各章解題指導(dǎo)-第二章行列式

第二 行列基本內(nèi)Aa11a11n1階行列式已經(jīng)定義，則nA

n n

a a a (1)1na 其中Mij為aij的 式，表示劃去元素aij所在的第i行，第j列后剩下的n1階行列式。 式A1 inAa1iA1ia11A11a12A12a1n注 一階行列式33

即nAaikknnAakjk

A 1j1j2jn

j1j2

1n階行列式是由n!項(xiàng)組成的代數(shù)和。2一個(gè)全排列j1j2jtjsjn中，若jt

js，則稱(chēng)這兩個(gè)2方陣AAT

某數(shù)乘行列式，等于用數(shù)乘它的某一列（或）1,2,,i,,其中1,2,,i,,nn維列向量

1,2,,i,,

（2.7）式的右端，數(shù)只能乘某一列（或行（或）行不變。推論1某數(shù)乘方陣A的行列式等于nA的行列式，即An

（4）A的行列式中某一列（或行）A的行列式等于分別由這兩個(gè)列（或行）向量取代A中這一列（或行）構(gòu)成行列式之和，即1,2,,kk,k1,,1,2,,k,k1,,

1,2,,k,k1,,

nn

Ajk

i

k

i

a2naa11

an

aa11 a11

2

a1na2,n1

1

111xxx x x x

a1na2,n1

1j

xj 1其中An階方陣，Bm

CAB

0

ABB

B

AD

BD

A

即

ADCA1BDADADCA1B A DA的轉(zhuǎn)置陣為數(shù)，

A

AB

AB

A1

A1

An1；（4）

An

A0A*A1A*

其中A*AT為A的轉(zhuǎn)置伴隨陣， 1ijM為

的代 1（2.17）A*AAA*2A*1AA

Di(i1,2,nAA0AnA0A可逆rAnA行IAx0只有零解Axb有唯一解A的行（或列）向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)A的特征值全非零。典型例題分析1利用行列式的定義計(jì)13205D3419304解1D2(1)11 44(1)21 53(1)31 8015注1D2(1)11 90(1)12 95(1)13 8015D1(1)22

54例

2 2Dn 證1

12Dn(1)1n D11n(1)1(n1)(1)11(1)2(n1) 1(1)1(n1)n

121注此題也可按“逆序”定義，不不同列元素乘積可能非零的項(xiàng)只有一項(xiàng)，Dn(1)(n,n1,,1)12n(1) 3f(x)

中，求x4和x3的系 由行列式的定義可知，僅當(dāng)a, ,a, 1,2,3,40，故系數(shù)為

1，僅當(dāng)a,a,a, 證因?yàn)閚階行列式有n2個(gè)元素，而已知超過(guò)n2n個(gè)元素為零。則非零元素個(gè)數(shù)最多n1個(gè)，故由行列式的定義可知，

2

527

證設(shè)A為2n1階稱(chēng)陣，則A12n1AAA＝0

A

Ab7ca

1211列提出abcba1ab 1a1cb1ab ab1b1ac1ab 1c18bcb1c1b2

cac1a1c2

aba1b1a2

2a1 bcacca左c1c1a1c2c2a2bcacaac1 c2 a1 a2

2

c19n階行列式D中每一個(gè)元素a分別用數(shù)bijb0D D1D證n階行列式得每行分別提出b1,b2,bn，在由每列分別提出b1,b2,bn得D1

b

baa

baaaa

n

b1b

b1b

b1bab2b

ab2b

b2b

n annbabnb n annbab

b

b ab 1 bb

a22b

a2nb ab

ab

ab n b1b2bnb1b2bn

an

an

a2n10n

a1a1a1 a1a2a2 a2 anan ann＝1D1a1b1D2(a1b1)(a2b2)(a1b2)(a2b1n＝2

a

b a1a1 a1a2a2 a2Dna3a3 a3 anan an

naaaabbn00

n 例11已知A 2， （1）A512A523A534A545A55（2）A31A32A33A34A35123455553332542022211123451234555533（2）5A315A325A333A343A35555332221 2A312A322A33A34A35 1 解出A31A32A33＝0A34A35＝012 D4 410201241020123r10201233122054512061212112106011050500230023

