信號(hào)的采樣與重建課件

1第2章信號(hào)的采樣與重建第1章中我們討論了離散時(shí)間信號(hào)，然而工程和現(xiàn)實(shí)生活中大部分信號(hào)為模擬信號(hào)。如何對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行數(shù)字處理？本章主要討論模擬信號(hào)的采樣與重建，并引出采樣定理、奈奎斯特采樣頻率的概念；對(duì)用到的模擬低通濾波器的特性指標(biāo)進(jìn)行了分析；并介紹了欠采樣和采樣率轉(zhuǎn)換技術(shù)。2.1數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的模擬接口

數(shù)字信號(hào)處理：用數(shù)字序列表示信號(hào)，通過(guò)數(shù)字計(jì)算機(jī)去處理這些序列。要對(duì)自然方式產(chǎn)生的模擬信號(hào)進(jìn)行數(shù)字處理，則可按照以下方法進(jìn)行。模擬信號(hào)數(shù)字化（A/D)數(shù)字信號(hào)處理處理后的數(shù)字信號(hào)模擬化（D/A）具體過(guò)程如圖2.1所示。1第2章信號(hào)的采樣與重建第1章中我們討論了離散時(shí)2圖2.1數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的框圖A/D變換器通用或?qū)Ｓ糜?jì)算機(jī)采樣保持器D/A變換器平滑濾波器模擬信號(hào)模擬信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)數(shù)字信號(hào)抗混疊濾波器模擬信號(hào)的采樣與保持。所謂采樣是從模擬信號(hào)中“抽取”信號(hào)的離散樣值，最常用的采樣方法是等間隔采樣，即每隔一個(gè)固定的時(shí)間T采一個(gè)信號(hào)樣值，T稱為采樣周期。采樣保持器按照設(shè)定的采樣周期對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，并將采樣得到的瞬時(shí)幅值保持至下一采樣時(shí)刻。理想采樣保持器輸出的是一階梯狀的波形，階梯前沿的幅值與此刻的模擬信號(hào)保持一致，階梯的寬度就是采樣周期T見(jiàn)圖2.2。采樣保持器輸出的是連續(xù)時(shí)間信號(hào)。但實(shí)際應(yīng)用中采樣保持器總存在一定的偏差。2圖2.1數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的框圖A/D通用或?qū)Ｓ糜?jì)算3

A/D轉(zhuǎn)換---量化：用二進(jìn)制數(shù)碼對(duì)應(yīng)的電平替代采樣電平值，圖2.2中的小圓點(diǎn)處的幅度稱為量化電平。A/D轉(zhuǎn)換---數(shù)字化（編碼）：將量化后的電平用二進(jìn)制數(shù)碼表示。

模擬信號(hào)的數(shù)字化工程上通常用A/D轉(zhuǎn)換器來(lái)實(shí)現(xiàn)。由于A/D轉(zhuǎn)換器采用有限的二進(jìn)制位，所以表示的信號(hào)幅度也是有限的，若用b位二進(jìn)制數(shù)碼表示，則只能表示2b個(gè)電平（量化電平），所以量化電平和模擬信號(hào)相比存在一定的誤差，誤差的大小和A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)有關(guān)。A/D轉(zhuǎn)換器將采樣保持器的輸出信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)，A/D轉(zhuǎn)換器的轉(zhuǎn)換時(shí)間應(yīng)小于采樣周期T。A/D轉(zhuǎn)換后的信號(hào)是一串?dāng)?shù)字，不但在時(shí)間上進(jìn)行了離散化，在幅度上也進(jìn)行了量化，這種信號(hào)稱為數(shù)字信號(hào)。3A/D轉(zhuǎn)換---量化：用二進(jìn)制數(shù)碼對(duì)應(yīng)的電平替代采4模擬信號(hào)數(shù)字化:采樣、量化、編碼。圖2.2

