洛倫茲變換的詳細(xì)推導(dǎo)

-.z.洛倫茲變換式教學(xué)內(nèi)容：1.洛倫茲變換式的推導(dǎo)；2.狹義相對(duì)論的時(shí)空觀：同時(shí)性的相對(duì)性、長度的收縮和時(shí)間的延緩；重點(diǎn)難點(diǎn)：狹義相對(duì)論時(shí)空觀的主要結(jié)論。根本要求：1.了解洛倫茲坐標(biāo)變換和速度變換的推導(dǎo)；2.了解狹義相對(duì)論中同時(shí)性的相對(duì)性以及長度收縮和時(shí)間延緩概念；3.理解牛頓力學(xué)中的時(shí)空觀和狹義相對(duì)論中的時(shí)空觀以及兩者的差異。三、洛倫茲坐標(biāo)變換的推導(dǎo)或據(jù)狹義相對(duì)論的兩個(gè)根本假設(shè)來推導(dǎo)洛侖茲變換式。1.時(shí)空坐標(biāo)間的變換關(guān)系作為一條公設(shè)，我們認(rèn)為時(shí)間和空間都是均勻的，因此時(shí)空坐標(biāo)間的變換必須是線性的。對(duì)于任意事件P在S系和S'系中的時(shí)空坐標(biāo)(*，y，z，t)、(*'，y'，z'，t')，因S'相對(duì)于S以平行于*軸的速度v作勻速運(yùn)動(dòng)，顯然有y'=y,z'=z。在S系中觀察S系的原點(diǎn)，*=0；在S'系中觀察該點(diǎn)，*'=-vt'，即*'+vt'=0。因此*=*'+vt'。在任意的一個(gè)空間點(diǎn)上，可以設(shè)：*=k〔*'+vt'〕，k是—比例常數(shù)。同樣地可得到：*'=k'〔*-vt〕=k'〔*+(-v)t〕根據(jù)相對(duì)性原理，慣性系S系和S'系等價(jià)，上面兩個(gè)等式的形式就應(yīng)該一樣〔除正、負(fù)號(hào)〕，所以k=k'。2.由光速不變?cè)砜汕蟪龀?shù)k設(shè)光信號(hào)在S系和S'系的原點(diǎn)重合的瞬時(shí)從重合點(diǎn)沿*軸前進(jìn)，則在任一瞬時(shí)t〔或t'〕，光信號(hào)到達(dá)點(diǎn)在S系和S'系中的坐標(biāo)分別是：*=ct,*'=ct'，則：由此得到。這樣，就得到，。由上面二式，消去*'得到；假設(shè)消去*得到，綜合以上結(jié)果，就得到洛侖茲變換，或洛侖茲反變換可見洛侖茲變換是兩條根本原理的直接結(jié)果。3.討論〔1〕可以證明，在洛侖茲變換下，麥克斯韋方程組是不變的，而牛頓力學(xué)定律則要改變。故麥克斯韋方程組能夠用來描述高速運(yùn)動(dòng)的電磁現(xiàn)象，而牛頓力學(xué)不適用描述高速現(xiàn)象，故它有一定的適用范圍?！?〕當(dāng)|v/c|<<1時(shí)，洛侖茲變換就成為伽利略變換，亦即后者是前者在低速下的極限情形。故牛頓力學(xué)僅是相對(duì)論力學(xué)的特殊情形—低速極限。四、相對(duì)論速度變換公式洛侖茲變換是事件的時(shí)空坐標(biāo)在不同慣性系之間的關(guān)系，根據(jù)洛侖茲變換可以得到狹義相對(duì)論的速度變換公式。設(shè)物體在S、S'系中的的速度分別為，，根據(jù)洛侖茲變換式可得：因此：，即：因y'=y,z'=z，有dy'=dy,dz'=dz則，即。同理：因此得相對(duì)論的速度變換公式：、、其逆變換為：、、。討論〔1〕當(dāng)速度u、v遠(yuǎn)小于光速c時(shí)，即在非相對(duì)論極限下，相對(duì)論的速度變換公式即轉(zhuǎn)化為伽利略速度變換式。〔2〕利用速度變換公式，可證明光速在任何慣性系中都是c。證明：設(shè)S'系中觀察者測(cè)得沿*'方向傳播的一光信號(hào)的光速為c，在S系中的觀察者測(cè)得該光信號(hào)的速度為：，即光信號(hào)在S系和S'系中都一樣。第四節(jié)狹義相對(duì)論的時(shí)空觀一、同時(shí)的相對(duì)性1.概念狹義相對(duì)論的時(shí)空觀認(rèn)為：同時(shí)是相對(duì)的。即在一個(gè)慣性系中不同地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，在另一個(gè)慣性系中不一定是同時(shí)的。例如：在地球上不同地方同時(shí)出生的兩個(gè)嬰兒，在一個(gè)相對(duì)地球高速飛行的飛船上來看，他們不一定是同時(shí)出生的。如圖設(shè)系為一列長高速列車，速度向右，在車廂正中放置一燈P。