微積分發(fā)展史課件

微積分發(fā)展史

微積分發(fā)展史1微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，‘無(wú)限細(xì)分’就是微分，‘無(wú)限求和’就是積分。微積分（Calculus）是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，‘無(wú)限細(xì)分2我國(guó)的微積分思想萌芽

公元前5世紀(jì)，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期名家的代表作《莊子?天下篇》中記載了惠施的一段話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，是我國(guó)較早出現(xiàn)的極限思想。魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”開(kāi)創(chuàng)了圓周率研究的新紀(jì)元，用他的話說(shuō)，就是：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣?！蔽覈?guó)的微積分思想萌芽公元前5世紀(jì)，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期名家的代表3西方的微積分思想萌芽安提芬的“窮竭法”。他在研究化圓為方問(wèn)題時(shí)，提出用圓內(nèi)接正多邊形的面積窮竭圓面積，從而求出圓面積。之后，阿基米德借助窮竭法解決了一系列幾何圖形的面積、體積計(jì)算問(wèn)題。刺激微分學(xué)發(fā)展的主要科學(xué)問(wèn)題是求曲線的切線、求瞬時(shí)變化率以及求函數(shù)的極大值極小值等問(wèn)題。西方的微積分思想萌芽安提芬的“窮竭法”。他在研究化圓為4十七世紀(jì)微積分的醞釀第一類是，已知物體的移動(dòng)的距離表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度使瞬時(shí)變化率問(wèn)題第二類是，望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計(jì)使得求曲線的切線問(wèn)題第三類是，確定炮彈的最大射程以及求行星離開(kāi)太陽(yáng)的最遠(yuǎn)和最近距離等涉及的函數(shù)極大值、極小值問(wèn)題第四類問(wèn)題是求行星沿軌道運(yùn)動(dòng)的路程、行星矢徑掃過(guò)的面積以及物體重心與引力等，使面積、體積、曲線長(zhǎng)、重心和引力等微積分基本問(wèn)題的計(jì)算被重新研究。十七世紀(jì)微積分的醞釀第一類是，已知物體的移動(dòng)的距離表5意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里在其著作《用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分量的幾何學(xué)》(1635)中發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法?？ㄍ吡欣镎J(rèn)為線是由無(wú)限多個(gè)點(diǎn)組成；面是由無(wú)限多條平行線段組成；立體則是由無(wú)限多個(gè)平行平面組成．他分別把這些元素叫做線、面和體的“不可分量”．卡瓦列里建立了一條關(guān)于這些不可分量的普遍原理，后以“卡瓦列里原理”著稱意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里在其著作《用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分6

笛卡兒的代數(shù)方法在推動(dòng)微積分的早期發(fā)展方圓有很大的影響，牛頓就是以笛卡兒圓法為起跑點(diǎn)而踏上研究微積分的道路的。

德國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒的無(wú)限小元法。

17世紀(jì)上半葉一系列先驅(qū)性的工作，沿著不同的方向向微積分的大門逼近，但所有這些努力還不足以標(biāo)志微積分作為一門獨(dú)立科學(xué)的誕生。笛卡兒的代數(shù)方法在推動(dòng)微積分的早期發(fā)展方圓有7微積分的創(chuàng)立

牛頓的“流數(shù)術(shù)”牛頓對(duì)微積分問(wèn)題的研究始于1664年秋，當(dāng)時(shí)他反復(fù)閱讀笛卡兒《幾何學(xué)》，對(duì)笛卡兒求切線的“圓法”發(fā)生興趣并試圖尋找更好的方法。就在此時(shí)，牛頓首創(chuàng)了小○記號(hào)表示x的無(wú)限小且最終趨于零的增量．微積分的創(chuàng)立牛頓的“流數(shù)術(shù)”81665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法)，次年5月又建立了“反流數(shù)術(shù)”(積分法)．1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文，此文現(xiàn)以《流數(shù)簡(jiǎn)論》著稱,是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn).牛頓就將自古希臘以來(lái)求解無(wú)限小問(wèn)題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法——正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分，并證明了二者的互逆關(guān)系而將這兩類運(yùn)算進(jìn)一步統(tǒng)一成整體。這是他超越前人的功績(jī)，正是在這樣的意義下，我們說(shuō)牛頓發(fā)明了微積分。1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法)，次年5月又9萊布尼茨的微積分

