2023年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)答案及解析

2023年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的1．〔2023?湖北〕方程x2+6x+13=0的一個(gè)根是〔〕A．﹣3+2iB．3+2iC．﹣2+3iD．2+3i2．〔2023?湖北〕命題“?x0∈CRQ，∈Q〞的否認(rèn)是〔〕A．?x0?CRQ，∈QB．?x0∈CRQ，?QC．?x0?CRQ，∈QD．?x0∈CRQ，?Q3．〔2023?湖北〕二次函數(shù)y=f〔x〕的圖象如下圖，那么它與X軸所圍圖形的面積為〔〕A．B．C．D．4．〔2023?湖北〕某幾何體的三視圖如下圖，那么該集合體的體積為〔〕A．B．3πC．D．6π5．〔2023?湖北〕設(shè)a∈Z，且0≤a≤13，假設(shè)512023+a能被13整除，那么a=〔〕A．0B．1C．11D．126．〔2023?湖北〕設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，那么=〔〕A．B．C．D．7．〔2023?湖北〕定義在〔﹣∞，0〕∪〔0，+∞〕上的函數(shù)f〔x〕，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f〔an〕}仍是等比數(shù)列，那么稱f〔x〕為“保等比數(shù)列函數(shù)〞．現(xiàn)有定義在〔﹣∞，0〕∪〔0，+∞〕上的如下函數(shù)：①f〔x〕=x2；②f〔x〕=2x；③f〔x〕=；④f〔x〕=ln|x|．那么其中是“保等比數(shù)列函數(shù)〞的f〔x〕的序號(hào)為〔〕A．①②B．③④C．①③D．②④8．〔2023?湖北〕如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么此點(diǎn)取自陰影局部的概率是〔〕A．1﹣B．﹣C．D．9．〔2023?湖北〕函數(shù)f〔x〕=xcosx2在區(qū)間[0，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為〔〕A．4B．5C．6D．710．〔2023?湖北〕我國古代數(shù)學(xué)名著?九章算術(shù)?中“開立圓術(shù)〞曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑，“開立圓術(shù)〞相當(dāng)于給出了球的體積V，求其直徑d的一個(gè)近似公式d≈．人們還用過一些類似的近似公式．根據(jù)x=3.14159…..判斷，以下近似公式中最精確的一個(gè)是〔〕A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈二、填空題：〔一〕必考題〔11-14題〕本大題共4小題，考試共需作答5小題，每題5分，共25分．請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上．答錯(cuò)位置，書寫不清，模棱兩可均不得分．11．〔2023?湖北〕設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C，所對(duì)的邊分別是a，b，c．假設(shè)〔a+b﹣c〕〔a+b+c〕=ab，那么角C=_________．12．〔2023?湖北〕閱讀如下圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果s=_________．13．〔2023?湖北〕回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22，，11，3443，94249等．顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33…，99.3位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，…，191，202，…，999．那么：〔Ⅰ〕4位回文數(shù)有_________個(gè)；〔Ⅱ〕2n+1〔n∈N+〕位回文數(shù)有_________個(gè)．14．〔2023?湖北〕如圖，雙曲線﹣=1〔a，b＞0〕的兩頂點(diǎn)為A1，A2，虛軸兩端點(diǎn)為B1，B2，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2．假設(shè)以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點(diǎn)分別為A，B，C，D．那么：〔Ⅰ〕雙曲線的離心率e=_________；〔Ⅱ〕菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值=_________．二、填空題：〔二〕選考題〔請(qǐng)考生在第15、16兩題中任選一題作答，請(qǐng)先在答題卡指定位置將你所選的題目序號(hào)后的方框用2B鉛筆涂黑，如果全選，那么按第15題作答結(jié)果計(jì)分．〕15．〔2023?湖北〕〔選修4﹣1：幾何證明選講〕如圖，點(diǎn)D在⊙O的弦AB上移動(dòng)，AB=4，連接OD，過點(diǎn)D作OD的垂線交⊙O于點(diǎn)C，那么CD的最大值為_________．16．〔2023?湖北〕〔選修4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程〕：在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線θ=與曲線〔t為參數(shù)〕相較于A，B來兩點(diǎn)，那么線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_________．