分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)及裂項(xiàng)

.11/11分?jǐn)?shù)的速算與巧算裂項(xiàng)：是計(jì)算中需要發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公式的過(guò)程,裂項(xiàng)與通項(xiàng)歸納是密不可分的,本講要求學(xué)生掌握裂項(xiàng)技巧及尋找通項(xiàng)進(jìn)行解題的能力換元：讓學(xué)生能夠掌握等量代換的概念,通過(guò)等量代換講復(fù)雜算式變成簡(jiǎn)單算式。循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)拆分：掌握循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化,循環(huán)小數(shù)之間簡(jiǎn)單的加、減運(yùn)算,涉及循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的主要利用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)算的問(wèn)題．4、通項(xiàng)歸納法通項(xiàng)歸納法也要借助于代數(shù),將算式化簡(jiǎn),但換元法只是將"形同"的算式用字母代替并參與計(jì)算,使計(jì)算過(guò)程更加簡(jiǎn)便,而通項(xiàng)歸納法能將"形似"的復(fù)雜算式,用字母表示后化簡(jiǎn)為常見(jiàn)的一般形式．知識(shí)點(diǎn)撥一、裂項(xiàng)綜合〔一、"裂差"型運(yùn)算<1>對(duì)于分母可以寫(xiě)作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù),即形式的,這里我們把較小的數(shù)寫(xiě)在前面,即,那么有<2>對(duì)于分母上為3個(gè)或4個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù),即：,形式的,我們有：裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征：〔1分子全部相同,最簡(jiǎn)單形式為都是1的,復(fù)雜形式可為都是x<x為任意自然數(shù)>的,但是只要將x提取出來(lái)即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算?！?分母上均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式,并且滿(mǎn)足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)"首尾相接"〔3分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值?！捕?、"裂和"型運(yùn)算：常見(jiàn)的裂和型運(yùn)算主要有以下兩種形式：〔1〔2裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比：裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是"兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的目的",裂和型運(yùn)算的題目不僅有"兩兩抵消"型的,同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為"分?jǐn)?shù)湊整"型的,以達(dá)到簡(jiǎn)化目的。三、整數(shù)裂項(xiàng)<1><2>二、換元解數(shù)學(xué)題時(shí),把某個(gè)式子看成一個(gè)整體,用另一個(gè)量去代替它,從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,將復(fù)雜的式子化繁為簡(jiǎn)．三、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)1、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)結(jié)論：純循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)分子循環(huán)節(jié)中的數(shù)字所組成的數(shù)循環(huán)小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字所組成的數(shù)與不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字所組成的數(shù)的差分母n個(gè)9,其中n等于循環(huán)節(jié)所含的數(shù)字個(gè)數(shù)按循環(huán)位數(shù)添9,不循環(huán)位數(shù)添0,組成分母,其中9在0的左側(cè)；；；,……2、單位分?jǐn)?shù)的拆分：例：=====分析：分?jǐn)?shù)單位的拆分,主要方法是：從分母N的約數(shù)中任意找出兩個(gè)m和n,有：=本題10的約數(shù)有:1,10,2,5.。