概率論與數(shù)理統(tǒng)計試卷(計算)

題目部分，(卷面共有100,845.0分,各大題標有題量和總分)一、計算(43小題共354.0分)0x0x0(8分)[1]設隨機變量的分布函數(shù)為Fx1e2xP{2(2)計算P{3<4}a,a}=p{<a}(3)求使得(1)計算(8分)[2]從1，0，1，2中隨機地取出兩個數(shù)字，設所取兩個數(shù)字之和為，求隨機變量x}的分布律和分布函數(shù)(13分)[3],的分布函數(shù)和概率密度。(5分)[4]在區(qū)間a]，上任意投擲一個質點，用表示這個質點的坐標。設這個質點落在a](a>0)中任意小區(qū)間內的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求的分布函數(shù)，0.80.73，每人投籃次，求兩人進球(10分)[5]甲、乙兩籃球運動員，投籃命中率分別為和相等的概率。(6分)[6]一袋中有3只白球，2只黑球，3只紅球，在其中任取2只球，以表示取到白球的只數(shù)，以表示取到黑球的只數(shù)，求及(3分)[7]設隨機變量服從(01)分布，其分布律為P(=1)=pP(=0)=q，(0<p<1，p+q=1)求，D()。(12分)[8]設系統(tǒng)L是由兩個相互獨立的子系統(tǒng)和以串聯(lián)方式聯(lián)接而成，與的壽L1LL1L22命分別為與，其概率密度分別為e00ey00xxxyxy1020y其中>0>0，試求系統(tǒng)L的壽命的概率密度。(10分)[9]設二維連續(xù)型隨機變量(,)的聯(lián)合概率密度為y0,0Ae(23y)xx(,)xy0x0,y0試求(1)系數(shù)A的值，(2)(,)落在三角形區(qū)域D={(x,y)|x0,2x+3y6}的概率，(3)(,)的聯(lián)合分布函數(shù)。1x2y21(10分)[10]設隨機變量(,)的聯(lián)合概率密度,xye2a2b22abx22y22(<x<+,<y<+)，求(,)取值于橢圓k內的概率。2ab(其中常數(shù)k>0，a>0，b>0)xy0x1,0y1(8分)[11]已知隨機變量(,)的聯(lián)合概率密度是(,)xy0其它試求(,)的聯(lián)合分布函數(shù)。1(16分)[12]設二維隨機變量(，)相互獨立，且它們的概率密度均為,求x11x2=+的概率密度。(6分)[13]將15名新生平均分配到三個班級中去，新生中有三名是優(yōu)秀生，問每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少？(4分)[14]一口袋裝有10只球，其中6只是紅球，4只是白球，今隨機地從中同時取出2只球，試求取到二只球顏色相同的概率。(5分)[15]袋中裝有5個白球，3個黑球，4個紅球，從中一次取出三個球，問三個球是同色球的概率。(3分)[16]從1，，?，30這30個數(shù)中隨機地選取10個不同的數(shù)，求所取出的數(shù)都是偶數(shù)的概率。(4分)[17]拋擲兩枚分幣，觀察出現(xiàn)正面(國徽向上)及反面的情形，記錄如下：出現(xiàn)次數(shù)306629求下列事件的頻率：(1)事件，有正面出現(xiàn)(2)事件，不出現(xiàn)反面(4分)[18]從一付撲克的13張黑桃中，一張接一張地有放回地抽取3(15分)[19]因子A取3水平，B也取3水平，按雙因素進行試驗，重復數(shù)為3，得結果是：因子A間的平方和為57.65，因子B間的平方和為18431.75，交互作用B對應的平方和為9714.6130494.46(對A及B用=0.05，對B用=0.01)(又已知(2，18)=3.55，F(xiàn)(2，18)=6.01及F(4，18)=2.90)F0.950.990.95(15分)[20]在某化工產(chǎn)品的生產(chǎn)中，為提高收率，選了三種不同濃度，四種不同溫度做試驗，試驗結果(數(shù)據(jù)均已減去75)為下表：濃度135，111314121314，10，，經(jīng)計算得=147.8333，=44.3333，=11.5000，s=27.0000，sssTABAB=65.0000，在顯著性水平=0.05下檢驗不同濃度，溫度以及它們的交互作用對收率有無sE顯著影響。(2，12)=3.89，(3，12)=3.49，F(xiàn)(6，12)=3.00FF0.950.950.95e,0xx(4分)[21]設的密度函數(shù)為：x，求=2的密度函數(shù)。0,x0(4分)[22]設公共汽車到達某車站的時刻服從10點到10點之間的均勻分布，現(xiàn)有乘客10點鐘到達這個車站，求他等車時間至少要鐘的概率。(4分)[23]設隨機變量的分布律為0122321523315141p11202010求隨機變量的分布律。121,0x1x(6分)[24]設隨機變量的概率密度為=4+10,其它1ax(15分)[25]設隨機變量服從柯西分布其概率密度為概率密度，其中n為一正整數(shù)。的(a0)na2x2=3，=2，=3，=2，E()=5，(10分)[26]設求u=3+35Eu(1)的2v=323Ev，Dv(2)的(15分)[27]試由下列數(shù)據(jù)XY2.912.490.010.021.920.051.491.050.670.10.20.50.0020.005求回歸曲線YX(10分)[28]隨機變量互相獨立,且服從在區(qū)間[0,a]上的均勻分布,.求,}.(),(8分)[29]某裝置的平均工作溫度據(jù)制造廠講是190℃，今從一個由16臺裝置構成的隨機樣本得出的工作溫度平均值和標準差分別為195℃和8℃。