模擬信號(hào)的數(shù)字化數(shù)字信號(hào)數(shù)碼量化電平模擬信號(hào)采樣保持信號(hào)量化電平0.380.630.810.890.900.870.750.610.360.240.144模擬信號(hào)數(shù)字化:采樣、量化、編碼。圖2.2模擬信號(hào)5為了便于進(jìn)一步討論連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣與重建的基本條件，對(duì)圖2.1進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化，見(jiàn)圖2.4.理想采樣器通用或?qū)Ｓ糜?jì)算機(jī)理想內(nèi)插器xa(t)x(n)y(n)ya(t)圖2.4圖2.1的簡(jiǎn)化表示數(shù)字/模擬轉(zhuǎn)換與平滑濾波。工程上用D/A轉(zhuǎn)換器實(shí)現(xiàn)從數(shù)字信號(hào)到模擬信號(hào)的轉(zhuǎn)換。D/A轉(zhuǎn)換器的輸出信號(hào)類似與采樣保持信號(hào)，是一階梯狀的連續(xù)時(shí)間信號(hào)。D/A轉(zhuǎn)換器每得到一個(gè)數(shù)字就建立一個(gè)新的量化電平，并通過(guò)零階保持在T時(shí)間段內(nèi)保持此電平直至下一個(gè)數(shù)字到達(dá)，如此不斷重復(fù)，形成一個(gè)階梯狀的連續(xù)時(shí)間信號(hào)。該信號(hào)與原模擬信號(hào)的頻譜并不相同，只有通過(guò)平滑濾波器濾除高頻分量，才能得到平滑的模擬信號(hào)。如圖2.3所示。5為了便于進(jìn)一步討論連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣與重建的基本條6數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)化成模擬信號(hào)數(shù)字信號(hào)數(shù)碼量化電平D/A輸出信號(hào)模擬信號(hào)圖2.3數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為模擬信號(hào)：D/A轉(zhuǎn)換、平滑濾波6數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)化成模擬信號(hào)數(shù)字信號(hào)數(shù)碼量化電平D/A輸出信號(hào)模72.2模擬信號(hào)的采樣與重建對(duì)于信號(hào)的采樣與重建我們首先關(guān)心的是模擬信號(hào)經(jīng)采樣后是否能保持原有的信息；其次，由數(shù)字信號(hào)恢復(fù)模擬信號(hào)應(yīng)該具備哪些條件？要清楚這些問(wèn)題我們先來(lái)討論采樣的過(guò)程。對(duì)于等間隔采樣，設(shè)其采樣周期為T，則其采樣頻率為fs=1/T,對(duì)應(yīng)的角頻率為采樣可以用圖2.5(a)所示的電子開(kāi)關(guān)來(lái)實(shí)現(xiàn)。T12圖2.5(a)電子開(kāi)關(guān)示意圖開(kāi)關(guān)每隔T秒短暫地閉合一次，若閉合時(shí)間為秒，則采樣器的輸出是一串重復(fù)周期為T，寬度為的脈沖，脈沖的幅度是這段時(shí)間內(nèi)信號(hào)的幅度，這種取樣稱為脈沖取樣或自然取樣。72.2模擬信號(hào)的采樣與重建對(duì)于信號(hào)的采樣與重建8這一采樣過(guò)程可看作是一個(gè)脈沖調(diào)幅過(guò)程，脈沖載波是一串周期為T、寬度為τ的矩形脈沖，以p(t)表示,見(jiàn)圖2.5(b);調(diào)制信號(hào)是輸入的連續(xù)信號(hào)xa(t),則采樣輸出為：圖2.5(c)數(shù)學(xué)模型T圖2.5(b)調(diào)制脈沖

一般τ很小,τ越小，采樣輸出脈沖的幅度越接近輸入信號(hào)在離散時(shí)間點(diǎn)上的瞬時(shí)值（采樣信號(hào)圖形如圖2.6(a)所示）。此過(guò)程可用圖2.5(c)所示的數(shù)學(xué)模型表示。8這一采樣過(guò)程可看作是一個(gè)脈沖調(diào)幅過(guò)程，脈沖載波是一串周期為9若開(kāi)關(guān)閉合時(shí)間τ→0時(shí)，p(t)則可認(rèn)為是周期性的沖激函數(shù)，我們用M(t)表示這個(gè)周期沖激函數(shù),見(jiàn)圖2.5(d)。圖2.5(d)M(t)這種采樣可看作是對(duì)周期沖激函數(shù)的調(diào)幅過(guò)程，稱之為沖激采樣或理想采樣。則采樣后的輸出信號(hào)為理想采樣的時(shí)間波形圖見(jiàn)圖2.6(b)所示。9若開(kāi)關(guān)閉合時(shí)間τ→0時(shí)，p(t)則可認(rèn)為是周期性的沖激10(a)脈沖采樣(b)理想采樣圖2.6采樣信號(hào)圖形

10(a)脈沖采樣(b)理想采樣圖2.6采樣信號(hào)圖形11采樣信號(hào)的頻譜對(duì)于理想采樣采樣信號(hào)與連續(xù)時(shí)間信號(hào)有如下關(guān)系，對(duì)上式兩邊同時(shí)進(jìn)行傅里葉變換得：其中：M(t)是周期為Ts的周期脈沖信號(hào)，因此，可將其展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)：11采樣信號(hào)的頻譜對(duì)于理想采樣采樣信號(hào)與連續(xù)時(shí)間信號(hào)有如下關(guān)12其中：12其中：13

所以，理想采樣信號(hào)的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的周期延拓,重復(fù)周期為s(采樣頻率)，即采樣信號(hào)的頻譜是以s為周期的連續(xù)信號(hào)。圖2.7頻譜周期延拓若xa(t)是實(shí)帶限信號(hào)，且：則采樣信號(hào)的頻譜如圖2.7所示。1……1/Ts13所以，理想采樣信號(hào)的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的周14若xa(t)是實(shí)帶限信號(hào)，但則采樣信號(hào)的頻譜如圖2.8所示，此時(shí)頻譜產(chǎn)生了混疊?！瓐D2.8頻譜混疊通常，將采樣頻率的一半稱為折疊頻率，當(dāng)信號(hào)的最高頻率(Ωm)低于折疊頻率時(shí)，采樣信號(hào)的頻譜不發(fā)生混疊，因此可將采樣信號(hào)通過(guò)低通濾波器濾出基帶頻譜，恢復(fù)出原信號(hào)；而當(dāng)信號(hào)的最高頻率大于折疊頻率時(shí)，信號(hào)就被反折回來(lái)，造成頻譜的混疊，一般就不可能無(wú)失真地濾出基帶頻譜。114若xa(t)是實(shí)帶限信號(hào)，但則采樣信號(hào)的頻譜15工程上為了防止頻譜的混疊，在采樣之前要加一抗混疊濾波器使得信號(hào)的最高頻率小于采樣頻率的一半。教材p51表2.1列出了一些典型信號(hào)的上限頻率和采樣頻率。一般將能夠恢復(fù)出原始信號(hào)的最低采樣頻率（），稱為奈奎斯特(Nyquist)采樣頻率。下面我們討論從離散信號(hào)中恢復(fù)出連續(xù)時(shí)間信號(hào)的相關(guān)問(wèn)題。15工程上為了防止頻譜的混疊，在采樣之前要加一抗混疊16如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即信號(hào)最高頻率譜不超過(guò)折疊頻率:

則理想采樣的頻譜就不會(huì)產(chǎn)生混疊，因此有

將采樣信號(hào)通過(guò)一個(gè)理想低通濾波器（特性如圖2.9(a)所示濾波器的帶寬等于c),則可恢復(fù)出原連續(xù)時(shí)間信號(hào)。理想低通濾波器16如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即信號(hào)最高頻率譜不超過(guò)折疊17若低通濾波器的頻率響應(yīng)為:則采樣信號(hào)通過(guò)濾波器后所得輸出信號(hào)為：圖2.9(a)

低通濾波器的系統(tǒng)特性當(dāng)：……1/TSTS0cH(j)Ts-c17若低通濾波器的頻率響應(yīng)為:則采樣信號(hào)通過(guò)濾波器后所得輸出18實(shí)際上，理想低通濾波器是不可能實(shí)現(xiàn)的，但在滿足一定精度的情況下，總可用一個(gè)可實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)去逼近。下面從時(shí)域討論采樣信號(hào)通過(guò)理想低通濾波器H(j)的響應(yīng)過(guò)程。采樣信號(hào)經(jīng)理想低通后的輸出(如圖2.9(b)所示）為:

h(t)圖2.9(b)信號(hào)恢復(fù)的原理圖理想低通H(j)的沖激響應(yīng)為

18實(shí)際上，理想低通濾波器是不可能實(shí)現(xiàn)的，但在滿足一定精度的19這里，如下式所示，稱為內(nèi)插函數(shù),其特點(diǎn)是：在采樣點(diǎn)nTs上，函數(shù)值為1，其余采樣點(diǎn)上，值為零（見(jiàn)圖2.10）。內(nèi)插公式表明：連續(xù)函數(shù)可以由它的采樣值來(lái)表示，它等于乘上對(duì)應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)的總和，如圖2.10所示。19這里，如下式所示，20圖2.10采樣內(nèi)插恢復(fù)在每一個(gè)采樣點(diǎn)上，由于只有該采樣值對(duì)應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)為1，其他采樣點(diǎn)處的內(nèi)插函數(shù)值為零，所以保證了各采樣點(diǎn)上信號(hào)值不變，而采樣之間的信號(hào)則由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸迭加而成。內(nèi)插公式的意義:

證明了只要滿足采樣頻率高于信號(hào)最高頻譜的兩倍，整個(gè)連續(xù)信號(hào)就可以用它的采樣值完全代表，而不損失任何信息——奈奎斯特定律。20圖2.10采樣內(nèi)插恢復(fù)在每一個(gè)采樣點(diǎn)上，由于21

例2.1

對(duì)一個(gè)模擬信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣，采樣頻率為200Hz，得到離散時(shí)間信號(hào)。由頻率為30Hz,150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的5個(gè)正弦信號(hào)的加權(quán)和構(gòu)成,分析采樣后信號(hào)的混疊效應(yīng)。21例2.1對(duì)一個(gè)模擬信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣22由此可見(jiàn)，該采樣信號(hào)只包含三個(gè)頻率成分，產(chǎn)生了頻譜混疊(由于采樣頻率200Hz小于信號(hào)包含的頻率150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的兩倍，因此采樣中這些頻率均會(huì)產(chǎn)生折疊）；與頻率為30Hz,50Hz,70Hz的三個(gè)連續(xù)時(shí)間正弦信號(hào)的加權(quán)和構(gòu)成模擬信號(hào)按200Hz的采樣頻率進(jìn)行等間隔采樣產(chǎn)生的離散時(shí)間信號(hào)具有相同的形式。22由此可見(jiàn)，該采樣信號(hào)只包含三個(gè)頻率成分，產(chǎn)生了頻232.3*

采樣與重建中的模擬低通濾波器指標(biāo)特性2.3.1濾波器的幅頻特性一般說(shuō)來(lái)，理想濾波器可分為四種，濾波器的幅頻特性是分段函數(shù)，如圖2.11(a)～(d)所示；01(a)01(b)01(c)01(d)圖2.11四種類型的理想模擬濾波器232.3*采樣與重建中的模擬低通濾波器指標(biāo)特性2.3.24圖2.12(e)低通濾波器的幅頻特性10通帶過(guò)渡帶阻帶但實(shí)際的濾波器其幅頻特性并不是銳截止的通帶和阻帶兩個(gè)范圍，兩者之間有一個(gè)過(guò)渡帶，如圖2.12(e)所示；在通帶內(nèi)幅度響應(yīng)以誤差逼近于1，在阻帶內(nèi)幅度響應(yīng)以誤差逼近于0.其中Ωc、Ωr分別稱為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率,

