專題一第2講高考數(shù)學(xué)(理科)二輪復(fù)習(xí)講義

第2講三角恒等變換與解三角形(小題)熱點(diǎn)一三角恒等變換1.三角求值“三大種類”“給角求值”“給值求值”“給值求角”.2.三角恒等變換“四大策略”(1)常值代換：常用到“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45等°.(2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等.(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化.例1(1)(2019·榆林模擬)若α，β都是銳角，且cosα＝5，sin(α＋β)＝3，則cosβ等于()552525A.25B.525或255或5C.255D.525答案A剖析因?yàn)棣?，β都是銳角，且cosα＝5<1，52因此ππ3<α<，2132又sin(α＋β)＝5，而2<5<2，3π5π因此4<α＋β<6，4因此cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－5，sinα＝1－cos2α＝255，cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα525.5，sin(α－β)＝－10，α，β均為銳角，則β等于()(2)已知sinα＝5105ππA.12B.3ππC.4D.6答案C剖析因?yàn)棣?，β均為銳角，因此－ππ2<α－β<2.又sin(α－β)＝－10，因此cos(α－β)＝3101010.又sinα＝5，因此cosα＝25，55因此sinβ＝sin[α－(α－β)]sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)531025102＝5×10－5×－10＝2.π因此β＝.4(3)3－1＋64sin220°＝________.22sin20°cos20°答案32剖析因?yàn)?－13cos220°－sin220°＝sin220°cos220°sin220°cos220°3cos20＋°sin20°3cos20－°sin20°＝1sin240°42cos20°－30°2cos20°＋30°1sin240°4＝16cos10cos°50°16sin80°sin240°＝°sin4032sin40cos°40°＝sin40°＝32cos40°，因此3－11(1－cos40)°＝32.22＋64sin220°＝32cos40＋°64×sin20°cos20°2追蹤演練1π3，則cos2018π(1)已知sin－α＝2α＋等于()63321A.3B.321C.－3D.－3答案D2018π2π剖析cos2α＋3＝cos2α＋＋672π3＝cos2α＋2π3，∵sinπ＝cosπ3－α＋α＝3，632018π2π∴cos2α＋3＝cos2α＋32cos2α＋π－1＝2－1＝－1.333(2)(2019呂·梁模擬)已知α∈0，π，β∈0，π，tanα＝cos2β，則()221－sin2βππA.α＋β＝2B.α－β＝4ππC.α＋β＝4D.α＋2β＝2答案B剖析tanα＝cos2β＝2β－sin2β＝cosβ＋sinβcosβ－sinβ＝cosβ＋sinβcos1－sin2βcos2β＋sin2β－2sinβcosβcosβ－sinβ2cosβ－sinβ1＋tanβπα∈π，β∈πππ＝＝tan＋β，又因?yàn)?，20，2，因此α＝＋β，即α－β＝1－tanβ444.熱點(diǎn)二利用正弦、余弦定理解三角形abc1.正弦定理：在△ABC中，sinA＝sinB＝sinC＝2R(R為△ABC的外接圓半徑變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝a，sinB＝b，sinC＝2R2RsinA∶sinB∶sinC等.2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.b2＋c2－a2變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.