例如：選1和2,有：本題具體的解有：例題精講模塊一、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)原式原式計(jì)算：．如果式子中每一項(xiàng)的分子都相同,那么就是一道很常見(jiàn)的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的題目．但是本題中分子不相同,而是成等差數(shù)列,且等差數(shù)列的公差為2．相比較于2,4,6,……這一公差為2的等差數(shù)列<該數(shù)列的第個(gè)數(shù)恰好為的2倍>,原式中分子所成的等差數(shù)列每一項(xiàng)都比其大3,所以可以先把原式中每一項(xiàng)的分子都分成3與另一個(gè)的和再進(jìn)行計(jì)算．原式也可以直接進(jìn)行通項(xiàng)歸納．根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可知分子的通項(xiàng)公式為,所以,再將每一項(xiàng)的與分別加在一起進(jìn)行裂項(xiàng)．后面的過(guò)程與前面的方法相同．計(jì)算：本題的重點(diǎn)在于計(jì)算括號(hào)內(nèi)的算式：．這個(gè)算式不同于我們常見(jiàn)的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的地方在于每一項(xiàng)的分子依次成等差數(shù)列,而非常見(jiàn)的分子相同、或分子是分母的差或和的情況．所以應(yīng)當(dāng)對(duì)分子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?使之轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式．觀(guān)察可知,,……即每一項(xiàng)的分子都等于分母中前兩個(gè)乘數(shù)的和,所以所以原式．計(jì)算：觀(guān)察可知原式每一項(xiàng)的分母中如果補(bǔ)上分子中的數(shù),就會(huì)是5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積,所以可以先將每一項(xiàng)的分子、分母都乘以分子中的數(shù)．即：原式現(xiàn)在進(jìn)行裂項(xiàng)的話(huà)無(wú)法全部相消,需要對(duì)分子進(jìn)行分拆,考慮到每一項(xiàng)中分子、分母的對(duì)稱(chēng)性,可以用平方差公式：,,……原式原式本題為典型的"隱藏在等差數(shù)列求和公式背后的分?jǐn)?shù)裂差型裂項(xiàng)"問(wèn)題。此類(lèi)問(wèn)題需要從最簡(jiǎn)單的項(xiàng)開(kāi)始入手,通過(guò)公式的運(yùn)算尋找規(guī)律。從第一項(xiàng)開(kāi)始,對(duì)分母進(jìn)行等差數(shù)列求和運(yùn)算公式的代入有,,……,原式原式＝＋＋＋＋…＋＝〔＋〔＋〔＋〔＝,,……,,所以原式原式.這題是利用平方差公式進(jìn)行裂項(xiàng)：,原式計(jì)算：原式計(jì)算：．原式計(jì)算：．式子中每一項(xiàng)的分子與分母初看起來(lái)關(guān)系不大,但是如果將其中的分母根據(jù)平方差公式分別變?yōu)?,,……,,可以發(fā)現(xiàn)如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍,所以可以先將原式乘以4后進(jìn)行計(jì)算,得出結(jié)果后除以4就得到原式的值了．原式〔法1：可先找通項(xiàng)原式〔法2：原式原式＝＝計(jì)算：先找通項(xiàng)公式原式先找通項(xiàng)：,原式找通項(xiàng)原式,通過(guò)試寫(xiě)我們又發(fā)現(xiàn)數(shù)列存在以上規(guī)律,這樣我們就可以輕松寫(xiě)出全部的項(xiàng),所以有原式原式==原式計(jì)算：通項(xiàng)公式：,原式計(jì)算：本題的通項(xiàng)公式為,沒(méi)辦法進(jìn)行裂項(xiàng)之類(lèi)的處理．注意到分母,可以看出如果把換成的話(huà)分母的值不變,所以可以把原式子中的分?jǐn)?shù)兩兩組合起來(lái),最后單獨(dú)剩下一個(gè)．將項(xiàng)數(shù)和為100的兩項(xiàng)相加,得,所以原式．〔或者,可得原式中99項(xiàng)的平均數(shù)為1,所以原式雖然很容易看出＝,＝……可是再仔細(xì)一看,并沒(méi)有什么效果,因?yàn)檫@不象分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)那樣能消去很多項(xiàng)．我們?cè)賮?lái)看后面的式子,每一項(xiàng)的分母容易讓我們想到公式,于是我們又有．．減號(hào)前面括號(hào)里的式子有10項(xiàng),減號(hào)后面括號(hào)里的式子也恰好有10項(xiàng),是不是"一個(gè)對(duì)一個(gè)"呢？＝＝ ＝ ＝＝＝＝．