幾何與代數(shù)復(fù)習(xí)：習(xí)題解析第六章

第六章二次型與二次曲面§6.3二次曲面x=Qy,作直角系的旋轉(zhuǎn)變換坐標(biāo)軸的平移g(y)=yTy+B’Ty+c=0y=z+1z12+2z22+3z32=bzi+dQ正交Q正交且|Q|=1右手系→右手系一般二次型f(x1,x2,x3)=xTAx+BTx+c=0實(shí)對稱陣的正交相似對角化問題Q正交,s.t.,Q1AQ=QTAQ==diag(1,…,n)實(shí)二次型正交變換標(biāo)準(zhǔn)形二次曲面直角坐標(biāo)變換曲面的標(biāo)準(zhǔn)形條件方程p,qd二次曲面p=3,q=0r(g)=3,b=0橢球面球面p=2,q=1d>0p=0,q=3d<0單葉雙曲面d>0d<0雙葉雙曲面d=0二次錐面r(g)=2,b0d=0p=2,q=0橢圓拋物面p=1,q=1雙曲拋物面r(g)=2,b=0d0p=2,q=0橢圓柱面p=1,q=1雙曲柱面r(g)=1d=0p=1,q=0p=0,q=1拋物柱面證明:3.設(shè)A為n階方陣，證明二次型f(x)=xTAx的矩陣為所以f(x)=xTAx

的矩陣為解:

因?yàn)?/p>

Ax

=

與ATAx

=

同解，9.設(shè)mn矩陣A的秩為r，求二次型f(x)=xTATAx

的規(guī)范形.

所以r(A)

=

r(ATA)

=

r.f(x)=xTATAx

=(Ax)TAx

所以x,f(x)=(Ax)TAx0.

所以ATA的正慣性指數(shù)為r.從而f(x)的規(guī)范形為g(y)證1:設(shè)

所以A不是正定陣.證2:令

顯然A,B相合,并且相合的矩陣有相同的正定性.,則,則

所以B不是正定陣.

所以A不是正定陣.12.設(shè)A=(aij)為n階實(shí)對稱矩陣，若對角線上有一個aii0,則A必不是正定矩陣.

證明:設(shè)為B對應(yīng)于的特征向量,則14.設(shè)A為n階實(shí)對稱矩陣，B為n階實(shí)矩陣,且A與A

BTAB均為正定矩陣,是B的一個實(shí)特征值,則||<1.

15.設(shè)A,B都是實(shí)對稱矩陣,M=A

O

O

B

,證明:M正定A,B都正定.證明:()①M(fèi)正定x,y,xTAx=(xT,T)M

x

>0,yTBy=(T,yT)M

y>0,A,B都正定.

證明:()P1AP=M正定1,…,s,1,…,t>01

s

…,Q1BQ=1

t

…,則P

O

O

Q

1A

O

O

B

P

O

O

Q

=1

s

1

t

……A,B都正定.15.設(shè)A,B都是實(shí)對稱矩陣,M=A

O

O

B

,證明:M正定A,B都正定.②A,B實(shí)對稱,必存在正交陣P,Q,使得

證明:()③

設(shè)A為s階的,則當(dāng)i

s時,M正定M的順序主子式>0A,B的順序主子式>0

ABOOM的i階順序主子式=A的i階順序主子式當(dāng)i

>s時,M的i階順序主子式=|A|B的is階順序主子式A,B都正定.15.設(shè)A,B都是實(shí)對稱矩陣,M=A

O

O

B

,證明:M正定A,B都正定.

證明:()①

因?yàn)锳,B都正定,PTAP=E,QTBQ=E,于是P

O

O

Q

TA

O

O

B

P

O

O

Q

=,E

O

O

E

所以存在可逆陣P,Q使因而M正定.其中可逆,P

O

O

Q

15.設(shè)A,B都是實(shí)對稱矩陣,M=A

O

O

B

,證明:M正定A,B都正定.

證明:()②

因?yàn)锳,B都正定,A=PTP,B=QTQ,所以存在可逆陣P,Q使因而M正定.其中可逆,P

O

O

Q

于是P

O

O

Q

TP

O

O

Q

=A

O

O

B

,15.設(shè)A,B都是實(shí)對稱矩陣,M=A

O

O

B

,證明:M正定A,B都正定.證明:因?yàn)锳正定,所以AT=A,A的所有特征值i>0,i=1,2,…,n.因?yàn)锳正交,A的所有特征值i2=1,則i=1,i=1,2,…,n.所以ATA=A2=E,所以實(shí)對稱陣A與E相似.即存在可逆矩陣P,使得19.設(shè)A既是正定陣又是正交陣，證明：A是單位陣.

方陣A與E相似A=

EA與E相合A正定方陣A與E相抵A可逆，線性無關(guān)A=P1…PsQ1…Qt滿秩,非奇異,非退化特征值