序偶及笛卡爾積課件

集合論中三個(gè)基本概念:集合、關(guān)系、函數(shù)第四章二元關(guān)系和函數(shù)集合論中三個(gè)基本概念:第四章二元關(guān)系和函數(shù)1

序偶和笛卡爾積的概念，在后面討論關(guān)系和圖論時(shí)，都有重要應(yīng)用。3.4序偶及笛卡爾積序偶和笛卡爾積的概念，在后面討論關(guān)系和圖論時(shí)，2定義：兩個(gè)元素a、b組成一個(gè)二元組，若它們有次序區(qū)別，稱為二元有序組(有序偶)，記為<a,b>，稱a為第一元素，b為第二元素；若它們無次序區(qū)別，稱為二元無序組(無序偶)，記為(a,b)。一、序偶定義：兩個(gè)元素a、b組成一個(gè)二元組，若它們有次序區(qū)別，稱為二3當(dāng)ab時(shí)，有：<a,b><b,a>(a,b)=(b,a)當(dāng)ab時(shí)，有：4可用序偶表示兩個(gè)元素之間的關(guān)系：

<老王,小王>老王是小王的父親

(小李,小張)小李和小張是同學(xué)可用序偶表示兩個(gè)元素之間的關(guān)系：5定義：給定兩個(gè)有序偶<a,b>和<u,v>，當(dāng)且僅當(dāng)a=u且b=v時(shí)，有序偶<a,b>和<u,v>相等。定義：6定義：若nN且n>2，x1,x2,…,xn是n個(gè)元素，有序n元組<x1,…,xn>=<<x1,…,xn–1>,xn>,其中第一元素是一個(gè)有序n-1元組.定義：7有序2元組：<x1,x2>有序3元組：<<x1,x2>,x3>記<x1,x2,x3>有序4元組：<<<x1,x2>,x3>,x4>記<x1,x2,x3,x4>......有序2元組：8注意：<<x1,x2>,x3>是有序3元組<x1,<x2,x3>>不是有序3元組<x1,x2,x3>表示<<x1,x2>,x3>注意：9

定義：給定集合A和B，AB={<x,y>|xA∧yB}，稱AB為A和B的笛卡爾積。

笛卡爾積是有序偶的集合，有序偶的第一元素來自于A，第二元素來自于B。二、笛卡爾積二、笛卡爾積10若<x,y>AB,則xA且yB若<x,y>AB,則xA或yB若<x,y>AB,則xA且yB11設(shè)|A|=m,|B|=n,則|AB|=mn,AB中有mn個(gè)有序偶。設(shè)|A|=m,|B|=n,12例：設(shè)A={a,b}，B={1,2,3}，則：AB={<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3>}BA={<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>,<3,a>,<3,b>}AA={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,b>}BB={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>}例：設(shè)A={a,b}，B={1,2,3}，則：AB={13定義：A1,…,An是集合,

n階笛卡爾積為:A1A2…An

={<x1,…,xn>|x1A1∧…∧xnAn}

當(dāng)A1=A2=…=An=A時(shí)，A1

A2

…An=An定義：A1,…,An是集合,141.AΦ=ΦB=Φ三、笛卡爾積的性質(zhì)2.若AB,AΦ,BΦ,則ABBA例：設(shè)A={a,b}，B={1,2,3}，AB=BA=1.AΦ=ΦB=Φ三、笛卡爾積的性質(zhì)2.若A15<<x,y>,z>(AB)C<x,<y,z>>A(BC)3.若AΦ,BΦ,CΦ,則(AB)CA(BC)<<x,y>,z>(AB)C3.若AΦ,B164.分配律：A(B∩C)=(AB)∩(AC)A(B∪C)=(AB)∪(AC)(A∩B)C=(AC)∩(BC)(A∪B)C=(AC)∪(BC)4.分配律：17求證：A(B∩C)=(AB)∩(AC)分析：要證明

左式和右式有相同的元素：<x,y>A(B∩C)<x,y>(AB)∩(AC)求證：A(B∩C)=(AB)∩(AC)18證明：

∵<x,y>A(B∩C)xA∧yB∩CxA∧(yB∧yC)(xA∧xA)∧(yB∧yC)(xA∧yB)∧(xA∧yC)<x,y>AB∧<x,y>AC<x,y>(AB)∩(AC)∴A(B∩C)=(AB)∩(AC)證明：19例：判定命題的真假AB且CDACBD真命題。<x,y>ACxA且yCxB且yD<x,y>BD例：判定命題的真假真命題。20例：判定命題的真假ACBDAB且CD假命題。當(dāng)A=B=D=Φ,C={1},ACBD成立，CD不成立。例：判定命題的真假假命題。21例：證明若AA=BB，則A=B證明：①先證ABaA<a,a>AA,

