2015秋線性代數(shù)-學(xué)習第05周課件

5.1可逆矩陣的定義時兩邊乘以

得且

具有一元一次方程

當下列性質(zhì)：類似地，可引入可逆矩陣的概念：定義：對方陣

若存在矩陣

滿足

則稱

是可逆的(invertible).

稱

是

的逆矩陣(inverse

matrix),

記作不可逆矩陣也稱為奇異矩陣(singular

matrix),而可逆矩陣也稱為非奇異矩陣(nonsingular

matrix).注：存在不可逆方陣，如5.2矩陣可逆的性質(zhì)特別的,方陣的逆唯一.(1)若方陣

滿足證明則：矩陣可逆與主元個數(shù)定理：

階矩陣

可逆證明：

若有

個主元.階方陣

有

個主元,

則方程組分別有唯一解

則

得

的右逆.此時,

可經(jīng)過一系列初等行變換化為單位矩陣,

即存在初等矩陣使得對方陣

右逆

=

左逆

=

逆,

故于是得

的左逆.可逆.矩陣可逆與主元個數(shù)設(shè)

可逆,

即存在矩陣

使假設(shè)

沒有

個主元,

則對

用初等行變換必產(chǎn)生一個零行,

即存有零行.也有零行,

這與

是初等矩陣的乘積必有

個主元.在初等矩陣的乘積

使于是.因此

階可逆方陣由證明過程知定理：若對

階方陣有則且5.2矩陣可逆的性質(zhì)(2)若

可逆,

則

有唯一解證明：

兩邊乘

得5.2矩陣可逆的性質(zhì))(3)

有非零解

不可逆.(4

矩陣

可逆且例：設(shè)故

可逆,且5.2矩陣可逆的性質(zhì)(5)對角矩陣可逆且(6)若方陣

滿足

則

且（證明見前面“可逆陣與其主元個數(shù)”的證明）5.2矩陣可逆的性質(zhì)定理:(1)若

是可逆矩陣，則也可逆，且若

階方陣

和

都可逆,則

可逆,且若

可逆，則

也可逆，且5.3初等矩陣的逆例小結(jié)：初等矩陣都是可逆的,

其逆把

變回5.3初等矩陣的逆5.4

Gauss-Jordan消元法求例：設(shè)兩個方程組有相同系數(shù)矩陣,可以一起消元.增廣矩陣寫成只做“初等行變換”，化為5.4

Gauss-Jordan消元法求方法：Gauss-Jordan消元法（只能用“初等行變換”）因此5.4

Gauss-Jordan消元法求總結(jié)：設(shè)

可逆,

則（只能做“初等行變換”）德國大地測量學(xué)家Wilhelm

Jordan(1842-1899)改進了Gauss消元法.W.

Jordan5.4

Gauss-Jordan消元法求例：求的逆.解：5.4

Gauss-Jordan消元法求因此5.4

Gauss-Jordan消元法求由Gauss-Jordan消元法求逆矩陣的過程知：設(shè)

可逆,

則

可經(jīng)過一系列初等行變換化成單位矩陣

因此有初等矩陣

使得故可逆可表示成一系列初等矩陣的乘積.?5.5矩陣可逆與主元個數(shù)由Gauss-Jordan消元法求逆的過程還可以得到定理：

階矩陣

可逆證明：

若

階方陣有

個主元.有

個主元,

則方程組則

得分別有唯一解的右逆.此時,

可經(jīng)過一系列初等行變換化為單位矩陣,

即存在初等矩陣使得對方陣

右逆

=

左逆

=

逆,

故于是得

的左逆.可逆.5.5矩陣可逆與主元個數(shù)設(shè)

可逆,

即存在矩陣

使假設(shè)

沒有

個主元,

則對用初等行變換必產(chǎn)生一個零行,即存有零行.也有零行,

這與

是初等矩陣的乘積必有

個主元.在初等矩陣的乘積

使于是.因此

階可逆方陣由證明過程知定理：若對

階方陣有則且5.6下三角矩陣的逆主對角線下(上)方元素全為零的方陣稱為上(下)三角矩陣.例：下三角矩陣一般地，不難證明：定理：兩個

階下(上)三角矩陣且

的主對角元等于

與與

的乘積仍為下(上)三角矩陣,的相應(yīng)主對角元的乘積.5.6下三角矩陣的逆例:

設(shè)

