代數知識鏈的設計與教學

代數知識鏈的設計與教學閔行區(qū)教師進修學院楊家政mjsyjz@一、上海高中數學課程特點共同性：適合全體適齡學生必備的共同基礎和認知水平強調基礎性、普及性、發(fā)展性。多樣性：為學生即將進入大學各專業(yè)學習或參加工作作準備強調基礎性、多樣性、時代性。一、上海高中數學課程特點課時少：基本內容231課時/3年3課時/周；拓展內容100左右課時/3年；高考復習。內容多：增加的基本內容：矩陣、行列式、向量、概率統(tǒng)計、算法初步；增加的拓展內容：數學建模、線性規(guī)劃、優(yōu)化統(tǒng)籌、投影畫圖數學與文化藝術、數學史、數論、圖論等。一、上海高中數學課程特點內容整合平面向量與直線方程空間向量與空間圖形矩陣、行列式與線性方程組、圖形變換數學建模與函數、數列、線性規(guī)劃、概率統(tǒng)計現代信息技術與數學課程內容結構復雜基礎內容拓展內容（指定拓展、任意拓展）專題研究與實踐一、上海高中數學課程特點教學要求不同基本要求：“集合”、“空間直線與平面”、“三角方程”分類要求：“二次曲線”分階段要求：“概率統(tǒng)計”、“向量”、“函數”二、高中課程的框架和內容二、高中課程的框架和內容

主要內容框架基礎內容拓展內容專題研究與實踐分類和整合同一主題在不同分類中的不同要求學分為學分制管理作準備基礎18分拓展6-10分（文理科各指定3分）

課時15-17課時/學分三、課程簡介略四、代數知識鏈的設計與教學課程簡介本課程共有6個環(huán)節(jié)分別為：集合知識鏈的設計與教學、命題知識鏈的設計與教學、不等式知識鏈的設計與教學、數列知識鏈的設計與教學、復數知識鏈的教學設計與教學、行列式知識鏈的設計與教學。重點介紹每個環(huán)節(jié)的知識內容與體系，釋疑解難提示。（一）集合知識鏈的設計與教學主要介紹集合語言集合語言是現代數學的基本語言使用集合語言，可以簡潔、準確地表達數學的一些內容。高中數學課程是將集合作為一種語言來學習，因此，這里5個學時的學習要求是階段性的要求，在整個高中數學課程中，學會使用最基本的集合語言表示有關的數學對象，發(fā)展運用數學語言進行交流的能力。（一）集合知識鏈的設計與教學導學主要講述集合的概念與運算：1.了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系，理解集合間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；2.能選擇自然語言、圖形語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用；3.在具體情境中，了解全集與空集的含義；理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；理解在給定集合中一個子集的補集的含義，介紹給定子集的補集；4.能使用韋恩圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。（一）集合知識鏈的設計與教學本講重點：準確理解集合、子集、交集、并集、補集等有關集合的基本概念，正確識別和使用有關符號，為學習集合語言打好基礎。本講難點：正確認識有關概念和符號的聯系和區(qū)別，正確認識用集合語言表達的數學內容的意義，并能在自然語言、集合語言和圖形語言間進行正確的轉換。本講關鍵詞：集合思想。（一）集合知識鏈的設計與教學知識結構：集合基本關系描述法表示基本運算包含關系相等關系列舉法交集并集補集（一）集合知識鏈的設計與教學①對知識的系統(tǒng)性、嚴謹性的要求一定要適度，僅要求學生會使用集合語言，不要把集合作為論證的基礎，也不涉及集合論。要能針對具體問題恰當地使用自然語言、圖形語言、集合語言來表述相應的數學內容。注意說明空集的意義，特別是區(qū)分空集與{0}的關系、a與{a}的關系。教學提示：（一）集合知識鏈的設計與教學②注意學生已具有的知識儲備，在安排訓練時，要把握一定的“度”，不搞偏題、怪題，人為增加難度。③使用數學符號要規(guī)范，在以后的學習中，應盡量使用集合語言。（一）集合知識鏈的設計與教學④在教學時應該注意集合之間的關系與運算，要充分利用Venn圖以及數軸，從“形”的角度幫助學生理解概念、進行正確運算。⑤在教學時，應該避免用抽象的形式化來討論集合。（一）集合知識鏈的設計與教學

