大學物理：第05章 角動量

1第五章角動量定理有心運動第五章角動量定理、有心運動§5.1角動量定理§5.2質(zhì)點組角動量定理角動量守恒定律§5.3天體運動23本章重點內(nèi)容對參考點O的力矩對參考點O角動量角動量定理當，則

或角動量守恒開普勒定律4銀河系為什么是扁的？5§5.1角動量定理5.1.1質(zhì)點角動量定理質(zhì)點的運動狀態(tài)：相對某參考點的轉(zhuǎn)動：相對某參考點的徑矢r速度運動轉(zhuǎn)動6慣性系S中的一個質(zhì)點，在運動過程中相對某參考點O的徑矢r會相應的旋轉(zhuǎn)。在dt時間質(zhì)點位移為dt，轉(zhuǎn)過角度d

r便會掃過面積dS面積速度O7質(zhì)點在

S

系中相對參考點O的角動量L角動量隨時間的變化和什么有關(guān)呢？其中8質(zhì)點所受力相對參考點

O

的力矩質(zhì)點角動量定理：質(zhì)點所受力相對某參考點的力矩等于質(zhì)點相對該參考點角動量的變化率。處理轉(zhuǎn)動的所有公式都是從這個公式導出9此式與牛頓第二定律類似：角動量、動量；角沖量、沖量注意：角動量不僅是對與一個固定點它也可以相對于一個瞬時點10h力矩力臂

h：點O到力F作用線的距離。在直角坐標系中，M

可用行列式表述成它的三個分量：11質(zhì)點所受各分力Fi相對同一參考點的力矩之和，

等于合力F相對該參考點的力矩。兩質(zhì)點之間一對作用力與反作用力相對于同一參考點力矩之和必為零。12O12若過程中

M

恒為零，則過程中

L

為守恒量若過程中

Mz恒為零，則過程中

Lz為守恒量質(zhì)點所受力F若始終指向一個固定點O，則稱F為有心力，O為力心。有心運動特點？？？13角動量守恒當質(zhì)點所受的合外力矩等于零，則質(zhì)點的角動量守恒。即：M＝0，則L＝恒矢量說明:1)M=0分兩種情況，其一F=0，角動量守恒和動量守恒同時成立；其二F≠0，但與r共線，動量不守恒，但是角動量守恒。2)角動量變化定理是矢量式，需要注意它是對固定點而言的。例如圓錐擺對O點角動量守恒(有心力)，而對O，M≠0，角動量不守恒。角動量大小不變，但是方向在變化。3)如果力矩沿某方向的分量為零，則沿著該方向角動量守恒。如圓錐擺質(zhì)點相對O所受力矩在水平面內(nèi)，垂直方向的分量為零，則沿著垂直方向的角動量分量守恒。14例1相對不同參考點A、B，計算重力矩和角動量AB參考點A：重力矩角動量參考點B：重力矩角動量15例2勻速圓周運動O選擇圓心O為參考點力矩角動量R⊙其它任何點則沒有這種情況16例3地球繞太陽公轉(zhuǎn)選擇太陽為參考點萬有引力的力矩為零17例4圓錐擺如圖，小球質(zhì)量m，速率，圓半徑R，錐角。分別求以懸點A和圓心O為參考點，張力力矩，重力力矩，合力力矩和質(zhì)點角動量？擺球受張力和重力選參考點AmOA與同向Rmg重力力矩方向如圖質(zhì)點角動量張力力矩0與同向Rmg合力力矩180合力力矩豎直向上Rm質(zhì)點角動量與反向Rmg張力力矩選參考點O擺球合外力力矩M＝0，因此角動量守恒，大小、方向保持不變mOA與同向Rmg重力力矩19說明:鞏固力矩、角動量概念，具體計算方法，判斷守恒(1)同一個力，對圓心O和懸點A力矩不同(2)作圓錐擺運動質(zhì)點m，對圓心O和懸點A的角動量也不同(3)對圓心O，合力矩為零，角動量守恒；對懸點A，合力矩不為零，角動量不守恒。因此，角動量是否守恒，與參考點的選擇有關(guān)注意(1)角動量變化定理是矢量式，是相對于某一固定點而言的(2)如果力矩沿某方向的分量為零，則沿該方向角動量守恒的豎直方向分量不變20例5⊙z導出單擺的擺動方程力矩和角動量都只有z軸分量采用小角度近似利用角動量定理振動的運動方程普遍形式21估算：18~0.32rad，取前兩項小角近似不足2％在18擺角下，用sin也僅有2％的誤差。取=18，sin=0.3090218，有<0.02即2％的誤差22例6OA小球繞O作圓周運動，如圖所示（1）求B端所受豎直向下的外力T0（2）T0極緩慢增到2T0，求（3）用功的定義式求拉力所作的功。B分析物理過程以O(shè)為參考點，力矩為零，角動量守恒T0極緩慢增大，徑向速度可略，中間過程為圓周運動23OAB解（1）（2）角動量守恒圓周運動24（3）拉動過程中，小球作螺旋線運動它恰好等于小球的動能增量255.2質(zhì)點組角動量定理角動量守恒定律質(zhì)點組角動量及質(zhì)點微分過程令質(zhì)點組內(nèi)力矩之和為零，即26mimj證明：質(zhì)點組內(nèi)力矩(角沖量)之和為零O內(nèi)力特性得到微分式27在慣性系S中，質(zhì)點組相對O點的角動量