萊布尼茨當(dāng)時(shí)還沒(méi)有微積分的符號(hào)，他用語(yǔ)言陳述他的特征三角形導(dǎo)出的第一個(gè)重要結(jié)果：“由一條曲線的法線形成的圖形，即將這些法線(在圓的情形就是半徑)按縱坐標(biāo)方向置于軸上所形成的圖形，其面積與曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的面積成正比”。萊布尼茨的微積分萊布尼茨當(dāng)時(shí)還沒(méi)有微積分的符號(hào)，他用語(yǔ)言陳10在微積分的創(chuàng)立上，牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽(yù)

萊布尼茨通常假設(shè)曲線z通過(guò)原點(diǎn)，這就將求積問(wèn)題化成了反切線問(wèn)題，即：為了求出在縱坐標(biāo)為y的曲線下的面積，只需求出一條縱坐標(biāo)為z的曲線，使其切線的斜率為．如果是在區(qū)間上，由上的面積減去上的面積:在微積分的創(chuàng)立上，牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽(yù)11十八世紀(jì)微積分的發(fā)展

從17世紀(jì)到18世紀(jì)的過(guò)渡時(shí)期，法國(guó)數(shù)學(xué)家羅爾在其論文《任意次方程一個(gè)解法的證明》中給出了微分學(xué)的一個(gè)重要定理，也就是我們現(xiàn)在所說(shuō)的羅爾微分中值定理。伯努利兄弟雅各布和約翰，他們的工作構(gòu)成了現(xiàn)今初等微積分的大部分內(nèi)容。其中，約翰給出了求未定式極限的一個(gè)定理，這個(gè)定理后由約翰的學(xué)生羅比達(dá)編入其微積分著作《無(wú)窮小分析》，現(xiàn)在通稱為羅比達(dá)法則。十八世紀(jì)微積分的發(fā)展從17世紀(jì)到18世紀(jì)的過(guò)渡時(shí)期，法國(guó)數(shù)121715年數(shù)學(xué)家泰勒在著作《正的和反的增量方法》中陳述了他獲得的著名定理，即現(xiàn)在以他的名字命名的泰勒定理。后來(lái)麥克勞林重新得到泰勒公式的特殊情況，現(xiàn)代微積分教材中一直將這一特殊情形的泰勒級(jí)數(shù)稱為“麥克勞林”級(jí)數(shù)。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家還將微積分算法推廣到多元函數(shù)而建立了偏導(dǎo)數(shù)理論和多重積分理論。這方面的貢獻(xiàn)主要應(yīng)歸功于尼古拉·伯努利、歐拉和拉格朗日等數(shù)學(xué)家。1715年數(shù)學(xué)家泰勒在著作《正的和反的增量方法》中陳述了他獲13微積分中注入嚴(yán)密性

微積分學(xué)中的許多概念都沒(méi)有精確的定義，特別是對(duì)微積分的基礎(chǔ)—無(wú)窮小概念的解釋不明確，在運(yùn)算中時(shí)而為零，時(shí)而非零，出現(xiàn)了邏輯上的困境。18世紀(jì)的時(shí)候，歐陸數(shù)學(xué)家們力圖以代數(shù)化的途徑來(lái)克服微積分基礎(chǔ)的困難，這方面的主要代表人物是達(dá)朗貝爾、歐拉和拉格朗日。微積分中注入嚴(yán)密性微積分學(xué)中的許多概念都沒(méi)有精確的定義，特14達(dá)朗貝爾定性地給出了極限的定義，并將它作為微積分的基礎(chǔ)，他認(rèn)為微分運(yùn)算“僅僅在于從代數(shù)上確定我們已通過(guò)線段來(lái)表達(dá)的比的極限”；歐拉提出了關(guān)于無(wú)限小的不同階零的理論；拉格朗日也承認(rèn)微積分可以在極限理論的基礎(chǔ)上建立起來(lái)，但他主張用泰勒級(jí)數(shù)來(lái)定義導(dǎo)數(shù),并由此給出我們現(xiàn)在所謂的拉哥朗日中值定理。歐拉和拉格朗日在分析中引入了形式化觀點(diǎn)，而達(dá)朗貝爾的極限觀點(diǎn)則為微積分的嚴(yán)格化提供了合理內(nèi)核。達(dá)朗貝爾定性地給出了極限的定義，并將它作為微積分的基礎(chǔ)，他認(rèn)15

