概率論-第1講概率論基礎(chǔ)

第一章事件與概率§1.1

隨機(jī)現(xiàn)象與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性1.決定性現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生（出現(xiàn)）某一結(jié)果的現(xiàn)象稱為決定性現(xiàn)象.特性在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)或觀察，它的結(jié)果總是確定不變的。隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下，重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)或觀察，所得到的結(jié)果不完全相同。特性:每一次實(shí)驗(yàn)或觀察，它的結(jié)果是不確定的,有可能出現(xiàn)這種結(jié)果,也有可能出現(xiàn)那種結(jié)果.概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象中的數(shù)量規(guī)律性的學(xué)科。因?yàn)殡S機(jī)現(xiàn)象是普遍存在的,

所以概率論的概念和方法幾乎應(yīng)用于所有的科技部門。例如氣象、水文、 的預(yù)報(bào)，產(chǎn)品的驗(yàn)收以及電子系統(tǒng)的可靠性估計(jì)等，都會(huì)用到概率論的方法和結(jié)果?！?.2

樣本空間與事件—隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行一次觀察和實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)稱為實(shí)驗(yàn)，用E表示.例1

投擲一枚

,

觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

E1將一枚硬幣拋擲兩次,

觀察正

出現(xiàn)的情況.

E2例2觀測(cè)個(gè)

臺(tái),

記錄在一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù).

E3例3特點(diǎn):1實(shí)驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；2實(shí)驗(yàn)的全部可能結(jié)果不止一個(gè)，并且在實(shí)驗(yàn)之前能夠明確知道所有的可能結(jié)果；3每次實(shí)驗(yàn)必發(fā)生全部可能結(jié)果中的一個(gè)且僅發(fā)生一個(gè).實(shí)驗(yàn)E的每一個(gè)可能結(jié)果稱為一個(gè)基本事件(或樣本點(diǎn))，用表示。實(shí)驗(yàn)的基本事件全體構(gòu)成的集合，稱為樣本空間，用Ω表示，即Ω={

|

為E的基本事件}.互斥性（不重復(fù)）完備性（不遺漏）要求：例1(續(xù))投擲一枚,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).E1令ωi表示“出現(xiàn)i

點(diǎn)”,則試驗(yàn)E1的樣本空間為

{1,

2

,

3,

4

,

5

,

6

}例2(續(xù))

將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正況.

樣本空間為出現(xiàn)的情

={(H,H),

(H,T),

(T,H),

(T,T)},H~head,T~tail.第1次第2次HTHHHTTT(H,H):(H,T)：(T,H):(T,T)：其中例3(續(xù))

觀測(cè)個(gè)

臺(tái),的呼叫次數(shù).記錄在一分鐘內(nèi)接到令ωi表示“接到i

個(gè)呼叫”,則樣本空間為

{0

,

1,

2

,

3

,

}也可簡(jiǎn)記為

{0,

1,2,

3,

}在一次實(shí)驗(yàn)中，人們常關(guān)心實(shí)驗(yàn)結(jié)果中某一確定的部分。例如在例3中人們可能關(guān)心的是“接到8個(gè)或以上”。把實(shí)驗(yàn)可能結(jié)果中某一確定的部分稱為隨機(jī)事件(簡(jiǎn)稱為事件)，用大寫字母A，B，C表示.任意隨機(jī)事件都是樣本空間的某一個(gè)子集。事件是由樣本點(diǎn)組成的。二、隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中，稱事件A發(fā)生是指A中有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生（或出現(xiàn)）。事件A發(fā)生也稱為事件A出現(xiàn).兩個(gè)特殊的事件樣本空間Ω——包含所有的樣本點(diǎn)，在每一次實(shí)驗(yàn)中肯定發(fā)生，稱為必然事件空集φ——不包含任何樣本點(diǎn)，在每次實(shí)驗(yàn)中肯定不發(fā)生，稱為不可能事件(1)若AB，則稱事件B

包含事件A，事件A包含于事件B.事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生.ABA

B(2)若AB,

BA,

即A=B，則稱事件A與事件B相等.三事件的關(guān)系與運(yùn)算（3）事件AB稱為事件A

與事件B

的并（或和）事件?！?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)A、B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件AB發(fā)生?！癆、B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)”，“A發(fā)生或B發(fā)生”與“事件AB發(fā)生”是等價(jià)的。ABA

B（4）事件AB稱為事件A

與事件B

的交（或積）事件，也記作AB。件AB——

當(dāng)且僅當(dāng)A、B同時(shí)發(fā)生發(fā)生。“事件A和B同時(shí)發(fā)生”，“A和B都發(fā)生”與“事件AB發(fā)生”是等價(jià)的。ABA

Bn類似地，稱

Ak

為n個(gè)事件A1,…,An的和事件.k

1稱

Ak

為可列個(gè)事件A1,

…,

An,…的和事件.k

1n稱

Akk

1為可列個(gè)事件A1,…,An,…的積事件.