模塊二、換元與公式應(yīng)用計(jì)算：原式原式計(jì)算：原式計(jì)算：法一：利用等比數(shù)列求和公式。原式法二：錯(cuò)位相減法．設(shè)則,,整理可得．法三：本題與例3相比,式子中各項(xiàng)都是成等比數(shù)列,但是例3中的分子為3,與公比4差1, 所以可以采用"借來(lái)還去"的方法,本題如果也要采用"借來(lái)還去"的方法,需要將每一項(xiàng)的分子變得也都與公比差1．由于公比為3,要把分子變?yōu)?,可以先將每一項(xiàng)都乘以2進(jìn)行算,最后再將所得的結(jié)果除以2即得到原式的值．由題設(shè),,則運(yùn)用"借來(lái)還去"的方法可得到,整理得到．計(jì)算：原式⑴_(tái)_______；⑵________．⑴ 觀(guān)察可知31415925和31415927都與31415926相差1,設(shè),原式⑵ 原式計(jì)算：原式計(jì)算：原式．原式計(jì)算：．本題可以直接將兩個(gè)乘積計(jì)算出來(lái)再求它們的差,但靈活采用平方差公式能收到更好的效果． 原式計(jì)算：．本題可以直接計(jì)算出各項(xiàng)乘積再求和,也可以采用平方差公式． 原式其中可以直接計(jì)算,但如果項(xiàng)數(shù)較多,應(yīng)采用公式進(jìn)行計(jì)算．計(jì)算：．觀(guān)察發(fā)現(xiàn)式子中每相乘的兩個(gè)數(shù)的和都是相等的,可以采用平方差公式． 原式看規(guī)律,,……,試求 原式計(jì)算：令,,則： 原式設(shè),則原式化簡(jiǎn)為：設(shè),, 原式設(shè),, 原式計(jì)算設(shè), 原式<>設(shè),則有設(shè),則有計(jì)算設(shè).原式=+=+=.<><><><>換元的思想即"打包",令,, 則原式<><><><><><>計(jì)算<><><><>該題相對(duì)簡(jiǎn)單,盡量湊相同的部分,即能簡(jiǎn)化運(yùn)算.設(shè),,有原式<><>三、循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)互化計(jì)算：,結(jié)果保留三位小數(shù)．方法一：方法二：⑴；⑵⑴法一：原式．法二：將算式變?yōu)樨Q式：可判斷出結(jié)果應(yīng)該是,化為分?jǐn)?shù)即是．⑵原式計(jì)算：方法一：=方法二：計(jì)算〔1〔2〔1原式〔2原式某學(xué)生將乘以一個(gè)數(shù)時(shí),把誤看成1.23,使乘積比正確結(jié)果減少0.3.則正確結(jié)果該是多少?由題意得：,即：,所以有：．解得,所以將循環(huán)小數(shù)與相乘,取近似值,要求保留一百位小數(shù),那么該近似值的最后一位小數(shù)是多少?×循環(huán)節(jié)有6位,100÷6=16……4,因此第100位小數(shù)是循環(huán)節(jié)中的第4位8,第10l位是5．這樣四舍五入后第100位為9．有8個(gè)數(shù),,,,,是其中6個(gè),如果按從小到大的順序排列時(shí),第4個(gè)數(shù)是,那么按從大到小排列時(shí),第4個(gè)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)?,,,顯然有即,8個(gè)數(shù)從小到大排列第4個(gè)是,所以有．<"□",表示未知的那2個(gè)數(shù)>.所以,這8個(gè)數(shù)從大到小排列第4個(gè)數(shù)是．真分?jǐn)?shù)化為小數(shù)后,如果從小數(shù)點(diǎn)后第一位的數(shù)字開(kāi)始連續(xù)若干個(gè)數(shù)字之和是1992,那么是多少?,,,,,．因此,真分?jǐn)?shù)化為小數(shù)后,從小數(shù)點(diǎn)第一位開(kāi)始每連續(xù)六個(gè)數(shù)字之和都是1+4+2+8+5+7=27,又因?yàn)?992÷27=73……21,27-21=6,而6=2+4,所以,即．真分?jǐn)?shù)化成循環(huán)小數(shù)之后,從小數(shù)點(diǎn)后第1位起若干位數(shù)字之和是,則是多少？我們知道形如的真分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)后,循環(huán)節(jié)都是由1、2、4、5、7、8這6個(gè)數(shù)字組成,只是各個(gè)數(shù)字的位置不同而已,那么就應(yīng)該由若干個(gè)完整的和一個(gè)不完整組成。,而,所以最后一個(gè)循環(huán)節(jié)中所缺的數(shù)字之和為6,經(jīng)檢驗(yàn)只有最后兩位為4,2時(shí)才符合要求,顯然,這種情況下完整的循環(huán)節(jié)為"",因此這個(gè)分?jǐn)?shù)應(yīng)該為,所以。真分?jǐn)?shù)化成循環(huán)小數(shù)之后,小數(shù)點(diǎn)后第2009位數(shù)字為7,則是多少？我們知道形如的真分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)后,循環(huán)節(jié)都是由6位數(shù)字組成,,因此只需判斷當(dāng)為幾時(shí)滿(mǎn)足循環(huán)節(jié)第5位數(shù)是7,經(jīng)逐一檢驗(yàn)得。