).，a∶b∶c＝2R1113.三角形的面積公式：S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA.例2(1)(2019·東北師大附中、重慶一中、吉大附中、長(zhǎng)春十一中聯(lián)考)在△ABC中，A，B，π→→C所對(duì)的邊分別為a，b，c，B＝3，AB·BC＝－2，且滿足sinA＋sinC＝2sinB，則該三角形的外接圓的半徑R為()4323A.3B.3C.3D.2答案B剖析由題意，因?yàn)椤?AB·BC＝accos(π－B)＝－ac＝－2，因此ac＝4.2由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.又因?yàn)閟inA＋sinC＝2sinB，因此a＋c＝2b，因此a＋c24＝(a＋c)2－3ac，因此3a＋c24＝12，因此(a＋c)2＝16，因此a＋c＝4，因此b＝2，因此2R＝b＝2＝43，sinBπ3sin33因此R＝3.(2)(2019葫·蘆島調(diào)研)△ABC的周長(zhǎng)為10＋27，且滿足sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶7，則△ABC的面積為()A.63B.47C.87D.12答案A剖析由正弦定理及sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶7，可得a∶b∶c＝2∶3∶7，于是可設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝7k(k>0)，由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b24k2＋7k2－9k27321.2ac＝2×2k·7k＝，∴sinB＝1－cos2B＝1414又2k＋3k＋7k＝10＋27，∴k＝2，即a＝4，c＝27，∴S△ABC11321＝acsinB＝2·4·27·＝63，214即△ABC的面積為63.追蹤演練2(1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，則△ABC外接圓的面積為()πA.4πB.2πC.πD.2答案D剖析由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccosA，a＝1，因此b2＋c2－1＝2bccosA，又S＝1bcsinA,4S＝b2＋c2－1，21因此有4×2bcsinA＝2bccosA，π即sinA＝cosA，因此A＝，4由正弦定理得，1＝2R，得R＝2，π2sin4π因此△ABC外接圓的面積為2.(2)(2019廣·州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a的取a，b，c，若A＝3B，則b值范圍是()A.(0,3)B.(1,3)C.(0,1]D.(1,2]答案B剖析A＝3B?sinA＝sin3B＝sin2B＋B＝sin2BcosB＋cos2BsinBsinBsinBsinBsinB2sinBcos2B＋cos2BsinB＝2cos2B＋cos2B＝2cos2B＋1，sinB即ab＝sinsinAB＝2cos2B＋1，又A＋B∈(0，π)，即4B∈(0，π)?2B∈0，π?cos2B∈(0,1)，∴a∈(1,3).2b熱點(diǎn)三正弦、余弦定理的實(shí)質(zhì)應(yīng)用1.用正弦定理和余弦定理可解決距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題或物理問(wèn)題等.2.解決三角形應(yīng)用題的基本思路畫(huà)圖解三角形檢驗(yàn)實(shí)責(zé)問(wèn)題――→數(shù)學(xué)問(wèn)題―――→數(shù)學(xué)問(wèn)題的解――→實(shí)責(zé)問(wèn)題的解.3.用正、余弦定理解決問(wèn)題的一般步驟：(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)辦的三角形，要第一確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理，若是都可用，選擇便于計(jì)算的定理.例3(1)某游輪在A處看燈塔B在A的北偏東75°的方向上，距A126海里處，燈塔C在A的北偏西B在南偏東

30°的方向上，距A83海里處，游輪由A處向正北方向航行到60°的方向上，則此時(shí)燈塔C與游輪的距離為()

D處時(shí)再看燈塔A.20海里

B.83海里C.232海里

D.24海里答案

B剖析

以下列圖，在△ABD

中，∠DAB＝75°，∠ADB＝60°，B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得AD＝AB，sinBsin∠ADB2∴AD＝ABsinB＝126×2＝24.sin∠ADB32在△ACD中，AD＝24，AC＝83，∠CAD＝30°，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(83)2－2×24×83×

23＝192，∴CD＝83.(2)如圖，某學(xué)生社團(tuán)在校園內(nèi)測(cè)量遠(yuǎn)處某棟樓CD的高度，D為樓頂，線段AB的長(zhǎng)度為600m，在A處測(cè)得∠DAB＝30°，在B處測(cè)得∠DBA＝105°，且此時(shí)看樓頂D的仰角∠DBC＝30°，已知樓底C和A，B在同一水平面上，則此樓高度CD＝________m.(精確到1m)答案212剖析在△ABD中，由正弦定理，得BD＝AB，由AB＝600，得sin30°sin180°－105°－30°600sin30°BD＝sin45＝3002，在Rt△BCD中，°因?yàn)椤螪BC＝30°，因此CD＝1BD＝1502≈212.2追蹤演練3(1)以下列圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔15000m，速度為1000km/h，翱翔員先看到山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過(guò)108s后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹開(kāi)_______m.(取3＝1.732)答案6340剖析以下列圖，108s＝0.03h，AB＝1000×0.03＝30(km).∵∠C＝75°－15°＝60°，∵AB＝BC，sin60°sin15°∴BC＝ABsin15°sin60＝203sin15(km)°，°∴C到AB邊的距離h＝BCsin75＝°203sin15sin°75＝°103sin30＝°535×1.732＝8.66(km)，∴山頂?shù)暮０胃叨葹?5000－8660＝6340(m).(2)以下列圖，為測(cè)量豎直旗桿CD的兩點(diǎn)A，B，在A處測(cè)得旗桿底部

的高度，在旗桿底部C所在水平川面上采用相距C在西偏北20°的方向上，旗桿頂部D的仰角為

421m60°；在B處測(cè)得旗桿底部

C在東偏北

10°的方向上，旗桿頂部

D的仰角為

45°，則旗桿

CD

的高度為_(kāi)_______m.答案12剖析設(shè)CD＝x，x>0.∵在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，BC＝x.∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝CD＝x.tan60°3在△ABC中，∵∠CAB＝20°，∠CBA＝10°，∴∠ACB＝180°－20°－10°＝150°，∴由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°，即(421)2＝1x2＋x2＋2·x·x·3＝7x2，3323x＝12.旗桿CD的高度為12m.真題體驗(yàn)1.(2017山·東，理，9)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC形，且滿足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，則以低等式成立的是(