19世紀(jì)分析的嚴(yán)密性真正有影響的先驅(qū)則是偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西.柯西關(guān)于分析基礎(chǔ)的最具代表性的著作是他的《分析教程》，《無(wú)窮小計(jì)算教程》以及《微分計(jì)算教程》?？挛鞯墓ぷ髟谝欢ǔ潭壬铣吻辶宋⒎e分基礎(chǔ)問(wèn)題上長(zhǎng)期存在的混亂，向分析的全面嚴(yán)格化邁出了關(guān)鍵的一步。

19世紀(jì)分析的嚴(yán)密性真正有影響的先驅(qū)則是偉大16另一位為微積分的嚴(yán)密性做出卓越貢獻(xiàn)的是德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯定量地給出了極限概念的定義：自變量的值無(wú)限趨近但不等于某規(guī)定數(shù)值時(shí),或向正向或負(fù)向增大到一定程度時(shí),與數(shù)學(xué)函數(shù)的數(shù)值差為無(wú)窮小的數(shù)。魏爾斯特拉斯所倡導(dǎo)的“分析算術(shù)化”綱領(lǐng)?；谖籂査固乩乖诜治鰢?yán)格化方面的貢獻(xiàn)，在數(shù)學(xué)史上，他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號(hào)。另一位為微積分的嚴(yán)密性做出卓越貢獻(xiàn)的是德國(guó)數(shù)17

魏爾斯特拉斯在課堂上給出了第一個(gè)嚴(yán)格的實(shí)數(shù)定義，但他沒(méi)有發(fā)表。戴德金、康托爾幾乎同時(shí)發(fā)表了他們的實(shí)數(shù)理論，并用各自的實(shí)數(shù)定義嚴(yán)格地證明實(shí)數(shù)系的完備性。這標(biāo)志著由魏爾斯特拉斯倡導(dǎo)的分析算術(shù)化運(yùn)動(dòng)大致宣告完成。魏爾斯特拉斯在課堂上給出了第一個(gè)嚴(yán)格的實(shí)數(shù)定18微積分的應(yīng)用與新分支的形成

微積分常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)偏微分方程

變分法

微積分的應(yīng)用與新分支的形成微積分常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)偏微19常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)

從17世紀(jì)末開(kāi)始，擺的運(yùn)動(dòng)、彈性理論以及天體力學(xué)等實(shí)際問(wèn)題的研究引出了一系列常微分方程，這些問(wèn)題在當(dāng)時(shí)以挑戰(zhàn)的形式被提出而在數(shù)學(xué)家之間引起激烈的爭(zhēng)論。在18世紀(jì)，常微分方程已成為有自己的目標(biāo)和方向的新數(shù)學(xué)分支。最先考慮微分方程解的存在性問(wèn)題的數(shù)學(xué)家是柯西，18世紀(jì)20年代，他給出了第一個(gè)存在性定理。常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)從17世紀(jì)末開(kāi)始，擺的運(yùn)動(dòng)、彈性理論以2019世紀(jì)后半葉，常微分方程的研究在兩個(gè)大的方向上開(kāi)拓了新局面。第一個(gè)方向是與奇點(diǎn)問(wèn)題相聯(lián)系的常微分方程解析理論，它是由柯西開(kāi)創(chuàng)的。另一個(gè)嶄新的方向，也可以說(shuō)是微分方程發(fā)展史上的又一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，就是定性理論，它完全是龐加萊的獨(dú)創(chuàng)。龐特里亞金提出結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性概念，要求在微小擾動(dòng)下保持相圖不變，使動(dòng)力系統(tǒng)的研究向大范圍轉(zhuǎn)化。動(dòng)力系統(tǒng)的研究由于拓?fù)浞椒ê头治龇椒ǖ挠辛Y(jié)合而取得了重要進(jìn)步，借助于現(xiàn)代計(jì)算機(jī)模擬又引發(fā)具有異常復(fù)雜性的混沌、分叉、分形理論這方面的研究涉及到眾多的數(shù)學(xué)分支。19世紀(jì)后半葉，常微分方程的研究在兩個(gè)大的方向上開(kāi)拓了新局面21偏微分方程達(dá)朗貝爾發(fā)表的論文《張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究》被看作是偏微分方程論的開(kāi)端。和常微分方程一樣，求偏微分方程顯式解的失敗，于是促使數(shù)學(xué)家們考慮偏微分方程解的存在性問(wèn)題?？挛饕彩茄芯科⒎址匠探獾拇嬖谛缘牡谝蝗?。偏微分方程達(dá)朗貝爾發(fā)表的論文《張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究22變分法變分法起源于“最速降線”和其它—些類似的問(wèn)題。所謂最速降線問(wèn)題，是要求出兩點(diǎn)之間一條曲線，使質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿著它由一點(diǎn)至另一點(diǎn)降落最快(即所需時(shí)間最短)。這問(wèn)題最早由約翰·伯努利提出來(lái)向其他數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)。歐拉對(duì)于變分問(wèn)題給出了處理,借助一個(gè)二階常微分方程，給出了變分問(wèn)題的解應(yīng)滿足的必要條件，這就是后來(lái)所謂的“歐拉方程”，至今仍為變分法的基本方程。歐拉的工作奠定了變分法的這門新學(xué)科的獨(dú)立基礎(chǔ)。變分法變分法起源于“最速降線”和其它—些類似的問(wèn)題。所謂最23微積分的現(xiàn)代發(fā)展

