有理數(shù)的運算講義

教師姓陳瑞德學(xué)生姓名彭婉靈填寫時間13/09/18名授課重1，有理數(shù)的加減法計算2，有理數(shù)的乘除法計算點授課難點

3，有理數(shù)的混雜運算1，有理數(shù)的加減法計算2，有理數(shù)的乘除法計算3，有理數(shù)的混雜運算有理數(shù)的運算一、有理數(shù)基本加、減混雜運算有理數(shù)加法法規(guī)：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加.②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).有理數(shù)加法的運算步驟：法規(guī)是運算的依據(jù)，依據(jù)有理數(shù)加法的運算法規(guī)，能夠獲取加法的運算步驟：①確定和的符號；②求和的絕對值，即確定是兩個加數(shù)的絕對值的和或差.有理數(shù)加法的運算律：①兩個加數(shù)相加，交換加數(shù)的地址，和不變.abba(加法交換律)②三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，也許先把后兩個數(shù)相加，和不變.(ab)ca(bc)(加法結(jié)合律)有理數(shù)加法的運算技巧：①分數(shù)與小數(shù)均有時，應(yīng)先化為一致形式.②帶分數(shù)可分為整數(shù)與分數(shù)兩&讓學(xué)習(xí)變得簡單、快樂&部分參加運算.③多個加數(shù)相加時，如有互為相反數(shù)的兩個數(shù)，可先結(jié)合相加得零.④如有能夠湊整的數(shù)，即相加得整數(shù)時，可先結(jié)合相加.⑤如有同分母的分數(shù)或易通分的分數(shù)，應(yīng)先結(jié)合在一起.⑥符號相同的數(shù)能夠先結(jié)合在一起.有理數(shù)減法法規(guī)：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù).aba(b)有理數(shù)減法的運算步驟：①把減號變?yōu)榧犹枺ǜ淖冞\算符號）②把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)（改變性質(zhì)符號）③把減法轉(zhuǎn)變?yōu)榧臃?，依?jù)加法運算的步驟進行運算.有理數(shù)加減混雜運算的步驟：①把算式中的減法轉(zhuǎn)變?yōu)榧臃?；②省略加號與括號；③利用運算律及技巧簡便計算，求出結(jié)果.注意：依據(jù)有理數(shù)減法法規(guī)，減去一個數(shù)等于加上它的相反數(shù)，因此加減混雜運算能夠依據(jù)上述法規(guī)轉(zhuǎn)變?yōu)橹挥屑臃ǖ倪\算，即為求幾個正數(shù)，負數(shù)和0的和，這個和稱為代數(shù)和.為了書寫簡略，能夠把加號與每個加數(shù)外的括號均省略，寫成省略加號和的形式.比方：(3)(0.15)9(5)(11)30.159511，它的含義是正3，負0.15，負9，正5，負11的和.15116【例1】計算：(2.39)(1.57)(3)(5)(2)(7.61)(32)(1.57)6767【例2】計算：3133514；計算：13211.7532463【例3】計算：413；計算：724.57(738)(78.36)(53212)(13.64)(43)2323【牢固】若a0，b0，則ab0若a0，b0，則ab0【牢固】若a0，b0，則a(b)0；若a0，b0，且|a||b|，則ab0.【例4】(第14屆希望杯)有一串?dāng)?shù)：2003，1999，1995，1991，，按必然的規(guī)律排列，那么這串?dāng)?shù)中前個數(shù)的和最?。纠?】設(shè)三個互不相等的有理數(shù)，既可分別表示為1，ab，a的形式，又可分別表示為，b，200420010b的形式，則aba【例6】給出一連串聯(lián)續(xù)整數(shù)：203，202，...，2003，2004，這串聯(lián)續(xù)整數(shù)共有個；&讓學(xué)習(xí)變得簡單、快樂&它們的和是【例7】1997個不全相等的有理數(shù)之和為0，則這1997個有理數(shù)中()A．最少有一個是零B．最少有998個正數(shù)C．最少有一個是負數(shù)D．至多有995個是負數(shù)【牢固】若ab0cd，則以下四個結(jié)論中，正確的選項是()A．a(chǎn)bcd必然是正數(shù)．B．dcab可能是負數(shù)．C．dcba必然是正數(shù)．D．cdba必然是正數(shù)．【例8】北京市年月份某一周的日最高氣溫（單位：oC）分別為：，，，，200752528302931，32，28，這周的日最高氣溫的平均值為（）AoCBoCCoCDoC.28.29.30.31【例9】商場新進了10箱橙子，每箱標(biāo)準(zhǔn)重量為kg，到貨后商場復(fù)秤結(jié)果以下（商場標(biāo)50準(zhǔn)重量的千克數(shù)記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負數(shù)）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8，+0.3，+0.1.那么商場購進的橙子共多少千克？3【牢固】電子跳蚤在數(shù)軸上的某一點K0，第一步K0向左跳1個單位到點K1，第二步由點K1向右跳2個單位到點K2，第三步有點K2向左跳3個單位到點K3，第四步由點K3向右跳4個單位到點K4，．．．．．．，按以上規(guī)律跳了100步時，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點K100所表示的數(shù)恰好是19.94．求電子跳蚤的初始地址點K0所表示的數(shù)．二、有理數(shù)基本乘法、除法Ⅰ：有理數(shù)乘法有理數(shù)乘法法規(guī)：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.任何數(shù)同0相乘，都得0.有理數(shù)乘法運算律：①兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的地址，積相等