集合的運算是這部分的重點，對于交集、并集概念的理解及交集、并集的應用，無論是在知識上，還是在方法上，都對后面的學習有直接的影響，而且也是對前面所學知識：元素與集合、子集等概念的鞏固。教學中應從定義出發(fā)，從語言敘述，式子表達，及韋恩圖去理解；從具體例子入手，從初中的數學知識，如圖形的分類、數的種類去理解。在求兩集合的并集時，應注意集合中元素的互異性。（二）命題知識鏈的設計與教學導學：在這部分內容中，學生將學習利用這些邏輯用語準確地表達數學內容，同時體會邏輯用語在表述和論證中的作用，從而更好地進行交流(無論是在數學上還是在日常生活中).學習邏輯用語的目的不是學習數理邏輯的有關知識。而是讓學生通過學習邏輯用語的基本知識，體會邏輯用語在表述和論證中的作用.（二）命題知識鏈的設計與教學重點與難點：對給定的具體命題，可以寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，并可以判斷出它們的真假，四種命題的相互關系。（二）命題知識鏈的設計與教學知識結構：命題四種命題形式逆命題四種命題形式的相互關系互為逆否命題的等價性否命題逆否命題（二）命題知識鏈的設計與教學教學提示：1.對于“命題以及命題的逆命題、否命題、逆否命題”的教學要從已知命題著手，從具體實例出發(fā)，不從概念出發(fā)，不要形式化地討論。2.重點是“充分條件、必要條件、充要條件的理解”。3.有全稱量詞或存在量詞的命題的否命題。（三）不等式知識鏈的設計與教學導學：該部分主要是讓學習者明白不等關系遠比相等關系更為普遍，理解不等式、方程和函數之間的內在聯系，通過類比的思想方法探求不等式的解法，使學習者親身經歷將實際問題抽象成數學模型，感受到用不等式模型解決實際問題的必要性和趣味性。重點與難點：不等關系與現實世界的聯系，不等式的證明與基本不等式。（三）不等式知識鏈的設計與教學知識結構：（三）不等式知識鏈的設計與教學教學提示：主要介紹不等式的知識體系1.兩個實數差的符號規(guī)定兩個實數大小的意義，是建立不等式研究的基礎。然后通過類比等式的性質得到不等式的基本性質，并能加以證明。（三）不等式知識鏈的設計與教學2.不等關系與相等關系都是客觀事物的基本數量關系，是數學研究的重要內容。建立不等觀念、處理不等關系與處理等量問題是同樣重要的。要通過具體情境，感受現實世界和日常生活中存在著的大量的不等關系，理解不等式(組)對于刻畫不等關系的意義和價值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實際問題；能用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，并嘗試解決一些簡單的二元線性規(guī)劃問題（文科）；認識基本不等式及其簡單應用；體會不等式、方程及函數之間的聯系。（三）不等式知識鏈的設計與教學3.要強調不等式的現實背景和實際應用，注重從實際問題中抽象出不等式模型，把不等式作為刻畫現實世界中不等關系的數學工具，作為描述刻畫優(yōu)化問題的一種數學模型。通過運用不等式解決簡單的二元線性規(guī)劃問題和最大最小值問題，體現不等式在解決實際問題中的作用。（三）不等式知識鏈的設計與教學4.要強調不等式的現實背景和實際應用，注重從實際問題中抽象出不等式模型，把不等式作為刻畫現實世界中不等關系的數學工具，作為描述刻畫優(yōu)化問題的一種數學模型。通過運用不等式解決簡單的二元線性規(guī)劃問題和最大最小值問題，體現不等式在解決實際問題中的作用。（三）不等式知識鏈的設計與教學5.基本不等式在求解某些最值問題(特別是非一元二次函數的最值問題)的過程中顯得非常簡捷。難點是因為在應用基本不等式求最值時，有時需要有一定的變形技巧，并要討論等號成立的條件。（四）數列知識鏈的設計與教學導學：本部分主要是幫助學習者掌握數列與數、式、方程、函數、簡易邏輯等知識的聯系，突出數列是一種重要的遞推關系。