解析幾何第四章

e/

,

e/

用

I

中的基向量e

,

e1

2

1

2表示21

211

11e

/

ae

a

e12

12e

/

a

e

a22

2e基向量變換公式21

2200

11

12

y

y

a

x/

ay/y/

x

x

a

x/

aI到II的點(diǎn)的仿射坐標(biāo)變換公式定理1：如果平面上點(diǎn)的仿射坐標(biāo)變換公式中的系

0a12a21

a22數(shù)行列式不等于零，即

d

a11，則/22

12

22

012

0

(a21

x

a11

y

a21

x0

a11

y0

)d

y

1

(a x

a y

a

x

a

y

)d1

x

/II到I的點(diǎn)的仿射坐標(biāo)變換公式2.平面的向量的仿射坐標(biāo)變換公式設(shè)向量m

在I

中的坐標(biāo)為(u,v)，在II

中的坐標(biāo)為(u

/,v

/)。v

/v

au

/

a21

22u

a11u

/

a12

v

/I到II的向量的仿射坐標(biāo)變換公式v

/22

12d

1

(a u

a

v

)d1

u

/21

11 (

a u

a

v)II到I的向量的仿射坐標(biāo)變換公式3.空間的點(diǎn)的仿射坐標(biāo)變換公式舊坐標(biāo)系1

2

3I

e

,e

,e

1

2 3

/

/

/

/O,

，新坐標(biāo)系II

O

,e

,e

,eO/

在I

中的坐標(biāo)(x

,

y

,

z

)

.0

0

02

a

e

a

e

a

e11

1

21

2

31

3

a

e

a

e

a

e12

1

22

2

32

31/e

/ee

/

3

a13

e1

a

23

e

2

a

33

e3基向量變換公式I到II的點(diǎn)的仿射坐標(biāo)變換公式M

點(diǎn)在舊坐標(biāo)系I

的坐標(biāo)為（x，y，z），新坐標(biāo)系II的坐標(biāo)為(x

/,y

/,z

/)，32

33

031023222101311

12

yaa

zaax

/x

/

y

a

z

az

/z

/

a

z

/

xy

/y

/y

/

x

a x

/

a

0，若a21a11a12

aa22

a23a31

a32

a3321

22

23/

z

/

b x

b y

b z

by

b

z21

0

22

0

23

0x

b32

y0

b33

z0y

b x

b y

b z

b

x

b

b11

x

b12

y

b13

z

b11

x0

b12

y0

b13

z0

x

/II到I的點(diǎn)的仿射坐標(biāo)變換公式這里A=

(aij

)33

,B

(bij

)33

且B

A1

。4.空間的向量的仿射坐標(biāo)變換公式設(shè)向量m在舊坐標(biāo)系I下的坐標(biāo)為（u，v，w）在新坐標(biāo)系II

下的坐標(biāo)為

(u

/,v

/,w/)II到I的向量的仿射坐標(biāo)變換公式31

32

332322/2111

12

13w

/

a v

/

aw

/

a v

/

av

a

uw

a

u/

u

a u/

a v

/

a w

/I到II的向量的仿射坐標(biāo)變換公式

b11u

b12v

b13

wv

b u

b v

b

w32

3331w

/

b u

b v

b

w21

22

23/

u/例1：設(shè)仿射坐標(biāo)系1

2

3O,e

,e

,e

到/1

2 3

/

/

/O

,

e

,

e

,

e的基向量變換公式為33

221231

21

e

e

e

/

e

ee

/

e

e

ee

/1、求向量的仿射變換公式；11

2 3

2、

已知向量

v

在

O

/

,

e

/

,

e

/

,

e

/

下的分量為（

1，-1，

2），求v1

在O,e1

,e2

,e3

下的分量；3、已知向量v2

，v3

在O,e1

,e2

,e3

下的分量依次為（

0，1，2

31

2 3

-1），（1，2，0）。求

v

，

v

在

O

/

,

e

/

,

e

/

,

e

/

下的分量。例2：設(shè)仿射坐標(biāo)系1

2

31

2 3

/

/

/

/O,

e

,

e

,

e到

O

,

e

,

e

,

e的基向量變換為3

1

321231

21

e

e

e

/

e

ee

/

3e

e

ee

/新原點(diǎn)O

在O,e1

,e2

,e3

下的坐標(biāo)為（1，-1，2）

1、求點(diǎn)的仿射坐標(biāo)變換公式；2

、求平面

:2x

3

y

z

1

0在新坐標(biāo)系1

2 3

O

/,e

/,e

/,e

/

下的方程；1

2 3

3、求點(diǎn)P（-3，1，0）在新坐標(biāo)O

/,e

/,e

/,e

/

下的坐標(biāo)。5.直角坐標(biāo)變換公式設(shè)

I

1

21 2

/

/

/O,

e

,

e

，

II

O

,

e

,

e都是直角坐標(biāo)系.設(shè)

O

的

I

坐標(biāo)為

(

x

,

y

)