.

ab

ba(乘法交換律

)②三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，也許先把后兩個數(shù)相乘，積相等

.

abc

a(bc)

(乘法結(jié)合律)③一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加

.a(b

c)

ab

ac(乘法分配律

)有理數(shù)乘法法規(guī)的實行：①幾個不等于

0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負數(shù).②幾個數(shù)相乘，倘如有一個因數(shù)為0，則積為0.③在進行乘法運算時，如有帶分數(shù)，應(yīng)先化為假分數(shù)，便于約分；如有小數(shù)及分數(shù)，一般先將小數(shù)化為分數(shù)，或湊整計算；利用乘法分配律及其逆用，也可簡化計算.在進行有理數(shù)運算時，先確定符號，再計算絕對值，有括號的先算括號里的數(shù).&讓學(xué)習(xí)變得簡單、快樂&【例10】345826計算：122111111142612【例11】計算：(3)4113計算：11511592895129912412161616【牢固】計算：735計算：124(1)(36)636(11111).234695【例12】積11111111的值的整數(shù)部分是34...1981991011235100【例13】設(shè)nn≥2個正整數(shù)a1，a2，a3，...，an，任意改變他們的序次后，記作b1，b2，b3，...，bn，若Pa1b1a2b2a3b3...anbn，則（）A．P必然是奇數(shù)B．P必然是偶數(shù)C．當(dāng)n是奇數(shù)時，P是偶數(shù)D．當(dāng)n是偶數(shù)時，P是奇數(shù)【例14】若a，b，c，d是互不相等的整數(shù)，且abcd9則abcd的值為()A．0B．4C．8D．無法確定．【牢固】若是4個不相同的正整數(shù)m，n，p，q滿足(7m)(7n)(7p)(7q)4，那么mnpq的值是多少？【例15】若是a，b，c均為正數(shù)，且

ab

c

152，ba

c

162，ca

b

170，那么

abc的值等于【例16】若19a

98b

0，則ab是（

）A.正數(shù)

B.非正數(shù)

C.負數(shù)

D.非負數(shù)【牢固】

奇數(shù)個負數(shù)相乘，積的符號為

，

個負數(shù)相乘，積的符號為正.【牢固】

若是(a

b)2

(a

b)2

4，則必然成立的是

(

)A．a(chǎn)是b的相反數(shù)

B．a(chǎn)是

b的相反數(shù)

C．a(chǎn)是b的倒數(shù)