L質(zhì)點組角動量定理：作用在質(zhì)點組上的外力對慣性參考系中的固定參考點的力矩之和(合外力矩)，等于質(zhì)點組相對于同一參考點的角動量的時間變化率28質(zhì)點組角動量守恒定律若過程中M外恒為零，則過程中L為守恒量。若過程中M外x(或M外y，M外z)恒為零，則過程中Lx(或Ly，或Lz)為守恒量。非慣性系中質(zhì)點組的角動量定理29幾點說明角動量守恒在現(xiàn)代體育運動中的應用，如花樣滑冰中為例快速轉(zhuǎn)動有收攏手臂的動作，跳水動作中有抱體的動作等。(3)質(zhì)點組角動量守恒的例子：太空艙中轉(zhuǎn)身，花樣滑冰，跳水等等。30茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅物體的轉(zhuǎn)動慣量I與角速度的乘積I叫做物體的角動量。不受外力矩作用時，物體的角動量守恒，即I＝恒量。茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅是演示角動量守恒的一種方式。演示者坐或者站在可繞豎直軸自由旋轉(zhuǎn)的椅子上，手握鐵啞鈴，兩臂平伸，是轉(zhuǎn)椅轉(zhuǎn)動，然后收縮雙臂，可看到人和椅轉(zhuǎn)速顯著加大。兩臂再度平伸，轉(zhuǎn)速復又減速。這是因為繞固定軸轉(zhuǎn)動的物體的角動量等于轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積，而外力矩等于零時，角動量守恒。當人收縮雙臂時，轉(zhuǎn)動慣量減小，因此角速度增加。31離心節(jié)速器當機器負荷增大時，由于阻力增大，轉(zhuǎn)速將降低，這時重球旋轉(zhuǎn)半徑減小滑環(huán)下降，使節(jié)流閥門開大，增加進氣量，使機器增大輸出動力，轉(zhuǎn)速就上升，恢復到原來值。當負荷變小而速度增大時，重球旋轉(zhuǎn)半徑加大，使閥門關(guān)小減少進氣量，使轉(zhuǎn)速下降，也可恢復到原來值。這樣，就自動地起調(diào)節(jié)速度的作用，使機器以一定的速度旋轉(zhuǎn)。儀器的構(gòu)造如下：在豎直軸頂部的小盤上，連有兩個金屬桿，桿的末端各有一個金屬球。轉(zhuǎn)軸上套有可以上下滑動的金屬滑環(huán)，滑環(huán)上有支桿與兩重球的金屬桿相連接。軸的頂端與滑環(huán)之間套有可伸縮的彈簧。轉(zhuǎn)軸靜止時，二重球下垂與轉(zhuǎn)軸并攏，套在軸上的彈簧伸展。轉(zhuǎn)動后，重球做離心運動而飛起，壓縮鈾上彈簧。轉(zhuǎn)速增大時，重球的旋轉(zhuǎn)半徑增大，滑環(huán)上升，反之下降。如果利用卡在滑環(huán)中的連桿與節(jié)流閥相連(如圖所示)，控制機器的進氣量，就可以達到調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)速的目的。因此這個裝置叫做離心節(jié)速器。32離心球演示角動量守恒用離心球演示角動量守恒。在沒有外力矩作用的情形下，如果物體的I增大時，就減?。环粗?，I減小時，就增大。圖中表示的是用離心球演示的現(xiàn)象。先使豎直軸轉(zhuǎn)動，兩重球分開，有一定的角動量。沿豎直軸往下拉滑環(huán)時，迫使二重球張角減小向軸靠攏，此時重球的轉(zhuǎn)動慣量減小，轉(zhuǎn)速就急劇增加。再把滑環(huán)上移使兩重球分開，轉(zhuǎn)動慣量增大，轉(zhuǎn)速又減小，這是由于移動滑環(huán)時對于重球不產(chǎn)生繞軸的力矩，因此角動量始終守恒。太陽系中各個行星的運動就保持著角動量守恒，當行星運行到不同位置時由于轉(zhuǎn)動慣量的改變其角速度也發(fā)生變化。33銀河系為什么是扁的？34Laplace星云假說35盤狀星系角動量守恒的結(jié)果銀河系36角動量守恒的結(jié)果銀河系2,000億星球仙女座星系盤狀星系375.1.3外力矩重心對稱球的外引力分布中心外力矩是質(zhì)點系角動量變化的原因合力為零的外力矩質(zhì)點系所受外力的合力為零時，外力矩與參考點無關(guān)。O38一對力偶：大小相同、方向相反且不在同一直線上的兩個力。力偶的力矩不依賴于參考點的選擇1239重心位于rG的幾何點稱為質(zhì)點系的重心質(zhì)量均勻分布，幾何結(jié)構(gòu)具有強對稱性的物體，重心位于其幾何中心。40質(zhì)點系各質(zhì)點重力的沖量和等于質(zhì)點系重力的沖量質(zhì)點系各質(zhì)點重力作功之和等于質(zhì)點系重力作用于重心處所作的功重力勢能重力的力矩重心是質(zhì)點系重力分布中心貓的空中轉(zhuǎn)體質(zhì)點系的中心G與下章質(zhì)心C，概念不同，位置相同41對稱球的外引力分布中心P球心是對稱球的外引力分布中心1664年牛頓完成草稿微積分(流變術(shù))1687年出版《自然哲學的數(shù)學原理》42§5.3天體運動人類宇宙觀的簡要回顧§5.3.1