為銳角三角)A.a＝2b

B.b＝2a

C.A＝2B

D.B＝2A答案剖析

A∵等式右邊＝

sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAcosC＋sin(A＋C)sinAcosC＋sinB，等式左邊＝sinB＋2sinBcosC，∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB.由cosC>0，得sinA＝2sinB.依照正弦定理，得a＝2b.π2.(2019全·國(guó)Ⅱ，理，10)已知α∈0，2，2sin2α＝cos2α＋1，則sinα等于()15325A.5B.5C.3D.5答案B剖析由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因?yàn)棣?，因此cosα＝1－sin2α，因此2sinα1－sin2α＝1－sin2α，解得sinα＝5α∈0，25，應(yīng)選B.3.(2019全·國(guó)Ⅱ，理，15)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若b＝6，a＝2c，Bπ＝，則△ABC的面積為_(kāi)_______.3答案63剖析方法一π因?yàn)閍＝2c，b＝6，B＝，因此由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)23＋c2－π11×432×2c×ccos，得c＝23，因此a＝43，因此△ABC的面積S＝acsinB＝322π3.×23×sin＝63方法二因?yàn)閍＝π2c，b＝6，B＝，因此由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c23－2×2c×ccosππ，得c＝23，因此a＝43，因此a2＝b2＋c2，因此A＝，因此△ABC的面32積S＝1×23×6＝63.2押題展望4，α∈π，則sinπ0，4－α的值為_(kāi)_______.1.已知sin2α＝54答案1010剖析ππππ因?yàn)?－α＝－2α，則2α＝－2－α，4224因此sin2α＝sinππ＝cos2π－2－α－α，2444π因此5＝1－2sin24－α，因此sin2πππ，－α＝1，又－α∈0，44104因此sinπ10－α＝410.2.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為bcosC＝1＋cos2C，C是銳角，且aa，b，c，若ccosB1＋cos2B27，cosA＝1，則△ABC的面積為_(kāi)_______.3答案72剖析由正弦定理可得bcosC＝sinBcosC，ccosBsinCcosB又由余弦的倍角公式可得1＋cos2C＝2cos2C，1＋cos2B22cosB因此sinsinBC＝coscosCB，即sin2B＝sin2C，π因此B＝C或B＋C＝，21又cosA＝3，因此

A∈

π，因此0，2

B＝C，因此a2＝b2＋c2－2bccosA，整理得2b2－2b2＝28，3解得b＝c＝21，因此S＝1bcsinA＝72.23.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，A＝30°，C＝45°，c＝3，點(diǎn)P是平面ABC內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠BPC＝60°，則△PBC面積的最大值是________.答案938剖析∵A＝30°，C＝45°，c＝3，∴由正弦定理a＝c，sinAsinC1可得a＝c·sinA＝3×2＝32sinC22.2又∠BPC＝60°，∴在△PBC中，令PB＝m，PC＝n，m2＋n2－9由余弦定理可得cos∠BPC＝2＝1，2mn29932時(shí)等號(hào)成立)，∴m2＋n2－＝mn≥2mn－(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝2229193∴mn≤2，∴Smax＝2mnsin∠BPC＝8.A組專題通關(guān)π1，則cos2α等于()－α＝1.(2019沈·陽(yáng)市東北育才學(xué)校模擬)已知cos2577A.25B.－252323C.25D.－25答案C剖析π1，又由cos2α＝1－2sin2α＝1－2×1＝23.由cos－α＝1，得sinα＝25525252.tan70＋°tan50－°3tan70tan°50的°值為()3A.3B.3C.－3D.－33答案D剖析tan70＋°tan50°因?yàn)閠an120°＝＝－3，1－tan70tan°50°即tan70°＋tan50－°3tan70°tan50＝°－3.3.(2019呂·梁模擬)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，a，b，c，若2cosB＝c則該三角形必然是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形答案Aaa2＋c2－b2a2＋c2－b2a剖析由2cosB＝c及余弦定理得2×2ac＝ac＝c，整理得c2＝b2，∴b＝c，∴△ABC為等腰三角形.π4.(2019黃·岡調(diào)研)已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且C＝4，c＝2，a＝x，若滿足條件的三角形有兩個(gè)，則x的取值范圍是()A.2<x<1B.2<x<2C.1<x<2D.1<x<2答案B剖析在△ABC中，由正弦定理得a＝c，sinAsinC即x＝2，可得sin1A＝x，sinAπ2sin4π3ππ21由題意得，當(dāng)A∈，且A≠時(shí)，滿足條件的△ABC有兩個(gè)，因此2<2x<1，解得2<x<2，442則x的取值范圍是(2，2).5.(2019甘·肅省靜寧縣第一中學(xué)模擬)某船開(kāi)始看見(jiàn)燈塔在南偏東30°方向，此后船沿南偏東60°的方向航行15km后，看見(jiàn)燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是()A.5kmB.52kmC.53kmD.10km答案C剖析依照題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，以下列圖，其中C為燈塔，A為某船開(kāi)始的地址，B為船航行15km后的地址.由題意可得，在△ABC中，CAB＝∠B＝30°，AB＝15，∴∠ACB＝120°，在△ABC中，由正弦定理得BC＝AB，sin∠CABsinC15×1AB·sin∠CAB15×sin302＝°3，∴BC＝sin120＝3＝5sinC°2即船與燈塔的距離是53km.2cos(α－ββ－cos(α－2β2，則1－tan2α6.(2019韶·關(guān)調(diào)研)已知等于())cos)＝41＋tan2α34A.－4B.－334C.4D.3答案A剖析2cos(α－β)cosβ－cos(α－2β)＝2cos(α－β)cosβ－cos(α－β－β)2cos(α－β)cosβ－cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβcos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβcos(α－β＋β)＝cosα，cosα＝2，sin2α＝1－cos2α＝7，48∴tan2α＝7，從而1－tan2α3.＝－1＋tan2α47.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，acosB＋bcosA＝2ccosC，c＝7，且△ABC的面積為