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．〔2023?湖北〕向量=〔cosωx﹣sinωx，sinωx〕，=〔﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx〕，設(shè)函數(shù)f〔x〕=?+λ〔x∈R〕的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈〔，1〕〔1〕求函數(shù)f〔x〕的最小正周期；〔2〕假設(shè)y=f〔x〕的圖象經(jīng)過點(diǎn)〔，0〕求函數(shù)f〔x〕在區(qū)間[0，]上的取值范圍．18．〔2023?湖北〕等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)的和為﹣3，前三項(xiàng)的積為8．〔1〕求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和．19．〔2023?湖北〕如圖1，∠ACB=45°，BC=3，過動(dòng)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°〔如圖2所示〕，〔1〕當(dāng)BD的長為多少時(shí)，三棱錐A﹣BCD的體積最大；〔2〕當(dāng)三棱錐A﹣BCD的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)E，M分別為棱BC，AC的中點(diǎn)，試在棱CD上確定一點(diǎn)N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大?。?0．〔2023?湖北〕根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的將數(shù)量X〔單位：mm〕對(duì)工期的影響如下表：降水量XX＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料說明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，求：〔I〕工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；〔Ⅱ〕在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率．21．〔2023?湖北〕設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，i是過點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線i與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足丨DM丨=m丨DA丨〔m＞0，且m≠1〕．當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．〔I〕求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求焦點(diǎn)坐標(biāo)；〔Ⅱ〕過原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H，是否存在m，使得對(duì)任意的k＞0，都有PQ⊥PH？假設(shè)存在，求m的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．22．〔2023?湖北〕〔I〕函數(shù)f〔x〕=rx﹣xr+〔1﹣r〕〔x＞0〕，其中r為有理數(shù)，且0＜r＜1．求f〔x〕的最小值；〔II〕試用〔I〕的結(jié)果證明如下命題：設(shè)a1≥0，a2≥0，b1，b2為正有理數(shù)，假設(shè)b1+b2=1，那么a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；〔III〕請(qǐng)將〔II〕中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題．注：當(dāng)α為正有理數(shù)時(shí)，有求道公式〔xα〕r=αxα﹣1．2023年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的1．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：復(fù)數(shù)相等的充要條件。專題：計(jì)算題。分析：由方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，知=﹣3±2i，由此能求出結(jié)果．解答：解：∵方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，∴=﹣3±2i，應(yīng)選A．點(diǎn)評(píng)：此題考查在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求一元二次方程的解，是根底題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．2．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：命題的否認(rèn)。