這些數(shù)據(jù)是否提供了充分證據(jù)，說明平均工作溫度比制造廠講的要高？取=0.05，可以假定工作溫度服從正態(tài)分布。(已知(15)=1.7531)t0.95(1)01,1xx(8分)[30]設總體的密度為:f(x)的極大似比估計.0其它(5分)[31]設總體X~N(,0.09)現(xiàn)獲得6個觀察值:15.1,15.2,14.8,14.9,15.1,14.6求總體均值的98%的置信區(qū)間.(注：u2.33,1.96,2.57,1.64).uuu0x0x0(7分)[32]設母體X服從分布)，其密度函數(shù)為(x)求,的估計量.1xxex1(1)(6分)[33]設,是來自正態(tài)總體N(，22)的簡單隨機樣本，為樣本均值。求XX,,XX12nn使的方差E(Xu)0.1X2(10分)[34]設隨機變量，的聯(lián)合密度函數(shù)為11xy2xy12,xy40其它求：，的協(xié)方差及相關系數(shù)。(8分)[35]已知隨機變量、相互獨立，且其分布律為101101~~試求的分布律，并計算和D。22(10分)[36]進行5次獨立射擊，如果第i次射擊擊中目標的概率為=0.2+(i1)0.1，求擊中pi次數(shù)的數(shù)學期望。(15分)[37]某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，質量檢查規(guī)定：次品率p0.05，則這批產(chǎn)品可以出廠，否則40032(1)在顯著性水平=0.02下，這批產(chǎn)品能否出廠？(2)在其它條件不變時，若抽查100件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)有8件是次品，該批產(chǎn)品能否出廠？(=2.05)u0.98(8分)[38]從甲、乙兩店買了同樣重量的豆，在甲店買了10次，計算得116.1顆，x14422825，在乙店買了13次，計算得y118顆，s，若假定從兩個店買的豆的s2229121的顆粒均服從正態(tài)分布，且方差相等。如果=0.01，問是否可以認為甲、乙兩店的豆是同一類型(同一類型的豆的平均顆粒應該相等)？((21)=2.8314，t(21)=1.7207)t0.9950.01(10分)[39]設總體X服從參數(shù)>0)的指數(shù)分布,求的極大似然估計量。(5分)[40](1)設總體X服從區(qū)間[a,8]上的均勻分布，求a的矩估計量.(2)設總體X服從區(qū)間[3,b]上的均勻分布，求b的矩估計量.(3分)[41]設總體服從0布(p(=1)=p，p(=0)=1p)試求樣本(,,)均值的期望12n與方差。ED(12分)[42]設總體X~P()，,,,(1)樣本的聯(lián)合分布，(2)DX,XXX12n12n和()(其中Es)XX2s2n1ii1(6分)[43]巖石密度的測量誤差服從N(0,到,求的90%的置信區(qū)間.),其中均方差0.2是由容量為12的子樣估計得0.22(注:(11)19.68,(11)4.575,(12)21.03,(12)5.23)2222二、證明(18小題共131.0分)N(,，試證。服從(8分)[1]若隨機變量服從2為偶函數(shù)，試證：對任意，分布函數(shù)有(8分)[2]設隨機變量的概率密度1axdx成立。F(a)20F(x)=p{，(10分)[3]隨機變量的分布函數(shù)試驗證0xA1xA其中A>0)FxAxAxA2A1是否為某個隨機變量的分布函數(shù)？且判斷該隨機變量是否為連續(xù)型？a>0，b>0，a+b=1，(13分)[4]設和都是一元分布函數(shù)，且試證F(x)1F(x)2F(x)(x)(x)也是一元分布函數(shù)。121x,y(8分)[5]設(，)的概率密度為12x2y2x,y證明D，D不存在。bxycy2)a,b,c,k，滿足(13分)[6]試證(,)xyke(ax221，22，b-0acb。k(5分)[7]有100張票，其中有戲票30張，甲，乙兩人先后在其中各抽一張，試證明：抽得戲票的概率和抽票先后次序無關。(3分)[8]若AB=(空集)，試證明AB(8分)[9]設、<1，試證：對于兩個互不相容的事件，，恒有PABCP(AC)P(BC)A,B,CABC與獨立。(6分)[10]設(6分設三事件相互獨立，求證A,BPA、>0，若A,B相互獨立，求證：、為兩事件，且(3分)[12]設F事件域，證明：不可能事件F(10分)[13]試證對任意n個隨機事件A,A,,A12n有：(PAAA()()(PA)PAPA12n12n(4分)[14]設事件AB的發(fā)生必引起事件C的發(fā)生，試證PA、+PB、PC、1.(4分)[15]設兩隨機變量X,Y有線性相關關系，且知Y對X的回歸方程為，XYabX11對Y的回歸方程為，r是X與Y的相關系數(shù)，試證明bYr2bbXa2212??2(6分)[16]設是參數(shù)的無偏估計且有，問是否為的無偏估計？證明你的D)0)2論斷。1n(6分)[17]設是母體X~N(a,)的簡單子樣,用作)2X,X,,X?(22XX212nn1ii122的估計量可得(即已知)?,試證明?是的一致估計量,其中a,均存在.D2222n1(10分)[18]設總體X服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，為一隨機樣本，證明：x,x,,x12n?bmax{x,x,,x}是參數(shù)b的一致估計.12n三、應用(38小題共355.0分)N(,)=160(小時)，若要求P{120<<200}0.8，問允(8分)[1]某電子元件壽命服從,2許的值最大為多少？