)域內2.對稱性：關于x軸和y軸對稱，也關于原點中心對稱A1·F1·oF2xA1A2B2B1第7頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五橢圓的幾何性質:()·F1·oF2xA1A2A1B2B13.頂點和長短軸：長軸：A1A2

短軸：B1B2

頂點：

A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-b)B2(0,b)4.離心率：

第8頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五橢圓的第二定義:已知點M(x,y)到定點F(c,0)的距離和它到定直線的距離的比為常數(shù)(a>c>0)，求點M的軌跡方程M(x,y)·oFx··(這個方程是橢圓的一個標準方程，稱這個定點F是橢圓的一個焦點，定直線是橢圓的一條準線，比值叫這個橢圓的離心率)第9頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五M(x,y)·oF2x··結論：橢圓有兩條和它的

兩個焦點相對應的準線F1第10頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五結論：橢圓有兩條和它的兩個焦點相對應的準線·F1·yoF2x與F2對應的準線方程：與F1對應的準線方程：第11頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五例1：求橢圓4x2+y2=2的準線方程橢圓的焦點在y軸上，且a2=2,b2=0.5,c2=1.5橢圓的兩條準線方程為解：由已知有橢圓的標準方程為第12頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五

ex1:橢圓的一個焦點到相應準線的距離為，離心率為，則橢圓的短軸長為多少？第13頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五

eg1:橢圓9x2+25y2-225=0上一點到左準線的距離為2.5,則P到右焦點的距離是()(A)8(B)(c)7.5(D)7橢圓的性質的應用：第14頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五

eg2:橢圓的右焦點為F，

設點A,P是橢圓上一動點，求使取得最小值時的P的坐標，并求出這個最小值第15頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五問題：平面內到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差是定值||PF1|-|PF2||=2a的點P的軌跡是什么？(1)若這個定值為0，它表示什么？(2)若這個定值=|F1F2|，它表示什么？(3)若這個定值>|F1F2|，它表示什么？(4)若這個定值非零且<|F1F2|,它表示什么？第16頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五當差值為0時，即|PF1|=|PF2|時：P．F1F2．．軌跡是線段F1F2的中垂線．第17頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五當|PF1|-|PF2|=|F1F2|時:

或|PF2|-|PF1|=|F1F2|時:P．F1F2．．軌跡是分別以F1和F2為端點的兩條射線．P（可不可能）？．P．P?第18頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五當|PF1|-|PF2|的絕對值>|F1F2|不可能，因為在三角形中，兩邊之差小于第三邊F1F2．．P第19頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五理想化的問題：一個出租汽車司機想從A地點送一個乘客到達目的地后，然后返回B點的家，已知A、B兩點的距離為20公里假設司機送客和返回家都是直線行駛，假設汽車每行駛一公里耗費一元，乘客每乘坐一公里付費二元，請問這個司機怎樣考慮接受乘客的目的地，他才可能至少能收益15元？（假設不考慮職業(yè)道德）第20頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五分析：為了把問題簡單化，我們先研究司機剛好只收益15元的情形AB．Ｐ(目的地)2|PA|-(|PA|+|PB|)=|PA|-|PB|=15（注意:|PA|-|PB|=15<|AB|=20）第21頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五你會替司機出個主意了嗎？（要求:|PA|-|PB|=15且|AB|=20）AB．Ｐ(目的地)|PA|-|PB|>15時呢？第22頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五定義：平面內與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a(<|F1F2|)的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點F1、F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點的距離叫做雙曲線的焦距2c。(o<a<c)雙曲線的定義？：如果定義中沒有“絕對值”這三個字，還是雙曲線嗎？第23頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五雙曲線的標準方程的求法：為了體現(xiàn)雙曲線的對稱美，和我們研究數(shù)學的由簡單到復雜的思維規(guī)律，我們也選擇對稱的建系方式，稱如下建系所得的雙曲線方程為雙曲線的標準方程：xyOxyO建系設點找等量關系式翻譯等量關系化簡整理步驟：第24頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五解:第(1)步：如圖：以F1F2所在直線為x軸，以線段F1F2的中垂線為y軸，建立直角坐標系,則點F1和點F2的坐標分別為(-c,0)、(c,0)OXY第25頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五第(2)步：設點P(x,y)雙曲線上的任意一點，則有:

