41547機(jī)械原理于靖軍前言提到電子資源內(nèi)容

附錄 線幾何與旋量理論基F.1F.1線矢量的定義與Plücker【定義量稱為線矢量（linevectorF-1所示。F-1s_s_$_s0_

_ （F.1-rss

ss0rs_s$ss （F.1-0

$ （F.1-值數(shù)乘的形式。用Plücker坐標(biāo)表示$=(L,M,N;P,Q,R （F.1-L2M2N22$(s;s0)(s;rs)(L,M,N;P,Q,R) （F.1-或 $ r

（F.1-0 式中，ss=（LMNL2M2N2R其中（F.1-5a）Plücker坐標(biāo)表示形式，L,M,NP,QR稱為線矢量$（.1-Plücker4Plücker坐標(biāo)表示一個(gè)任意的三線矢量，而不是單位線矢量，則需要5個(gè)獨(dú)立的參數(shù)坐標(biāo)。所增加的1個(gè)參數(shù)注意：矢量s表示的是線矢量的方向，它與原點(diǎn)的位置無關(guān)；而線矩s0卻與原點(diǎn)的位置特例：直線在距離原點(diǎn)無窮遠(yuǎn)的平面內(nèi)。這時(shí)，矢s無方向s0有方向。這時(shí)，（couple$

（F.1-線矢量（偶量）所表達(dá)的物理意ωrF-2所示，剛體繞某一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)做瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)ω(ωR3)是表示其旋轉(zhuǎn)軸方向的單位矢量，角速度大小為，r為轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)。知道，描述剛體在三ωr（F.1-其中，線矢量的第二項(xiàng)v0rω表示剛體上與原點(diǎn)重合點(diǎn)的速度，也就是轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在(ω;0)ω F-2F-3所示的剛體做移動(dòng)運(yùn)動(dòng)。設(shè)v(vR3是表示移動(dòng)副導(dǎo)路中心線方向的單位矢將速度方向平移并不改變剛體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因而這里的v是矢量。該矢量對(duì)應(yīng)的Plücker坐標(biāo)為v(0vv正交的無窮遠(yuǎn)平面vvF-3剛體上的作用力（或者力約束F-4所示，某剛體作用一純力或力約束。ffR3是表示該力作用線方向的單f，c為作用線上一點(diǎn)。同樣清楚描述該力只用一個(gè)方向矢量是不夠的，還該力作用線的線矢量f(f;τ0)，即fτ0ff0

（F.1-ffcffcff F-4剛體受純力（或者約束力）剛體上作用的力偶（或者約束力偶F-5所示的剛體受到純力偶的作用。設(shè)τ(τR3是表示力偶平面法線方向的單位矢量，力偶大小為。實(shí)際上，力偶也是一個(gè)矢量，即將力偶在其所在平面內(nèi)平移并不改變它對(duì)剛體的作用效果。該矢量對(duì)應(yīng)的Plücker坐標(biāo)為(0τ。另外，（約束）力偶τ旋量的定

F-5剛體受力偶（或者約束力偶）screw，有些書也稱為螺旋，作為另外一種幾何元素，是由直線引申而來的。根據(jù)Ball的【定義】設(shè)s與s0為 的兩個(gè)單位矢量，且滿足遷移公式s02s01(rr)s ss0共同構(gòu)成一個(gè)單位旋量$ss0 rs$(s;s0)(s;s0hs)(s;rs$ss0 rs式中，ss=（L,M,NL2M2N2R（可以看出：r用$r(rrs代替時(shí)，s0—旋量的對(duì)偶部矢量，s0(PQ,R＝(PhLQhM,RhNs h—節(jié)距（pitch，h s

MQNR$sss0 r其中（F.1-9a）Plücker坐標(biāo)表示形式，LM,N,P*,Q*,R*稱為$Plücker$sss0 r（F.1-$$（F.1-ss1（歸一化條件6Plücker5則需要6個(gè)獨(dú)立的參數(shù)坐標(biāo)。$=(L,M,N;P,Q,R)且