<a,a>BBaB∴AB②再證BA同理可證BA

綜合①和②，有A=B例：證明若AA=BB，則A=B①先證AB22集合論中三個(gè)基本概念:集合、關(guān)系、函數(shù)第四章二元關(guān)系和函數(shù)集合論中三個(gè)基本概念:第四章二元關(guān)系和函數(shù)23

序偶和笛卡爾積的概念，在后面討論關(guān)系和圖論時(shí)，都有重要應(yīng)用。3.4序偶及笛卡爾積序偶和笛卡爾積的概念，在后面討論關(guān)系和圖論時(shí)，24定義：兩個(gè)元素a、b組成一個(gè)二元組，若它們有次序區(qū)別，稱為二元有序組(有序偶)，記為<a,b>，稱a為第一元素，b為第二元素；若它們無次序區(qū)別，稱為二元無序組(無序偶)，記為(a,b)。一、序偶定義：兩個(gè)元素a、b組成一個(gè)二元組，若它們有次序區(qū)別，稱為二25當(dāng)ab時(shí)，有：<a,b><b,a>(a,b)=(b,a)當(dāng)ab時(shí)，有：26可用序偶表示兩個(gè)元素之間的關(guān)系：

<老王,小王>老王是小王的父親

(小李,小張)小李和小張是同學(xué)可用序偶表示兩個(gè)元素之間的關(guān)系：27定義：給定兩個(gè)有序偶<a,b>和<u,v>，當(dāng)且僅當(dāng)a=u且b=v時(shí)，有序偶<a,b>和<u,v>相等。定義：28定義：若nN且n>2，x1,x2,…,xn是n個(gè)元素，有序n元組<x1,…,xn>=<<x1,…,xn–1>,xn>,其中第一元素是一個(gè)有序n-1元組.定義：29有序2元組：<x1,x2>有序3元組：<<x1,x2>,x3>記<x1,x2,x3>有序4元組：<<<x1,x2>,x3>,x4>記<x1,x2,x3,x4>......有序2元組：30注意：<<x1,x2>,x3>是有序3元組<x1,<x2,x3>>不是有序3元組<x1,x2,x3>表示<<x1,x2>,x3>注意：31

定義：給定集合A和B，AB={<x,y>|xA∧yB}，稱AB為A和B的笛卡爾積。

笛卡爾積是有序偶的集合，有序偶的第一元素來自于A，第二元素來自于B。二、笛卡爾積二、笛卡爾積32若<x,y>AB,則xA且yB若<x,y>AB,則xA或yB若<x,y>AB,則xA且yB33設(shè)|A|=m,|B|=n,則|AB|=mn,AB中有mn個(gè)有序偶。設(shè)|A|=m,|B|=n,34例：設(shè)A={a,b}，B={1,2,3}，則：AB={<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3>}BA={<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>,<3,a>,<3,b>}AA={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,b>}BB={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>}例：設(shè)A={a,b}，B={1,2,3}，則：AB={35定義：A1,…,An是集合,

n階笛卡爾積為:A1A2…An

={<x1,…,xn>|x1A1∧…∧xnAn}

當(dāng)A1=A2=…=An=A時(shí)，A1

A2

…An=An定義：A1,…,An是集合,361.AΦ=ΦB=Φ三、笛卡爾積的性質(zhì)2.若AB,AΦ,BΦ,則ABBA例：設(shè)A={a,b}，B={1,2,3}，AB=BA=1.AΦ=ΦB=Φ三、笛卡爾積的性質(zhì)2.若A37<<x,y>,z>(AB)C<x,<y,z>>A(BC)3.若AΦ,BΦ,CΦ,則(AB)CA(BC)<<x,y>,z>(AB)C3.若AΦ,B384.分配律：A(B∩C)=(AB)∩(AC)A(B∪C)=(AB)∪(AC)(A∩B)C=(AC)∩(BC)(A∪B)C=(AC)∪(BC)4.分配律：39求證：A(B∩C)=(AB)∩(AC)分析：要證明

左式和右式有相同的元素：<x,y>A(B∩C)<x,y>(AB)∩(AC)求證：A(B∩C)=(AB)∩(AC)40證明：

∵<x,y>A(B∩C)xA∧yB∩CxA∧(yB∧y