實驗輔助概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學的應用實踐

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本文論述了在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學中開展數(shù)學試驗的必要性以及應用實踐，結論說明數(shù)學試驗的開展既可以促進學生對理論知識的理解，又能夠提高學生的應用能力.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計;數(shù)學試驗;應用

2021河南工業(yè)大學本科教學研究工程（工程編號：

lxyjy202101）;河南工業(yè)大學博士基金工程（工程編號：

2022BS037）.

1引言

在大數(shù)據(jù)背景下，計算機軟件及技術在各個學科領域內廣泛應用，概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的理論和方法表達出越來越重要的作用.其中，數(shù)理統(tǒng)計中處理數(shù)據(jù)的方法應用特別廣泛，廣泛理學、工學、管理學和農學等專業(yè)領域.同時，這門課程也成為機器學習和人工智能發(fā)展的重要數(shù)學支撐.概率論與數(shù)理統(tǒng)計是理工科高等院校的必修課程，是碩士研究生入學考試的重要內容之一，好的教學效果不僅能為學生打下堅實的理論基礎，滿足其后續(xù)學習的需要，還有利于學生將所學知識應用到專業(yè)實踐中去.然而，在大多數(shù)高等院校，這門課程目前的教學模式主要是教師通過板書以及PPT講解理論知識，學生聽講并通過做作業(yè)對知識進行穩(wěn)定.這種方式雖然能達到讓學生把握理論知識的目的，但在這種教學模式下，學生往往會覺得課堂枯燥，知識抽象難懂，學習興趣不高，把握不了所學知識的應用方法，很難在后續(xù)的學習中把理論知識應用到專業(yè)中去.為了提升教學效果，使學生能將所學知識與實踐相結合，我們在原有課堂教學過程中適當引入一些數(shù)學試驗，這樣不僅能夠加強師生互動，活躍課堂氣氛，還有利于提高學生的動手能力.

筆者在教學過程中對部分重要且抽象的知識點應用MATLAB軟件開展了數(shù)學試驗，幫助學生深刻地理解所學內容，加強了學生的學習興趣，提升了教學效果.下面就筆者的教學實踐和效果進行論述和分析.

2概率統(tǒng)計課程中的試驗教學

2.1模擬擲硬幣試驗

歷史上，好多數(shù)學家都做過拋硬幣試驗，他們通過屢屢反復投擲均勻硬幣，統(tǒng)計出硬幣正面向上的頻率，發(fā)現(xiàn)當試驗次數(shù)較少時，頻率值隨機波動幅度較大;當試驗次數(shù)較多時，頻率值的隨機波動幅度較小;隨著試驗次數(shù)的漸漸增加，正面向上的頻率將漸漸穩(wěn)定于固定值0.5.

然而在課堂上，成千上萬次投擲真實硬幣來重現(xiàn)這一結論是不便利也不現(xiàn)實的.我們可以帶領學生一起編寫MATLAB程序來模擬擲硬幣試驗，記錄并觀測屢屢試驗的結果，同樣可以得出相應的結論.

例1通過生成隨機數(shù)模擬連續(xù)屢屢投擲硬幣的結果，規(guī)定隨機數(shù)小于0.5時為正面，否則為反面.記錄重復10次，100次，1000次，10000次，100000次，1000000次試驗出現(xiàn)正面的頻率.

解參考代碼如下：

frequency=zeros（6，1）;

form=1：

6

a=0;

A=rand（10^m，1）;

fori=1：

10^m

ifA（i，1）0.5

a=a+1;

end

end

frequency（m，1）=a/（10^m）;

end

frequency

運行結果列表如下：

表1列出了4組模擬結果.從結果可以看出，當試驗次數(shù)較少時，譬如10次，正面朝上的頻率波動幅度對比大，最小0.3，而最大為0.7.但是隨著試驗次數(shù)的增加，正面朝上的頻率漸漸穩(wěn)定于固定值0.5.學生通過計算機生動地重現(xiàn)了歷史上幾位有名數(shù)學家做過的擲硬幣試驗，理解頻率和概率的關系.同時，試驗直觀地解釋了大數(shù)定律，即事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件的概率，概率是頻率的穩(wěn)定值.

2.2驗證泊松定理

泊松定理當n充分大（n≥20），而p較?。╬≤0.05）時，聽從二項分布的隨機變量X近似聽從泊松分布，即P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k≈λkk！e-λ，其中λ=np.

