專題09 基本不等式的應(yīng)用(原卷版)

專題09基本不等式的應(yīng)用1、【2019年高考江蘇】在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是_____.2、【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)，則的最小值為__________.3、【2019年高考浙江卷】若，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4、【2018年高考天津卷文數(shù)】（2018天津文科）已知，且，則的最小值為.5、【2018年高考江蘇卷】在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為___________．6、【2017年高考江蘇卷】某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則的值是___________．一、三個不等式關(guān)系：(1)a，b∈R，a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時取等號．(2)a，b∈R＋，a＋b≥2eq\r(ab)，當且僅當a＝b時取等號．(3)a，b∈R，eq\f(a2＋b2,2)≤(eq\f(a＋b,2))2，當且僅當a＝b時取等號．上述三個不等關(guān)系揭示了a2＋b2，ab，a＋b三者間的不等關(guān)系．其中，基本不等式及其變形：a，b∈R＋，a＋b≥2eq\r(ab)(或ab≤(eq\f(a＋b,2))2)，當且僅當a＝b時取等號，所以當和為定值時，可求積的最值；當積為定值是，可求和的最值．二、.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).三、.利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2eq\r(p).(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)四、對于f(x)＝x＋eq\f(a,x)，當a≤0時，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)為增函數(shù)；當a＞0時，f(x)在(－∞，eq\r(a))，(eq\r(a)，＋∞)為增函數(shù)；在(－eq\r(a)，0)，(0，eq\r(a))為減函數(shù)．注意在解答題中利用函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)的單調(diào)性時，需要利用導數(shù)進行證明．五、利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要有兩種思路：(1)對條件使用基本不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解．常用的方法有：拆項法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等．(2)條件變形，進行“1”的代換求目標函數(shù)最值．在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.六、對于多元問題的不等式的基本解題思路就是把多元問題轉(zhuǎn)化為單元問題。題型一運用消參法解決基本不等式中的最值問題消參法就是對應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個參數(shù)表示另一個參數(shù)，再利用基本不等式進行求解.解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個條件缺一不可！例1、(2019常州期末）已知正數(shù)x，y滿足x＋eq\f(y,x)＝1，則eq\f(1,x)＋eq\f(x,y)的最小值為________．例2、(2017蘇北四市期末）若實數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)))，則eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)的最小值為________．題型二、運用1的代換解決基本不等式中的最值問題1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達到運用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價變形。例3、(2019揚州期末）已知正實數(shù)x，y滿足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為_________．例4、（2019年蘇州學情調(diào)研）若正實數(shù)滿足，則的最小值是．例5、（2013徐州、宿遷三檢）若，且，則的最小值為．題型三、運用雙換元解決基本不等式中的最值問題若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運用兩個分式的分母為兩個參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個參數(shù)的不等關(guān)系。例6、(2017蘇州期末）已知正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則eq\f(4,x＋2)＋eq\f(1,y＋1)的最小值為________．例7、(2015蘇錫常鎮(zhèn)、宿遷一調(diào)）已知實數(shù)x，y滿足x>y>0，且x＋y≤2，則eq\f(2,x＋3y)＋eq\f(1,x－y)的最小值為________．題型四、基本不等式中多元問題的處理多元最值問題是最典型的代數(shù)問題，代數(shù)問題要注重結(jié)構(gòu)的觀察和變形，變形恰當后，直接可以構(gòu)造幾何意義也可以使問題明朗化，具體歸納如下：(1)多元最值首選消元：三元問題→二元問題→一元問題．(2)二元最值考查頻率高，解決策略如下：策略一：消元．策略二：不好消元——用基本不等式及其變形式，線性規(guī)劃，三角換元．（3）多元問題不好消元的時候可以減元，常見的減元策略：策略一：齊次式——同除減元．策略二：整體思想——代入消元或者減元．例8、(2019南京、鹽城一模）若正實數(shù)a，b，c滿足ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，則c的最大值為________．例9、(2018南通、揚州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào)）已知a，b，c均為正數(shù)，且abc＝4(a＋b)，則a＋b＋c的最小值為________．題型五基本不等式的綜合運用多變量式子的最值的求解的基本處理策略是“減元”或應(yīng)用基本不等式，其中“減元策略”的常見方法有：①通過消元以達到減少變量的個數(shù)，從而利用函數(shù)法或方程有解的條件來研究問題；②通過“合并變元”以代換的方式來達到“減元”，一般地，關(guān)于多變元的“齊次式”多用此法．而應(yīng)用基本不等式求最值時，要緊緊抓住“和”與“積”的關(guān)系來進行處理，為了凸現(xiàn)“和”與“積”的關(guān)系，可以通過換元的方法來簡化問題的表現(xiàn)形式，從而達到更易處理的目的，例10、(2018揚州期末）已知正實數(shù)x，y滿足5x2＋4xy－y2＝1，則12x2＋8xy－y2的最小值為________．例11、(2018南京、鹽城一模）若不等式ksin2B＋sinAsinC>19sinBsinC對任意△ABC都成立，則實數(shù)k的最小值為________．1、(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）已知a>0,b>0，且eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝eq\r(ab)，則ab的最小值是________．2、(2017蘇北四市一模）已知正數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝eq\r(ab)－5，則ab的最小值為________．3、(2019鎮(zhèn)江期末）已知x＞0，y＞0，x＋y＝eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)，則x＋y的最小值為________．4、(2019蘇北三市期末）已知a>0，b>0，且a＋3b＝eq\f(1,b)－eq\f(1,a)，則b的最大值為________．5、(2018蘇州期末）已知正實數(shù)a，b，c滿足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,c)＝1，則c的取值范圍是________．6、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集為{x|3<x<4}，則eq\f(c2＋5,a＋b)的最小值為________．7、(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（二））已知正實數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則的最小值為．8、(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（二））已知為正實數(shù)，且，則的最小值為．9、(2017無錫期末）已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，則eq\f(ac,b)＋eq\f(c,ab)－eq\f(c,2)＋eq\f(\r(5),c－2)的最小值為________．10、(2017蘇州期末）已知正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則eq\f(4,x＋2)＋eq\f(1,y＋1)的最小值為________．11、（2016蘇州期末）已知ab＝eq\f(1,4)，a，b∈(0,1)，則eq\f(1,1－a)＋eq\f(2,1－b)的最小值為________．12、(2016徐州、連云港、宿遷三檢）已知對滿足x＋y＋4＝2xy的任意正實數(shù)x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，則實數(shù)a的取值范圍是________．13、（2016蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào)）若實數(shù)x，y滿足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，則當x＋2y取得最大值時，eq\f(x,y)的值為________．14、(2016泰州期末）若正實