專題：應(yīng)用題。分析：根據(jù)特稱命題“?x∈A，p〔A〕〞的否認(rèn)是“?x∈A，非p〔A〕〞，結(jié)合中命題，即可得到答案．解答：解：∵命題“?x0∈CRQ，∈Q〞是特稱命題，而特稱命題的否認(rèn)是全稱命題，∴“?x0∈CRQ，∈Q〞的否認(rèn)是?x0∈CRQ，?Q應(yīng)選D點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的否認(rèn)，其中熟練掌握特稱命題的否認(rèn)方法“?x∈A，p〔A〕〞的否認(rèn)是“?x∈A，非p〔A〕〞，是解答此題的關(guān)鍵．3．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用。專題：計(jì)算題。分析：先根據(jù)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的解析式，然后利用定積分表示所求面積，最后根據(jù)定積分運(yùn)算法那么求出所求．解答：解：根據(jù)函數(shù)的圖象可知二次函數(shù)y=f〔x〕圖象過點(diǎn)〔﹣1，0〕，〔1，0〕，〔0，1〕從而可知二次函數(shù)y=f〔x〕=﹣x2+1∴它與X軸所圍圖形的面積為=〔〕=〔﹣+1〕﹣〔﹣1〕=應(yīng)選B．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了定積分在求面積中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出被積函數(shù)，屬于根底題．4．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積。專題：計(jì)算題。分析：通過三視圖判斷幾何體的特征，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求出幾何體的體積即可．解答：解：由三視圖可知幾何體是圓柱底面半徑為1高為6的圓柱，被截的一局部，如圖所求幾何體的體積為：=3π．應(yīng)選B．點(diǎn)評(píng)：此題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，正確判斷幾何體的特征是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．5．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。專題：計(jì)算題。分析：由二項(xiàng)式定理可知512023+a=〔52﹣1〕2023+a的展開式中的項(xiàng)含有因數(shù)52，要使得能512023+a能被13整除，只要a+1能被13整除，結(jié)合a的范圍可求解答：解：∵512023+a=〔52﹣1〕2023+a=+…++a由于含有因數(shù)52，故能被52整除要使得能512023+a能被13整除，且a∈Z，0≤a≤13那么可得a+1=13∴a=12應(yīng)選D點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是整除的定義，其中根據(jù)條件確定a+1是13的倍數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．6．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：一般形式的柯西不等式。專題：綜合題。分析：根據(jù)所給條件，利用柯西不等式求解，利用等號(hào)成立的條件即可．解答：解：由柯西不等式得，〔a2+b2+c2〕〔x2+y2+z2〕≥〔ax+by+cz〕2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，∴等號(hào)成立∴∴=應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)：柯西不等式的特點(diǎn)：一邊是平方和的積，而另一邊為積的和的平方，因此，當(dāng)欲證不等式的一邊視為“積和結(jié)構(gòu)〞或“平方和結(jié)構(gòu)〞，再結(jié)合不等式另一邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去嘗試構(gòu)造．7．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：等比關(guān)系確實(shí)定。專題：綜合題。分析：根據(jù)新定義，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)，一一加以判斷，即可得到結(jié)論．解答：解：由等比數(shù)列性質(zhì)知，①=f2〔an+1〕，故正確；②≠=f2〔an+1〕，故不正確；③==f2〔an+1〕，故正確；④f〔an〕f〔an+2〕=ln|an|ln|an+2|≠=f2〔an+1〕，故不正確；應(yīng)選C點(diǎn)評(píng)：此題考查等比數(shù)列性質(zhì)及函數(shù)計(jì)算，正確運(yùn)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．8．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：幾何概型。專題：計(jì)算題。分析：設(shè)OA的中點(diǎn)是D，那么∠CDO=90°，這樣就可以求出弧OC與弦OC圍成的弓形的面積，從而可求出兩個(gè)圓的弧OC圍成的陰影局部的面積，用扇形OAB的面積減去兩個(gè)半圓的面積，加上兩個(gè)弧OC圍成的面積的2倍就是陰影局部的面積，最后根據(jù)幾何概型的概率公式解之即可．