OXY|PF1|-|PF2|=±2a第26頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五(3)由|PF1|-|PF2|=±2a和兩點間的距離公式得：

接下第27頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五這就是焦點在x軸上的雙曲線的標準方程焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是什么？第28頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五

焦點在x軸上的雙曲線

的標準方程是：同理：焦點在y軸上的雙曲線

的標準方程是：注：a2=c2-

b2xyOxyO結論：第29頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五例1已知兩個定點的坐標分別是F1(-5,0),F2(5,0)求到這兩點的距離的差的絕對值為6的點的軌跡方程第30頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五例2已知一個動圓過點A(2,0),并且和一個定圓(x+2)2+y2=4相切,求這個動圓的圓心的軌跡方程第31頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五雙曲線的標準方程中的幾個參量：例3.判斷下列方程是否表示雙曲線，若是，求出三個量a,b,c的值。①②③再請你指出各自的頂點和焦點坐標第32頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五證明：設m,n>0,則有：

和有公共的焦點，它們的實軸長和虛軸長正好對換和有公共的漸進線，它們的實軸和虛軸正好對換。我們稱它們?yōu)楣曹楇p曲線第33頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五例4：請判斷以下方程表示什么樣的曲線？并指出它們的焦點在哪個坐標軸上。第34頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五雙曲線的漸近線方程練習：例5.求出下列雙曲線的漸近線的方程。①②③第35頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五與雙曲線的漸近線有關的結論：(1)求雙曲線的漸近線方程時，只需將上式右邊的1換成0即可(2)雙曲線表示任意以為漸近線的雙曲線系

(k≠0)第36頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五雙曲線的漸近線方程：第37頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五例：雙曲線的中心在原點，對稱軸是兩坐標軸，有一條漸近線方程為2x+3y=0,并且過定點(2,2)求這個雙曲線的方程.(2,2)第38頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五解法一：如圖,雙曲線的兩條漸近線把坐標平面分成四部分，點(2,2)剛好在上部分，故有這條雙曲線的焦點在y軸上，設它的標準方程為第39頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五由雙曲線的標準方程為

知它的漸近線方程為：第40頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五又已知點(2，2)在雙曲線上，則有：解得：故所求的雙曲線的方程為：第41頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五解2：據題意：雙曲線的漸近線方程為：即不妨設所求的雙曲線的方程為：將點(2,2)的坐標代入上式：故所求的雙曲線的方程為：第42頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五證明：雙曲線上任一點

到它的兩漸近線的距離之積為定值，并求這個定值。證明：由已知，它的漸近線方程為它們的標準方程為bx±ay=0設(x0,y0)是雙曲線上的任意一點，則有：第43頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五...p示意：如圖，過點P向兩條漸近線引垂線交兩條漸近線于點M、N，則有：MN第44頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五問題：|PM|+|PN|有最值嗎？何時有，是多少？...pMN第45頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五已知雙曲線右支上一點P到它的右焦點的距離為10，則P到雙曲線的左準線的距離是多少？...P(x,y)F2F1xyMN第46頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五回顧:橢圓的焦點半經公式及求法：(2)設P(x,y)是橢圓上的任意一點，則|PF1|和|PF2|的值為a±ey(1)設P(x,y)是橢圓上的任意一點，則|PF1|和|PF2|的值為a±ex第47頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五..F1F2.P(x,y)MN分析：如圖，過點P向兩準線引垂線交兩準線于點M、N，根據雙曲線的第二定義：第48頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五..F1F2.P(x,y)MN同理：第49頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五同理：當焦點在y軸上時：..F1F2.P(x,y)MNxy|PF1|=a+ey|PF2|=a-ey第50頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五如下圖提示：你能推出焦點在x軸上的雙曲線的焦半經公式嗎？...P(x,y)F2F1xyMN第51頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五若它的焦點在x軸上，則有|PF1|、|PF2|為ex±a若它的焦點在y軸上呢？則有|PF1|、|PF2|為ey±a第52頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五雙曲線中三角形PF1F2中的邊和角...P(x,y)F2F1xy正弦定理、余弦定理、和三角形面積公式在圖中的體現(xiàn)及相互間的聯(lián)系。第53頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五...P(x,y)F2F1xy第54頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五(1)余弦定理：...P(x,y)F2F1xy第55頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五(2)正弦定理：...P(x,y)F2F1xy第56頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五(3)三角形的面積公式：...P(x,y)F2F1xy第57頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五實例1：點P是雙曲線上的一點，F(xiàn)1、F2是焦點，,求的面積...pF1F2xy第58頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內到定點的距離和到定直線的距離的比是定值e的點的軌跡是：(1)當0<e<1時表示一個橢圓(2)當e>1時表示一個雙曲線(3)當e=1時表示什么呢？平面內到定點的距離等于到定直線的距離的點的軌跡叫拋物線至此，橢圓、雙曲線、拋物線的定義就統(tǒng)一起來了，這三種曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。第59頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五