已知標準正態(tài)分布函數(shù)x()的值：F0,1F(,F,F(F(,0.10.10.10.1F(0.140(10分)[2]轟炸機向敵方鐵路投彈三枚，如果有一炸彈投在距鐵路米內，鐵路將被炸斷，用某種投彈機瞄準，彈著點與鐵路的距離的概率密度(100x)10000100x0x(100)100000100xx0其它若三枚炸彈的投擲相互獨立，求鐵路被炸斷的概率。GxGy中任取一點，該點到軸(12分)[3]設為曲線與軸所圍成平面區(qū)域，在y4x-x2，的距離為求的分布函數(shù)。52(8分)[4]一批子彈，任意抽取發(fā)試射，如果沒有一顆子彈落在離開靶心米以外，則整批子彈將被接收，設彈著點與靶心的距離的分布函數(shù)為0r021erFrP{}r03r1e913r問該批子彈被接收的概率是多少？(7分)[5]若袋中有三件產(chǎn)品，其中一件是次品，二件是正品，從中任取一件，取后不放回袋中，再任取一件，設每次抽取時，各產(chǎn)品被取到的可能性相等，以,分別表示第一次和第二次取到的正品數(shù)，求(,)的聯(lián)合分布列和聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)=P{x,y}。(14分)[6]設隨機變量和分別表示第一列和第二列火車到達車站時刻，已知(,)10x,0y的聯(lián)合概率密度為(,)xy0其它(1)計算出(,)的聯(lián)合分布函數(shù)，和關于及關于的邊緣分布函數(shù)，(2)判斷與是否相互獨立？(10分)[7]在10件品中有2件一級品，7件二級品和110件產(chǎn)品中無放回地抽取3件，用表示其中的一級品數(shù)，表示其中的二級品數(shù)，求：(1)(,)的聯(lián)合分布律(2)關于及關于的邊緣分布律。(8分)[8]甲，乙二人獨立地投籃，已知甲投中的概率為=0.8，乙投中的概率為=0.5，pp12現(xiàn)兩人各投三次，求兩人投中次數(shù)相等的概率。0.2520(4分)[9]設某運動員每次射擊時命中率為次射擊中至少擊中一次的概率是多少？(15分)[10]任意取兩個不超過2的正數(shù)，記事件E為：兩正數(shù)的乘積介于1與2之間，求事件E的概率。(8分)[11]設ab是半徑為R的圓的一直徑，在ab上隨機地選一點，過M作垂直于ab的直線，此直線與圓相交得一弦，以A表示事件“所得弦之長超過圓內接等邊三角形的邊長”求PAaMob(10分)[12]甲，乙兩人由甲開始輪流獨立射擊某目標，先射中者獲勝，甲每次射擊命中概率(0<p<10<q<1)為p，乙每次射擊命中概率為q，求甲獲勝的概率。，0.40.5、(4分)[13]對同一目標進行三次獨立射擊，第一、二、三次射擊的命中概率分別為、0.7，試求在這三次射擊中恰好有一次擊中目標的概率。(4分)[14]在第一臺車床上制造一級品零件的概率等于0.7，兩臺車床工作狀態(tài)是相互獨立的。第一臺車床制造了三個零件，第二臺制0.8，而在第二臺車床上制造此種零件的概率等于造了二個零件，求所有零件均為一級品的概率。3030()份試卷任意分發(fā)給他們每人一份，(15分)[15]某班有學生人，現(xiàn)把他們一次測驗的求至少有一個學生能拿到自己的卷子的概率。ba(15分)[16]設罐中有只黑球，只紅球，隨機地從罐中取出一個，然后將取出的球放回并cn再放入與它同色的球只,如將上述手續(xù)進行-次nnnn121出現(xiàn)紅球的概率(12分)[17]空戰(zhàn)中，甲機先向乙機開火，擊落乙機概率為0.2，若乙機未被擊落就回擊，擊落甲機的概率為合中0.3，若甲機未被擊落，再回擊乙機，擊落乙機的概率是0.4，求在這個回(1)甲機被擊落的概率(2)乙機被擊落的概率(5分)[18]一系統(tǒng)L由元件與備用元件并聯(lián)而成，，損壞時，L1LL1LL122立即開始工作，設和的壽命(以小時計)分別為和，其概率密度均為LL1L22xx0x0xe>00求系統(tǒng)L的壽命的數(shù)學期望。95%()(10分)[19]一項血液化驗有的呈陽性，如果這種疾病的患者僅占人口的，若某人化驗的的把握將患有某種疾病的人鑒別出來是陽性驗用于健康人也會有結果呈陽性，問此人確實患有這種疾病的概率是多少？(10分)[20]不同的兩個小麥品種的種子混雜在一起，已知第一個品種的種子發(fā)芽率為90%，第二個品種的種子發(fā)芽率為96%，并且已知第一個品種的種子比第二個品種的種子多一倍，求(1)從中任取一粒種子，它能發(fā)芽的概率；(2)如果取到的一粒種子能發(fā)芽，那未，它是第一個品種的概率是多少？(12分)[21]加工零件需要經(jīng)過兩道工序，第一道工序出現(xiàn)合格品的概率為0.9，出現(xiàn)次品的概率為0.1，第一道工序加工出來的合格品，在第二道工序中出現(xiàn)合格品的概率為次品的概率為0.2，第一道工序加工出來的次品，在第二道工序中出現(xiàn)次品的概率為現(xiàn)廢品的概率為0.4，求經(jīng)過兩道工序加工出來的零件是合格品，次品，廢品的概率。(6分)[22]某種集成電路使用到2000小時不能正常工作的概率為0.06，使用到3000小時不能正常工作的概率為0.132000小時的集成電路能繼續(xù)工作到3000小時的概率。(5分)[23]設某種動物活到20歲的概率為0.8,而活到25歲的概率為0.4,問現(xiàn)齡20歲的這種動物能活到25歲的概率為多少?