專題11 圓錐曲線的基本量（原卷版）

專題11圓錐曲線的基本量1、【2019年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】設(shè)為橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________.2、【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是.3、【2018年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是____________．4、【2019年高考浙江卷】漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是（）A． B．1 C． D．25、【2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】雙曲線C：的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為（）A．2sin40° B．2cos40°C． D．6、【2019年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】若拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=（）A．2 B．3 C．4 D．87、【2019年高考北京卷文數(shù)】已知雙曲線（a>0）的離心率是，則a=（）A． B．4C．2 D．8、【2019年高考天津卷文數(shù)】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且（O為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．9、【2018年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的離心率為（）A． B．C． D．10、【2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，│AB│=4，⊙M過點(diǎn)A，B且與直線x+2=0相切．（1）若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑；（2）是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動時(shí)，│MA│?│MP│為定值？并說明理由．11、【2019年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2）如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．一、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距F1F2＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2焦半徑公式：稱到焦點(diǎn)的距離為橢圓的焦半徑①設(shè)橢圓上一點(diǎn)，則（可記為“左加右減”）②焦半徑的最值：由焦半徑公式可得：焦半徑的最大值為，最小值為焦點(diǎn)三角形面積：（其中）二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x準(zhǔn)線x＝±eq\f(a2,c)y＝±eq\f(a2,c)離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長A1A2＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長B1B2＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a、b、c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)通徑：①內(nèi)弦：雙曲線同一支上的兩點(diǎn)連成的線段外弦：雙曲線兩支上各取一點(diǎn)連成的線段②通徑：過雙曲線焦點(diǎn)的內(nèi)弦中長度的最小值，此時(shí)弦軸，焦半徑公式：設(shè)雙曲線上一點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，則①（可記為“左加右減”）②由焦半徑公式可得：雙曲線上距離焦點(diǎn)最近的點(diǎn)為雙曲線的頂點(diǎn)，距離為焦點(diǎn)三角形面積：設(shè)雙曲線上一點(diǎn)，則（其中）三、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑公式：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，，則焦點(diǎn)弦長：設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，則（，再由焦半徑公式即可得到）題型一圓錐曲線的基本量圓錐曲線的基本量涉及到橢圓的長軸、短軸、焦距等基本量、雙曲線的實(shí)軸、虛軸、焦距、漸近線等基本量，以及拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程等知識。求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組.如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便例1、（2019年泰州學(xué)情調(diào)研）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：EQ\F(x2,a2)＋EQ\F(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(diǎn)（在x軸上方），連結(jié)PF1并延長交橢圓于另一點(diǎn)Q，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，EQ\F(3,2))，且△PQF2的周長為8，則橢圓C的方程為．xxOyPF1F2Q例2、(2019常州期末）已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，直線x＋y＋2＝0經(jīng)過雙曲線C的焦點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程為________．例3、(2019無錫期末）以雙曲線eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．例4、（2017·天津卷）已知雙曲線E：的左焦點(diǎn)為，離心率為，若經(jīng)過和兩點(diǎn)的直線l平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．題型二圓錐曲線的離心率問題圓錐曲線的離心率是圓錐曲線的一個(gè)最重要的性質(zhì)，在江蘇高考中多次考到，是江蘇高考的熱點(diǎn)問題。求離心率的值關(guān)鍵就是找到a,b,c之間的關(guān)系；求離心率的取值范圍問題時(shí)，除了要根據(jù)條件來確定離心率的取值范圍外，不要忘記離心率的本身的范圍，即橢圓的離心率在(0，1)上，雙曲線的離心率在(1，＋∞)上，這也是求離心率的范圍問題的常見錯(cuò)誤例5、(2019南京三模）平面直角坐標(biāo)系xOy中，過雙曲線eq\F(x2,a2)－eq\F(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F作一條漸近線的平行線，交另一條漸近線于點(diǎn)P．若線段PF的中點(diǎn)恰好在此雙曲線上，則此雙曲線的離心率為▲．例6、（2014年江蘇卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，連結(jié)BF2并延長交橢圓于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié)F1C.