重點與難點：數列中的遞推關系及其函數思想。本講關鍵詞：遞推關系（四）數列知識鏈的設計與教學知識結構：（四）數列知識鏈的設計與教學教學提示：主要介紹數列的有關問題數列作為一種特殊的函數，是反映自然規(guī)律的基本數學模型。要建立等差數列和等比數列這兩種數列模型，探索并掌握它們的一些基本數量關系，感受這兩種數列模型的廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題。（四）數列知識鏈的設計與教學1.數列是刻畫實際問題的重要模型。數列作為一類特殊的函數有著廣泛的應用。在我們日常經濟生活中，許多經濟問題都可以歸結為數列模型，特別是等差數列、等比數列，是最基本的模型。例如，存貸款模型、教育儲蓄模型、分期付款模型、商家返券模型等等都可以用等差數列、等比數列來刻畫。（四）數列知識鏈的設計與教學2.數列本身也是一個數學的研究對象。例如，等差、等比數列本身就是數學中研究的兩種非常重要的數列，它們是研究復雜數列的基礎。數列中蘊涵著豐富的恒等關系。掌握數列的基本性質，例如，等差、等比數列的性質，熟悉等差、等比數列的常用公式，了解這些性質之間的關系，可以作為提高恒等變換能力的載體。（四）數列知識鏈的設計與教學3.數列是特殊的函數。它的定義域一般是指正整數，或者自然數的子集。自然數是離散的，數列通常稱為離散函數，離散函數是相對于定義域為實數或者區(qū)間的函數而言的。數列作為離散函數，在數學中有著自己的重要地位。4.數列的生成體現著遞歸思想。遞歸思想是研究數列的基本思想。例如，研究差分數列就依賴于遞歸思想，這是數學中的重要思想。在現代數學中起著巨大的作用。5.數學歸納法教學中“歸納假設”的作用（四）數列知識鏈的設計與教學教會學生會提問題丘成桐中學數學獎他22歲獲博士學位,27歲攻克世界著名數學難題卡拉比猜想,33歲獲得世界數學界最高獎菲爾茲獎,他也是迄今唯一一位榮獲菲爾茲獎的中國科學家;他還獲得瑞典皇家科學院克拉福特獎、美國國家科學獎、美國科學院院士、中國科學院首批外籍院士等眾多國際大獎和崇高的學術榮譽。世界很多數學家稱他是“數學界的愷撒大帝”。世界著名青年數學家、浙江大學數學中心執(zhí)行主任劉克峰教授稱他是“數學皇帝”。這位“數學皇帝”就是著名數學大師丘成桐。（四）數列知識鏈的設計與教學丘成桐中學數學獎http//（五）復數知識鏈的設計與教學導學：了解數系的擴充過程，體會實際需求與教學內部的矛盾，在熟悉擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的聯系，通過數的概念的發(fā)展，復數、復平面內的點及位置向量三者之間的聯系與轉換的教學，對學習者進行辯證觀點的教育。教學重點復數相等的條件，復數的向量表示，復數的開方以及復數運算的幾何意義。（五）復數知識鏈的設計與教學知識網絡（五）復數知識鏈的設計與教學主要介紹復數的有關問題數系擴充的過程體現了數學的發(fā)現和創(chuàng)造過程，同時體現了數學發(fā)生、發(fā)展的客觀需求，復數的引入是中學階段數系的又一次擴充。在問題情境中了解數系擴充的過程以及引入復數的必要性，學習復數的一些基本知識，體會人類理性思維在數系擴充中的作用?！苯虒W提示：（五）復數知識鏈的設計與教學1.數系的擴充和復數的引入在情感、態(tài)度、價值觀以及過程與方法的定位上，關注的是以問題為載體，體會數學的文化價值，促進科學觀的形成。數系的擴充和復數的引入不能認同為數的發(fā)展史，二者內容和目標都不相同，這一點需要注意。2.數系的擴充和復數的引入在知識的定位上，限定了這部分內容是復數最為基礎性的知識。對于高中學生來說，學習一些復數的基本概念、復數的幾何表示、復數代數形式的四則運算及加減法的幾何意義是十分必要的。（五）復數知識鏈的設計與教學3.數系的擴充和復數的引入，這一點需要注意。從實數集到復數集的擴充，則完全是出于數學本身、解方程的需要而產生的。（五）復數知識鏈的設計與教學數系擴充體現了人類思維在認識數與現實世界上的主觀能動性，可以說歷經艱辛、充滿智慧的擴充過程。