天體運動——行星運動43§5.3.2

開普勒定律1609年，開普勒在《新天文學》中闡述第一、二定律行星軌道焦點太陽焦點●第一定律（軌道定律）：行星圍繞太陽的運動軌道為橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。44

離太陽近時速度快，離太陽遠時速度慢FF第二定律（面積定律）：行星與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。又稱掠面速度守恒。45MdS看到，掠面速度s守恒為角動量守恒的運動學表述，故s常稱為運動學常量。46第三定律（周期定律）：各行星橢圓軌道半長軸A的三次方與軌道運動周期T的二次方之比值為相同的常量，即1619年，開普勒在《宇宙諧和論》中闡述第三定律。開普勒三定律確定了太陽系的空間位形，故稱開普勒為“天體立法者”AFF地球比值k是與行星無關(guān)而只與中心天體有關(guān)的恒量47卡文迪許測出G，由驚呼我秤出地球質(zhì)量ME；開普勒定律進而告訴我們，可以驕傲地宣稱：由上式測出TE、aE，應用則可秤出MS。地球參數(shù)RE=6.378106m，g=9.81m/s2萬有引力常量G

=6.6710-11m3/kg-1s-2，故有地球參量ME=5.981024kg地球運行周期

TE=3.610324365=3.1536107s地球運行平均半徑

aE=rE=1.4961011m故有48完成了開普勒三定律，開普勒感慨道：“十六年了，我志愿探索一件事情，所以我和第谷結(jié)合起來，……我終于見到了光明，認識到的真理遠遠超出我的期望。如今，木已成舟，書已完稿，至于是否現(xiàn)在就有讀者，抑或留待后世？！正像上帝為了一個觀察者等待了六千年那樣，我也許要整整等上一個世紀才會有讀者。對此，我毫不在意。”然而，五十年后一位偉大的天才的讀者出現(xiàn)了，這位讀者就是牛頓。如果說，開普勒完成了太陽系行星的運動學描述，而牛頓則揭示了其動力學原因。觀察者是指第谷(和開普勒本人)；開普勒時代，多數(shù)人認為宇宙的年齡只有幾千年，六千年這個數(shù)字來自《圣經(jīng)》。49§5.3.3

行星運動軌道方程牛頓力學結(jié)合萬有引力定律推導天體運動的開普勒三定律極坐標系角動量守恒能量守恒50太陽質(zhì)量記為M，待考察的行星質(zhì)量記為m，某時刻M至m的徑矢r和m的速度。建立極坐標系在徑矢r和速度確定的平面上，建立以M為原點的極坐標系。