解答：解：設(shè)OA的中點(diǎn)是D，那么∠CDO=90°，半徑為rS扇形OAB=πr2S半圓OAC=π=πr2S△ODC=××=r2S弧OC=S半圓OAC﹣S△ODC=πr2﹣r2兩個(gè)圓的弧OC圍成的陰影局部的面積為πr2﹣r2圖中陰影局部的面積為πr2﹣2×πr2+2〔πr2﹣r2〕=∴此點(diǎn)取自陰影局部的概率是=1﹣應(yīng)選A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了幾何概型，解題的關(guān)鍵是求陰影局部的面積，不規(guī)那么圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為幾個(gè)不規(guī)那么的圖形的面積的和或差的計(jì)算，屬于中檔題．9．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系。專題：計(jì)算題。分析：令函數(shù)值為0，構(gòu)建方程，即可求出在區(qū)間[0，4]上的解，從而可得函數(shù)f〔x〕=xcosx2在區(qū)間[0，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解答：解：令f〔x〕=0，可得x=0或cosx2=0∴x=0或x2=，k∈Z∵x∈[0，4]∴k=0，1，2，3，4∴方程共有6個(gè)解∴函數(shù)f〔x〕=xcosx2在區(qū)間[0，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)應(yīng)選C點(diǎn)評(píng)：此題考查三角函數(shù)的周期性以及零點(diǎn)的概念，屬于根底題10．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)球的體積公式求出直徑，然后選項(xiàng)中的常數(shù)為，表示出π，將四個(gè)選項(xiàng)逐一代入，求出最接近真實(shí)值的那一個(gè)即可．解答：解：由V=，解得d=設(shè)選項(xiàng)中的常數(shù)為，那么π=選項(xiàng)A代入得π==3.375；選項(xiàng)B代入得π==3；選項(xiàng)C代入得π==3.14；選項(xiàng)D代入得π==3.142857由于D的值最接近π的真實(shí)值應(yīng)選D．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了球的體積公式及其估算，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．二、填空題：〔一〕必考題〔11-14題〕本大題共4小題，考試共需作答5小題，每題5分，共25分．請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上．答錯(cuò)位置，書寫不清，模棱兩可均不得分．11．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：余弦定理。專題：計(jì)算題。分析：利用條件〔a+b﹣c〕〔a+b+c〕=ab，以及余弦定理，可聯(lián)立解得cosB的值，進(jìn)一步求得角B．解答：解：由條件〔a+b﹣c〕〔a+b+c〕=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因?yàn)?＜B＜π，所以C=．故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題考查了解三角形的知識(shí)，對(duì)余弦定理及其變式進(jìn)行重點(diǎn)考查，屬于根底題目．12．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)。專題：計(jì)算題。分析：用列舉法，通過循環(huán)過程直接得出S與n的值，得到n=3時(shí)退出循環(huán)，即可．解答：解：循環(huán)前，S=1，a=3，第1次判斷后循環(huán)，n=2，s=4，a=5，第2次判斷并循環(huán)n=3，s=9，a=7，第3次判斷退出循環(huán)，輸出S=9．故答案為：9．點(diǎn)評(píng)：此題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，判斷框中n=3退出循環(huán)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．13．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。專題：計(jì)算題。分析：〔I〕利用回文數(shù)的定義，四位回文數(shù)只需從10個(gè)數(shù)字中選兩個(gè)可重復(fù)數(shù)字即可，但要注意最兩邊的數(shù)字不能為0，利用分步計(jì)數(shù)原理即可計(jì)算4位回文數(shù)的個(gè)數(shù)；〔II〕將〔I〕中求法推廣到一般，利用分步計(jì)數(shù)原理即可計(jì)算2n+1〔n∈N+〕位回文數(shù)的個(gè)數(shù)解答：解：〔I〕4位回文數(shù)的特點(diǎn)為中間兩位相同，千位和個(gè)位數(shù)字相同但不能為零，第一步，選千位和個(gè)位數(shù)字，共有9種選法；第二步，選中間兩位數(shù)字，有10種選法；故4位回文數(shù)有9×10=90個(gè)故答案為90〔II〕第一步，選左邊第一個(gè)數(shù)字，有9種選法；第二步，分別選左邊第2、3、4、…、n、n+1個(gè)數(shù)字，共有10×10×10×…×10=10n種選法，故2n+1〔n∈N+〕位回文數(shù)有9×10n個(gè)故答案為9×10n點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了分步計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，新定義數(shù)字問題的理解和運(yùn)用，歸納推理的運(yùn)用，屬根底題14．