--(s;s

（F.1-$ （F.1-其中，表示旋量的大ss0與原點(diǎn)的位置有關(guān)。同樣可以證明旋量的節(jié)距h也是原點(diǎn)不變量。rsrss0$(s;s0(s;s0hs)(0;hs)(s;s0)(0;hs) LPMQNR L2M2N$=(L,M,N LPMQNR L2M2N（F.1-解：首先根據(jù)式（F.1-17）計(jì)算旋量的LPMQNRL2M2N軸線方程由式（F.1-14）求rss0hs 旋量（線矢量）的運(yùn)算與性旋量的加【定義】?jī)尚?1，$2的代數(shù)和（$$1$2）$

_)

_01

（F.1- 【定理$1，$2共面，且兩原部矢量之和非零（ss1s20）時(shí)，則兩單位線矢量的代數(shù)和（$$1$2）$過兩線矢量的交點(diǎn)（滿足平行四邊形法則，圖F-6所示。$$1F-6于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)F-7b所示。因而可以得到如下的推論。(a)相 （b）平F-7【推論$1，$2平行，且兩原部矢量之和非零（ss1s20）時(shí)，則兩單位線矢量的代數(shù)和（$$1$2）$與兩線矢量平行。旋量的數(shù)【定義】設(shè)有旋量$和純數(shù) $_ （F.1- 旋量的互易【定義】?jī)尚康幕ヒ追e（reciprocalproduct）是指將兩旋量$1，$2的原部矢量與對(duì)偶矢$0 _ _ s2 （F.1-考慮

)，$=

)(s;

，因$1=0

__021_ s2 $1$2s1 s212s1(r2s2h2s2)12s2(r1s1(hh)(ss)(rr)(ss

（F.1-12

12 12[(h1h2)cos12a12sin12如果h1h20，則旋量 moment如圖F-8所示。$10$10$2s1s02s2s01a12sinF-8法及數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，即對(duì)于任意的1,2R和集合S的任何元素$1,$2S，線$1$12$2 （F.1-成線性的向量空間R6，稱之為旋量空間（screwspace。 運(yùn)動(dòng)旋量、力旋量和反旋運(yùn)動(dòng)旋量和力旋（twist，（wrenchChasles證明了任何物體從一個(gè)位形到另一個(gè)位形的剛體運(yùn)動(dòng)都可以用繞某直線的轉(zhuǎn)動(dòng)motion作用在剛體上的任何力系都可以為一個(gè)由沿某直線的集中力與繞該直線軸的力矩組成的廣義力，這一廣義力稱為力旋量。這些都成為了旋量理論的。19世紀(jì)末，英國(guó)大學(xué)的Ball教授首先對(duì)旋量理論進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，并于1900年完成了經(jīng)典著作《A（reciprocityp(t)Rp(0) （F.2-若用ω(ωR3)表示旋轉(zhuǎn)軸（其模表示角速度的值）h為節(jié)距，則由本書第二章可知Reω?tthωtp(t)eω?tp(0)

（F.2-v(p)rωv0rωhω 式中，v0,ω為旋轉(zhuǎn)軸線上一點(diǎn)的瞬時(shí)線速度和瞬時(shí)角速度。ωωωa)螺旋運(yùn) b)運(yùn)動(dòng)旋F-9這樣vωξξωωv rω

（F.2-ξ(ω;v)Plücker坐標(biāo)$s;s0$($(s;s0)(ω;v解：根據(jù)Chasles定理，剛體運(yùn)動(dòng)也是螺旋運(yùn)動(dòng)，因此可以用螺旋運(yùn)動(dòng)描述該剛體運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)旋量坐標(biāo)為ξ(ω;vP)。根據(jù)式（F.1-17）可得該旋量的節(jié)距h=vPω該旋量的軸線方程可由式（F.2-5）得到rω(vP的轉(zhuǎn)動(dòng)分量（純力矩6維向量（雙矢量）即旋量坐標(biāo)來表示