求解:因此5.6下三角矩陣的逆一般地，定理：對于下三角矩陣，可逆主對角元素都非零.可逆下三角矩陣的逆也是下三角陣.對于下三角矩陣，若原矩陣對角元素都是

則逆的對角元也都是5.7分塊矩陣的消元和逆考慮分塊矩陣

其中

可逆.則可進行分塊矩陣的初等行變換,使之變成分塊上三角矩陣:使用分塊初等矩陣,即有5.7分塊矩陣的消元和逆為把一般分塊矩陣變?yōu)榉謮K上三角矩陣,稱下列三種變換為分塊矩陣的初等行變換：把分塊陣的一行減去“另一行左乘矩陣

(即

在乘法的左側(cè))

”交換分塊陣的兩行;用一個可逆矩陣M左乘分塊陣的某一行(即M在乘法的左側(cè)).類似有分塊矩陣的初等列變換,則需要用矩陣作右乘（即：原矩陣元素在乘法的左側(cè)）.5.7分塊矩陣的消元和逆相應(yīng)得分塊初等矩陣,如M是可逆陣5.7分塊矩陣的消元和逆是矩陣為可逆的分塊上三角矩陣,其中矩陣.求例：設(shè)為解：用

表示且把它分塊使故有由此解得于是分塊上三角矩陣可逆主對角線上各分塊都是可逆的.§6分解6.1

分解（書中只考慮“A可逆情形”）：回憶消元法的過程：方陣使用矩陣語言是初等矩陣的乘積.例：目標：將矩陣

分解成一個下三角矩陣(lower

triangular

matrix)和一個上三角矩陣(upper

triangularmatrix)的乘積.初等行變換上三角矩陣6.1

分解看三階方陣的情形：設(shè)只做上面行的倍數(shù)加到下面行，經(jīng)Gauss消元法變?yōu)樯先顷嚰从谑窍ゾ仃?/p>

為下三角矩陣.

消去矩陣的逆、乘積均是下三角矩陣.6.1

分解問題：為什么用而非例：6.1分解容易計算，

不易計算.只包含消去信息

包含其他信息.是這樣得到的：將消元的系數(shù)寫在相應(yīng)位置上.記代入得6.1分解例為上三角矩陣，對角元為

主元.為下三角矩陣，對角元為

乘數(shù)位于對角元下方.6.1分解有時，

寫成例：上例中和

的對角元其中

為對角陣

為上三角陣

為下三角陣都是6.2

用分解解線性方程組則方程組

變?yōu)?下三角形方程組)(上三角形方程組)若例：已知應(yīng)用

的分解來解其中6.2

用分解解線性方程組解：和不計求

分解的運算在內(nèi),解兩個三角方程組比直接解

簡單.6.2

用

分解解線性方程組實際問題中常需解一系列具有相同系數(shù)矩陣的線性方程組當

可逆時，可求

再求實踐中，用消元法解第一個方程組，同時得到

的

分解；用

分解

解剩下的方程組.6.3

消元法的計算量（選讀）需多少次加問題：設(shè)

為

階矩陣，用Gauss消元法解減乘除運算？求乘數(shù)??共需共需次除法.次乘法.共需次減法.對階矩陣繼續(xù)消元，……6.3

消元法的計算量（選讀）所以，消元法一般過程含乘除法次數(shù)為含加減法次數(shù)為回代過程：含乘除法次數(shù)為含加減法次數(shù)為因此，Gauss消元法的計算量為含乘除法次數(shù)加減法次數(shù)6.4

分解的存在性和唯一性并非每個矩陣

都有

分解,

即使

可逆.例：若則問題：若可逆矩陣

有分解，則

應(yīng)滿足什么條件？設(shè)

是

的左上角的子矩陣，稱為

的

階順序主子陣.6.4

分解的存在性和唯一性定理：設(shè)可逆矩陣均為可逆陣，則的順序主子陣有

分解.證明：對

的階數(shù)

用數(shù)學(xué)歸納法.時，假設(shè)

時定理成立,

則定理成立.時，其中

是維列向量，是

維行向量.6.4分解的存在性和唯一性由

可逆，對作消元：，即由歸納假設(shè)故定理得證.6.4分解的存在性和唯一性定理：設(shè)

階可逆陣

有

其中為下三角矩陣則分解唯一.為上三角矩陣，且則對角元全為證明：設(shè)可逆陣

有兩個

分解：為對