33，則△ABC

的周長(zhǎng)為

(

)2A.1＋

7

B.2＋

7C.4＋

7

D.5＋

7答案D剖析在△ABC中，acosB＋bcosA＝2ccosC，則sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，即sin(A＋B)＝2sinCcosC，π∵sin(A＋B)＝sinC≠0，∴cosC＝，∴C＝，3由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，又S＝1absinC＝3ab＝33，∴ab＝6，242(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5，∴△ABC的周長(zhǎng)為a＋b＋c＝5＋7.8.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若acosB－bcosA＝c，則acosA＋bcosB2acosB的最小值為()43A.3B.3323C.3D.3答案D剖析∵acosB－bcosA＝c，21111∴由正弦定理化簡(jiǎn)得，sinAcosB－sinBcosA＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，2222整理得，sinAcosB＝3cosAsinB，∴cosAcosB>0，tanA＝3tanB；則acosA＋bcosB＝cosA＋b＝cosA＋sinBacosBcosBacosBsinA≥2cosAsinB2tanB＝2123·＝tanA＝3.cosBsinA3由cosA＝sinB，得πA＝B或A＋B＝，cosBsinA2又由已知條件知A≠B，π故當(dāng)且僅當(dāng)A＋B＝2時(shí)，等號(hào)成立.∴acosA＋bcosB的最小值為23acosB3.9.已知2sinθ＝1－cosθ，則tanθ等于()A.－4或0B.4或03344C.－3D.3答案A剖析因?yàn)?sinθ＝1－cosθ，θθθθ因此4sin2cos2＝1－1－2sin22＝2sin22，解得sinθθθθ或2，＝0或2cos＝sin，即tan＝02222θ又tanθ＝2tan2，θ21－tan2當(dāng)tanθ時(shí)，tanθ＝0；＝02當(dāng)tanθ4＝2時(shí)，tanθ＝－.2310.(2019安·徽省合肥一中、馬鞍山二中等六校聯(lián)考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，則以下命題正確的選項(xiàng)是()①若a2＋b2π<c2，則C>；2π②若ab>c2，則C>3；③若a3＋b3π＝c3，則C<；2π④若2ab>(a＋b)c，則C>2；π⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，則C<.3A.①②③B.①②⑤C.①③④D.①③⑤答案D剖析對(duì)于①，a2＋b2<c2，可以得出a2＋b2－c2πcosC＝2ab<0，因此C>，故正確；2對(duì)于②，ab>c2?cosC＝a2＋b2－c22ab－abπ2ab>＝1，得出C<，故錯(cuò)誤；2ab23π對(duì)于③，其逆否命題為“若C≥，則a3＋b3≠c3”.2π當(dāng)C≥時(shí)，c2≥a2＋b2?c3≥ca2＋cb2>a3＋b3，即a3＋b3≠c3成立，故正確；2對(duì)于④，取a＝b＝2，c＝1，滿足2ab>(a＋b)c，利用余弦定理得ππC<<，故錯(cuò)誤；32對(duì)于⑤，因?yàn)?abc2≤(a2＋b2)c2<2a2b2，因此有c2<ab，即cosC＝a2＋b2－c22ab－ab＝1，所2ab>2ab2π①③⑤.以C<，故正確，因此正確命題的序號(hào)是311.在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.若A＝120°，a＝1，則2b＋3c的最大值為()221A.3B.335C.32D.2答案B剖析因?yàn)锳＝120°，a＝1，設(shè)三角形外接圓半徑為R，由正弦定理可得