在Riemann將Cauchy的積分含義擴(kuò)展之后，Lebesgue又引進(jìn)了測(cè)度的概念，進(jìn)一步將Riemann積分的含義擴(kuò)展。例如著名的Dirichilet函數(shù)在Riemann積分下不可積，而在Lebesgue積分下便可積。我國(guó)的數(shù)學(xué)泰斗陳省身先生所研究的微分幾何領(lǐng)域，便是利用微積分的理論來(lái)研究幾何，這門學(xué)科對(duì)人類認(rèn)識(shí)時(shí)間和空間的性質(zhì)發(fā)揮的巨大的作用。并且這門學(xué)科至今仍然很活躍。前不久由我國(guó)數(shù)學(xué)家朱熹平、曹懷東完成最后封頂?shù)凝嫾尤R猜想便屬于這一領(lǐng)域。微積分的現(xiàn)代發(fā)展在Riemann將Cauchy的積分含義擴(kuò)24著數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要和解決問(wèn)題的需要，僅僅考慮歐式空間中的微積分是不夠的。有必要把微積分的演出舞臺(tái)從歐式空間進(jìn)一步拓展到一般的微分流形。外微分式的積分和微分流形上的Stokes公式產(chǎn)生了。然而經(jīng)典的Green公式、Ostrogradsky—Gauss公式、以及Stokes公式也得到了統(tǒng)一。

著數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要和解決問(wèn)題的需要，僅僅考慮歐式空間中的微25微積分的發(fā)展歷史表明了人的認(rèn)識(shí)是從生動(dòng)的直觀開(kāi)始，進(jìn)而達(dá)到抽象思維，也就是從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程。人類對(duì)客觀世界的規(guī)律性的認(rèn)識(shí)具有相對(duì)性，受到時(shí)代的局限。隨著人類認(rèn)識(shí)的深入，認(rèn)識(shí)將一步一步地由低級(jí)到高級(jí)、由不全面到比較全面地發(fā)展。人類對(duì)自然的探索永遠(yuǎn)不會(huì)有終點(diǎn)。微積分的發(fā)展歷史表明了人的認(rèn)識(shí)是從生動(dòng)的直觀開(kāi)始，進(jìn)而達(dá)到抽26謝謝觀賞謝謝觀賞27微積分發(fā)展史

微積分發(fā)展史28微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，‘無(wú)限細(xì)分’就是微分，‘無(wú)限求和’就是積分。微積分（Calculus）是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，‘無(wú)限細(xì)分29我國(guó)的微積分思想萌芽