24圖2.12(e)低通濾波器的幅頻特性10通25在具體技術(shù)指標(biāo)中通常用通帶波動(dòng)δ和最小阻帶衰減Аt來(lái)表示：通帶內(nèi)阻帶內(nèi)25在具體技術(shù)指標(biāo)中通常用通帶波動(dòng)δ和最小阻帶衰減Аt來(lái)表示262.3.2抗混疊濾波器的指標(biāo)特性根據(jù)采樣定理，若模擬信號(hào)xa(t)是實(shí)帶限信號(hào)，并且最高頻率分量Ωc不超過(guò)Ωs/2，用Ωs的采樣頻率采樣后的信號(hào)x(n)可以不失真的重建原有的連續(xù)信號(hào)。如果上述條件得不到滿足，在采樣過(guò)程中就會(huì)產(chǎn)生混疊，模擬信號(hào)xa(t)就不能被重建。對(duì)于這種情況，在實(shí)際應(yīng)用中就在采樣之前加一抗混疊濾波器首先對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行濾波。理想模擬抗混疊濾波器應(yīng)當(dāng)滿足：這是一個(gè)理想低通濾波器，實(shí)際應(yīng)用中是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。通常是設(shè)計(jì)一低通濾波器逼近這個(gè)理想濾波器，在262.3.2抗混疊濾波器的指標(biāo)特性根據(jù)采樣定理270101(a)(b)圖2.13抗混疊濾波器的指標(biāo)分配(a)過(guò)渡帶無(wú)混疊(b)過(guò)渡帶增加一倍270101(a)(b)圖2.13抗混疊濾波器的指標(biāo)分配28無(wú)論是那種模擬抗混疊濾波器方案，其過(guò)渡帶寬均與采樣頻率直接相關(guān)。采樣頻率越低，為了降低對(duì)模擬抗混疊濾波器的指標(biāo)要求，便于設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)抗混疊濾波器，可以采取的方法之一是提高采樣頻率。由圖2.14可見(jiàn)，采樣頻率提高后抗混疊濾波器的過(guò)渡帶加寬。00圖2.14不同采樣率情況下的抗混疊濾波器帶寬變化情況28無(wú)論是那種模擬抗混疊濾波器方案，其過(guò)渡帶寬29一個(gè)過(guò)渡帶比較平穩(wěn)的模擬濾波器用較少的元器件即可實(shí)現(xiàn)，通常設(shè)計(jì)時(shí)選擇采樣頻率遠(yuǎn)大于信號(hào)最高頻率的兩倍。當(dāng)然，采樣頻率選得越高，A/D轉(zhuǎn)換器的性能要求也越高，采樣數(shù)據(jù)量增加，系統(tǒng)的運(yùn)算速率也必須提高，本書的第七章將討論解決這一問(wèn)題的方案---過(guò)采樣技術(shù)。2.3.3平滑濾波器的指標(biāo)特性由前面的討論可知，D/A轉(zhuǎn)換器包含一個(gè)零階保持器，等效于圖2.15(a)。D/A轉(zhuǎn)換器每得到一個(gè)數(shù)字就建立一個(gè)新的電平，并通過(guò)零階保持器在T時(shí)間段內(nèi)保持此電平直至下一個(gè)數(shù)字到達(dá)，如此不斷重復(fù)，形成一個(gè)階梯狀的連續(xù)時(shí)間信號(hào)。該信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜的周期延拓，只有通過(guò)平滑濾波器濾除鏡像高頻分量，才能得到平滑的模擬信號(hào)。如圖2.3所示。平滑濾波器的指標(biāo)要求直接和零階保持其相關(guān)。29一個(gè)過(guò)渡帶比較平穩(wěn)的模擬濾波器用較少的元器件即可30(a)tT01(b)圖2.15離散時(shí)間系統(tǒng)模型(a)零階保持器模型(b)零階保持器的沖激響應(yīng)理想零階保持器的沖激響應(yīng)等效應(yīng)一矩形脈沖，其寬度為T，高度為1，見(jiàn)圖2.15(b)。正如前面所討論的，D/A輸入的數(shù)字y(n)的頻譜是以采樣角頻率Ωs為周期的，在一個(gè)周期中是關(guān)于Ωs/2對(duì)稱的。通過(guò)D/A轉(zhuǎn)換后，我們只希望保留-Ωs/2至Ωs/2間的頻率分量，濾除其他所有頻率分量。零階保持器能否做到這一點(diǎn)呢？30(a)tT01(b)圖2.15離散時(shí)間系統(tǒng)模型(a)31零階保持器的頻率響應(yīng)為具有按指數(shù)規(guī)律衰減的特性，并且在0圖2.16零階保持器的頻率響應(yīng)盡管對(duì)于的頻率分量，有一定的衰減，但衰減遠(yuǎn)不能滿足要求，以上的頻率分量仍需進(jìn)一步濾除。4dB31零階保持器的頻率響應(yīng)為具有按指數(shù)規(guī)律衰減的特性，并320圖2.16零階保持器的頻率響應(yīng)T4dB在實(shí)際應(yīng)用中只需保留()以下的頻率分量，濾除以上的頻率分量可加一模擬低通濾波器；注意到在處有4dB的衰減，平滑濾波器應(yīng)當(dāng)逼近320圖2.16零階保持器的頻率響應(yīng)T4dB在實(shí)際33對(duì)于上述模擬濾波器實(shí)現(xiàn)起來(lái)有以下兩點(diǎn)困難，(1)帶內(nèi)為單調(diào)上升的模擬濾波器，(2)相位超前的非因果濾波器。對(duì)于這種頻響特性濾波器采用數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)會(huì)更加方便，這一實(shí)現(xiàn)方法在學(xué)習(xí)數(shù)字濾波器時(shí)再討論。實(shí)際上只要選擇的采樣頻率遠(yuǎn)大于2，平滑濾波器的頻響特性便可寫成也就是說(shuō)，遠(yuǎn)小于時(shí)，零階保持器的頻率響應(yīng)可近似地看作是平坦的，而相位超前半個(gè)采樣周期的非因果的模擬系統(tǒng)是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。33對(duì)于上述模擬濾波器實(shí)現(xiàn)起來(lái)有以下兩點(diǎn)困難，(1)342.4*連續(xù)時(shí)間帶通信號(hào)的采樣在2.2節(jié)中，給出了用等間隔采樣產(chǎn)生的離散時(shí)間信號(hào)表示模擬信號(hào)的基本條件，其條件是模擬信號(hào)的有效頻率分量帶限于直流和Ωs之間，采樣頻率，這樣的模擬信號(hào)通常稱為低通信號(hào)。然而，在很多應(yīng)用中，模擬信號(hào)的有效頻率分量是帶現(xiàn)在一個(gè)更高的頻率范圍，其中。這樣的信號(hào)被稱為帶通信號(hào)，通常有低通信號(hào)調(diào)制而成。為防止混疊，當(dāng)然可以用高于最高頻率的2倍的采樣信號(hào)對(duì)這樣的帶通模擬信號(hào)進(jìn)行采樣，即。然而，這種情況下，由于模擬信號(hào)的頻譜是帶通的，大量的頻率分量是零，采樣所獲得的離散時(shí)間信號(hào)的頻譜同樣在很寬的頻帶上其頻率分量為零。此外，一般情況下的和均較高，采樣頻率就更高，甚至無(wú)法實(shí)現(xiàn)。342.4*連續(xù)時(shí)間帶通信號(hào)的采樣在2.2節(jié)中，35對(duì)于上述情況若降低采樣頻率，則采樣后的帶通信號(hào)的頻譜會(huì)混疊，但由于帶通信號(hào)的大量頻率分量為零，如果僅僅與零頻率分量的頻帶產(chǎn)生混疊，帶通信號(hào)依然可以恢復(fù)重建。35對(duì)于上述情況若降低采樣頻率，則采樣后的帶36根據(jù)采樣定理可得欠采樣信號(hào)的頻譜為圖2.17帶通信號(hào)的欠采樣M=4(b)欠采樣信號(hào)的頻譜(a)帶通信號(hào)的頻譜36根據(jù)采樣定理可得欠采樣信號(hào)的頻譜為圖2.17帶通信號(hào)37從圖中可以看出，經(jīng)過(guò)一個(gè)理想的通帶為，增益為T的帶通濾波器，可恢復(fù)出。如果這個(gè)信號(hào)是低通信號(hào)調(diào)制而得，可以將經(jīng)過(guò)一個(gè)通帶為的低通濾波器恢復(fù)出調(diào)制信號(hào)分量。這種方法常用于數(shù)字無(wú)線電接收機(jī)中。如果不是的整數(shù)倍，可以人為地向左或向右擴(kuò)展帶寬，使得帶通信號(hào)的最高頻率是擴(kuò)展帶寬的整數(shù)倍。例如，把帶寬向左擴(kuò)展，并假設(shè)帶通信號(hào)的最低頻率為，選擇使其滿足是擴(kuò)展帶寬的整數(shù)倍。圖2.18所示帶寬向左擴(kuò)展，并取。在這種情況下，的采樣信號(hào)的頻譜會(huì)在頻段之間存在一定的間隙。同樣通過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)膸V波器可以重建原模擬信號(hào)。37從圖中可以看出，經(jīng)過(guò)一個(gè)理想的通帶為38(a)擴(kuò)展帶寬后帶通信號(hào)的頻譜(b)采樣信號(hào)的頻譜圖2.18擴(kuò)展帶寬后按M=3采樣38(a)擴(kuò)展帶寬后帶通信號(hào)的頻譜(b)采樣信號(hào)的頻譜392.5離散信號(hào)的采樣與插值2.5.1離散信號(hào)的采樣——整數(shù)M抽?。―ecimation)離散時(shí)間信號(hào)的采樣實(shí)際上是一抽取過(guò)程，它使得采樣率降低。這里僅僅考慮x(n)