a＝sinA

bsinB

＝c＝2RsinC1＝23，sin120°3因此b＝2323，3sinB，c＝3sinC故2b＋3c＝4323sinC3sinB＋33sin(60°－C)＋23sinC＝432213sinC＋2cosC＝3sin(C＋φ).因此2b＋3c的最大值為2213.12.(2019黃·岡調(diào)研)已知圓C：x2＋(y－1)2＝R2與函數(shù)y＝2sinx的圖象有唯一交點(diǎn)，且交點(diǎn)的α4cos2－α－22等于()橫坐標(biāo)為α，則sin2αA.－2B.2C.－3D.3答案B剖析依照題意，圓C：x2＋(y－1)2＝R2與函數(shù)y＝2sinx的圖象有唯一交點(diǎn)，則圓C在交點(diǎn)處的切線與函數(shù)y＝2sinx在交點(diǎn)處的切線重合；又由交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為α，則交點(diǎn)的坐標(biāo)為(α，2sinα)，對(duì)于y＝2sinx，其導(dǎo)數(shù)y′＝2cosx，則有y′|＝αα，則有2sinα－1＝－1，x＝2cosα－02cosα變形可得α＝2cosα(1－2sinα)＝2cosα－4sinαcosα，4cos2α2α－α－α－22cos2－1則2＝2sin2αsin2α2cosα－2cosα－4sinαcosα＝2.2sinαcosα13.(2019洛·陽(yáng)統(tǒng)考)已知tanα＋π2，則2sinα＝________.＝43sinα＋cosα答案13剖析已知tanα＋π＝2，張開(kāi)獲取1＋tanα4＝21－tanα212sinα＝2tanα＝31?tanα＝，則1＋1＝.33sinα＋cosα3tanα＋13b＋a＝2asinB－c，14.(2019韶·關(guān)調(diào)研)在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且sinCsinB－sinA則A＝________.答案π4剖析由正弦定理a＝b＝c得b＋a＝2asinB－c，sinAsinBsinCcb－a整理得b2－a2＝2acsinB－c2，即b2＋c2－a2＝2acsinB＝2bcsinA，由余弦定理得b2＋c2－a2＝2bccosA，π∴2bccosA＝2bcsinA，即cosA＝sinA，∴A＝4.15.(2019茂·名模擬)《九章算術(shù)》中記錄了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題，今年超強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“山竹”登陸時(shí)再現(xiàn)了這一現(xiàn)象

(以下列圖

)，很多大樹(shù)被暴風(fēng)折斷

.某路邊一樹(shù)干被臺(tái)風(fēng)吹斷后

(沒(méi)有完好斷開(kāi))，樹(shù)干與底面成

75°角，折斷部分與地面成

45°角，樹(shù)干底部與樹(shù)尖著地處相距

10米，則大樹(shù)原來(lái)的高度是

________米(結(jié)果保留根號(hào)

).答案52＋56剖析以下列圖，設(shè)樹(shù)干底部為O，樹(shù)尖著地處為B，折斷點(diǎn)為A，則∠AOB＝75°，∠ABO＝45°，因此∠OAB＝60°.由正弦定理知，AO＝AB＝10，sin45°sin75°sin60°因此OA＝106152＋56(米)，3(米)，AB＝3因此OA＋AB＝52＋56(米).πDE與AB，AC分別交于點(diǎn)D，16.如圖，在△ABC中，BC＝2，∠ABC＝，AC的垂直均分線3E，且DE＝6，則BE2＝________.2答案5＋32剖析如圖，連接CD，由題設(shè)，有∠BDC＝2A，因此CD＝BC＝2，πsin2Asin2Asin3故CD＝3sin2A.又DE＝CDsinA＝3＝6，2cosA2因此cosA＝2π2，而A∈(0，π)，故A＝，4因此△ADE為等腰直角三角形，因此AE＝DE＝62.在△ABC中，∠ACB＝5πAB＝2，，因此125ππsin12sin4故AB＝3＋1，2262625在△ABE中，BE＝(3＋1)＋2－2×(3＋1)××2＝＋