，

e

/

,

e

/0

0

1

2的

I

坐標(biāo)分別為(a11

,

a

21

),

(a12

,

a

22

)I

到II

的過(guò)渡矩陣是A

a11

a21a12

a22

定理2

：設(shè)I

和II

都是直角坐標(biāo)系，則I

到II

的過(guò)渡矩陣A

是正交矩陣，并且II

到I

的過(guò)渡矩陣為

x

a11

a12

x

x0

y

a21

a22

y

y0

ATI到II的點(diǎn)的直角坐標(biāo)變換公式a21

x

x0

a22

y

y0

II到I的點(diǎn)的直角坐標(biāo)變換公式

x

a11

y

a12設(shè)向量m

在I

中的坐標(biāo)為(u,v)，在II

中的坐標(biāo)為(u

/,v

/)。I到II的向量的直角坐標(biāo)變換公式II到I的向量的直角坐標(biāo)變換公式a12

u

a22

v

u

a11

v

a21a21

u

a22

v

u

a11

v

a126.空間的直角坐標(biāo)變換公式舊坐標(biāo)系1

2

3I

O,e

,e

,e

，新坐標(biāo)系1

2 3

/

/

/

/II

O

,e

,e

,eO/

在I

中的坐標(biāo)(x

,

y

,

z

)

.0

0

02

a

e

a

e

a

e11

1

21

2

31

3

a

e

a

e

a

e12

1

22

2

32

31/e

/ee

/

3

a13

e1

a

23

e

2

a

33

e3基向量變換公式33

32

31a

a

aa12

a13

a22

a23

a11過(guò)渡矩陣為A

a21

0

x2

0

z

z

z

y

A y

y

x

xI到II的點(diǎn)的直角坐標(biāo)變換公式

0

0

z

z

y

y

x

x0

zy

A

xTII到I的點(diǎn)的直角坐標(biāo)變換公式設(shè)向量m

在I

中的坐標(biāo)為(u,v,w)，在II

中的坐標(biāo)為I到II的向量的直角坐標(biāo)變換公式II到I的向量的直角坐標(biāo)變換公式

w

w(u

/,v

/,w

/)。

u

u

v

A

v

w

u

w

u

v

AT

v

7.直角坐標(biāo)變換中的過(guò)渡矩陣設(shè)

I

1

2

1 2

/

/

/O,

e

,

e

,II

O

,

e

,

e都是右手直角坐標(biāo)系在坐標(biāo)系I

O,e1

,e2

下，12

22211

211e/e/

(a,

a

)O

(x0

,

y0

)

(a,a

)。1/1設(shè)e

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

便與e重合/2

222/2

112/1

221/1

111cos(e

,

e

)cos(e

,

e

)cos(e

,

e

)a

cos

cos(e

,

e

)a

sin

a

sin

a

cos

定義：平面（

或空間）的兩個(gè)坐標(biāo)系，

如果它們都是右手系，或者它們都是左手系，則稱它們是同定向的；如果一個(gè)是左手系，一個(gè)是右手系，

則稱它們是反定向的命題：

設(shè)

I

和

II

都是平面的直角坐標(biāo)系，

設(shè)

I

到

II

的過(guò)渡矩陣是

A，則

I

和

II

同定向的充分必要條件為A

=1；

從而它們是反定向的充分必要條件為

A

=-1。今后所取的直角坐標(biāo)系都是右手系8.移軸公式和轉(zhuǎn)軸公式

x

x

x0

移軸公式

y

sincosy

sin

x

y

y

y0

x

cos轉(zhuǎn)軸公式1

2O,

e

,

e（移軸）

1

2O

,e

,e

（轉(zhuǎn)軸）1 2

/

/

/O

,

e

,

e1

2/

/1 2

O,e

,

e

（轉(zhuǎn)軸）

O,

e

,

e1 2

/

/

/（移軸）

O

,

e

,

e定理：仿射坐標(biāo)系I1

2

3O,e

,e

,e

1

2 3

/

/

/

/到

II

O

,

e

,

e

,

e的過(guò)渡矩陣是非奇異的，并且I

與II

同定向的充分必要條件為A

>0?？臻g直角坐標(biāo)系推論：

平面上的兩個(gè)仿射坐標(biāo)系1 2

II

O

/,e

/,e

/

同定向的充分必要條件是I

到II

的過(guò)渡I

O,e1

,e2和矩陣A

的行列式A

>0。定理：設(shè)I1

2

3O,e

,

e

,

e

/1

2 3

/

/

/和IIO

,

e

,

e

,

e都是直角坐標(biāo)系，則I

到II

的過(guò)渡矩陣A

是正交矩陣，從而II到I

的過(guò)渡矩陣是AT

。例1：設(shè)已給兩個(gè)直角坐標(biāo)系I

O,e1,e2

,e3

和1

2 3

II

O

/

,

e

/

,

e

/

,

e

/

。

在

I

下

，

已

知2

22

2

2

22

21

12

3

(

1

,

1

,0),

e

/

(

1

,

1

,

1

(

,

,

1

),

e

/1e

/求：1、向量的坐標(biāo)變換公式；2、已知向量v1

在I

下的分量為（1，-1，1），求它在II

下的分量；3、已知向量v2

在II下的分量為（-1，0，2），求它在I

下的分量。例2：在右手直角坐標(biāo)系O,e1

,e2

,e3

下，已給三個(gè)平面32:

x

2

y

z

5

0

:

x

z

1

0

1

:

x

y

z

1

0先驗(yàn)證這三個(gè)平面互相垂直，再建立一個(gè)新的右手直角坐1

2 3

標(biāo)

系

O

/

,

e

/

,

e

/

,

e

/

，

使

1

,

2

,3依次為坐標(biāo)面1

2Oy

z

,

O

xz

,

O

xy

，而且基向量

e

/

,

e

/

在原坐標(biāo)系下的第一個(gè)分量有正值，求O