Akk

1稱為n個(gè)事件A1,…,An的積事件.（AB稱為事件A與事件B的差事件。件AB——

當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生，B不發(fā)生發(fā)生。AA

B類似地，若n個(gè)事件A1,…,An中兩兩互不相容，則稱這n個(gè)事件是互不相容的。若事件A1,…,An,…中任意兩個(gè)事件是互不相容的，則稱這可列無(wú)窮多個(gè)事件是互不相容的。（6）若AB=，稱為事件A與事件B互不相容(或互斥)。AB

AB（7）若AB=

,

AB=，稱事件A與事件B為對(duì)立事件或逆事件?！?/p>

在每次試驗(yàn)中，事件A、B中必有一個(gè)發(fā)生，且僅有一個(gè)發(fā)生。A

A（8）事件

稱為事件A的補(bǔ)事件?！?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)事件A不發(fā)生

件

A發(fā)生。AA事件的運(yùn)算性質(zhì)事件的運(yùn)算公式就是集合的運(yùn)算公式,交換律A

B

B

A

,

AB

BA;結(jié)合律(

A

B)

C

A

(B

C)

,(

AB)C

A(BC)

;(3)分配律(A

B)

C

(AC)

(B

C)

,(A

B)

C

(AC)

(B

C)

;(4)德

(De

M

an)律A

B

A

B

;

A

B

A

B

.以上性質(zhì)對(duì)多個(gè)事件，甚至可列個(gè)事件也成立。對(duì)于一個(gè)具體事件，要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示；反之，對(duì)于用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的事件，要清楚其具體含義是什么.下面來(lái)做練習(xí).例4：甲,乙兩人同時(shí)向某目標(biāo)射擊一次，觀測(cè)中靶情況.設(shè)A={甲中}，B={乙中}，問(wèn)AB

與A

B

各表示什么事件？是否是相等事件？解：由于A={甲中}，B={乙中}，故A

={甲未中}，

B

={乙未中}，AB

={甲中且乙中}={兩人都

}，因此A

B

={甲未中且乙未中}={兩人都未中}，AB

={不是兩人都顯然兩個(gè)事件不相等.}={至少有一人未中}，例5：一射手向目標(biāo)射擊3發(fā)，Ai表示第i次射擊打中目標(biāo)(i=1,2,3).試用A1，A2，A3及其運(yùn)算表示下列事件：“三發(fā)“三發(fā)都未打中目標(biāo)”至少有一發(fā)打中目標(biāo)”；(3)“三發(fā)恰好有一發(fā)打中目標(biāo)”(4)“三發(fā)至多有一發(fā)打中目標(biāo)”解：“三發(fā)

都未中”=A1“三發(fā)至少有一發(fā)打中”A2

A3

;=

A1A2

A3

A1

A2

A3

;“三發(fā)恰好有一發(fā)打中”=

A1

A2

A3

A1A2

A3

A1

A2

A3

;“三發(fā)至多有一發(fā)打中”=

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1A2

A3

A1

A2

A3

.一、古典概型假定隨機(jī)試驗(yàn)有有限個(gè)可能的結(jié)果,并且從該試驗(yàn)的條件及實(shí)施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)比另一結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)大或小，只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會(huì).§1-3

古典概型1.

實(shí)例一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球.

將球

為1－10

.

把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.1

2

3

4

5

67

8

9

10因?yàn)槌槿r(shí)這些球是完全

的，沒(méi)有理由認(rèn)為10個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另一個(gè)更容易取得.也就是說(shuō)，10個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)是相等的，均為1/10.用i

表示取到i

號(hào)球，i

=1,2,…,10.則該試驗(yàn)的樣本空間為{1,2,…,10}.每個(gè)樣本點(diǎn)(或者說(shuō)基本事件)出現(xiàn)的可能性相同.設(shè)A

=“取到2號(hào)球”,B

=

“取到紅球”.

則10P(

A)

1

,10P(B)

6

.2.

定義若隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E滿足：(1)Ω中基本事件的個(gè)數(shù)是有限的；(2)每個(gè)基本事件發(fā)生是等可能的，即每個(gè)事件發(fā)生的概率相等.則稱E為古典概型。計(jì)算公式:若E中有n個(gè)基本事件，事件A中包含k個(gè)基本事件，則A發(fā)生的概率定義為P(A)

k

A中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)n

中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具.基本計(jì)數(shù)原理1.

加法原理設(shè)完成一件事有m種方式，第

式有n1種方法，第二種方式有n2種方法,…；第m種方式有nm種方法,無(wú)論通過(guò)哪種方法都可以完成這件事，則完成這件事總共有n1

+n2

+…+nm種方法.基本計(jì)數(shù)原理則完成這件事共有種不同的方法.n1

n2

nm2.

乘法原理設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，第一個(gè)步驟有n1種方法，第二個(gè)步驟有n2種方法,…；第m個(gè)步驟有nm種方法,必須通過(guò)每一步驟,才算完成這件事，例1在袋中有10

個(gè)相同的球，分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,…,10。每次任取一個(gè)球，記錄其號(hào)碼后放回袋中，再任取下一個(gè)。這種取法叫做“有放回抽取”.今有放回抽取3個(gè)球，求這3個(gè)球的號(hào)碼均為偶數(shù)的概率解：令A(yù)={3個(gè)球的號(hào)碼均為偶數(shù)}k

5

3n

1

0

318P

(

A

)

注意此處為有放回抽取在袋中有10

個(gè)相同的球，分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,…,10。每次任取一個(gè)球，記錄其號(hào)碼后不放回袋中，再任取下一個(gè)。這種取法叫做“不放回抽取”。今不放回抽取3個(gè)球，求這3個(gè)球的號(hào)碼均為偶數(shù)的概率。解：令A(yù)={3個(gè)球的號(hào)碼均為偶數(shù)}例211

210

5

A

3A

3knP

(

A

)

注意此處為無(wú)放回抽取例

3

設(shè)有n個(gè)球，每個(gè)球都等可能的落入到N個(gè)格子中，假定每個(gè)格子中可容納多個(gè)球。求下列事件的概率：A=“某指