Ffττ

（F.2-fτR36維向量稱為力旋量。其中力（force）和力表F-1中總結(jié)出了幾種常見物理量的旋量坐標(biāo)F-1類節(jié)距特h角速度(ω;r力f;rf(s;rs或者(s;s0h線速度(0;力偶(0;τ(0;(ω;rω或者(ω;(f;rfhf或者f;τ(s;rs或者(s;s0一般旋量的坐標(biāo)表示符號(hào)不太一致。運(yùn)動(dòng)旋量中，單位轉(zhuǎn)軸矢量的符號(hào)一般用ω，單位運(yùn)ξ(ωvf，單位運(yùn)動(dòng)旋量的坐標(biāo)通常用Ffτ表示；而在一般旋量中經(jīng)常用s表示單位轉(zhuǎn)軸，對(duì)應(yīng)的旋量坐標(biāo)通常采用$(s反旋

s0反旋量的概念最初是Ball提出來的，它從運(yùn)動(dòng)旋量與力旋量引申而來，上主要表征力旋量。而從物理意義上講是一種約束力旋量，可表示物體在三內(nèi)受到的約束。F-10所示，一個(gè)剛體只允許沿單位旋量$s;s01s;rshs 1ξω1v1ω1r1ω1h1ω1。設(shè)想在其上沿單位旋量$s;s02s;rshs) 2Ff2;τ2f2;r2f2h2f2$1(s1;r1s1ξ(ω1;r1ω1h1ω1r r

ω1 2r2$(s;r 2f2F(f2;r2f2h2f2F-10不失一般性，假定點(diǎn)r1r2分別位于距離最近的兩軸線上，因此r2可改寫成f2v1τ2f2(r1ω1h1ω1)ω1(r2f2h2f2 （F.2-(h1h2)(ω1f2)(r2r1)(f2(h1h2)cos12a12sin$0$ss02 s1(r2s2h2s2)s2(r1s1(hh)(ss)(rr)(ss

（F.2- (h1h2)cos12a12的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由此稱與ξF為ξ的反旋量（reciprocalscrew，反之亦然。一般情況下反旋量用$r表示，單位反旋量用$r表示。由式（F.2-8）可知，旋量$與反旋量$r((hhr)cos12a12sin12或$o$rLPMQNRLPMQNR

（F.2-（F.2- 【$r__0量$，$ro$

_ ssrsrs=LPrMQrNRrLrPMrQNrR （F.2-如果$1與自身具有互易性，則稱$1為自互易旋量（self-reciprocalscrew。這時(shí)公法線為零，即a120，則式（F.2-9）由于cos120

