補(bǔ)上一課導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題課件

導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題常與函數(shù)單調(diào)性的判斷有關(guān)，而函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)有著緊密的聯(lián)系，按導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)能否求精確解可以分為兩類：一類是數(shù)值上能精確求解的，稱之為“顯零點(diǎn)”；另一類是能夠判斷其存在但無法直接表示的，稱之為“隱零點(diǎn)”.對于隱零點(diǎn)問題，由于涉及靈活的代數(shù)變形、整體代換、構(gòu)造函數(shù)、不等式應(yīng)用等技巧，對學(xué)生綜合能力的要求較高，成為考查的難點(diǎn).知識拓展利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題常與函數(shù)單調(diào)性的判斷有關(guān)，而函數(shù)的單調(diào)性題型一函數(shù)最值中的“隱零點(diǎn)”題型突破【例1】

設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－alnx.(a為大于零的常數(shù))，已知f′(x)＝0有唯一零點(diǎn)，求f(x)的最小值.題型一函數(shù)最值中的“隱零點(diǎn)”題型突破【例1】設(shè)函數(shù)f(x設(shè)f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x∈(0，x0)時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時，f′(x)＞0.故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝x0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).設(shè)f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x∈(0，x(1)解

f(x)的定義域?yàn)?－∞，－2)∪(－2，＋∞).當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時，f′(x)＝0，所以f(x)在(－∞，－2)，(－2，＋∞)單調(diào)遞增.因此當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)>f(0)＝－1.所以(x－2)ex>－(x＋2)，即(x－2)ex＋x＋2>0.(1)解f(x)的定義域?yàn)?－∞，－2)∪(－2，＋∞).由(1)知，f(x)＋a單調(diào)遞增，對任意a∈[0，1)，f(0)＋a＝a－1<0，f(2)＋a＝a≥0.因此，存在唯一xa∈(0，2]，使得f(xa)＋a＝0，即g′(xa)＝0.當(dāng)0<x<xa時，f(x)＋a<0，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>xa時，f(x)＋a>0，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.由(1)知，f(x)＋a單調(diào)遞增，對任意a∈[0，1)，f(補(bǔ)上一課-導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題課件補(bǔ)上一課-導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題課件題型二不等式證明中的“隱零點(diǎn)”題型二不等式證明中的“隱零點(diǎn)”因此當(dāng)a≤0時，1－ax2ex>0，從而f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增.因此當(dāng)a≤0時，1－ax2ex>0，從而f′(x)>0，所以補(bǔ)上一課-導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題課件又因?yàn)閒(x0)>f(1)＝0，所以f(x)在(x0，＋∞)內(nèi)有唯一零點(diǎn).又f(x)在(0，x0)內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，從而，f(x)在(0，＋∞)內(nèi)恰有兩個零點(diǎn).又因?yàn)閒(x0)>f(1)＝0，所以f(x)在(x0，＋∞)訓(xùn)練2】

(2017·全國Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝ax2－ax－xlnx，且f(x)≥0. (1)求a； (2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e－2<f(x0)<2－2.

(1)解

f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，

設(shè)g(x)＝ax－a－lnx，則f(x)＝xg(x)，f(x)≥0等價于g(x)≥0，

因?yàn)間(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0，當(dāng)0<x<1時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，所以x＝1是g(x)的極小值點(diǎn)，故g(x)≥g(1)＝0.綜上，a＝1.訓(xùn)練2】(2017·全國Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝ax2－a補(bǔ)上一課-導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題課件因?yàn)閒′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn).由f′(x0)＝0得lnx0＝2(x0－1)，故f(x0)＝x0(1－x0).因?yàn)閤＝x0是f(x)在(0，1)上的最大值點(diǎn)，由e－1∈(0，1)，f′(e－1)≠0得f(x0)>f(e－1)＝e－2.所以e－2<f(x0)<2－2.因?yàn)閒′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一極大值題型三導(dǎo)函數(shù)中“二次函數(shù)”的“設(shè)而不求”技巧①若a≤2，則f′(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2，x＝1時f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.題型三導(dǎo)函數(shù)中“二次函數(shù)”的“設(shè)而不求”技巧①若a≤2，則補(bǔ)上一課-導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題課件(2)證明由(1)知，f(x)存在兩個極值點(diǎn)時，當(dāng)且僅當(dāng)a>2.由于f(x)的兩個極值點(diǎn)x1，x2滿足x2－ax＋1＝0，(2)證明由(1)知，f(x)存在兩個極值點(diǎn)時，當(dāng)且僅當(dāng)a補(bǔ)上一課-導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題課件【訓(xùn)練3】

