高考數(shù)學(xué)專題07比較兩類方法或者策略的分析問(wèn)題(第四篇)(解析版)

/20123P131555E()11233125552因?yàn)閪B（3,）,所以考生乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的概率分布列為：30123P161282727272716128E()012322727272731412820（Ⅰ）因?yàn)镻(2),P(2)555272727所以P（2)P(2)從做對(duì)題的數(shù)學(xué)期望考察，兩人水平相當(dāng)；從至少正確完成2題的概率考察，甲通過(guò)的可能性大，因此可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較強(qiáng)．【2020屆湖南省益陽(yáng)市高三上學(xué)期期末】某服裝加工廠為了提高市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，對(duì)其中一臺(tái)生產(chǎn)設(shè)備提出了甲、乙兩個(gè)改進(jìn)方案：甲方案是引進(jìn)一臺(tái)新的生產(chǎn)設(shè)備，需一次性投資1000萬(wàn)元，年生產(chǎn)能力為30萬(wàn)件；乙方案是將原來(lái)的設(shè)備進(jìn)行升級(jí)改造，需一次性投入700萬(wàn)元，年生產(chǎn)能力為20萬(wàn)件.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，該產(chǎn)品的年銷售量的頻率分布直方圖如圖所示，無(wú)論是引進(jìn)新生產(chǎn)設(shè)備還是改造原有的生產(chǎn)設(shè)備，設(shè)備的使用年限均為6年，該產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)為15元/件（不含一次性設(shè)備改進(jìn)投資費(fèi)用）.（1）根據(jù)年銷售量的頻率分布直方圖，估算年銷量的平均數(shù) x（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）將年銷售量落入各組的頻率視為概率，各組的年銷售量用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作年銷量的估計(jì)值，并假設(shè)每年的銷售量相互獨(dú)立①根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)年銷售利潤(rùn)不低于 270萬(wàn)元的概率：②若以該生產(chǎn)設(shè)備6年的凈利潤(rùn)的期望值作為決策的依據(jù)，試判斷該服裝廠應(yīng)選擇哪個(gè)方案 .（6年的凈利潤(rùn)=6年銷售利潤(rùn)-設(shè)備改進(jìn)投資費(fèi)用）【思路引導(dǎo)】（1）利用小矩形的中點(diǎn)乘以小矩形的面積之和，從而求得平均數(shù)；（2）①由題意得只有當(dāng)年銷售量不低于 18萬(wàn)件時(shí)年銷售利潤(rùn)才不低于270萬(wàn)，再?gòu)念l率分布直方圖中，估計(jì)年銷售利潤(rùn)不低于270萬(wàn)的概率；②分別計(jì)算兩種方案6年的凈利潤(rùn)的期望值，再比較大小，從而得到結(jié)論。解：（1）年銷量的平均數(shù)x0.05120.35160.3200.2240.12819.8（萬(wàn)件）.（2）①該產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)為15元/件，由題意得只有當(dāng)年銷售量不低于18萬(wàn)件時(shí)年銷售利潤(rùn)才不低于270萬(wàn)，所以年銷售利潤(rùn)不低于270萬(wàn)的概率P0.30.20.10.6.②設(shè)甲方案的年銷售量為X萬(wàn)件，由（1）可知甲方案的年銷售量的期望E（X）19.8，所以甲方案6年的凈利潤(rùn)的期望值為19.81561000782（萬(wàn)元）.設(shè)乙方案的年銷售量為Y萬(wàn)件，則乙方案的年銷售量的分布列為Y121620P0.050.350.6所以乙方案的年銷售量期望E（Y）0.05120.35160.62018.2（萬(wàn)件），所以乙方案6年的凈利潤(rùn)的期望值為18.2156700938（萬(wàn)元），因?yàn)橐曳桨傅膬衾麧?rùn)的期望值大于甲方案的凈利潤(rùn)的期望值,所以企業(yè)應(yīng)該選擇乙方案.【山東省煙臺(tái)市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】某企業(yè)擁有3條相同的生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線每月至多出現(xiàn)一次故障 .各條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)故障相互獨(dú)立，且出現(xiàn)故障的概率為1.3（1）求該企業(yè)每月有且只有1條生產(chǎn)線出現(xiàn)故障的概率；（2）為提高生產(chǎn)效益，該企業(yè)決定招聘名維修工人及時(shí)對(duì)出現(xiàn)故障的生產(chǎn)線進(jìn)行維修 .已知每名維修工人每

月只有及時(shí)維修1條生產(chǎn)線的能力，且每月固定工資為1萬(wàn)元.此外，統(tǒng)計(jì)表明，每月在不出故障的情況下，每條生產(chǎn)線創(chuàng)造12萬(wàn)元的利潤(rùn)；如果出現(xiàn)故障能及時(shí)維修，每條生產(chǎn)線創(chuàng)造 8萬(wàn)元的利潤(rùn)；如果出現(xiàn)故障不能及時(shí)維修，該生產(chǎn)線將不創(chuàng)造利潤(rùn)，以該企業(yè)每月實(shí)際獲利的期望值為決策依據(jù)，在n1與n2之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？