公元前5世紀(jì)，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期名家的代表作《莊子?天下篇》中記載了惠施的一段話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，是我國(guó)較早出現(xiàn)的極限思想。魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”開(kāi)創(chuàng)了圓周率研究的新紀(jì)元，用他的話說(shuō)，就是：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣?！蔽覈?guó)的微積分思想萌芽公元前5世紀(jì)，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期名家的代表30西方的微積分思想萌芽安提芬的“窮竭法”。他在研究化圓為方問(wèn)題時(shí)，提出用圓內(nèi)接正多邊形的面積窮竭圓面積，從而求出圓面積。之后，阿基米德借助窮竭法解決了一系列幾何圖形的面積、體積計(jì)算問(wèn)題。刺激微分學(xué)發(fā)展的主要科學(xué)問(wèn)題是求曲線的切線、求瞬時(shí)變化率以及求函數(shù)的極大值極小值等問(wèn)題。西方的微積分思想萌芽安提芬的“窮竭法”。他在研究化圓為31十七世紀(jì)微積分的醞釀第一類是，已知物體的移動(dòng)的距離表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度使瞬時(shí)變化率問(wèn)題第二類是，望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計(jì)使得求曲線的切線問(wèn)題第三類是，確定炮彈的最大射程以及求行星離開(kāi)太陽(yáng)的最遠(yuǎn)和最近距離等涉及的函數(shù)極大值、極小值問(wèn)題第四類問(wèn)題是求行星沿軌道運(yùn)動(dòng)的路程、行星矢徑掃過(guò)的面積以及物體重心與引力等，使面積、體積、曲線長(zhǎng)、重心和引力等微積分基本問(wèn)題的計(jì)算被重新研究。十七世紀(jì)微積分的醞釀第一類是，已知物體的移動(dòng)的距離表32意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里在其著作《用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分量的幾何學(xué)》(1635)中發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法?？ㄍ吡欣镎J(rèn)為線是由無(wú)限多個(gè)點(diǎn)組成；面是由無(wú)限多條平行線段組成；立體則是由無(wú)限多個(gè)平行平面組成．他分別把這些元素叫做線、面和體的“不可分量”．卡瓦列里建立了一條關(guān)于這些不可分量的普遍原理，后以“卡瓦列里原理”著稱意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里在其著作《用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分33

笛卡兒的代數(shù)方法在推動(dòng)微積分的早期發(fā)展方圓有很大的影響，牛頓就是以笛卡兒圓法為起跑點(diǎn)而踏上研究微積分的道路的。

德國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒的無(wú)限小元法。

17世紀(jì)上半葉一系列先驅(qū)性的工作，沿著不同的方向向微積分的大門逼近，但所有這些努力還不足以標(biāo)志微積分作為一門獨(dú)立科學(xué)的誕生。笛卡兒的代數(shù)方法在推動(dòng)微積分的早期發(fā)展方圓有34微積分的創(chuàng)立

牛頓的“流數(shù)術(shù)”牛頓對(duì)微積分問(wèn)題的研究始于1664年秋，當(dāng)時(shí)他反復(fù)閱讀笛卡兒《幾何學(xué)》，對(duì)笛卡兒求切線的“圓法”發(fā)生興趣并試圖尋找更好的方法。就在此時(shí)，牛頓首創(chuàng)了小○記號(hào)表示x的無(wú)限小且最終趨于零的增量．微積分的創(chuàng)立牛頓的“流數(shù)術(shù)”351665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法)，次年5月又建立了“反流數(shù)術(shù)”(積分法)．1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文，此文現(xiàn)以《流數(shù)簡(jiǎn)論》著稱,是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn).牛頓就將自古希臘以來(lái)求解無(wú)限小問(wèn)題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法——正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分，并證明了二者的互逆關(guān)系而將這兩類運(yùn)算進(jìn)一步統(tǒng)一成整體。這是他超越前人的功績(jī)，正是在這樣的意義下，我們說(shuō)牛頓發(fā)明了微積分。1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法)，次年5月又36萊布尼茨的微積分

