上海大學(xué)市北附屬中學(xué)2023學(xué)年高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定點都在平面內(nèi)，定點是內(nèi)異于的動點，且，那么動點在平面內(nèi)的軌跡是（）A．圓，但要去掉兩個點 B．橢圓，但要去掉兩個點C．雙曲線，但要去掉兩個點 D．拋物線，但要去掉兩個點2．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個數(shù)列，則該數(shù)列各項之和為（）A．56383 B．57171 C．59189 D．612423．一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A． B． C． D．4．某校在高一年級進行了數(shù)學(xué)競賽（總分100分），下表為高一·一班40名同學(xué)的數(shù)學(xué)競賽成績：555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如圖的算法框圖中輸入的為上表中的學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽成績，運行相應(yīng)的程序，輸出，的值，則（）A．6 B．8 C．10 D．125．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，則滿足M∪X＝N的集合X的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．46．某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120°，并在扇形弧上正面等距安裝7個發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個，導(dǎo)線接頭忽略不計)，已知扇形的半徑為30厘米，則連接導(dǎo)線最小大致需要的長度為（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米7．已知圓：，圓：，點、分別是圓、圓上的動點，為軸上的動點，則的最大值是（）A． B．9 C．7 D．8．復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是A． B．的共軛復(fù)數(shù)為C．的實部與虛部之和為1 D．在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第一象限9．已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A． B． C．4 D．10．已知是邊長為的正三角形，若，則A． B．C． D．11．計算等于()A． B． C． D．12．（）A． B． C．1 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用數(shù)字、、、、、組成無重復(fù)數(shù)字的位自然數(shù)，其中相鄰兩個數(shù)字奇偶性不同的有_____個.14．已知邊長為的菱形中，，現(xiàn)沿對角線折起，使得二面角為，此時點，，，在同一個球面上，則該球的表面積為________.15．若實數(shù)，滿足不等式組，則的最小值為______.16．已知復(fù)數(shù),其中是虛數(shù)單位．若的實部與虛部相等,則實數(shù)的值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著時代的發(fā)展，A城市的競爭力、影響力日益卓著，這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數(shù)懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展，目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日，某報社記者作了有關(guān)“你來A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問卷，參與調(diào)查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：來A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計自然環(huán)境1.森林城市，空氣清新2003002.降水充足，氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務(wù)到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開放且包容250合計10001000（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，預(yù)測400萬25~44歲年齡的人中，選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人；（2）從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中，利用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中再選取3人發(fā)放紀念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市，空氣清新”的概率；（3）在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性；在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性；請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表，并判斷是否有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)？自然環(huán)境人文環(huán)境合計男女合計附：，.P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，∥，為等邊三角形，平面底面，為的中點.（1）求證：平面平面；（2）點在線段上，且，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19．（12分）如圖所示，在三棱錐中，，，，點為中點．（1）求證：平面平面；（2）若點為中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．20．（12分）已知函數(shù)（為實常數(shù)）.（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)（1）若，試討論的單調(diào)性；（2）若，實數(shù)為方程的兩不等實根，求證：.22．（10分）某地在每周六的晚上8點到10點半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時刻亮燈的概率均為，并且是否亮燈彼此相互獨立.現(xiàn)統(tǒng)計了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時長（單位：），得到下面的頻數(shù)表：亮燈時長/頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時長作為一盞燈的亮燈時長.（1）試估計的值；（2）設(shè)表示這10000盞燈在某一時刻亮燈的數(shù)目.①求的數(shù)學(xué)期望和方差；②若隨機變量滿足，則認為.假設(shè)當時，燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計，在一場燈光展中，處于最佳燈光亮度的時長（結(jié)果保留為整數(shù)）.附：①某盞燈在某一時刻亮燈的概率等于亮燈時長與燈光展總時長的商；②若，則，，.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【答案解析】

根據(jù)題意可得,即知C在以AB為直徑的圓上.【題目詳解】,，,又，,平面,又平面，故在以為直徑的圓上，又是內(nèi)異于的動點，所以的軌跡是圓，但要去掉兩個點A,B故選：A【答案點睛】本題主要考查了線面垂直、線線垂直的判定，圓的性質(zhì)，軌跡問題，屬于中檔題.2、C【答案解析】

根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”，可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式，可得結(jié)果.【題目詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項為23，公差為的等差數(shù)列，記數(shù)列則令，解得.故該數(shù)列各項之和為.故選：C.【答案點睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。3、D【答案解析】

試題分析：如圖所示，截去部分是正方體的一個角,其體積是正方體體積的,剩余部分體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為,故選D.考點：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計算.4、D【答案解析】

根據(jù)程序框圖判斷出的意義，由此求得的值，進而求得的值.【題目詳解】由題意可得的取值為成績大于等于90的人數(shù)，的取值為成績大于等于60且小于90的人數(shù)，故，，所以.故選：D【答案點睛】本小題考查利用程序框圖計算統(tǒng)計量等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.5、D【答案解析】可以是共4個，選D.6、B【答案解析】