（實(shí)際獲利 =生產(chǎn)線創(chuàng)造利潤(rùn)-維修工人工資）【思路引導(dǎo)】（1）分析可得隨機(jī)變量滿足二項(xiàng)分布,求得X1時(shí)的概率即可；（2）由（1）,并分別求得X0,X2,X3時(shí)的概率,由題意得到不同方案下實(shí)際獲利并求得期望 ,比較大小即可1解：（1）設(shè)3條生產(chǎn)線中出現(xiàn)故障的條數(shù)為 X,則X:B3,312因此PX1C311 2 12=433 3 2792）①當(dāng)n1時(shí),設(shè)該企業(yè)每月的實(shí)際獲利為Y1萬(wàn)元,又P0,則Y11,則Y12,則Y13,則Y1X012121212C30PX3 C33133又P0,則Y11,則Y12,則Y13,則Y1X012121212C30PX3 C33133312+81+80+835；111+01+012731；827,P83527②當(dāng)n2時(shí),設(shè)該企業(yè)每月的實(shí)際獲利為此時(shí),實(shí)際獲利Y1的均值EY119；7；C32627311227196271=77327=27若X0,則Y2123234；若X1,則Y2122+81230；若X2,則Y2121+82226；若X3,則Y2120+82+01214；81261=802EY234302614，因?yàn)镋Y1EY2,27272727=2712Y2萬(wàn)元,于是以該企業(yè)每月實(shí)際獲利的期望值為決策依據(jù) ,在n1與n2之中選其一,應(yīng)選用n2【安徽省合肥市2019屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對(duì)一次性購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的客戶，推出兩種超過(guò)質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2次，超過(guò)2次每次收取維修費(fèi)2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次，超過(guò)4次每次收取維修費(fèi)1000元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購(gòu)買2臺(tái)這種機(jī)器．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)購(gòu)買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺(tái)這種機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：維修次數(shù)0123臺(tái)數(shù)5102015以這50臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這2臺(tái)機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及維修費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）X所有可能的取值為0，1，2，3，4，5，6，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列即可；（Ⅰ）求出兩種方案下所需費(fèi)用的分布列，然后分別求出對(duì)應(yīng)的期望值，比較二者的大小即可選出最合算的方案．解：（Ⅰ）X所有可能的取值為0，1，2，3，4，5，6，11111111213PX0PX12，PX221010100，10525555102513121122317PX322PX42，10105550，5510525236339PX52，PX6510251010100X的分布列為X012345611311769P1002525502525100Ⅰ）選擇延保一，所需費(fèi)用Y1元的分布列為：Y170009000110001300015000P1710011507256259100TOC\o"1-5"\h\z17 11 7 6 9EY1 7000900011000130001500010720（元）1100 50 25 25 100選擇延保二，所需費(fèi)用Y2元的分布列為：Y2100001100012000P676910025100EY2671000061100091200010420（元）210025100TOC\o"1-5"\h\z∵EY1EY2，∴該醫(yī)院選擇延保方案二較合算 .【北京市西城區(qū)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行 ,更帶動(dòng)了我國(guó)經(jīng)濟(jì)的巨大發(fā)展.據(jù)統(tǒng)計(jì),在2018年這一年內(nèi)從A市到B市乘坐高鐵或飛機(jī)出行的成年人約為 50萬(wàn)人次.為了解乘客出行的滿意度,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100人次作為樣本,得到下表（單位:人次）:滿意度老年人中年人青年人乘坐高鐵乘坐飛機(jī)乘坐高鐵乘坐飛機(jī)乘坐高鐵乘坐飛機(jī)10分（滿意）1212022015分（一般）2362490分（不滿意）106344（1）在樣本中任取1個(gè),求這個(gè)出行人恰好不是青年人的概率 ;（2）在2018年從A市到B市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機(jī)選取2人次,記其中老年人出行的人次為X.以頻率作為概率,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;（3）如果甲將要從A市出發(fā)到B市,那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),你建議甲是乘坐高鐵還是飛機(jī)?并說(shuō)明理由.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)分層抽樣的特征可以得知，樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為19，39，42，即可按照古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算得出；（2）依題意可知X服從二項(xiàng)分布，先計(jì)算出隨機(jī)選取 1人次，此人為老年人概率是151，所以755