和化成循環(huán)小數(shù)后第100位上的數(shù)字之和是_____________.如果將和轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)后再去計(jì)算第100位上的數(shù)字和比較麻煩,通過(guò)觀(guān)察計(jì)算我們發(fā)現(xiàn),而,則第100位上的數(shù)字和為9.純循環(huán)小數(shù)寫(xiě)成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)時(shí),分子和分母的和是,則三位數(shù)如果直接把轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù),應(yīng)該是,因此,化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)后的分母應(yīng)該是999的約數(shù),我們將分解質(zhì)因數(shù)得:,這個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分母應(yīng)小于,而且大于,否則該分?jǐn)?shù)就變成了假分?jǐn)?shù)了,符合這個(gè)要求的的約數(shù)就只有37了,因此,分母應(yīng)當(dāng)為37,分子就是,也就是說(shuō),因此.在下面的括號(hào)里填上不同的自然數(shù),使等式成立．〔1；〔2單位分?jǐn)?shù)的拆分,主要方法是從分母的約數(shù)中任意找出兩個(gè)數(shù)和,有：,從分母的約數(shù)中任意找出兩個(gè)和<>,有：〔1本題的約數(shù)有：,10,2,5．例如：選1和2,有：； 從上面變化的過(guò)程可以看出,如果取出的兩組不同的和,它們的數(shù)值雖然不同,但是如果和的比值相同,那么最后得到的和也是相同的．本題中,從10的約數(shù)中任取兩個(gè)數(shù),共有種,但是其中比值不同的只有5組：<1,1>；<1,2>；<1,5>；<1,10>；<2,5>,所以本題共可拆分成5組．具體的解如下：．〔210的約數(shù)有1、2、5、10,我們可選2和5：另外的解讓學(xué)生去嘗試練習(xí)．在下面的括號(hào)里填上不同的自然數(shù),使等式成立．先選10的三個(gè)約數(shù),比如5、2和1,表示成連減式和連加式．則：如果選10、5、2,那么有：．另外,對(duì)于這類(lèi)題還有個(gè)方法,就是先將單位分?jǐn)?shù)拆分,拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和或差,再將其中的一個(gè)單位分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和或差,這樣就將原來(lái)的單位分?jǐn)?shù)拆成了3個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和或差了．比如,要得到,根據(jù)前面的拆分隨意選取一組,比如,再選擇其中的一個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行拆分,比如,所以．=-=注：這里要先選10的三個(gè)約數(shù),比如5、2和1,表示成連減式5-2-1和連加式5+2+1.所有分母小于30并且分母是質(zhì)數(shù)的真分?jǐn)?shù)相加,和是__________。小于30的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十個(gè),分母為17的真分?jǐn)?shù)相加,和等于。類(lèi)似地,可以求出其它分母為質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)的和。因此,所求的和是分母為1996的所有最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)之和是_________。因?yàn)?996=2×2×499。所以分母為1996的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),分子不能是偶數(shù),也不能是499的倍數(shù),499與3×499。因此,分母為1996的所有最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)之和是==若,其中a、b都是四位數(shù),且a<b,那么滿(mǎn)足上述條件的所有數(shù)對(duì)〔a,b是2004的約數(shù)有：1,2004,2,1002,3,668,4,501,滿(mǎn)足題意的分拆有：如果,均為正整數(shù),則最大是多少？從前面的例題我們知道,要將按照如下規(guī)則寫(xiě)成的形式：,其中和都是的約數(shù)。如果要讓盡可能地大,實(shí)際上就是讓上面的式子中的盡可能地小而盡可能地大,因此應(yīng)當(dāng)取最大的約數(shù),而應(yīng)取最小的約數(shù),因此,