(h1h2)cos12h1

（F.2-（F.2-旋量$1與反旋量$2軸線相交，且其中之一的節(jié)距為零（h10或h20考慮純移動(dòng)情況：當(dāng)物體受到約束，僅能沿v2方向移動(dòng)，速度為v2(0;v2，作用在物體上的力旋量為f1(f1;τ1)，所引起的瞬時(shí)功率為P12f1f1v2v2f1v2f1v2f1v2 （F.2- 個(gè)線矢量互易的充要條件是共（2）2個(gè)偶量必然互易（3）1個(gè)線矢量與1個(gè)偶量只有當(dāng)相互垂直時(shí)才任何垂直相交的2個(gè)旋量必然互易，且與其節(jié)距大F.3線系與線集與線【定義n個(gè)單位線矢量$1，$2，…$n的任意線性組合所構(gòu)成的向量空間稱為線集，可記為S=$1,$2,·$n?！径x】集S中，若存在一組線性無關(guān)的單位線矢量$1，$2，…$r，且S中所有線矢量都是這些r個(gè)線矢量的線性r個(gè)線矢量為線集S的一組基即組成所謂的線系線集中由三個(gè)線性無關(guān)的單位線矢量組成，因此它們組成了一個(gè)秩為3的線系。$1(1,0,0 0,0,$(0,1,0 0,0, （F.3-$(0,0,1;0,0,n個(gè)線性無關(guān)的單位線矢量可以組成許多種具有不同幾何特性的線系。由此可以根據(jù)其所具有的幾何特性將線系進(jìn)行分類研究。注意這里的n取值為16而不是，源于Grassmann在十九世紀(jì)的時(shí)候就研究了其中典型線系的幾何特性，后人稱之為Grassmann線幾何。由1個(gè)線矢量所組成的線系空間其維數(shù)為1。2時(shí)包括兩種情況：平面匯交于一點(diǎn)的任意多個(gè)線矢量（共面平行pencil異面（空間交錯(cuò)）3時(shí)包括四種情況：空間匯交于一點(diǎn)的任意多個(gè)線矢量（空間平行可以看作相交空間無窮遠(yuǎn)點(diǎn)）組成空間共點(diǎn)線束（linebundle，但其中只有三個(gè)線矢量線field（regulus44個(gè)線矢量組成，4個(gè)線矢量關(guān)。④能同時(shí)與另兩個(gè)線矢量相交的4個(gè)線矢量，它們線性無關(guān)。F-2Grassmann線幾何秩12 平面線列（平面匯交或共面平行 異面（空間交錯(cuò)）的兩個(gè)線矢3 空間共點(diǎn)線束（包括平行 共 兩平面匯交線 二次線4 4d4條直線共面共點(diǎn)交1條公共直線，且交角一定交25 交1條公共直 非奇異線complex5個(gè)線矢量線性n【定義n個(gè)單位線矢量$1，$2，…$n組成的線集$1$2,…$n，若存在不全為零的數(shù)1，2，…n，使得i$i0，則該線集線性相關(guān)；否則，該線集線性無關(guān)，并構(gòu)成nPlücker坐標(biāo)為(LMNPQ,R)，則該線集的線性 L1M1N1;P1Q1R1 2A 2：：：：：LMN;PQ n

（F.3-線集的線性相關(guān)性與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。這使得在下面的分析中，可以選取最方便的坐標(biāo)系，從而可以最大程度地將線矢量表達(dá)式簡(jiǎn)化。例如，盡量使線集中各線矢量的Plcker坐標(biāo)中出1和0元素。再一下線系線性無關(guān)特性的應(yīng)用。即根據(jù)“線集的線性相關(guān)性與坐標(biāo)系的選最大線性無關(guān)組的維數(shù)，即所生成的線系情況?？紤]到三內(nèi)全部由線矢量組成的線系其維數(shù)最大為6。但在一些特殊幾何條件下，其維數(shù)會(huì)，即滿足維數(shù)公式dim(S)

LMNPQR 2 2 ……………………………… 個(gè)共點(diǎn)力就足夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)期的約束，任何多余的共點(diǎn)力都是冗余約束（redundantconstraint）以最大線性無關(guān)數(shù)是1。所以最大線性無關(guān)數(shù)是2。333。F-3各偶量滿足最大線性無所代表的物理意12非共面（如空間匯交3線空間與偶量空間的分類及其可視化由于線矢量的Plücker坐標(biāo)只有6維，因而由它們組成的線系的最數(shù)為6。根據(jù)線spacelinespace。】低維線空間，46維為線空間。根據(jù)幾何特征，線空間可分為基本型（如表F.4所示）研究。這種形象化的方式在這里更稱之為可視化（或圖譜化）表達(dá)，例如表F-4和表性，還可借助集合論的方法來進(jìn)行描述。圖F-11給出了基本型線空間之間的本構(gòu)關(guān)系。表F- 維圖集合符幾何條1R(N,N是線上任意一點(diǎn)，u2U(N,N在兩直線所在平面上，nF2(N,u,n滿足unN2(u,3L(N,n是平面的法線FSNN(u,v,u,vw3R(R(N,F(N,u,N(nU(N,FS(NFS(NNN(u,v,L(N,表F-5維圖集合符幾何條1P所有偶量平行（含共線2T2n與平面內(nèi)的所有偶量正交3T空間求并，可以得到數(shù)以百計(jì)的組合型線空間。通過這種方式可以得到各種類型的線空間。例如：2個(gè)平行的平面二本型線空間可以組合而成1個(gè)三維線空間，如圖F-12F2(N,u,n)UF2(N,u,