萊布尼茨當(dāng)時(shí)還沒(méi)有微積分的符號(hào)，他用語(yǔ)言陳述他的特征三角形導(dǎo)出的第一個(gè)重要結(jié)果：“由一條曲線的法線形成的圖形，即將這些法線(在圓的情形就是半徑)按縱坐標(biāo)方向置于軸上所形成的圖形，其面積與曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的面積成正比”。萊布尼茨的微積分萊布尼茨當(dāng)時(shí)還沒(méi)有微積分的符號(hào)，他用語(yǔ)言陳37在微積分的創(chuàng)立上，牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽(yù)

萊布尼茨通常假設(shè)曲線z通過(guò)原點(diǎn)，這就將求積問(wèn)題化成了反切線問(wèn)題，即：為了求出在縱坐標(biāo)為y的曲線下的面積，只需求出一條縱坐標(biāo)為z的曲線，使其切線的斜率為．如果是在區(qū)間上，由上的面積減去上的面積:在微積分的創(chuàng)立上，牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽(yù)38十八世紀(jì)微積分的發(fā)展

從17世紀(jì)到18世紀(jì)的過(guò)渡時(shí)期，法國(guó)數(shù)學(xué)家羅爾在其論文《任意次方程一個(gè)解法的證明》中給出了微分學(xué)的一個(gè)重要定理，也就是我們現(xiàn)在所說(shuō)的羅爾微分中值定理。伯努利兄弟雅各布和約翰，他們的工作構(gòu)成了現(xiàn)今初等微積分的大部分內(nèi)容。其中，約翰給出了求未定式極限的一個(gè)定理，這個(gè)定理后由約翰的學(xué)生羅比達(dá)編入其微積分著作《無(wú)窮小分析》，現(xiàn)在通稱為羅比達(dá)法則。十八世紀(jì)微積分的發(fā)展從17世紀(jì)到18世紀(jì)的過(guò)渡時(shí)期，法國(guó)數(shù)391715年數(shù)學(xué)家泰勒在著作《正的和反的增量方法》中陳述了他獲得的著名定理，即現(xiàn)在以他的名字命名的泰勒定理。后來(lái)麥克勞林重新得到泰勒公式的特殊情況，現(xiàn)代微積分教材中一直將這一特殊情形的泰勒級(jí)數(shù)稱為“麥克勞林”級(jí)數(shù)。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家還將微積分算法推廣到多元函數(shù)而建立了偏導(dǎo)數(shù)理論和多重積分理論。這方面的貢獻(xiàn)主要應(yīng)歸功于尼古拉·伯努利、歐拉和拉格朗日等數(shù)學(xué)家。1715年數(shù)學(xué)家泰勒在著作《正的和反的增量方法》中陳述了他獲40微積分中注入嚴(yán)密性

微積分學(xué)中的許多概念都沒(méi)有精確的定義，特別是對(duì)微積分的基礎(chǔ)—無(wú)窮小概念的解釋不明確，在運(yùn)算中時(shí)而為零，時(shí)而非零，出現(xiàn)了邏輯上的困境。18世紀(jì)的時(shí)候，歐陸數(shù)學(xué)家們力圖以代數(shù)化的途徑來(lái)克服微積分基礎(chǔ)的困難，這方面的主要代表人物是達(dá)朗貝爾、歐拉和拉格朗日。微積分中注入嚴(yán)密性微積分學(xué)中的許多概念都沒(méi)有精確的定義，特41達(dá)朗貝爾定性地給出了極限的定義，并將它作為微積分的基礎(chǔ)，他認(rèn)為微分運(yùn)算“僅僅在于從代數(shù)上確定我們已通過(guò)線段來(lái)表達(dá)的比的極限”；歐拉提出了關(guān)于無(wú)限小的不同階零的理論；拉格朗日也承認(rèn)微積分可以在極限理論的基礎(chǔ)上建立起來(lái)，但他主張用泰勒級(jí)數(shù)來(lái)定義導(dǎo)數(shù),并由此給出我們現(xiàn)在所謂的拉哥朗日中值定理。歐拉和拉格朗日在分析中引入了形式化觀點(diǎn)，而達(dá)朗貝爾的極限觀點(diǎn)則為微積分的嚴(yán)格化提供了合理內(nèi)核。達(dá)朗貝爾定性地給出了極限的定義，并將它作為微積分的基礎(chǔ)，他認(rèn)42