(6分)[24]設有某產(chǎn)品40件，其中有10件次品，其余為正品，現(xiàn)從其中任取5件，求取出的5件產(chǎn)品中至少有4件次品概率.543(15分)[25]袋中有個白球，個黑球，個紅球，每次任取一個，取后不放回，求連續(xù)取出若干個紅球后，便取得白球的概率。(12分)[26]用顯微定量法測定一種成藥中的某成份的濃度x與鏡檢菌絲數(shù)目y如下表：x濃度mg/mly鏡檢數(shù)2.07604.141426.212038.2826910.34309(1)建立y對x的回歸方程，(2)求=9mg/ml時的估計區(qū)間(置信度為95%)xy00(已知時，(3)3.18)t12(15分)[27]為提高合成氨的產(chǎn)量，考慮三個因素的不同水平對合成氨的產(chǎn)量是否有顯著影響，所取因素與水平為。。反應溫度C)：=460，=490，=520A1AA23B(反應壓力(大氣壓))：=250，=270，=300B1BB23C(催化劑種類)：=甲，=乙，=丙。CCC123根據(jù)某種理論安排了9次試驗，對試驗結果經(jīng)計算得：=0.08896，=0.02729，=0.01976，=0.00082ssssABCE試問：各因素的不同水平對合成氨產(chǎn)量的影響是否顯著？取=0.01，(2，2)=91.01F0.99(20分)[28]我國鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)總產(chǎn)值，從業(yè)勞動者，固定資產(chǎn)原值的數(shù)據(jù)如下：總)Y：從)L：固)K：試根據(jù)模型，估計參數(shù),,，并計算殘差平方和比較80,82,84KSrL2012012e年的實際值與擬合值。(4分)[29]設對圓的半徑進行測量，測得近似值用表示，如果服從正態(tài)分布2N(a，>0)，求圓面積的近似值的數(shù)學期望(6分)[30]設產(chǎn)品的次品率為0.0008，用拉普拉斯極限定理求100000件產(chǎn)品中次品數(shù)不超過105個的概率(已知：(1)=0.8413，0,1(0.313)=0.6228，F(xiàn)(2.796)=0.9974，F(xiàn)F0,10,1(1.314)=0.9055)F0,1(8分)[31]一個零件的重量是隨機變量，=10(克)，=1。試用中心極限定理求一盒EDiii同型號零件(100個)的重量大于1020克的概率的近似值(設各個零件的重量相互獨立)(已知(2)=0.97725，(0.2)=05793，(20)=1)FFF0,10,10,1CbcD，(2分)[32]設事件分別表示開關閉合，表示燈亮，則可用事件C表示：(1)；(2)Da(8分)[33]工廠給可能的訂貨戶發(fā)廣告目錄，試驗表明收到廣告目錄的用戶，訂購廣告上的產(chǎn)品的概率等于0.08，今工廠發(fā)出1000份嶄新形式的目錄，得到100個訂戶，問新形式的廣告與原先的廣告可以認為有顯著不同嗎？取=0.05，u=1.65。0.95(12分)[34]用農(nóng)藥六六六施入土中防治為害甘蔗的蠐螬，經(jīng)三年后土壤中如有5ppm以上的濃度時，認為仍有殘效。今在一大田施藥隨機取十個土樣進行分析，其濃度(ppm)為：4.8，3.2，，，，，，，，，問六六六經(jīng)三年后是否仍有殘效=0.05)？假定殘留濃度X服從正態(tài)分布，2)。(已知t0.05(9)=1.83)(12分)[35]設計規(guī)定，由自動機床生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸==35mm，隨機取出20個產(chǎn)品，測量0結果如下：產(chǎn)品尺寸(單位：mm)：34.8，34.9，35.0，35.1，35.3xi頻數(shù)(產(chǎn)品數(shù)量)：2，3，4，6，5fi問：產(chǎn)品尺寸合乎設計規(guī)定碼？=0.05，假定產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布。(已知t(19)=2.093)0.975(8分)[36]一種元件，要求其使用壽命不得低于1000(h)?，F(xiàn)在從一批這種元件中隨機地抽取25件，測得其壽命平均值為950(h)。已知這種元件服從標準差=100(h)的正態(tài)分布，試在顯著性水平0.05下確定這批元件是否合格。(已知u=1.645)0.95(10分)[37](1),(2)兩種型號的電子管的壽命,隨機抽取(1)型電子管10只,(2)型電子管20只,分別測得平均壽命為(小時),(小時),方差分別為x1x22,(小時),總體服從N(),N()且相互獨立,求二總體均值差S21.102S21.202,2,21212的95%的置信區(qū)間.12(注:,ttt0.950.9750.95(5分)[38]某廠生產(chǎn)的燈泡使用時數(shù)X服從正態(tài)分布,隨機抽取9個燈作試驗,算得樣本均值2(小時),樣本方差S(小時),求總體均值的95%的置信區(qū)間.X22(注:,,)ttt0.9750.950.975四、判斷(1小題共5.0分)???