的采樣率降低整數(shù)M倍的抽取過(guò)程，即保留第M個(gè)樣本點(diǎn)，而去除M個(gè)樣本點(diǎn)中的M-1個(gè)樣本點(diǎn)，見(jiàn)圖2.19.x(n)0123415……n120345y(m)n圖2.19M=3的離散信號(hào)抽取392.5離散信號(hào)的采樣與插值2.5.1離散信號(hào)的采40設(shè)原有的離散信號(hào)x(n)的采樣周期為T,經(jīng)過(guò)M倍抽取后y(n)的采樣周期為T′，滿足40設(shè)原有的離散信號(hào)x(n)的采樣周期為T,經(jīng)過(guò)M倍414142式中，。是對(duì)信號(hào)x(n)抽取后DTFT的表達(dá)式，42式中，。是對(duì)信號(hào)x(n)抽取后DTFT的430(a)圖2.20離散時(shí)間信號(hào)抽取前后的頻譜特征0(b)0(c)0(d)430(a)圖2.20離散時(shí)間信號(hào)抽取前后的頻譜特征044類似于模擬信號(hào)的采樣，為了防止混疊，在采樣之前必須采用抗混疊低通濾波器對(duì)信號(hào)x(n)進(jìn)行濾波，濾波器的特性應(yīng)當(dāng)逼近