51利用角動量L和能量E守恒首先可得到角向速度和徑向速度52行星軌道方案1：參數(shù)方程方案2：軌道方程53確定軌道方程引入?yún)⒘?4作變量代換積分后可得總可選取55行星的軌道方程這是太陽位于焦點的圓錐曲線56三種可能的軌道：都與m無關(guān)(1)E>0時，>1，為雙曲線之一，M位于內(nèi)焦點(2)E=0時，=1，為拋物線，M位于焦點(3)E<0時，<1，為橢圓，M位于其中一個焦點行星的軌道方程57大行星受太陽引力束縛強，E

<

0，軌道是橢圓Mm橢圓偏心率時，為圓軌道。太陽系中太陽是質(zhì)量最大的天體，行星中質(zhì)量最大的木星58各大行星軌道偏心率水星0.206金星0.007地球0.017火星0.098木星0.048土星0.055天王星0.051海王星0.007冥王星0.252太陽近似處理成不動的質(zhì)點，行星運動由太陽引力支配。衛(wèi)星距大行星很近，圍繞著行星的運動由行星引力支配。59§5.3.4

有心力場中質(zhì)點的運動存在有心力的空間稱為有心力場，以力心為坐標原點，在有心力場中質(zhì)點所受力可表述成：60有心力場中，質(zhì)點初速度沿徑向或為零時，運動軌道是直線。對于吸引性有心力場，質(zhì)點初速度沿角向并滿足，運動軌道是圓。一般情況下，質(zhì)點的運動軌道都是平面曲線，這一平面由質(zhì)點初位矢和初速度確定。61ab保守力(1)有心力對力心的力矩為零不變(2)有心力大小只與r相關(guān)積分與路徑無關(guān)有心力場角動量守恒有心力場機械能守恒E=Ek+Ep=常量62例15O為有心力場的力心，排斥力與距離的二次方成正比：f=k/r2，k為常量。(1)求此力場的勢能；(2)一質(zhì)量為m的粒子以速度0，瞄準距離b從遠處入射，求它能達到的最近距離和此刻速度。解(1)斥力f=k/r2為保守力，根據(jù)勢能定義，并規(guī)定無窮遠為勢能零點，則力場的勢能為bM-漸近線的平行線漸近線瞄準距離63(2)斥力f=k/r2為有心力，在有心力場中運動的粒子對力心O的角動量守恒。若以從遠處入射時為初態(tài)，到達與力心最近距離處為終態(tài)，根據(jù)角動量守恒為初態(tài)角動量大小終態(tài)角動量大小故有斥力f=k/r2為保守力，在保守場中粒子的能量守恒解R的一元二次方程，舍去負根，得到粒子達到最近距離和速度64動量？機械能守恒和角動量守恒是解析一切有心運動的理論出發(fā)點常見的在萬有引力作用下的天體和人造天體的運動在庫侖力作用下核外電子運動和帶電粒子散射等典型的有心運動物理背景帶電粒子在庫侖場中的散射—粒子散射。動量不守恒65bQ

q漸近線