(5分)[1]>0P|}0則稱為是的一致估計量nnnn()====================答案====================答案部分，(卷面共有100,845.0分,各大題標有題量和總分)一、計算(43小題共354.0分)(8分)[1][答案](1)F(2)=e4(2)Fx()3P{a}=1FA、<a}=FA、(3)由ln2知-)1解得ae-2a2(8分)[2][答案](1)01232616161616P(2)0x1161x00x11x231Fx23523x61x3(13分)[3][答案]10xa,0ya解：,的聯(lián)合概率密度為f(x,y)a20其它Gz}=P{+z}5當zaG(z)0,()0,z1當當0,G(z)(az)/,(z)(az)/azaa222211212z0<z，=Gz()[a(az)]1(1)222a2aaz()za2當a<z，()1,()0Gzz0zaaz01z(1)22a故()Gz1z1(1)0za22a1az1(az)az0a21()()0azazza20其它(5分)[4][答案]x}=cx0x00xaxFxa1xa(10分)[5][答案]=0.8，不中概率=0.2甲投籃命中概率ppq111乙投籃命中概率=0.7，不中概率=0.3q1n=3n=3甲在乙在次中m次概率()PmCpqmm3m3311次中m次概率()PmCpqmm3m3322P=則PPP3PPPPP33333330.20.330.80.230.70.333220.363333223(6分)[6][答案]的分布列為012p10281528328101528334E0122828的分布列為012p1528152812815281228112E01228(3分)[7][答案]=0q+1p=pD()()()EEEp22p)qp)p(pq)22或=0q+1p=p01pE22q2pD()()EEpp)pp222(12分)[8][答案]min,z1F(z)PzPmin,Pmin,yz1Pz,z1PzPz111PzP1zFzFz11120z1ezeF(z)1xz0z0ez001F(z)0z2ze()zzz001F(z)0ez0z()z0z0(10分)[9][答案](x,y)Ae(2x3y)(1)由1=001=，故A=6A662x-6=17e(2)P{(,)D}=336e(2x3y)00e2e3x)0,y06e(23xyxy)xy(3)F(x,y)=0000,0xy(10分)[10][答案]設P為所求概率1x2y21P(x,y)dxdye2a2b2dxdy2ab22222222xyxyk2k2abab(,)xy令x=arcos，則J==abr(,)r111e2abrdrd22r2k2k1eP2ab00(8分)[11][答案]0x0或y01xy(xy)0x1,0y10x1,y121F(x,y)x(x1)21y(y1)x1,0x1x1,y121(16分)[12][答案]zxzx1211dx1zx1x222xz2xzz141xz1()22zz2x2212xz][ln1xzarctgx1xz2zz(4)2224z(6分)[13][答案]A表事件“每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生”15!基本事件總數(shù)rCCC5555!5!5!151053!12!444!A所包含的基本件數(shù)rCCCCCC1341241412814r2591P(A)n(4分)[14][答案]A表事件“取到的二只球顏色相同”基本事件總數(shù)n=C=452B表事件取到的二只球都是白球"C表事件取到的二只球都是紅球"rrrCC2122ABC46r217PA、=An4515(5分)[15][答案]A表事件“任取三個球是同色的”基本事件總數(shù)n=C=21110=2203A所包含的基本事數(shù)=10+1+4=1534rCCC3353r3PA、=n44(3分)[16][答案]A表事件“所取的數(shù)都是偶數(shù)”基本事件總數(shù)為C1030A所包含事件數(shù)為C10151PA、=10005(4分)[17][答案]試驗總數(shù)n=30+66+29=125.n3066fA0.768An12530nfB0.24Bn125(4分)[18][答案]A表示事件“沒有同號”基本事件總數(shù)133A所包含事件數(shù)131211131211132PA、=0.781131693(15分)[19][答案]解：、B的自由度為r1=31=2，s1=31=2B的自由度為(r1)(s1)=4誤差的自由度為rs(t1)=33(31)=18SE=57.65，S=18431.75，=9714.61SSABAB=2290.45SS-S-S-SETAAABS2S2BSS4FFFAABSASBABEEE=0.226<=72.42>(2，18)=3.35，認為因素A的水平間無差異FFFFFA0.950.99(2，18)=6.01，認為因素B的水平間有顯著差異。(4，18)=2.90，認為交互作用顯著。B=19.08>FAB0.95(15分)[20][答案]列出方差分析表方差來源F值A44.333311.500027.000065.0000147.8333B誤差總和<11223查表得(2，12)=3.89，(3，12)=3.49F1F1(6，12)=3.00F1有>(2，12)，<FB(3，12)FF1F1A<(6，12)FF1AB所以只有因素濃度)影響是顯著，即濃度不同對產(chǎn)品的收率有顯著影響，而溫度及濃度與溫度的交互作用的影響都不顯著。(4分)[21][答案]yy2ytdt2edttF(y)=P{y}=P{2y}P2012yyy0e2y0y0(4分)[22][答案]該公共汽車到達車站的時刻是10點鐘后分，則的密度為：10xx0其它x則P1301020302330dx303010(4分)[23][答案]35取值2，，1，0，1，2，，22521取值3，，0，1，0，3，，44的分布律為：4033147p115202020(6分)[24][答案]1函數(shù)y=4x+1的反函數(shù)xh(y)(y1)4當x在[0，上變化時，y在[1，上變化。