在課堂上，我們通過下面的例2，告訴學生如何用MATLAB中的命令計算二項分布的概率，從而避免分布律的繁雜計算，然后通過調整參數(shù)，驗證泊松定理的結論.

例2某人對同一目標進行獨立射擊400次，設每次射擊時的命中率均為0.02，試求至少命中兩次的概率.

解設X表示400次射擊命中目標的次數(shù)，那么X～B（400，0.02），我們可以根據(jù)二項分布的分布律直接計算出答案0.9972.另外，由于此題的參數(shù)滿足泊松定理的條件，所以我們也可以用泊松分布的分布律近似計算概率.

同時，常用分布的概率還可以利用MATLAB命令計算，學生恰當應用軟件，可以避免煩瑣的計算.

參考代碼如下：

X=0：400;

R=binopdf（X，400，0.02）;

s=sum（R（3：401））

運行結果為s=0.9972.這里學生可以看到，程序運行結果和利用分布律計算的結果是一致的.

在此例子的基礎上，我們引導學生對參數(shù)做一些調整，通過繪制二項分布和泊松分布的曲線來驗證泊松定理的結論.繪制的曲線如圖1和圖2所示.

從繪制出的圖像可以看出，當p足夠小，n足夠大時，即泊松定理的條件滿足時，二項分布和泊松分布的分布律曲線是吻合的，如圖1所示的情形.而當這個條件不滿足時，如圖2所示，二者會出現(xiàn)較大偏差，此時不能用泊松分布近似二項分布.

2.3蒙特卡羅（MonteCarlo）模擬

蒙特卡羅模擬是一種計算方法，其原理是通過大量隨機樣本來求出一個系統(tǒng)中的未知量.該方法的一般實現(xiàn)過程為：先設計一個適當?shù)碾S機試驗，使得某事件發(fā)生的概率與所求量有關，然后大量重復該試驗，用事件發(fā)生的頻率代替概率，從而近似計算出所求.隨著計算機技術及軟件的發(fā)展，蒙特卡羅方法很適合通過計算機模擬實現(xiàn)，這樣能夠節(jié)省大量成本.

例3用蒙特卡羅法計算圓周率π的近似值.

解在一個邊長為1cm的正方形內畫一個半徑為1cm的14圓，然后在這個正方形內生成均勻分布的隨機點，落在圓內的點數(shù)占總點數(shù)的π4，我們求出這個頻率，再乘以4，就得到π的近似值.通過不同數(shù)量的隨機點得到的π的近似值如下表所示.可以看出，隨機點越多，得到的π的近似值越準確，這也說明白隨著試驗次數(shù)的增多，頻率漸漸趨于概率.

2.4參數(shù)的區(qū)間估計

假如得到樣本向量X，我們調用命令[mu，sigma，muci，sigmaci]=normfit（X，alpha），可以得到參數(shù)的極大似然估計值mu和sigma，以及置信系數(shù)為1-alpha的置信區(qū)間muci和sigmaci.在課堂上講到區(qū)間估計內容時，我們先講解教材中的方法，然后通過例4和例5說明如何應用命令normfit求置信區(qū)間，對比得到的結果，并進一步表明我們對于置信系數(shù)的理解.

例4從某年級中隨機抽取10名女生，身高如下：162cm，159cm，168cm，160cm，157cm，162cm，163cm，159cm，170cm，166cm.求該年級女生平均身高的95%的置信區(qū)間.（假設女生身高聽從正態(tài)分布）

解我們先用教材中的方法解答，再調用命令normfit求解，然后進行比較.

解法一：

設該年級女生的平均身高為μ，欲求滿足P（θ^1μθ^2）=0.95的區(qū)間（θ^1，θ^2），先求滿足P-λX--μSnλ=0.95的λ.由教材的附表查表可得λ=tn-1α2=t9（0.025）=2.26.

故PX--λSnμX-+λSn=0.95，其中X-=162+…+16610=163，S2=1n-1∑ni=1（Xi-X-）2=18.43.所以μ的置信系數(shù)為95%時，置信區(qū)間為（159.6，165.6）.

解法二：

調用命令[mu，sigma，muci，sigmaci]=normfit（X，alpha），其中X為樣本向量，alpha=0.05.