當(dāng)燈發(fā)出閃光時(shí)：系的觀察者認(rèn)為，閃光相對(duì)他以一樣速率傳播，因此同時(shí)到達(dá)A、B兩端；S系〔地面上〕的觀察者認(rèn)為，A與光相向運(yùn)動(dòng)〔v、c反向〕，B與光同向運(yùn)動(dòng)，所以光先到達(dá)A再到達(dá)B，不同時(shí)到達(dá)。結(jié)論：同時(shí)性與參考系有關(guān)—這就是同時(shí)的相對(duì)性。假設(shè)兩個(gè)事件P1和P2，在S系和系中測(cè)得其時(shí)空坐標(biāo)為：由洛倫茲變換得：在S系和系中測(cè)得的時(shí)間間隔為和〔t2-t1〕，它們之間的關(guān)系為：可見，兩個(gè)彼此間作勻速運(yùn)動(dòng)的慣性系中測(cè)得的時(shí)間間隔，一般來說是不相等的。2.討論〔1〕在S系中同時(shí)發(fā)生：t2=t1，但在不同地點(diǎn)發(fā)生，，則有：這就是同時(shí)的相對(duì)性?！?〕在S系中同時(shí)發(fā)生：t2=t1，而且在一樣地點(diǎn)發(fā)生，，則有：即在S系中同時(shí)同地點(diǎn)發(fā)生的兩個(gè)事件，在S’系中也同時(shí)同地點(diǎn)發(fā)生?！?〕事件的因果關(guān)系不會(huì)顛倒，如人出生的先后假設(shè)在S系中，t時(shí)刻在*處的質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過時(shí)間后到達(dá)處，則由：得到因?yàn)関≯c，u≯c，所以Δ與Δt同號(hào)。即事件的因果關(guān)系，相互順序不會(huì)顛倒?！?〕上述情況是相對(duì)的。同理在S’系中不同地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，在S系看來同樣也是不同時(shí)的?！?〕當(dāng)時(shí)，，回到牛頓力學(xué)。二、長度收縮〔洛倫茲收縮〕假設(shè)一剛性棒AB靜止于S’系中，在S系中同時(shí)測(cè)量得。由洛倫茲坐標(biāo)變換式：得：即1.固有長度觀察者與被測(cè)物體相對(duì)靜止時(shí)，長度的測(cè)量值最大，稱為該物體的固有長度〔或原長〕，用l0表示。即2.洛倫茲收縮〔長度縮短〕觀察者與被測(cè)物體有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，長度的測(cè)量值等于其原長的倍，即物體沿運(yùn)動(dòng)方向縮短了，這就是洛倫茲收縮〔長度縮短〕。討論：〔1〕長度縮短效應(yīng)具有相對(duì)性。假設(shè)在S系中有一靜止物體，則在系中觀察者將同時(shí)測(cè)量得該物體的長度沿運(yùn)動(dòng)方向縮短，同理有即看人家運(yùn)動(dòng)著的尺子變短了?！?〕當(dāng)v<<c時(shí)，有三、時(shí)間膨脹〔時(shí)間延緩〕由洛倫茲變換得，事件P1、P2在S系中的時(shí)間間隔為，事件P1、P2在S’系中的時(shí)間間隔為。如果在S’系中兩事件同地點(diǎn)發(fā)生，即，則有：1.固有時(shí)間〔原時(shí)〕的概念在*一慣性系中同一地點(diǎn)先后發(fā)生的兩事件之間的時(shí)間間隔，叫固有時(shí)間〔原時(shí)〕。用表示，且：。2.時(shí)間膨脹在S系看來：，稱為時(shí)間膨脹。3.討論〔1〕時(shí)間膨脹效應(yīng)具有相對(duì)性。假設(shè)在S系中同一地點(diǎn)先后發(fā)生兩事件的時(shí)間間隔為Δt〔稱為原時(shí)〕，則同理有就好象時(shí)鐘變慢了，即看人家運(yùn)動(dòng)著的鐘變慢了?！?〕當(dāng)v＜＜c時(shí)，有〔3〕實(shí)驗(yàn)已證實(shí)μ子，π介子等根本粒子的衰變，當(dāng)它們相對(duì)實(shí)驗(yàn)室靜止和高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其壽命完全不同。例1:在慣性系S中，有兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，在軸上相距處，從另一慣性系S’中觀察到這兩個(gè)事件相距。問由S’系測(cè)得此兩事件的時(shí)間間隔為多少？解：由題意知，在S系中，，即，。而在S’系看來，時(shí)間間隔為，空間間隔為。由洛倫茲坐標(biāo)變換式得：由〔1〕式得代入〔2〕式得例2:半人馬星座α星是離太陽系最近的恒星，它距地球