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合。專題：綜合題。分析：〔Ⅰ〕直線B2F1的方程為bx﹣cy+bc=0，所以O(shè)到直線的距離為=，根據(jù)以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，可得，由此可求雙曲線的離心率；〔Ⅱ〕菱形F1B1F2B2的面積S1=2bc，求出矩形ABCD的長與寬，從而求出面積S2=4mn=，由此可得結(jié)論．解答：解：〔Ⅰ〕直線B2F1的方程為bx﹣cy+bc=0，所以O(shè)到直線的距離為=∵以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，∴∴bc=a2∴〔c2﹣a2〕c2=a4∴c4﹣a2c2﹣a4=0∴e4﹣e2﹣1=0∴〔Ⅱ〕菱形F1B1F2B2的面積S1=2bc設(shè)矩形ABCD，BC=2m，BA=2n，∴∵m2+n2=a2，∴，∴面積S2=4mn=∴==∵bc=a2=c2﹣b2∴∴=故答案為：，點(diǎn)評(píng)：此題考查圓與圓錐曲線的綜合，考查雙曲線的性質(zhì)，面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系．二、填空題：〔二〕選考題〔請(qǐng)考生在第15、16兩題中任選一題作答，請(qǐng)先在答題卡指定位置將你所選的題目序號(hào)后的方框用2B鉛筆涂黑，如果全選，那么按第15題作答結(jié)果計(jì)分．〕15．〔2023?湖北〕〔選修4﹣1：幾何證明選講〕考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修〕。專題：計(jì)算題。分析：由題意可得CD2=OC2﹣OD2，故當(dāng)半徑OC最大且弦心距OD最小時(shí)，CD取得最大值，故當(dāng)AB為直徑、且O為AB的中點(diǎn)時(shí)，CD取得最大值，為AB的一半．解答：解：由題意可得△OCD為直角三角形，故有CD2=OC2﹣OD2，故當(dāng)半徑OC最大且弦心距OD最小時(shí)，CD取得最大值．故當(dāng)AB為直徑、且O為AB的中點(diǎn)時(shí)，CD取得最大值，為AB的一半，由于AB=4，故CD的最大值為2，故答案為2．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查用分析法求式子的最大值，表達(dá)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，判斷當(dāng)半徑OC最大且弦心距OD最小時(shí)，CD取得最大值，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．16．〔2023?湖北〕〔選修4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程〕：考點(diǎn)：拋物線的參數(shù)方程；簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化。專題：計(jì)算題。分析：化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程為普通方程，聯(lián)立可求線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)．解答：解：射線θ=的直角坐標(biāo)方程為y=x〔x≥0〕，曲線〔t為參數(shù)〕化為普通方程為y=〔x﹣2〕2，聯(lián)立方程并消元可得x2﹣5x+4=0，∴方程的兩個(gè)根分別為1，4∴線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.5，縱坐標(biāo)為2.5∴線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為〔2.5，2.5〕故答案為：〔2.5，2.5〕點(diǎn)評(píng)：此題考查化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程為普通方程，考查直線與拋物線的交點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于根底題．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式；正弦函數(shù)的定義域和值域。專題：計(jì)算題。分析：〔1〕先利用向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，求函數(shù)f〔x〕的解析式，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式將函數(shù)f〔x〕化為y=Asin〔ωx+φ〕+k型函數(shù)，最后利用函數(shù)的對(duì)稱性和ω的范圍，計(jì)算ω的值，從而得函數(shù)的最小正周期；〔2〕先將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求得λ的值，再求內(nèi)層函數(shù)的值域，最后將內(nèi)層函數(shù)看做整體，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得函數(shù)f〔x〕的值域．