實(shí)際低通濾波器的頻響特性表示為

，其單位脈沖響應(yīng)為h(n),稱為抽取濾波器。對(duì)濾波器輸出以整數(shù)M倍作抽取得到y(tǒng)(m),這一過(guò)程示于圖2.21(a)，圖中“

”

表示整數(shù)M倍抽取，抽取濾波器的特性見(jiàn)圖2.21(c),則可得圖2.21(d)的輸出結(jié)果。對(duì)濾波器輸出再作抽取將不產(chǎn)生混疊，見(jiàn)圖2.21(e)。44類似于模擬信號(hào)的采樣，為了防止混疊，在采樣之前必45

h(n)x(n)

w(n)ff抽取濾波器抽取器y(m)(a)0(b)0(c)圖2.21具有抽取濾波器的離散信號(hào)抽取過(guò)程及各部分信號(hào)的頻譜0(e)0(d)45h(n)x(n)w(n)ff抽取濾波器抽取器y462.5.2離散信號(hào)的插值——整數(shù)L倍內(nèi)插對(duì)離散時(shí)間信號(hào)的最簡(jiǎn)單的插值方法是插零，首先討論插零后信號(hào)頻譜的變化。所謂插零，即對(duì)信號(hào)x(n)的兩個(gè)采樣點(diǎn)之間插入L-1個(gè)零。此時(shí)采樣頻率提高L倍，得到新的采樣周期,即462.5.2離散信號(hào)的插值——整數(shù)L倍內(nèi)插4747480(a)圖2.22信號(hào)插零前后的頻譜特征(a)離散信號(hào)的頻譜(b)L=3插零后的頻譜0(b)480(a)圖2.22信號(hào)插零前后的頻譜特征(a)離49從上面的頻譜圖可見(jiàn)，要恢復(fù)原基帶信號(hào)去除不需要的鏡像分量，則需要用一數(shù)字濾波器對(duì)信號(hào)y0(m)進(jìn)行濾波。這一數(shù)字低通濾波器應(yīng)逼近理想特性為了保證y(m)的幅度與濾波之前信號(hào)幅度相同，濾波器的增益G在同帶內(nèi)必須等于內(nèi)插因子L。49從上面的頻譜圖可見(jiàn)，要恢復(fù)原基帶信號(hào)去除不需要的50在n=0時(shí)刻，有插零后再作低通濾波構(gòu)成了一完整的內(nèi)插過(guò)程，見(jiàn)圖2.23，圖中“↑L”表示用因子L插零，h(m)為內(nèi)插濾波器的單位脈沖響應(yīng)，工作在內(nèi)插后的高采樣頻率上。內(nèi)插后的時(shí)域波形經(jīng)低通濾波后將變得平滑，接近高采樣率的結(jié)果。50在n=0時(shí)刻，有插零后再作低通濾波構(gòu)成了51(a)0x(n)n0(b)0y(m)m0(d)圖2.23內(nèi)插后在低通濾波個(gè)階段的波形圖0(c)0y0(n)n