已知函數(shù)f(x)＝x2＋aln(x＋2)，a∈R，存在兩個極值點(diǎn)x1，x2，求f(x1)＋f(x2)的取值范圍.由于f(x)有兩個極值點(diǎn)，則二次函數(shù)g(x)＝2x2＋4x＋a在(－2，＋∞)上有兩個相異實(shí)根x1，x2，由于g(x)的對稱軸為x＝－1，由二次函數(shù)的圖象可知，只需Δ＝16－8a>0且g(－2)＝a>0，即0<a<2.考慮到x1，x2是方程2x2＋4x＋a＝0的兩根.【訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝x2＋aln(x＋2)，a∈R綜上所述f(x1)＋f(x2)的取值范圍是(2，4).綜上所述f(x1)＋f(x2)的取值范圍是(2，4).補(bǔ)上一課-導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題課件導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題常與函數(shù)單調(diào)性的判斷有關(guān)，而函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)有著緊密的聯(lián)系，按導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)能否求精確解可以分為兩類：一類是數(shù)值上能精確求解的，稱之為“顯零點(diǎn)”；另一類是能夠判斷其存在但無法直接表示的，稱之為“隱零點(diǎn)”.對于隱零點(diǎn)問題，由于涉及靈活的代數(shù)變形、整體代換、構(gòu)造函數(shù)、不等式應(yīng)用等技巧，對學(xué)生綜合能力的要求較高，成為考查的難點(diǎn).知識拓展利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題常與函數(shù)單調(diào)性的判斷有關(guān)，而函數(shù)的單調(diào)性題型一函數(shù)最值中的“隱零點(diǎn)”題型突破【例1】

設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－alnx.(a為大于零的常數(shù))，已知f′(x)＝0有唯一零點(diǎn)，求f(x)的最小值.題型一函數(shù)最值中的“隱零點(diǎn)”題型突破【例1】設(shè)函數(shù)f(x設(shè)f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x∈(0，x0)時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時，f′(x)＞0.故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝x0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).設(shè)f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x∈(0，x(1)解

f(x)的定義域?yàn)?－∞，－2)∪(－2，＋∞).當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時，f′(x)＝0，所以f(x)在(－∞，－2)，(－2，＋∞)單調(diào)遞增.因此當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)>f(0)＝－1.所以(x－2)ex>－(x＋2)，即(x－2)ex＋x＋2>0.(1)解f(x)的定義域?yàn)?－∞，－2)∪(－2，＋∞).由(1)知，f(x)＋a單調(diào)遞增，對任意a∈[0，1)，f(0)＋a＝a－1<0，f(2)＋a＝a≥0.因此，存在唯一xa∈(0，2]，使得f(xa)＋a＝0，即g′(xa)＝0.當(dāng)0<x<xa時，f(x)＋a<0，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>xa時，f(x)＋a>0，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.由(1)知，f(x)＋a單調(diào)遞增，對任意a∈[0，1)，f(補(bǔ)上一課-導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題課件補(bǔ)上一課-導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題課件題型二不等式證明中的“隱零點(diǎn)”題型二不等式證明中的“隱零點(diǎn)”因此當(dāng)a≤0時，1－ax2ex>0，從而f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增.因此當(dāng)a≤0時，1－ax2ex>0，從而f′(x)>0，所以補(bǔ)上一課-導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題課件又因?yàn)閒(x0)>f(1)＝0，所以f(x)在(x0，＋∞)內(nèi)有唯一零點(diǎn).又f(x)在(0，x0)內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，從而，f(x)在(0，＋∞)內(nèi)恰有兩個零點(diǎn).又因?yàn)閒(x0)>f(1)＝0，所以f(x)在(x0，＋∞)訓(xùn)練2】

(2017·全國Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝ax2－ax－xlnx，且f(x)≥0. (1)求a； (2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e－2<f(x0)<2－2.

(1)解

f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，

設(shè)g(x)＝ax－a－lnx，則f(x)＝xg(x)，f(x)≥0等價于g(x)≥0，

因?yàn)間(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0，當(dāng)0<x<1時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，所以x＝1是g(x)的極小值點(diǎn)，故g(x)≥g(1)＝0.綜上，a＝1.訓(xùn)練2】(2017·全國Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝ax2－a補(bǔ)上一課-導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題課件因?yàn)閒′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn).由f′(x0)＝0得lnx0＝2(x0－1)，故f(x0)＝x0(1－x0).因?yàn)閤＝x0是f(x)在(0，1)上的最大值點(diǎn)，由e－1∈(0，1)，f′(e－1)≠0得f(x0)>f(e－1)＝e－2.所以e－2<f(x0)<2－2.因?yàn)閒′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一極大值題型三導(dǎo)函數(shù)中“二次函數(shù)”的“設(shè)而不求”技巧①若a≤2，則f′(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2，x＝1時f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.題型三導(dǎo)函數(shù)中“二次函數(shù)”的“設(shè)