立體幾何之內(nèi)切球和外接球習(xí)題講義教師版

高考資源網(wǎng)〔,您身邊的高考專家.PAGE.高考資源網(wǎng)〔,您身邊的高考專家圓夢(mèng)教育中心立體幾何中的"內(nèi)切"與"外接"問題的探究1球與柱體規(guī)則的柱體,如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合,以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合,通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系,然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.球與正方體如圖1所示,正方體,設(shè)正方體的棱長為,為棱的中點(diǎn),為球的球心。常見組合方式有三類：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球,截面圖為正方形和其內(nèi)切圓,則；二是與正方體各棱相切的球,截面圖為正方形和其外接圓,則；三是球?yàn)檎襟w的外接球,截面圖為長方形和其外接圓,則.通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn),解決正方體與球的組合問題,常用工具是截面圖,即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面,通過兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系,確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系,進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。例1棱長為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上,分別是棱,的中點(diǎn),則直線被球截得的線段長為〔A． B． C． D．球與長方體長方體各頂點(diǎn)可在一個(gè)球面上,故長方體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設(shè)長方體的棱長為其體對(duì)角線為.當(dāng)球?yàn)殚L方體的外接球時(shí),截面圖為長方體的對(duì)角面和其外接圓,和正方體的外接球的道理是一樣的,故球的半徑例2在長、寬、高分別為2,2,4的長方體內(nèi)有一個(gè)半徑為1的球,任意擺動(dòng)此長方體,則球經(jīng)過的空間部分的體積為<>A.eq\f<10π,3> B.4π C.eq\f<8π,3> D.eq\f<7π,3>球與正棱柱球與一般的正棱柱的組合體,常以外接形態(tài)居多。下面以正三棱柱為例,介紹本類題目的解法——構(gòu)造直角三角形法。設(shè)正三棱柱的高為,底面邊長為,如圖2所示,和分別為上下底面的中心。根據(jù)幾何體的特點(diǎn),球心必落在高的中點(diǎn),,借助直角三角形的勾股定理,可求。例3正四棱柱的各頂點(diǎn)都在半徑為的球面上,則正四棱柱的側(cè)面積有最值,為.2球與錐體規(guī)則的錐體,如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合,以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合,通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系,然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.2.1球與正四面體正四面體作為一個(gè)規(guī)則的幾何體,它既存在外接球,也存在內(nèi)切球,并且兩心合一,利用這點(diǎn)可順利解決球的半徑與正四面體的棱長關(guān)系。如圖4,設(shè)正四面體的棱長為,內(nèi)切球半徑為,外接球的半徑為,取的中點(diǎn)為,為在底面的射影,連接為正四面體的高。在截面三角形,作一個(gè)與邊和相切,圓心在高上的圓,即為內(nèi)切球的截面。因?yàn)檎拿骟w本身的對(duì)稱性可知,外接球和內(nèi)切球的球心同為。此時(shí),則有解得：這個(gè)解法是通過利用兩心合一的思路,建立含有兩個(gè)球的半徑的等量關(guān)系進(jìn)行求解.同時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn),球心為正四面體高的四等分點(diǎn).如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系,可為解題帶來極大的方便.例4將半徑都為１的四個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里,這個(gè)正四面體的高的最小值為<>A.B.2+C.4+D.球的外切正四面體,這個(gè)小球球心與外切正四面體的中心重合,而正四面體的中心到頂點(diǎn)的距離是中心到地面距離的3倍.]2.2球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問題,主要是體現(xiàn)在球?yàn)槿忮F的外接球.解決的基本方法是補(bǔ)形法,即把三棱柱補(bǔ)形成正方體或者長方體。常見兩種形式：一是三棱錐的三條棱互相垂直且相等,則可以補(bǔ)形為一個(gè)正方體,它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心。如圖5,三棱錐的外接球的球心和正方體的外接球的球心重合,設(shè),則。二是如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直且不相等,則可以補(bǔ)形為一個(gè)長方體,它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心,〔為長方體的體對(duì)角線長。例5在正三棱錐中,分別是棱的中點(diǎn),且,若側(cè)棱,則正三棱錐外接球的表面積是。2.3球與正棱錐球與正棱錐的組合,常見的有兩類,一是球?yàn)槿忮F的外接球,此時(shí)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上,根據(jù)截面圖的特點(diǎn),可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球,例如正三棱錐的內(nèi)切球,球與正三棱錐四個(gè)面相切,球心到四個(gè)面的距離相等,都為球半徑．這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離,故可采用等體積法解決,即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.例6在三棱錐P－ABC中,PA＝PB=PC=,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60°,則該三棱錐外接球的體積為〔A．B.C.4D.2.4球與特殊的棱錐球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合,一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì),可綜合利用截面法、補(bǔ)形法、等進(jìn)行求解。例如,四面體都是直角三角形的三棱錐,可利用直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征,巧定球心位置。如圖8,三棱錐,滿足面,,取的中點(diǎn)為,由直角三角形的性質(zhì)可得：,所以點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心,則.例7矩形中,沿將矩形折成一個(gè)直二面角,則四面體的外接球的體積是<>A.B.C.D.3球與球?qū)€(gè)多個(gè)小球結(jié)合在一起,組合成復(fù)雜的幾何體問題,要求有豐富的空間想象能力,解決本類問題需掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄?如準(zhǔn)確確定各個(gè)小球的球心的位置關(guān)系,或者巧借截面圖等方法,將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解.例8在半徑為的球內(nèi)放入大小相等的4個(gè)小球,則小球的半徑的最大值為〔4球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問題,關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì),達(dá)到明確球心的位置為目的,然后通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對(duì)棱的一半：.例8把一個(gè)皮球放入如圖10所示的由8根長均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi),使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn),則皮球的半徑為〔A.B.C.D.綜合上面的四種類型,解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體,解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn),通過作截面來解決.如果外切的是多面體,則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對(duì)角面來作；把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的內(nèi)接問題．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn),即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．發(fā)揮好空間想象力,借助于數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化,問題即可得解．如果是一些特殊的幾何體,如正方體、正四面體等可以借助結(jié)論直接求解,此時(shí)結(jié)論的記憶必須準(zhǔn)確.外接球內(nèi)切球問題1.〔XX理一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上,其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上,則該正三棱錐的體積是〔A．B．C．D．答案B2.直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上,若,,則此球的表面積等于。解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為,球心為,在中,易得球半徑,故此球的表面積為.3．正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球,若兩點(diǎn)的球面距離為,則正三棱柱的體積為．答案84.表面積為的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則此球的體積為A．B．C．D．答案A[解析]此正八面體是每個(gè)面的邊長均為的正三角形,所以由知,,則此球的直徑為,故選A。5.已知正方體外接球的體積是,那么正方體的棱長等于〔A.2B.C.D.答案D6.〔XX卷正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為<>A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶9答案C7.〔XX、XX理科一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形,其側(cè)棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,且該六棱柱的體積為,底面周長為3,則這個(gè)球的體積為．答案8.〔天津理一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上,且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為1,2,3,則此球的表面積為．答案9.〔全國Ⅱ理一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1cm,那么該棱柱的表面積為cm2.答案AABCPDEF10.〔XX如圖,半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐,則此正六棱錐的側(cè)面積是________．答案11.〔XX省XX一中棱長為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,若過該球球心的一個(gè)截面如圖,則圖中三角形<正四面體的截面>的面積是.答案12.〔棗莊一模一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體外接球的表面積為 〔 A． B． C． D．以上都不對(duì) 答案C13.<XX省XX市>設(shè)正方體的棱長為EQ\f<2\r<3>,3>,則它的外接球的