(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3)))，且BF2＝eq\r(2)，求橢圓的方程；(2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值．例7、(2019南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.(1)已知橢圓的離心率為eq\f(1,2)，線段AF中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(\r(2),2)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知△ABF外接圓的圓心在直線y＝－x上，求橢圓的離心率e的值．例8、（2018年徐州銅山調(diào)研）如圖所示，橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)分別是A1，A2，B1，B2，焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，延長B2F2交A2B1于點(diǎn)P，若∠B2PA2是鈍角，求橢圓E離心率e的取值范圍．題型三圓錐曲線中點(diǎn)坐標(biāo)及范圍例9、(2019蘇州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知焦點(diǎn)在x軸上，離心率為eq\f(1,2)的橢圓E的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)A到右準(zhǔn)線的距離為6.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)A且斜率為eq\f(3,2)的直線與橢圓E交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B與右焦點(diǎn)F的直線交橢圓E于M點(diǎn)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．例10、(2019泰州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B是橢圓C上異于左、右頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)B且與AB垂直的直線與直線OP交于點(diǎn)Q.已知橢圓C的離心率為eq\f(1,2)，點(diǎn)A到右準(zhǔn)線的距離為6.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x0，求x0的取值范圍．1、(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）已知雙曲線C的方程為，則其離心率為．2、(2019南京、鹽城一模）若雙曲線eq\f(x2,2)－eq\f(y2,m)＝1的離心率為2，則實(shí)數(shù)m的值為________．3、已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(4，0)，F(xiàn)2(4，0)，且橢圓C過點(diǎn)A(3，1)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．4、(2019蘇州期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(－3，1)，則該雙曲線的離心率為________．5、(2019通州、海門、啟東期末）已知經(jīng)過雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,8)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，且垂直于實(shí)軸的直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長為________．6、(2019南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為l，直線l與雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，AB＝eq\r(6)，則p的值為________．7、(2019南京、鹽城二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A是拋物線y2＝4x與雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的一個(gè)交點(diǎn)．若拋物線的焦點(diǎn)為F，且FA＝5，則雙曲線的漸近線方程為________．8、(2019宿遷期末）已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，右焦點(diǎn)與拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)重合，則雙曲線C的頂點(diǎn)到漸近線的距離為________.9、(2018常州期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線l：x＋y＋1＝0與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線都相交且交點(diǎn)都在y軸左側(cè)，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是________．10、(2018揚(yáng)州期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線與圓x2＋y2－6y＋5＝0沒有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是________．11、設(shè)，是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，若在右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)，使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓E的離心率e的取值范圍是________．12、(2018南京、鹽城、連云港二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)的兩條漸近線與圓O：x2＋y2＝2的四個(gè)交點(diǎn)依次為A，B，C，D.若矩形ABCD的面積為b，則b的值為________．13、(2019南京學(xué)情調(diào)研）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，且直線l：x＝2被橢圓E截得的弦長為2.與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，且PQ的中點(diǎn)R在直線l上．點(diǎn)M(1，0)．(1)求橢圓E的方程；(2)求證：MR⊥PQ.14、(2018蘇中三市、蘇北四市三調(diào)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)．點(diǎn)在橢圓上，且．（1）若橢圓的離心率為，短軸長為．=1\*GB3①求橢圓的方程；（2）若在軸上方存在兩點(diǎn)，使四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率的取值范圍．15、(2017南京學(xué)情調(diào)研）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(diǎn)(在x軸上方)，連結(jié)PF1并延長交橢圓于另一點(diǎn)Q，設(shè)eq\o(PF1,\s\up6(→))＝λeq\o(F1Q,\s\up6(→)).(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，且△PQF2的周長為8，求橢圓C的方程；(2)若PF2垂直于x軸，且橢圓C的離心率e∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．16