解答：解：〔1〕∵f〔x〕=?+λ=〔cosωx﹣sinωx〕×〔﹣cosωx﹣sinωx〕+sinωx×2cosωx+λ=﹣〔cos2ωx﹣sin2ωx〕+sin2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin〔2ωx﹣〕+λ∵圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，∴2πω﹣=+kπ，k∈z∴ω=+，又ω∈〔，1〕∴k=1時(shí)，ω=∴函數(shù)f〔x〕的最小正周期為=〔2〕∵f〔〕=0∴2sin〔2××﹣〕+λ=0∴λ=﹣∴f〔x〕=2sin〔x﹣〕﹣由x∈[0，]∴x﹣∈[﹣，]∴sin〔x﹣〕∈[﹣，1]∴2sin〔x﹣〕﹣=f〔x〕∈[﹣1﹣，2﹣]故函數(shù)f〔x〕在區(qū)間[0，]上的取值范圍為[﹣1﹣，2﹣]點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了y=Asin〔ωx+φ〕+k型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)值域的求法，整體代入的思想方法，屬根底題18．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：〔I〕設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得，，解方程可求a1，d，進(jìn)而可求通項(xiàng)〔II〕由〔I〕的通項(xiàng)可求滿足條件a2，a3，a1成等比的通項(xiàng)為an=3n﹣7，那么|an|=|3n﹣7|=，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可求解答：解：〔I〕設(shè)等差數(shù)列的公差為d，那么a2=a1+d，a3=a1+2d由題意可得，解得或由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，an=2﹣3〔n﹣1〕=﹣3n+5或an=﹣4+3〔n﹣1〕=3n﹣7〔II〕當(dāng)an=﹣3n+5時(shí)，a2，a3，a1分別為﹣1，﹣4，2不成等比當(dāng)an=3n﹣7時(shí)，a2，a3，a1分別為﹣1，2，﹣4成等比數(shù)列，滿足條件故|an|=|3n﹣7|=設(shè)數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和為Sn當(dāng)n=1時(shí)，S1=4，當(dāng)n=2時(shí)，S2=5當(dāng)n≥3時(shí)，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=5+〔3×3﹣7〕+〔3×4﹣7〕+…+〔3n﹣7〕=5+=，當(dāng)n=2時(shí)，滿足此式綜上可得點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用等差數(shù)列的根本量表示等差數(shù)列的通項(xiàng)，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的綜合應(yīng)用及等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，要注意分類討論思想的應(yīng)用19．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的夾角；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積。專題：計(jì)算題。分析：〔1〕設(shè)BD=x，先利用線面垂直的判定定理證明AD即為三棱錐A﹣BCD的高，再將三棱錐的體積表示為x的函數(shù)，最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可；〔2〕由〔1〕可先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)，先利用線線垂直的充要條件計(jì)算出N點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定N點(diǎn)位置，再求平面BMN的法向量，從而利用夾角公式即可求得所求線面角解答：解：〔1〕設(shè)BD=x，那么CD=3﹣x∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D∴AD⊥平面BCD∴VA﹣BCD=×AD×S△BCD=×〔3﹣x〕××x〔3﹣x〕=〔x3﹣6x2+9x〕設(shè)f〔x〕=〔x3﹣6x2+9x〕x∈〔0，3〕，∵f′〔x〕=〔x﹣1〕〔x﹣3〕，∴f〔x〕在〔0，1〕上為增函數(shù)，在〔1，3〕上為減函數(shù)∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f〔x〕取最大值∴當(dāng)BD=1時(shí)，三棱錐A﹣BCD的體積最大；〔2〕以D為原點(diǎn)，建立如圖直角坐標(biāo)系D﹣xyz，由〔1〕知，三棱錐A﹣BCD的體積最大時(shí)，BD=1，AD=CD=2∴D〔0，0，0〕，B〔1，0，0〕，C〔0，2，0〕，A〔0，0，2〕，M〔0，1，1〕，E〔，1，0〕，且=〔﹣1，1，1〕設(shè)N〔0，λ，0〕，那么=〔﹣，λ﹣1，0〕∵EN⊥BM，∴?