1X:1X:B2,，即Pxk52k，即可求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望；3）可以計(jì)算滿意度均值來(lái)比較乘坐高鐵還是飛機(jī)．解：1）設(shè)事件：“在樣本中任取1個(gè)，這個(gè)出行人恰好不是青年人”為M，由表可得：樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為所以在樣本中任取1個(gè)，這個(gè)出行人恰好不是青年人的概率（2由表可得：樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為所以在樣本中任取1個(gè)，這個(gè)出行人恰好不是青年人的概率（2）由題意，X的所有可能取值為：0，1，2.19，39，42，P(M)19392910050因?yàn)樵?018因?yàn)樵?018年從A市到B市乘坐高鐵的所有成年人中，隨機(jī)選取1人次，此人為老年人概率是151755所以P（X0)C02(1P(X1)為老年人概率是151755所以P（X0)C02(1P(X1)C12P(X2)C2215(1(15)21216)515)125，25825，所以隨機(jī)變量X的分布列為：012162582512516 8 12故E（X）012．25 25 255（3）答案不唯一，言之有理即可．如可以從滿意度的均值來(lái)分析問(wèn)題，參考答案如下：由表可知，乘坐高鐵的人滿意度均值為：5210125110521211116由表可知，乘坐高鐵的人滿意度均值為：521012511052121111615乘坐飛機(jī)的人滿意度均值為：4101457022乘坐飛機(jī)的人滿意度均值為：410145702241475因?yàn)?161522因?yàn)?1615225所以建議甲乘坐高鐵從A市到B市．6.【湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)、株洲二中等湘東七校6.【湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)、株洲二中等湘東七校2019-2020學(xué)高三上學(xué)期12月月考】有兩種理財(cái)產(chǎn)品A和B，投資這兩種理財(cái)產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下（每種理財(cái)產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之間相互獨(dú)立)產(chǎn)品A：投資結(jié)果獲利50%不賠不賺虧損30%概率1513124產(chǎn)品B：投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損30%概率p13q注：p0，q03(1)若甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品 A,B投資，一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求實(shí)數(shù)p的4取值范圍；(2)若丙要將20萬(wàn)元人民幣投資其中一種產(chǎn)品，以一年后的投資收益的期望值為決策依據(jù)，則丙選擇哪種產(chǎn)品投資較為理想.【思路引導(dǎo)】1)記事件C為“甲選擇產(chǎn)品A投資且獲利”，記事件D為“乙選擇產(chǎn)品B投資且獲利”，記事件E為“一年1后甲、乙兩人至少有一人投資獲利”，根據(jù)題意得到P(C)1，P(D)p，由33 2P(E)1P(CD)1(1p)，以及pq，即可求出結(jié)果；11161；假設(shè)丙選擇B11161；假設(shè)丙選擇B產(chǎn)2p32，分情況討論，比較大小，(22p32，分情況討論，比較大小，品投資，且記為獲利金額，由題中條件，得到期望E()14p40即可得出結(jié)果.解：(1)記事件C為“甲選擇產(chǎn)品A投資且獲利”，記事件D為“乙選擇產(chǎn)品B投資且獲利”，記事件E為年后甲、乙兩人至少有一人投資獲利12則P(C)，P(C)32，P(D)3p，P(D)1p235P(E)1P(CD)1(1p)∴p348

2252又pq3，且q0，p3∴8p3；2）假設(shè)丙選擇A產(chǎn)品投資，且記為獲利金額（單位：萬(wàn)元），則的分布列為：投資結(jié)果1006概率1513124E()1016134116假設(shè)丙選擇B產(chǎn)品投資，且記為獲利金額（單位：萬(wàn)元），則的分布列為：投資結(jié)果806概率p13qE()8p6q8p62p14p40p2335∴當(dāng)p5時(shí)，E（）E（），丙可在產(chǎn)品A和產(chǎn)品B中任選一個(gè)投資；125當(dāng)0p時(shí)，E（）E（），丙應(yīng)選產(chǎn)品A投資；1252當(dāng)p時(shí)，E（）E（），丙應(yīng)選產(chǎn)品B投資.123某烘焙店加工一個(gè)成本為7.【四省八校2019-2020學(xué)年高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】某烘焙店加工一個(gè)成本為60元的蛋糕，然后以每個(gè)120元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的這種蛋糕作餐廚垃圾處理.（1）若烘焙店一天加工16個(gè)這種蛋糕，，求當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：個(gè)，nN）的函數(shù)解析式；（2）烘焙店記錄了100天這種蛋糕的日需求量（單位：個(gè)），整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310①若烘焙店一天加工16個(gè)這種蛋糕，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求X的分布列與數(shù)學(xué)期望及方差；②若烘焙店一天加工16個(gè)或17個(gè)這種蛋糕，僅從獲得利潤(rùn)大的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)加工16個(gè)還是17個(gè)？請(qǐng)說(shuō)明理由思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意，分別討論n[0,16）和n[16,）兩種情況，即可得出結(jié)果；（2）①先由（