f↑L

h(m)x(n)y0(m)y

(m)內(nèi)插器內(nèi)插濾波器51(a)0x(n)n0(b)0y(m)m0(d)圖2.23522.5.3抽取與插值相結(jié)合——采樣率按L/M改變前面我們了解到的采樣率的改變僅為整數(shù)比，采樣率的改變當(dāng)然也可為任意有理數(shù)L/M。這可以用內(nèi)插器系統(tǒng)與抽取系統(tǒng)相級(jí)聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)。為了使兩個(gè)低通濾波器可以合并成一個(gè)，采用先內(nèi)插L倍再抽取M倍的過(guò)程，圖2.24為采樣率改變有理數(shù)的方框圖?！麹低通濾波器↓Mx(n)w(m)v(m)y(k)fLfLf圖2.24采樣率變換一個(gè)有理因數(shù)這個(gè)數(shù)字系統(tǒng)有三個(gè)不同的采樣率，即輸入采樣率、輸出采樣率及系統(tǒng)內(nèi)部采樣率，是一多采樣率系統(tǒng)。若M>L，輸出的采樣率降低；反之，輸出采樣率增加，采樣周期減小。522.5.3抽取與插值相結(jié)合——采樣率按L/M改變53上述系統(tǒng)中，共用的低通濾波器的指標(biāo)應(yīng)當(dāng)逼近下圖是按M=3，L=2，變換采樣率的示意圖。0(a)0(b)53上述系統(tǒng)中，共用的低通濾波器的指標(biāo)應(yīng)當(dāng)逼近下圖是按M=354(d)(c)0(e)0(f)54(d)(c)0(e)0(f)人有了知識(shí)，就會(huì)具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說(shuō)“書中自有黃金屋?！蓖ㄟ^(guò)閱讀科技書籍，我們能豐富知識(shí)，培養(yǎng)邏輯思維能力；通過(guò)閱讀文學(xué)作品，我們能提高文學(xué)鑒賞水平，培養(yǎng)文學(xué)情趣；通過(guò)閱讀報(bào)刊，我們能增長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)，擴(kuò)大自己的知識(shí)面。有許多書籍還能培養(yǎng)我們的道德情操，給我們巨大的精神力量，鼓舞我們前進(jìn)。人有了知識(shí)，就會(huì)具備各種分析能力，第2章信號(hào)的采樣與重建課件57第2章信號(hào)的采樣與重建第1章中我們討論了離散時(shí)間信號(hào)，然而工程和現(xiàn)實(shí)生活中大部分信號(hào)為模擬信號(hào)。如何對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行數(shù)字處理？本章主要討論模擬信號(hào)的采樣與重建，并引出采樣定理、奈奎斯特采樣頻率的概念；對(duì)用到的模擬低通濾波器的特性指標(biāo)進(jìn)行了分析；并介紹了欠采樣和采樣率轉(zhuǎn)換技術(shù)。2.1數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的模擬接口

數(shù)字信號(hào)處理：用數(shù)字序列表示信號(hào)，通過(guò)數(shù)字計(jì)算機(jī)去處理這些序列。要對(duì)自然方式產(chǎn)生的模擬信號(hào)進(jìn)行數(shù)字處理，則可按照以下方法進(jìn)行。模擬信號(hào)數(shù)字化（A/D)數(shù)字信號(hào)處理處理后的數(shù)字信號(hào)模擬化（D/A）具體過(guò)程如圖2.1所示。1第2章信號(hào)的采樣與重建第1章中我們討論了離散時(shí)58圖2.1數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的框圖A/D變換器通用或?qū)Ｓ糜?jì)算機(jī)采樣保持器D/A變換器平滑濾波器模擬信號(hào)模擬信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)數(shù)字信號(hào)抗混疊濾波器模擬信號(hào)的采樣與保持。所謂采樣是從模擬信號(hào)中“抽取”信號(hào)的離散樣值，最常用的采樣方法是等間隔采樣，即每隔一個(gè)固定的時(shí)間T采一個(gè)信號(hào)樣值，T稱為采樣周期。采樣保持器按照設(shè)定的采樣周期對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，并將采樣得到的瞬時(shí)幅值保持至下一采樣時(shí)刻。理想采樣保持器輸出的是一階梯狀的波形，階梯前沿的幅值與此刻的模擬信號(hào)保持一致，階梯的寬度就是采樣周期T見(jiàn)圖2.2。采樣保持器輸出的是連續(xù)時(shí)間信號(hào)。但實(shí)際應(yīng)用中采樣保持器總存在一定的偏差。2圖2.1數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的框圖A/D通用或?qū)Ｓ糜?jì)算59

A/D轉(zhuǎn)換---量化：用二進(jìn)制數(shù)碼對(duì)應(yīng)的電平替代采樣電平值，圖2.2中的小圓點(diǎn)處的幅度稱為量化電平。A/D轉(zhuǎn)換---數(shù)字化（編碼）：將量化后的電平用二進(jìn)制數(shù)碼表示。

模擬信號(hào)的數(shù)字化工程上通常用A/D轉(zhuǎn)換器來(lái)實(shí)現(xiàn)。由于A/D轉(zhuǎn)換器采用有限的二進(jìn)制位，所以表示的信號(hào)幅度也是有限的，若用b位二進(jìn)制數(shù)碼表示，則只能表示2b個(gè)電平（量化電平），所以量化電平和模擬信號(hào)相比存在一定的誤差，誤差的大小和A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)有關(guān)。A/D轉(zhuǎn)換器將采樣保持器的輸出信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)，A/D轉(zhuǎn)換器的轉(zhuǎn)換時(shí)間應(yīng)小于采樣周期T。A/D轉(zhuǎn)換后的信號(hào)是一串?dāng)?shù)字，不但在時(shí)間上進(jìn)行了離散化，在幅度上也進(jìn)行了量化，這種信號(hào)稱為數(shù)字信號(hào)。3A/D轉(zhuǎn)換---量化：用二進(jìn)制數(shù)碼對(duì)應(yīng)的電平替代采60模擬信號(hào)數(shù)字化:采樣、量化、編碼。圖2.2

