內心外心重心垂心定義性質總結

優(yōu)選文檔心里、外心、重心、垂心1、心里1）定義：三角形的心里是三角形三條角均分線的交點(或內切圓的圓心)。2）三角形的心里的性質①三角形的三條角均分線交于一點，該點即為三角形的心里②三角形的心里到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑r③s=(r是內切圓半徑)④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．⑤∠BOC=90°+∠A/2∠BOA=90+∠C/2∠AOC=90+∠B/22、外心1）定義：三角形的外心是三角形三條垂直均分線的交點(或三角形外接圓的圓心)。2）三角形的外心的性質①三角形三條邊的垂直均分線的交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心.②三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內接三角形卻有無數(shù)個，這些三角形的外心重合。③銳角三角形的外心在三角形內；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心與斜邊的中點重合OA=OB=OC=R.優(yōu)選文檔⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBAS△ABC=abc/4R3、重心（1）三角形的三條邊的中線交于一點。該點叫做三角形的重心。（2）三角形的重心的性質①重心到極點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。②重心和三角形3個極點組成的3個三角形面積相等。③重心到三角形3個極點距離的平方和最小。④在平面直角坐標系中，重心的坐標是極點坐標的算術平均，即其坐標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標系——橫坐標：(X1+X2+X3)/3縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3豎坐標：（Z1+Z2+Z3）/3⑤重心和三角形3個極點的連線的隨意一條連線將三角形面積均分。⑥重心是三角形內到三邊距離之積最大的點。4、垂心1）定義：三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點(平時用H表示)。2）三角形的垂心的性質①銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角極點上；鈍角三角形的垂心在三角形外②三角形的垂心是它垂足三角形的心里；或許說，三角形的心里是它旁心三角形的垂心③垂心O對于三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上.優(yōu)選文檔④△ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相像的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OFH、A、B、C四點中任一點是其余三點為極點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一—垂心組)。⑥△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圓是等圓。⑦在非直角三角形中，過O的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC⑧三角形任一極點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。⑨設O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，BCO=∠HCA。⑩銳角三角形的垂心到三極點的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