由于實際問題中扇形弧長較小，可將導(dǎo)線的長視為扇形弧長，利用弧長公式計算即可.【題目詳解】因為弧長比較短的情況下分成6等分，所以每部分的弦長和弧長相差很小，可以用弧長近似代替弦長，故導(dǎo)線長度約為63(厘米).故選：B.【答案點睛】本題主要考查了扇形弧長的計算，屬于容易題.7、B【答案解析】試題分析：圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑是．要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是;關(guān)于軸的對稱點，，故的最大值為，故選B．考點：圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【思路點睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑，要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是，再利用對稱性，求出所求式子的最大值．8、D【答案解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算，求得，在根據(jù)復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的概念等即可得到結(jié)論．【題目詳解】由題意，則，的共軛復(fù)數(shù)為，復(fù)數(shù)的實部與虛部之和為，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于第一象限，故選D．【答案點睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運算的法則是進行復(fù)數(shù)運算的理論依據(jù),加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數(shù)化，其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應(yīng)點為、共軛為．9、B【答案解析】由，可得，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，則，則，故選B.點睛：本題考查了等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，試題有一定的技巧，屬于中檔試題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程.10、A【答案解析】

由可得，因為是邊長為的正三角形，所以，故選A．11、A【答案解析】

利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合對數(shù)運算，求得所求表達式的值.【題目詳解】原式.故選：A【答案點睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.12、A【答案解析】

利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【題目詳解】，，因此，.故選：A.【答案點睛】本題考查復(fù)數(shù)模長的計算，同時也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

對首位數(shù)的奇偶進行分類討論，利用分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得出結(jié)果.【題目詳解】①若首位為奇數(shù)，則第一、三、五個數(shù)位上的數(shù)都是奇數(shù)，其余三個數(shù)位上的數(shù)為偶數(shù)，此時，符號條件的位自然數(shù)個數(shù)為個；②若首位數(shù)為偶數(shù)，則首位數(shù)不能為，可排在第三或第五個數(shù)位上，第二、四、六個數(shù)位上的數(shù)為奇數(shù)，此時，符合條件的位自然數(shù)個數(shù)為個.綜上所述，符合條件的位自然數(shù)個數(shù)為個.故答案為：.【答案點睛】本題考查數(shù)的排列問題，要注意首位數(shù)字的分類討論，考查分步乘法計數(shù)和分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.14、【答案解析】

分別取，的中點，，連接，由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上，設(shè)球心為，半徑為，，由勾股定理可得、，再根據(jù)球的面積公式計算可得；【題目詳解】如圖，分別取，的中點，，連接，則易得，，，，由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上，設(shè)球心為，半徑為，，可得，解得，.故該球的表面積為.故答案為：【答案點睛】本題考查多面體的外接球的計算，屬于中檔題.15、5【答案解析】

根據(jù)題意，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，將目標轉(zhuǎn)化為求動直線縱截距的最值，即可求解【題目詳解】畫出不等式組，表示的平面區(qū)域如圖陰影區(qū)域所示，令，則.分析知，當，時，取得最小值，且.【答案點睛】本題考查線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題16、【答案解析】

直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡,結(jié)合已知條件即可求出實數(shù)的值.【題目詳解】解：的實部與虛部相等,所以,計算得出.故答案為:【答案點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（萬）（2）（3）填表見解析；有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)【答案解析】

(1)在1000個樣本中選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有300個,根據(jù)頻率公式即可求得結(jié)果.(2)由分層抽樣的知識可得，抽取6人中,4人選擇“森林城市，空氣清新”,2人選擇“降水充足，氣候怡人”求出對應(yīng)的基本事件數(shù),即可求得結(jié)果.(3)計算的值,對照臨界值表可得答案.【題目詳解】（1）（萬）（2）從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展理由的300人中，利用分層抽樣的方法抽取6人，其中4人是選擇“森林城市，空氣清新”，2人是選擇“降水充足，氣候怡人”.記事件A為選出的3人中至少有2人選擇“森林城市，空氣清新”，則,.（3）列聯(lián)表如下自然環(huán)境人文環(huán)境合計男100400500女200300500合計3007001000，所以有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān).【答案點睛】本題主要考查獨立性檢測的相關(guān)知識、分層抽樣與古典概念計算概率、考查學(xué)生的綜合分析與計算能力,難度較易.18、（1）見解析（2）【答案解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，證得底面，由此證得，結(jié)合證得平面，由此證得：平面平面.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，為的中點，∴∵平面底面，平面底面，∴底面平面，∴又由題意可知為正方形，又，∴平面平面，∴平面平面（2）如圖建立空間直角坐標系，則，，，由已知，得，設(shè)平面的法向量為，則令，則，∴由（1）知平面的法向量可取為∴∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【答案點睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19、（1）答案見解析．（2）【答案解析】

（1）通過證明平面，證得，證得，由此證得平面，進而證得平面平面.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【題目詳解】（1）因為，所以平面，因為平面，所以．因為，點為中點，所以．因為，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）以點為坐標原點，直線分別為軸，軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量，則即取，則，，所以，設(shè)平面的一個法向量，則即取，則，，所以，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則．所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．【答案點睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、（1）見解析（2）【答案解析】

（1）分類討論的值，利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)分別得出，，時，的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】（1），.當即時，，，此時，在上單調(diào)遞增；當即時，時，，在上單調(diào)遞減；時，，在上單調(diào)遞增；當即時，，，此時，在上單調(diào)遞減；（2）當時，因為在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以的最小值為.因為，所以，.所以，所以.當時，在上單調(diào)遞減所以的最小值為因為，所以，所以，綜上，.【答案點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究函