D．a(chǎn)是

b的倒數(shù)【牢固】a、b、c為非零有理數(shù)，它們的積必為正數(shù)的是（）A．a(chǎn)0，b、c同號B．b0，a、c異號&讓學(xué)習(xí)變得簡單、快樂&C．c0，a、b異號D．a(chǎn)、b、c同號【牢固】若a，b，c三個數(shù)互不相等，則在ab，bc，ca中，正數(shù)必然有( )bccaabA．0個B．1個C．2個D．3個Ⅱ：有理數(shù)除法有理數(shù)除法法規(guī)：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù).aba1，(b0)b兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.有理數(shù)除法的運算步驟：第一確定商的符號，爾后再求出商的絕對值.【例17】計算：312111計算：211031533523【牢固】計算：(1111)(1)；計算：234560(5)3(1.25)(31)1.4(5).244237【例18】用“＞”或“＜”填空⑴若是ab0，ac0那么b0；⑵若是a0，b0那么accbc0.(3)若是a0，b0，試確定ac的符號.bc【例19】觀察下面的式子：224，224;3341，3341;22224451，4451;33335561，55614444⑴小明歸納了上面各式得出一個猜想：兩個有理數(shù)的積等于這兩個有理數(shù)的和，小明的猜想正確嗎？為什么？⑵請你觀察上面各式的結(jié)構(gòu)特點，歸納出一個猜想，并證明你的猜想【例20】已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為負倒數(shù)，x的絕對值等于它相反數(shù)的2倍.求x3abcdxabcd的值.&讓學(xué)習(xí)變得簡單、快樂&1111111111【例21】計算：(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)246810357911三、有理數(shù)的混雜運算序次1）“先乘方，再乘除，最后加減”的序次進行；2）同級運算，從左到右進行；3）如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。四、有理數(shù)的乘方：求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪（power）。an中，a叫做底數(shù)（basenumber），n叫做指數(shù)（exponent）。依據(jù)有理數(shù)的乘法法規(guī)能夠得出：負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0。9五、有理數(shù)?？冀?jīng)典計算題型一、應(yīng)用定律【例22】計算：1317110105.21495.25.434.61255102二、應(yīng)用公式【例23】計算：1039710009計算：2122124128121612321三、整體代換【例24】計算：111111111123...1...20031...200423...2004222003四、裂項【例25】計算：(11111111)128．8244880120168224288&讓學(xué)習(xí)變得簡單、快樂&五、分別法【例26】計算：813313321624152586538111,數(shù)軸的原點O上有一個蝸牛，第1次向正方向爬1個單位長度，緊接著第2次反向爬2個單位長度，第3次向正方向爬3個單位長度，第4次反向爬4個單位長度，依次規(guī)律爬下去，當(dāng)它爬完第100次處在B點．①求O、B兩點之間的距離（用單位長度表示）．②若點C與原點相距50個單位長度，蝸牛的速度為每分鐘2個單位長度，需要多少時間才能到達？③若蝸牛的速度為每分鐘2個單位長度，經(jīng)過1小時蝸牛離O點多遠？課后作業(yè)

2,在數(shù)學(xué)活動中，小明為了求1111...1的值（結(jié)果用n表示），設(shè)計了如圖所2223242n2示的幾何圖形11222112423圖1圖2⑴請你用這個幾何圖形求1111...1的值223242n22⑵請你用圖2，再設(shè)計一個能求111...1的值的幾何圖形222232n3,11)(1111)_______(1)(1).....(19981997199610004,若是a，b，c均為正數(shù)，且abc152，bac162，cab170，那么abc的值等于5,若是ac0，bc0，且a(bc)0，試確定a、b、c的符號.b6,計算：5676784333226784333225677,已知(a1)2|ab2|0，試求111LL1的值．a(chǎn)b(a1)(b1)(a2)(b2)(a2004)(b2004)&讓學(xué)習(xí)變得簡單、快樂&本節(jié)課授課計劃完成情況：照常完成□提前完成□延后完成□_____________________________學(xué)生的接受程度：完好能接受□部分能接受□不能夠接