19世紀(jì)分析的嚴(yán)密性真正有影響的先驅(qū)則是偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西.柯西關(guān)于分析基礎(chǔ)的最具代表性的著作是他的《分析教程》，《無(wú)窮小計(jì)算教程》以及《微分計(jì)算教程》?？挛鞯墓ぷ髟谝欢ǔ潭壬铣吻辶宋⒎e分基礎(chǔ)問(wèn)題上長(zhǎng)期存在的混亂，向分析的全面嚴(yán)格化邁出了關(guān)鍵的一步。

19世紀(jì)分析的嚴(yán)密性真正有影響的先驅(qū)則是偉大43另一位為微積分的嚴(yán)密性做出卓越貢獻(xiàn)的是德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯定量地給出了極限概念的定義：自變量的值無(wú)限趨近但不等于某規(guī)定數(shù)值時(shí),或向正向或負(fù)向增大到一定程度時(shí),與數(shù)學(xué)函數(shù)的數(shù)值差為無(wú)窮小的數(shù)。魏爾斯特拉斯所倡導(dǎo)的“分析算術(shù)化”綱領(lǐng)?；谖籂査固乩乖诜治鰢?yán)格化方面的貢獻(xiàn)，在數(shù)學(xué)史上，他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號(hào)。另一位為微積分的嚴(yán)密性做出卓越貢獻(xiàn)的是德國(guó)數(shù)44

魏爾斯特拉斯在課堂上給出了第一個(gè)嚴(yán)格的實(shí)數(shù)定義，但他沒(méi)有發(fā)表。戴德金、康托爾幾乎同時(shí)發(fā)表了他們的實(shí)數(shù)理論，并用各自的實(shí)數(shù)定義嚴(yán)格地證明實(shí)數(shù)系的完備性。這標(biāo)志著由魏爾斯特拉斯倡導(dǎo)的分析算術(shù)化運(yùn)動(dòng)大致宣告完成。魏爾斯特拉斯在課堂上給出了第一個(gè)嚴(yán)格的實(shí)數(shù)定45微積分的應(yīng)用與新分支的形成

微積分常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)偏微分方程

變分法

微積分的應(yīng)用與新分支的形成微積分常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)偏微46常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)

從17世紀(jì)末開(kāi)始，擺的運(yùn)動(dòng)、彈性理論以及天體力學(xué)等實(shí)際問(wèn)題的研究引出了一系列常微分方程，這些問(wèn)題在當(dāng)時(shí)以挑戰(zhàn)的形式被提出而在數(shù)學(xué)家之間引起激烈的爭(zhēng)論。在18世紀(jì)，常微分方程已成為有自己的目標(biāo)和方向的新數(shù)學(xué)分支。最先考慮微分方程解的存在性問(wèn)題的數(shù)學(xué)家是柯西，18世紀(jì)20年代，他給出了第一個(gè)存在性定理。常微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)從17世紀(jì)末開(kāi)始，擺的運(yùn)動(dòng)、彈性理論以4719世紀(jì)后半葉，常微分方程的研究在兩個(gè)大的方向上開(kāi)拓了新局面。第一個(gè)方向是與奇點(diǎn)問(wèn)題相聯(lián)系的常微分方程解析理論，它是由柯西開(kāi)創(chuàng)的。另一個(gè)嶄新的方向，也可以說(shuō)是微分方程發(fā)展史上的又一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，就是定性理論，它完全是龐加萊的獨(dú)創(chuàng)。龐特里亞金提出結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性概念，要求在微小擾動(dòng)下保持相圖不變，使動(dòng)力系統(tǒng)的研究向大范圍轉(zhuǎn)化。動(dòng)力系統(tǒng)的研究由于拓?fù)浞椒ê头治龇椒ǖ挠辛Y(jié)合而取得了重要進(jìn)步，借助于現(xiàn)代計(jì)算機(jī)模擬又引發(fā)具有異常復(fù)雜性的混沌、分叉、分形理論這方面的研究涉及到眾多的數(shù)學(xué)分支。19世紀(jì)后半葉，常微分方程的研究在兩個(gè)大的方向上開(kāi)拓了新局面48偏微分方程達(dá)朗貝爾發(fā)表的論文《張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究》被看作是偏