讓學生感受到對數系每一次擴充，都是因為舊數集與所需解決的問題之間的矛盾引起的，一般采取在原數集中添加新元素的方法使得原數集得到擴充；虛數單位的引入，產生了復數集，其中蘊含了創(chuàng)新精神和實踐能力，對培養(yǎng)學生的情感、養(yǎng)成科學的態(tài)度、形成正確的價值觀有積極意義。（五）復數知識鏈的設計與教學復數內容是學生以前沒有接觸過的全新的內容，但復數的概念是實數概念的擴展，復數的運算遵循實數運算的運算律和運算順序，為了使學生順利地掌握本章的內容，教學中要突出復數的概念、運算與實數的概念、運算之間的類比，即類比實數的概念和性質講復數的有關概念和性質，類比平面直角坐標系講復平面，類比實數的運算講復數的運算。（六）行列式知識鏈的設計與教學導學：使學習者了解：①矩陣是“數”概念的擴充；②矩陣和行列式的引入使線性方程組的討論更加簡潔、清晰；③矩陣可以表示圖形的變換。矩陣還可以表示點的坐標的變換。行列式和矩陣的引入，也使向量的應用和表示更加簡練。（六）行列式知識鏈的設計與教學可以從復習初中二元一次方程組的加減消元法求解入手，引出二階行列式的概念、二階行列式展開的對角線法則；返回來，再用二階行列式解二元線性方程組，給出求解公式——克菜姆法則；然后對二元線性方程組解的各種情況進行了詳細的討論。第二部分是三階行列式和三元線性方程組。首先應該介紹三階行列式及其對角線展開法則，接著詳細地敘述并證明了行列式的性質和行列式按某一行(列)展開定理；再利用有關三階行列式展開的兩個定理導出三元線性方程組的唯一解，并對不是有唯一解的情況進行了說明。（六）行列式知識鏈的設計與教學教學重點三階行列式的性質和運算是本章教材的重點。環(huán)繞這一重點內容，教材反復出現行列式的計算、化簡、證明、解用行列式等于0的形式表示的方程等。本章教材的另一個重點是線性方程組有唯一解的條件以及唯一解的公式，即克萊姆法則。（六）行列式知識鏈的設計與教學教學難點：對線性方程組解的討論。要全面、細致地對線性方程組的解進行討論，對中學生來說，要求太高，不可能達到。因此，教材中關于線性方程組解的討論，對不同元數是有不同要求的。對于二元線性方程組要求詳細討論；對于三元線性方程組，當系數行列式時，只要求知道結論——無解或無窮多解，而不要求再進一步明確細分。（六）行列式知識鏈的設計與教學知識網絡（六）行列式知識鏈的設計與教學主要介紹行列式的有關問題課本是由線性方程組，引進矩形和行列式的概念，重點是矩陣的表示及二階、三階行列式的展開；在二元、三元線性方程組的公式解法探求過程中，體會行列式的工具作用。建立向量、行列式與矩陣的聯系，學習利用計算機（器）求行列式的值。矩陣運算的教學從生活實例出發(fā)教學提示：總結1.清楚集合知識體系，掌握集合的基本知識；領會集合的數學思想，了解一些基本的邏輯關系及其運用，了解集合與命題之間的聯系，體會邏輯語言在數學表達和論證中的作用。2.清楚命題知識體系，理解否命題、逆否命題，明確命題的四種形式及其相互關系，建立命題與集合之間的聯系。領會分類、判斷、推理的思想方法。理解充分條件、必要條件、充分必要條件的意義。能在簡單的問題情景中判斷條件的充分性、必要性、或充分必要性。掌握集合與推出關系?？偨Y3.清楚不等式知識體系，理解用兩個實數差的符號規(guī)定兩個實數大小的意義，建立不等式研究的基礎。會解一元二次不等式以及其他簡單不等式；掌握證明不等式的基本方法。通過類比等式的性質得到不等式的基本性質，并能加以證明。會用不等式基本性質判斷不等關系和用比較法、綜合法證明簡單的不等式。掌握比較法、綜合法和分析法的基本思路及其表達。在探索不等式解法的過程中，體會不等式、方程和函數之間的聯系。總結4.清楚數列知識體系，掌握數列、數學歸納法的基本知識；從生活實際和數學背景中提出遞推數列并進行研究。會解決簡單的遞推數列(即一階線性遞推數列)的有關問題。會用數列知識解決簡單的實際問題；通過數列的建立及其應用，具有一定的數學建模能力。掌握數學歸納法的—般步驟，并會用于證明與正整數有關的簡單命題和整除性問題。通過“歸納一猜測一論證”的思維過程，具有一定的演繹推理能力和歸納、猜測、論證的能力?？偨Y5.清楚矩陣與行列式的知識體系，理解矩陣的意