1()hy[()]1hy4141y5于是的概率密度為y0其它(15分)[25][答案]n1當n為奇數(shù)時，函數(shù)y=x的反函數(shù)xh(y)yn1a1,()hy1()hyynn2ya2na111于是的概率密度為nyy2nya2n11當n在(0)(0+)上的反函數(shù)分別為,對y>0，yxxynxynn1111a的分布函數(shù)為F(y)py}pyynn2yna2x20當y0時，F(xiàn)(y)021a11yny0y02n故的概率密度為(10分)[26][答案]()yFyyna20Eu=3E+]+3(2)5=3[3+]65=2523(1)(2)E()22Ev=3E3=9+43=10Dv=D(323)=D(32))+D(2)，212cov(，)=27+812[E()]-=3512(5+6)=23(15分)[27][答案]解：若作出散點圖，這些點大致分布在一條指數(shù)曲線附近，故采用Y作二者的函數(shù)關X系，有l(wèi)gYlgaXlgb(1)記則(1)式寫成：ZABXZlgY,Alga,Blgb11N=8，XX(17.710)2.21375N811ZZ(12.00000)1.50000N8(X),22(XZ)1(,LX2Z)28.80257LXXNXZ??=BL/=-0.73279,AZLXZXX?有回歸直線ZX即Y為所求的指數(shù)曲線。X(10分)[28][答案](,):0xa,0ya上是均勻分布的,其聯(lián)合與分布密度為1(x,y)D(x,yD2(,)xya0G(z)=P{}=1P{>z}=1P{>z,>z}=1P{>z}P{>z}zaz2=1za0a22(az)的密度函數(shù)q(z)={0za}2a當z<0或z<a.q(z)=02(az)1212aaa()=)azdzazz233333a2a2a200(8分)[29][答案]這問題即是在=0.05下，檢驗：==190；：>=190(2未知)HH0010x0ts8n由于t=2.5>1.7531=t(15)=t(n1)0.951故拒絕，即認為該裝置的平均工作溫度高于190℃。H0(8分)[30][答案]設子樣為,,,,似然函數(shù)為:12nnnL(B)(1)(1)niii1i1nL()nii1nnL()1ii11n解之得的極大似然估計1[]1nii1(5分)[31][答案]10.98,2.330.01,10.99,n622u0.9916u,Xxi60.99ni1∴的98%的置信區(qū)間為：(14.950.285,14.950.285)=(14.665,15.235)(7分)[32][答案]由E(X)(1),D(X)2(1)可用子樣均值及方差2作為母體均值E(X)及方差的估計量，即D(X)XS?(?X?(?S22S2/X解之得：X/S122(6分)[33][答案]4解：由定理知X~N,nE(X-)即0.124即0.1n40,n即n至少取為40的整數(shù)。(10分)[34][答案]142Exx,ydxdyx111xyxydxdy2111xxyxydxdy11222411=0(得用奇函數(shù)在對稱區(qū)間上積分為0)同理=0cov(,)=E()=E()0142xyx,ydxdyxy1xyxydxdy112111414111111xydxdyxydxdy422411=0cov,0DD(因為,都不是常數(shù)，故D>0，D>0)(8分)[35][答案]0101；~解：的分布律為~,2222因相互獨立，故的分布律為：012P0.490.420.09E=10.42+20.09=0.6(或EE)22D=E2(E)=10.42+40.090.36=0.42222(或==0.3(0.3)+0.3(0.3)=0.42)D2D2(10分)[36][答案]設表示第i次射擊擊中目標的次數(shù)，則服從0布：ii011pipipi,5E==0.2+(i1)0.1piiD=(1)=1，2，?，5ppiii5擊中次數(shù)ii155EE12iii1i1bgp1p55555DDiDpip2iiiii1i1i1i1i1522i1i1i1=2(0.2+0.4+0.3)=1.1(15分)[37][答案](1)用X表示產(chǎn)品質量指標0產(chǎn)品為正品X1產(chǎn)品為次品于是X~B(1,p),即X服從0-1分布0第次抽得的產(chǎn)品為正品iXi1第次抽得的產(chǎn)品為次品i現(xiàn)在的問題是在=0.02,檢驗假設H:ppH:pp00101nnxxini1xpU0x1xnUUU查表0.981故拒絕,即認為這批產(chǎn)品次品率超過0.05,因而不能出廠H018n(2)nxxpxini1U0x1xnUUU1查表0.98故接受H,能出廠0(8分)[38][答案]問題是要檢驗假設：=0；：0；HH012112因為t但未知，用t檢驗，2122nnnn210.3169212222nnn1sn1s12112nn2tt1212故接受原假設，即認為甲、乙兩店的豆是同一類型的。H0注假設用：；：；也對HH012112此時t=0.3169>1.7207=(tnn12仍然是接受原假設。H0(10分)[39][答案]nexp()01,2,,xxinnL()iii10其它x0時對求導：idL()nnnnexp(x)(ix)exp{ix}in1ndi1i1i1nn令exp{}(nx)0xn1iii1i11n1?n解得:,(x)XXninx1iii1(5分)[40][答案]a8(1)因為(2)因為得所以所以EX28?28aXa23b?