=0即〔﹣1，1，1〕?〔﹣，λ﹣1，0〕=+λ﹣1=0，∴λ=，∴N〔0，，0〕∴當(dāng)DN=時(shí)，EN⊥BM設(shè)平面BMN的一個(gè)法向量為=〔x，y，z〕，由及=〔﹣1，，0〕得，取=〔1，2，﹣1〕設(shè)EN與平面BMN所成角為θ，那么=〔﹣，，0〕sinθ=|cos＜，＞|=||==∴θ=60°∴EN與平面BMN所成角的大小為60°點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了線面垂直的判定，折疊問題中的不變量，空間線面角的計(jì)算方法，空間向量、空間直角坐標(biāo)系的運(yùn)用，有一定的運(yùn)算量，屬中檔題20．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：概率的應(yīng)用；離散型隨機(jī)變量的期望與方差。專題：綜合題。分析：〔I〕由題意，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，結(jié)合某程施工期間的降水量對(duì)工期的影響，可求相應(yīng)的概率，進(jìn)而可得期延誤天數(shù)Y的均值與方差；〔Ⅱ〕利用概率的加法公式可得P〔X≥300〕=1﹣P〔X＜300〕=0.7，P〔300≤X＜900〕=P〔X＜900〕﹣P〔X＜300〕=0.9﹣0.3=0.6，利用條件概率，即可得到結(jié)論解答：〔I〕由題意，P〔X＜300〕=0.3，P〔300≤X＜700〕=P〔X＜700〕﹣P〔X＜300〕=0.7﹣0.3=0.4，P〔700≤X＜900〕=P〔X＜900〕﹣P〔X＜700〕=0.9﹣0.7=0.2，P〔X≥900〕=1﹣0.9=0.1Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1∴E〔Y〕=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3D〔Y〕=〔0﹣3〕2×0.3+〔2﹣3〕2×0.4+〔6﹣3〕2×0.2+〔10﹣3〕2×0.1=9.8∴工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8；〔Ⅱ〕P〔X≥300〕=1﹣P〔X＜300〕=0.7，P〔300≤X＜900〕=P〔X＜900〕﹣P〔X＜300〕=0.9﹣0.3=0.6由條件概率可得P〔Y≤6|X≥300〕=．點(diǎn)評(píng)：此題考查離散型隨機(jī)變量的均值與方差，考查條件概率，正確理解題意，求出概率是關(guān)鍵．21．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程；圓錐曲線的軌跡問題。專題：綜合題。分析：〔I〕設(shè)M〔x，y〕，A〔x0，y0〕，根據(jù)丨DM丨=m丨DA丨，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系x0=x，|y0|=|y|，利用點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)即得所求曲線C的方程；根據(jù)m∈〔0，1〕∪〔1，+∞〕，分類討論，可確定焦點(diǎn)坐標(biāo)；〔Ⅱ〕?x1∈〔0，1〕，設(shè)P〔x1，y1〕，H〔x2，y2〕，那么Q〔x2，y2〕，N〔0，y1〕，利用P，H兩點(diǎn)在橢圓C上，可得，從而可得可得．利用Q，N，H三點(diǎn)共線，及PQ⊥PH，即可求得結(jié)論．解答：解：〔I〕設(shè)M〔x，y〕，A〔x0，y0〕∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0，|y|=m|y0|∴x0=x，|y0|=|y|①∵點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，∴②①代入②即得所求曲線C的方程為∵m∈〔0，1〕∪〔1，+∞〕，∴0＜m＜1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為〔〕，m＞1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為〔〕，〔Ⅱ〕?x1∈〔0，1〕，設(shè)P〔x1，y1〕，H〔x2，y2〕，那么Q〔x2，y2〕，N〔0，y1〕，∵P，H兩點(diǎn)在橢圓C上，∴①﹣②可得③∵Q，N，H三點(diǎn)共線，∴kQN=kQH，∴∴kPQ?kPH=∵PQ⊥PH，∴kPQ?kPH=﹣1∴∵m＞0，∴故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意k＞0，都有PQ⊥PH點(diǎn)評(píng)：此題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查代入法求軌跡方程，計(jì)算要小心．22．〔2023?湖北〕考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法；歸納推理。專題：綜合題。分析：〔I〕求導(dǎo)函數(shù)，令f′〔x〕=0，解得x=1；確定函數(shù)在〔0，1〕上是減函數(shù)；在〔0，1〕上是增函數(shù)，從而可求f〔x〕的最小值；〔II〕由〔I〕知，x∈〔0，+∞〕時(shí)，有f〔x〕≥f〔1〕=0，即xr≤rx+〔1﹣r〕，分類討論：假設(shè)a1，a2