12112 12112 01 00400 002300

3

311211xaaaxaxaaaxaaaaxDn1xn1axn xn1a xnaDn

xna1xn

x

1xxn1ax

Dn

aa

x

axx(n

x

x14n

xn1axxDn

x

x

a1Dn xnaxn1 a

xna1xn1

a1xna1xn115n123 123 234 nn1 nn11 n得11Dn11

111

n1n(n202131n110111101101111

1n(n2

11

1 Dn(n

n

n(n2

n(n

n1nnn

2

11 2xy0 00xy 0y0xy0 00xy 0y00 x

DnxnDxn

y y1n1 xxn1n117n133 323 Dn3333333 3Dn

31

n

n

6(n18n11

Dn

x2 x x 1 121 x2 2n n x2n x2 x xD 1 1 x x2n 1行分別乘x1x2,xn對(duì)應(yīng)加到2,3,n1行去，再將2,3,n1列分別乘上x(chóng)1x2,xn全加到第1列，得111x2x2xDn1111111

x2xi19n

xx x xx0n＝1D1a1n2,則Dn0；x0時(shí)，增加11列成11 0x 0 x

nxn

i1

Dn

n

1 n1

x x

ai

x n1

ai n xain 20n階行列式aaa ax0 0Dn x 0000 x解Dnn

D a xDn1

yDn

1D 1將上述n1個(gè)式子兩邊分別同乘以1,x,x2,,xn2后，再相加D1ax

Dnxn1D1ayn1ayn2xnDxnaxn1xn2yxyn2yn1n00010001000100100001Dn解Dn1DnDn1 DnDn1(Dn1Dn2

n2(DD12D1D2)22 D Dn1

D2D1將上述n1個(gè)子式分別乘1,,2,,n2后再相加Dnn1D1nn1n2nn1n22n122試證：當(dāng)abxabxbbaxxa bxabxbbaxxa b證 Dna

x xb000x0bxxb000x0bx000x0baaxDn DnxaDn1 b x Dn與其轉(zhuǎn)置行列式相同，故a與bDnxbDn1

bx由上兩Dn1

bxan1axbDn

bxanaxbnba當(dāng)abDxn1axan1，恰為limD 112312112312x2323152319xD44。故D4Cx1x1x2x ，令x 代入得C ，D43x1x1x2x224

Dn1

解xa1a2anDn1有因子xa1xa2xanDn1xnDn1C(xa1)(xa2)(xanDn1xn1C＝1Dn1(xa1)(xa2)(xan25nDn1

a1

aaa1

a a a Dn1n11n2Dn1的第n1列換1n2列，，再由范得蒙行列式得Dn1

a

an

an!n

ia

an

1j2641111aabbccddd1111111111abcdxacdxdacdx

xaxbxcxd比較上式兩端的x3前的系數(shù)，可 45 左＝ a c da c d右＝bacacbdadbdcabcd1111abcdabcdabcd ＝bacacbd1111abcdabcdabcd27A3A

12A* 12A*7A112A*A17I12 A17I12AA17I4I333例 設(shè)A1,2,3,4，B1,2,3,4均為 階方陣， i1,2,3,474,AB64A的值。解由矩陣的加法和行列式的性質(zhì)可知 64AB21,2即

,8

2228729

D4d

A a b

A

A2D2D 4

a2b2c2d

a2b2c2d

a2b2c2d

a2b2c2da2b2c2d2

4Da2b2c2d244D中a444Da2b2c2d2430設(shè)A3A0，B3BA4IABT值。A3AATIA21A1A0A1，而IABTAATABTAABTAAAB14BA例31設(shè)A為3階方陣，且Aij為aij的代數(shù) 式，又aij＝Aiji,j1,2,3,a330，求A。解由于a＝A，得知A*AT，兩邊取行列式得A*AT,即A31A,得A0或1， 而由于

Aa31 a32 a2a2a

0，所以

A1。這時(shí) AA*AATIA例32計(jì)算5階行列式D5000d000000解

dd000000aaaabbbb000

e2 2

b512 12 334

1111x1x1y1y111x11x00x11x11x00x0011y11y1y00100D4 D

22

xy y xx2y

1 342n

D2n D2n

b a

bd

adbcn1Dad235已知un維列向量，且uTu1In2uuT值。解由分塊行列式公式（2.16）知2I2uuT

2u11uTIn12uTI

12uTu 36n

2 12n 1

2

nn12n解法二令,B

TB

B0

B 1

01,2,,

1

nnn!n

inn1 i1 37na1a2an當(dāng)0時(shí)，由式（2.16）nIa,a,,an In

原式＝

1a,a,,aI11

nnn

1

1aa i i1aa 當(dāng)0例38證明三條不同的直線(xiàn)axbyc0bxcya0cxayb0相交于一點(diǎn)的充要條件是abc0。“axbyczbxcyazcxaybz a

aba c

a

abcb ab

aab

c

a

a

babccbbcacaabcabacbca2b2c2abcab2ac2bc20當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立，這時(shí)與三直線(xiàn)互異 ，故只能abc0。aabc0c

a0baxbyczbxcyazcxaybz有非零解，不妨取