參考代碼如下：

X=[162159168160157162163159170166];

[mu，sigma，muci，sigmaci]=normfit（X，0.05）

運行可得：

mu=162.6000

sigma=4.2216

muci=

159.5800

165.6200

sigmaci=

2.9038

7.7071

其中，mu和sigma分別為總體期望和標準差的極大似然估計值，muci為此題所求，即平均身高μ的95%的置信區(qū)間，這與上面的計算結果是一致的.sigmaci為總體標準差的95%的置信區(qū)間.

由此可見，在把握了基本理論的前提下，適當應用軟件解決問題是快捷便利的.

例5假設X～N（10，4），模擬產生X的100組容量為24的重復觀測樣本數(shù)據(jù)，對于每一組樣本數(shù)據(jù)利用normfit計算總體均值的0.95的置信區(qū)間，并考察在得到的100個置信區(qū)間中有多少個區(qū)間包含10.

解參考代碼如下：

functionn=ex4（）

n=0;

fori=1：100

x=normrnd（10，2，24，1）;

[m，s，sci]=normfit（x）;

ifsci（1）10sci（2）10

n=n+1;

end

end

該函數(shù)的四次運行結果分別為n=96，n=95，n=96，n=99.該結果說明，假如置信系數(shù)為0.95，那么對于構造的100個區(qū)間來說，大約會有95個包含參數(shù)μ.事實上，對于一個具體的區(qū)間，如例4中得到的（159.6，165.6），它或者包含μ，或者不包含μ，兩者必居其一，說它包含μ的概率是0.95并不適合.因此，置信系數(shù)0.95的意義是指屢屢重復抽樣構造置信區(qū)間包含μ的頻率大約是95%.也就是說，置信系數(shù)實際上是對構造置信區(qū)間的這種方法的可靠程度的整體評價.這樣的教學模式一方面可以使學生學會應用軟件中的命令進行參數(shù)估計，另一方面，也使學生更深刻地理解了置信系數(shù)和置信區(qū)間的含義.

2.5假設檢驗

在講到假設檢驗部分時，除了給學生講授教材中的理論知識以及借助查表的檢驗方法外，我們還向學生介紹了MATLAB中的命令，以使其快速地得到結論.

例6某工廠生產10Ω的電阻，根據(jù)以往生產的電阻的實際狀況，可認為其電阻值聽從正態(tài)分布，標準差σ=0.1Ω.現(xiàn)隨機抽取10個電阻，測得它們的阻值為：

9.9Ω，10.1Ω，10.2Ω，9.7Ω，9.9Ω，9.9Ω，10Ω，10.5Ω，10.1Ω，10.2Ω，試問通過這10個實測值能否認為該廠生產的電阻的平均阻值為10Ω？

這個題目我們可以用教材上的方法結合查表來做，這是我們課堂上講授的基本理論和方法，是這部分內容的基礎.基于此，我們進一步引導學生用MATLAB命令快速地解決問題，拓展學生的解題思路，加強學生對知識的理解和動手解決問題的能力.

解我們先采用教材上的方法解答，再調用命令ztest解答，并對得到的結論進行比較.給定顯著性水平α=0.05.原假設H0：μ=10;對立假設H1：μ≠10.

解法一：選取適當?shù)慕y(tǒng)計量，構造小概率事件：

PX--μσnλ=0.05

查表得到λ=1.96.由樣本值可得X-=10.05，將樣本值代入統(tǒng)計量得：

X--μσn=10.05-100.110=1.581.96

即統(tǒng)計量的取值落入接受域，故接受原假設H0.

解法二：應用命令ztest，可以更便利地得到結論.

參考代碼如下：

X=[9.910.110.29.79.99.91010.510.110.2];

sigma=0.1;

mu=10;

alpha=0.05;

h=ztest（X，mu，sigma，alpha，0）

運行結果為h=0.

這說明，在顯著性水平α=0.05時，接受原假設H0.可見應用軟件解決問題減少了計算量，提高了效率.需要注意的是，雖然軟件的輔助可以給問題解決帶來便利，節(jié)省時間，但是我們并不能忽視基本理論和數(shù)學思想的講授，學生只有在理解并充分把握了基礎數(shù)學理論的前提下，適當應用軟件，才能起到事半功倍的效果.

3終止語

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的教學中，教師適當引入數(shù)學試驗，既可以加深學生對抽象理論知識的理解，豐富解決問題的思路，又可以提高學