得bX32EX23b2(3分)[41][答案]解：=p，D=p(1p)11nnEEiEpnnii1i11p11pnnDiDDnn2ini1i1(12分)[42][答案]PXk解：總體分布列為0,1,2,ek則樣本的聯(lián)合分布列為kk!kkknn12PXk,Xk,,Xkek1,2,,i1,2,,n1122nnk!k!k!ni12，DX=，=，=，，2，，nDXEXii11nnEDXDXXninii1i111nnXDXnin2ini1i111nn22EXXEX221n1niii1i111nDXnEX2n2EXX22nDXnEXn1n1iiii11nnnn22n1n(6分)[43][答案]10.9,20.05,10.95,n1112(11)19.68(11)4.5752222,的90%的置信區(qū)間為;(0.149,0.31)二、證明(18小題共131.0分)(8分)[1][答案]y對任何實數(shù)，21(t)21SP{yP}y}yye2dsedt2222N(0,1)因而服從(8分)[2][答案](x)=(x)由于120xdxxdx于是0a>0對任意aFat00tdttdta1210axdxxdx2a0(10分)[3][答案](1)F(x)是單調不減的。(2)F(x)是右連續(xù)的。(3)01FxxFx(4)x故F(x)是某個隨機變量的分布函數(shù)0xAxAx設12Ax顯然Fxt故該隨機變量是連續(xù)型隨機變量。(13分)[4][答案](1)()F(x)b1F(x)02alimFxlimlimxxx(2)()F(x)b1()1aFxablimFxlimlim2xxx(3)由于(()右連續(xù)，是其線性函數(shù)仍是右連續(xù)的FxFx21，(4)任取一知()-()FxFx()-()0Fxxx1Fx211122122因為，b>0)F(x)-F(x)a[F(x)F(xb[F(x)-F(x01211222122即故F(x)是不減函數(shù)，F(xiàn)(x)也是一元分布函數(shù)。(8分)[5][答案]1xdxxdxdydy0E(1)(y1)x2y22x222同理E01D(EEExdxdy)()222(y1)x2221r3cosddr22(r1)2200rr1r()r20r21(r222r120故()不存在。D同理)也不存在。D(13分)[6][答案]b2ba必要性(x,y)ey2ax(y)2aacb2bedykedu(uxy)y2au2aaacb2ac<0c>0要積分收斂必須，021及，即ba12at由1edt，分別取及22)2a2(acb2a1k得：1xydxdy(,)22k2(acb)2aacb2acb2故得：k以上各步可逆推，充分性顯然成立。(5分)[7][答案]30第一人抽得戲票的概率為=0.3P1100第二人抽得戲票的概率為30297030297099P20.31009910099330330330故抽得戲票的概率與抽票的先后次序無關(3分)[8][答案]任取x則由AB=知xB從而故得xBAB(8分)[9][答案]PACBCPACPBCPABCPABCPCPCPCPACPBC(6分)[10][答案]P[(AB)C]=P(ACBC)P(ABC)=PA、PC、、PC、PA、、PC、=PC、[PA、、P(AB)]=PC、P(AB)ABC故與獨立(6分)[11][答案]A,BP(AB)=PA、PB、相互獨立，故因由乘法公式：P(AB)=PA、P(B|A)得：PA、、=PA、P(B|A)PA、>0P(B|A)=PB、因故(3分)[12][答案]由F的定義中之(1),U=F又由定義中之(2),VUF(10分)[13][答案]因AAAAAAAAAAAAAAAAA12n1213124123n12n1而右邊的n個事件A,AA,AAAAAAA是互斥的。121312n12n1故有P(AAA)P(A)P(AA)P(AAA)P(AAAA)12n121312n12n1P(A)P(A)P(A)12n(4分)[14][答案]由已知條件知PC、P(AB).(*)從而得1P(AB)=PA、+PB、P(AB)PA、+PB、PC、(4分)[15][答案]LLLL證：由于,,b2rxyb1xyxxxyyyLLxxLyyL2LLL故rbb2LLL12(6分)[16][答案]?不是2的無偏估計)2?由已知E)????而))))DEE2E2E2)E()2E)?)????222222?E)0222?即不是的無偏估計.)2(6分)[17][答案]1證由切比契夫不等式有{|?|}D?P2222212由已知得P?|}22(2nlimP{|?|}022n即是的一致估計量.?22(10分)[18][答案]?因為所有x有xb,i=1,2,,n,故bmax{x,x,,x}b對任給>0ii12n(不訪設<ba)?P{|bb|}?P{abb}P{axb}P{axb}P{axb}22i(b)aba(a)ba[][0nnn?b是b的一致估計.三、應用(38小題共355.0分)(8分)[1][答案]200160120160P{120200}F()F()0.10.1404040F()F()F(0.80.10.10.140故1.281,31.22F0.1(10分)[2][答案]40任一炸彈落在鐵路兩旁米以內的概率為100x100x100x4004040=2xdxdxdxdx0.64100001000010000404000400.3640米以外的概率為故所3任一炸彈落在鐵路兩旁米外的概率為求的概率為1-1-P3(12分)[3][答案]dx32G的面積4s4xxG,2306xx23x所對應區(qū)域G的面積x4sG1ttdt230s62xx30x4FxPxG1sx004G06xx23Fx故得x3214x(8分)[4][答案]2任一子彈落在距靶心米以內的概率為1e4FF220P01e951e49該批子彈被接收的概率是1e(7分)[5][答案]=0=113131310x0或y0,或0x1,0y10x1,y或x1,0y113F(x,y)1y1,1x(14分)[6][答案](1)0x0或y0dyxydx0<x60,0<y60xy3600036000dyxdx0x<60,y60F(x,y)x6036006000dyydx60x60,0y<60x60,y60y3600060010x0x的分布函數(shù)()=F(x,+)=0x60Fx11x的分布函數(shù)0y0yF(y)2=F(+,y)=0y1yE()(2)2EEEEEEE2222222(2)因為對任x,y有F(x,y)=F(x)F(y)所以與獨立。