F2(N,u,n)nF2(N,u,n)P

DimF2(N,u,n)UF2(N,u,n)22100F-12F2(NunUF2(Nu00F-13F(uUF2(Nv

F(u)nF2(N,v,n)PDimF(u)UF2(N,v,n)321表F-5給出了一些典型的組合型線5F(u)US(Nuu,uuF(u)UFnn,NNnL(N,n)UL(N,ditani常數(shù)1,djtanj常數(shù)iUN(di,i uu(ij),NNn0(NN,N，i2iinninF(N,u,n)PiUF2(Ni,ui,ni,i(NN,n)0(NN,NnnU(Ni,ni)Pi iUU(Ni,nii nni,NN□nU(Ni,ni)P iUU(Ni,niun0,NNnF2(N,u,n)UU(N,nn,unL(N,n)UF2(N,u,unF(u)UU(N,uu,uuF(u)UF2(N,u,NNnL(N,n)USunL(N,n)UF4nn,uu,NNnF2(N,u,n)UF2(N,u,nn,NNNn0,NNnU(N,n)UU(N,un0,NNnU(N,n)UF2(N,u,3應(yīng)滿足的幾何條符號(hào)表維uuvF(L,u,w)UF(M,v,u)UF(N,w,L(N,n)UF6ditaniiUN(di,iiNIS(N F(u)R(N, 共 S(N)FNiiUS(Ni nn(i,L(N,n)R(N, iiiUL(Ni,nii,nn,NNnIL(N,n)PUL(N,n)UPNS(N)US(Nn NNnL(N,n)UL(N,nBlanding法則——對(duì)偶線空$ro$isrs0isisr(risi)si(rrsr(rirr)(sisr

（F.3-因此，如果線矢量$rS（$ii12,…）ari0或者ri0。前者表示線矢量$rS中的各條直線都相交（空間匯交量$rS中的各條直線都平行（空間平行。而后者可以看作是前者的特例（相交于無表達(dá)（F-14b。Blanding在其專著“ExactConstraint:MachineDesignUsingKinematicPrinciples”中，從（柔性）機(jī)構(gòu)度與約束度之間的對(duì)偶關(guān)系滿足Maxwell公式出發(fā)，將機(jī)構(gòu)的度$$r5F-14大家可以驚奇地發(fā)現(xiàn)：去掉Blanding法則中對(duì)線空間物理含義（度線和約束線）度講，本節(jié)前面的推演給出了Blanding法則一種科學(xué)的理論依據(jù)。這樣，可以很自然地將Blanding法則廣義化，即在不考慮其物理含義的同時(shí)，能S對(duì)偶線空間中的每個(gè)線矢量$rj應(yīng)與S中的各條直線都相交F.4F.4旋量集與旋量【定義n個(gè)單位旋量$1，$2，…$n的任意線性組合構(gòu)成的向量空間稱為旋量集，可記為S=$1,$2,…$n?！径x】在旋量集S中，若存在一組線性無關(guān)的單位旋量$1，$2，…$rS中所有旋量r稱為該旋量系的階數(shù)或維數(shù)?；蛘叻Q為該旋量集（系）的秩r=rank(S)。因此，剛體在空間的所有瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)可以由1個(gè)六維旋量系的正交標(biāo)準(zhǔn)基表示，即$1(1,0,0;0,0,$2(0,1,0;0,0,$3(0,0,1;0,0, （F.4-$4(0,0,0;1,0,$(0,0,0;0,1,$6(0,0,0;0,0,ni2，…n，使得$iPlücker坐標(biāo)為(LMNPQ,R)，則該旋量集的 LMN;PQR LMN;PQRA 2