平面內到定點的距離和它到定直線的距離相等的點的軌跡叫拋物線拋物線的標準方程：以后我們約定這個定點到定直線的距離為P.FLK討論：怎樣建立坐標系所得方程簡單？第60頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五建系方式一：以后我們約定這個定點到定直線的距離為P.FLK討論：怎樣建立坐標系所得方程簡單？Oxy如圖：以過焦點且垂直于準線的直線為x軸，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系。則F點的坐標為準線的方程為第61頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五.FLKOxy設點M(x,y)是所求的曲線上的任意一點，過點M作MD垂直直線L交L于點D，則有根據定義有：|MD|=|MF|.M(x,y)D……它叫拋物線的一種標準方程它的焦點坐標和準線方程是？第62頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五拋物線的標準方程有四種：請分別畫出它們的草圖，并指出它們的焦點坐標、準線方程你還記得上式中P的幾何含義嗎？第63頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五.FLKOxy焦點的坐標為：準線的方程為.M(x,y)D第64頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五.FLKOxy焦點的坐標為：準線的方程為.M(x,y)D第65頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五焦點的坐標為：準線的方程為.FLKOxy.M(x,y)D第66頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五焦點的坐標為：準線的方程為.FLKOxy.M(x,y)D第67頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五例1:(1)已知拋物線的焦點坐標是

F(0,-2),求它的標準方程.FLKOxy第68頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五(2)已知拋物線的標準方程為y=x2,求它的焦點坐標和準線方程.FLKOxy第69頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五例2：探照燈的反射鏡的縱截面是拋物線的一部分，燈口的直經為60cm，燈深為40cm，求拋物線的標準方程和焦點的位置。.FOxyAB第70頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五拋物線的幾何性質：(1)范圍：(一)(二)(三)(四)(2)對稱軸及頂點(一)(二)(三)(四)(3)離心率拋物線的離心率恒為1第71頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五拋物線的焦半徑公式:(一)(二)(三)(四)設M(x,y)是以下拋物線上的任意一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，則焦半經EF的長度為：當拋物線的方程為y2=2px時,則|MF|=當拋物線的方程為y2=-2px時,則|MF|=當拋物線的方程為x2=2py時,則|MF|=當拋物線的方程為x2=-2py時,則|MF|=第72頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五例3：過拋物線y2=2px的焦點F任意作一條直線交拋物線于A、B兩點，求證：以A、B為直經的圓和這個拋物線的準線相切。.FLKOxyAB?M第73頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五過拋物線y2=2px的焦點F的弦長公式：設直線AB與拋物線的對稱軸的夾角為θ，則有.FOxyAB?第74頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五特殊情形：當θ=90°，即AB和對稱軸垂直時：.FOBA??|AB|=2|AF|=2p此時稱線段AB為拋物線的通經第75頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五x.FOyBA設直線AB的斜率為k(k≠0),則直線的點斜式方程為聯(lián)立方程：第76頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五x.FOyBA?第77頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五x.FOyBA??還有新的方法：設A、B兩點的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)兩式相減得：第78頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五x.FOyBA??第79頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五例4：過拋物線y2=2px的焦點的一條直線與拋物線的兩個交點的橫坐標分別是x1、x2,縱坐標分別是y1、y2,求證:x.FOyBA??分析：當直線的斜率不存在時，當直線的斜率存在時。第80頁，共89頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五例5：PQ是過拋物線的焦點的一條弦，通過點P和拋物線的頂點的直線交準線