12(10分)[7][答案](1)35=0=1=21201400120170120(2)的邊緣分布列177P151515的邊緣分布列012312163P120120120120(8分)[8][答案]}。用表示甲投中的次數(shù)，表示乙投中的次數(shù)，則所求事件為=}=P{=0=0}+P{=1=1}+P{=2=2}+P{=3=3}，，，，0.40.20.40.20.830.40.60.633222233=0.30464(4分)[9][答案]32020次射擊中一次都不中的概率為：(10.25)204320至少擊中一次的概率為：1(0.9968)4(15分)[10][答案]設所取兩個數(shù)為x，y。則所有可能結果對應xoy平面上的正方形0x20y2OACB事件E對應著圖中陰影部分G，G的面積為:121212222222212211221xx12故G的面積1P(E)正文形的面積4yNQBCxy=2Gp1Mxy=1Aox12(8分)[11][答案]OC=OD=2RM是弦的中點,從幾何知識知當且僅當M落入CD時,過M垂直于ab的弦長才大于圓內接正CDabR12三角形的邊長3R,由幾何概率知PA、==2RaCMODb(10分)[12][答案]A設甲獲勝事件為iA甲第次射擊獲勝事件為ii乙第次射擊獲勝事件為BiAAABAABABA111211nnn1各和項彼此互斥，同一和項中各,相互獨立ABiiP(A)p,P(B)qiiPA、=P(A)PABABA()i11nnn1n1p(1p)(1q)pnni1pp1(1p)(1q)pqpq(4分)[13][答案]P=0.4(10.5)(10.7)+(10.4)0.5(10.7)+(10.4)(10.5)0.7=0.36(4分)[14][答案]各車床或同一車床制造的各個零件的好壞是相互獨立的P0.80.732(15分)[15][答案]，，30)i“第個學生拿到自己的卷子”AiAAAA1230由廣義加法公式PAAA2930PAPAPAA1PAAA1230iijijki11ij301ijk30111111111CCC11233030293029283029230303011110.37e12!3!30!(15分)[16][答案]A(i3n)i次摸出黑球”i次出現(xiàn)黑球，后面次出現(xiàn)紅球”nnnn211則BAAAAAn12nn111由乘方公式P(B)P(A)P(AA)P(AAA)P(AAA)121n1n1n11n111(AAAAA)n1Pn1n1n11bbcb2c而：P(A),P(AA),P(AAA),ba2c1ba21bac312b(n1)caP(AAA),P(AAA),1n1n1ba(n1)cn111nbanc11111a(n1)cP(AAAAA)2n1nn1n1ba(n1)c11bbcb2cb(n1)cP(B)1babacba2cba(n1)c1aaca(n1)c2bancba(n1)cba(n1)c11(12分)[17][答案](i=1,2,3)i次攻擊中擊落敵機”Ai則AAA表示乙機被擊落AA表示甲機被擊落，A112213又PAPAAPAAA121213(1)PAAPAPAA12121(2)PAAAAPAPAAA12121313PAPAPAAPAAA21121130.20.80.7.40(5分)[18][答案]由于L是由和并聯(lián)接而成的備用系統(tǒng)，所以=+LL12112xeye于是EEExy00(10分)[19][答案]ABPBAPA則PA,PBA由全概率公式PBPAPBAPAPBAPAPBA由逆概率公式0.1927PAB(10分)[20][答案](i=1,2)分別表示取到的一粒種子是第一，二品種的事件PBAiB:“取到的一粒種子能發(fā)芽”則2PA,PBA3111PA,PBA32221PB2由全概率公式PAPBA33iii1PAPBA0.60152311由貝葉斯公式0.65PABPB0.921(12分)[21][答案](i=1,2)分別表示第一道工序加工出合格品及次品的事件Ai(i=1,2,3,)分別表示第二道工序加工出合格品,次品,廢品的事件BCi(i=1,2,3)分別表示經(jīng)兩道工序加工出零件為合格品,次品及廢品的事件i則P(C)P(AB)P(A)P(BA)0.90.80.72111111P(C)P(AB)P(A)P(BA)0.10.40.04323232P(C)1-[P(C)P(C213注:亦P(C)P(ABAB)P(A)P(BA)P(A)P(BA)0.90.20.10.60.2421222121222可(6分)[22][答案]3000小時能正常工作”2000小時能正常工作”則B即AB=A1PAPABPA0.870.94===PAB0.9255PBPB1PB(5分)[23][答案]這種動物活到20歲"B:"這種動物活到25歲則B1PABPB==PBAPA2PA(6分)[24][答案]設A表“恰有4件次品”,B表“5件全是次品”,C表“至少有4件次品”