（F.4- ? LMN;P

R nR注意：由于旋量的Plücker坐標(biāo)有6個(gè)分量，顯然三線性無關(guān)的旋量最多有6個(gè)?！纠鼺-3】：試通過對(duì)圖F-15中所示的機(jī)構(gòu)或運(yùn)動(dòng)鏈選取合適的坐標(biāo)系，建立與之【例F-3】：試通過對(duì)圖F-15中所示的機(jī)構(gòu)或運(yùn)動(dòng)鏈選取合適的坐標(biāo)系，建立與之對(duì)應(yīng)的 a)Sarrut機(jī)F-15F-3解：建立如上圖所示的坐標(biāo)系，分別列出各自對(duì)應(yīng)的旋量系。具體$1(0,0,1;0,0,$2(0,0,1p2,q2,(0,0,1p,q,$4(0,0,1 0,q4,$1(0,0,1;0,0,$2(0,0,11,0,$3(0,0,1;0,1,$1$2$3$$5 0;0,0, 0; q2 0,0; 1,0; 0,1,0 p5, 1,0 p6, $10$2$300$400旋量系（空間）的分616階旋量系，簡(jiǎn)稱旋量一系、旋量二系、分類問題這里不予以，具體可參考文獻(xiàn)[69,86]。根據(jù)所表達(dá)的物理意義旋量空間又可以表現(xiàn)為度空間 space）和約束空（constraintspace。同樣，完全可以將線空間的分類及其可視化表征推廣到旋量空間上（F-F-16F-16反旋量系與對(duì)偶旋量空 【定義】有一個(gè)n階旋量系S$1$2,…$n，必然存在一個(gè)6n階的反旋量系Sr$1r$r,…$rn，該旋量系由6nS中每個(gè)旋量都互易（簡(jiǎn)S互易）的旋 dim(SUSr)dim(S)+dim(Sr)dim(SnSr()

（F.4-Sd$d1,$d2,…,$

SnSr$di$diS和$diSr,i1,2,…,f （F.4-SSSSSS SSSSSSSF-17nSA$$,…,$T，6nSr Jr$r$r,… （F.4--Jr=B

AB （F.4-體求解過程這里不予詳細(xì)，有的讀者可參考文獻(xiàn)[86]。Gram-Sidt方法。而觀察幾何解析推演解析-F-183方法二：解r$r(sr;rrsr)(lr,mr,nr;pr,qr,rr) 式中，slmnT表示該線矢量的單位方向矢量，因此l2m2n21。rrxyz

T r r

$(1,0,0;

nr

mr

r,0,1(0,1,0;lrzrlrnrxr,0, mrxrrlr(0,0,1; (0,0,0;

rlr

,0, （F.4-$(0,0,0;nlr,0, $a$b$c$d$e$(a,b,c;dmrenrf,d, （F.4-l lr式中， 和 為任意常值，但不能同時(shí)為零fa(nryrmrzrb(lrzrnrxrc(mrxrlryr。這里首先僅考慮線矢量和偶量的【特例1】a=b=c=0并正則化矢量，式（F.4- dmen

$(0;s)(0,0,0;dmrenrf,d,

（F.4-式中，( )2d2e21。而由式（F.4-7）可知，sTs0，即所有與該線矢lrlr互逆的偶量都有之正交F-192【特例2】滿足條件sTs0=0且sTs=1，式（F.4-9）為一純單位線旋量$(s;rs)(a,b,c;d(