模擬信號(hào)的數(shù)字化數(shù)字信號(hào)數(shù)碼量化電平模擬信號(hào)采樣保持信號(hào)量化電平0.380.630.810.890.900.870.750.610.360.240.144模擬信號(hào)數(shù)字化:采樣、量化、編碼。圖2.2模擬信號(hào)61為了便于進(jìn)一步討論連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣與重建的基本條件，對(duì)圖2.1進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化，見(jiàn)圖2.4.理想采樣器通用或?qū)Ｓ糜?jì)算機(jī)理想內(nèi)插器xa(t)x(n)y(n)ya(t)圖2.4圖2.1的簡(jiǎn)化表示數(shù)字/模擬轉(zhuǎn)換與平滑濾波。工程上用D/A轉(zhuǎn)換器實(shí)現(xiàn)從數(shù)字信號(hào)到模擬信號(hào)的轉(zhuǎn)換。D/A轉(zhuǎn)換器的輸出信號(hào)類似與采樣保持信號(hào)，是一階梯狀的連續(xù)時(shí)間信號(hào)。D/A轉(zhuǎn)換器每得到一個(gè)數(shù)字就建立一個(gè)新的量化電平，并通過(guò)零階保持在T時(shí)間段內(nèi)保持此電平直至下一個(gè)數(shù)字到達(dá)，如此不斷重復(fù)，形成一個(gè)階梯狀的連續(xù)時(shí)間信號(hào)。該信號(hào)與原模擬信號(hào)的頻譜并不相同，只有通過(guò)平滑濾波器濾除高頻分量，才能得到平滑的模擬信號(hào)。如圖2.3所示。5為了便于進(jìn)一步討論連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣與重建的基本條62數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)化成模擬信號(hào)數(shù)字信號(hào)數(shù)碼量化電平D/A輸出信號(hào)模擬信號(hào)圖2.3數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為模擬信號(hào)：D/A轉(zhuǎn)換、平滑濾波6數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)化成模擬信號(hào)數(shù)字信號(hào)數(shù)碼量化電平D/A輸出信號(hào)模632.2模擬信號(hào)的采樣與重建對(duì)于信號(hào)的采樣與重建我們首先關(guān)心的是模擬信號(hào)經(jīng)采樣后是否能保持原有的信息；其次，由數(shù)字信號(hào)恢復(fù)模擬信號(hào)應(yīng)該具備哪些條件？要清楚這些問(wèn)題我們先來(lái)討論采樣的過(guò)程。對(duì)于等間隔采樣，設(shè)其采樣周期為T，則其采樣頻率為fs=1/T,對(duì)應(yīng)的角頻率為采樣可以用圖2.5(a)所示的電子開(kāi)關(guān)來(lái)實(shí)現(xiàn)。T12圖2.5(a)電子開(kāi)關(guān)示意圖開(kāi)關(guān)每隔T秒短暫地閉合一次，若閉合時(shí)間為秒，則采樣器的輸出是一串重復(fù)周期為T，寬度為的脈沖，脈沖的幅度是這段時(shí)間內(nèi)信號(hào)的幅度，這種取樣稱為脈沖取樣或自然取樣。72.2模擬信號(hào)的采樣與重建對(duì)于信號(hào)的采樣與重建64這一采樣過(guò)程可看作是一個(gè)脈沖調(diào)幅過(guò)程，脈沖載波是一串周期為T、寬度為τ的矩形脈沖，以p(t)表示,見(jiàn)圖2.5(b);調(diào)制信號(hào)是輸入的連續(xù)信號(hào)xa(t),則采樣輸出為：圖2.5(c)數(shù)學(xué)模型T圖2.5(b)調(diào)制脈沖

一般τ很小,τ越小，采樣輸出脈沖的幅度越接近輸入信號(hào)在離散時(shí)間點(diǎn)上的瞬時(shí)值（采樣信號(hào)圖形如圖2.6(a)所示）。此過(guò)程可用圖2.5(c)所示的數(shù)學(xué)模型表示。8這一采樣過(guò)程可看作是一個(gè)脈沖調(diào)幅過(guò)程，脈沖載波是一串周期為65若開(kāi)關(guān)閉合時(shí)間τ→0時(shí)，p(t)則可認(rèn)為是周期性的沖激函數(shù)，我們用M(t)表示這個(gè)周期沖激函數(shù),見(jiàn)圖2.5(d)。圖2.5(d)M(t)這種采樣可看作是對(duì)周期沖激函數(shù)的調(diào)幅過(guò)程，稱之為沖激采樣或理想采樣。則采樣后的輸出信號(hào)為理想采樣的時(shí)間波形圖見(jiàn)圖2.6(b)所示。9若開(kāi)關(guān)閉合時(shí)間τ→0時(shí)，p(t)則可認(rèn)為是周期性的沖激66(a)脈沖采樣(b)理想采樣圖2.6采樣信號(hào)圖形

10(a)脈沖采樣(b)理想采樣圖2.6采樣信號(hào)圖形67采樣信號(hào)的頻譜對(duì)于理想采樣采樣信號(hào)與連續(xù)時(shí)間信號(hào)有如下關(guān)系，對(duì)上式兩邊同時(shí)進(jìn)行傅里葉變換得：其中：M(t)是周期為Ts的周期脈沖信號(hào)，因此，可將其展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)：11采樣信號(hào)的頻譜對(duì)于理想采樣采樣信號(hào)與連續(xù)時(shí)間信號(hào)有如下關(guān)68其中：12其中：69

所以，理想采樣信號(hào)的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的周期延拓,重復(fù)周期為s(采樣頻率)，即采樣信號(hào)的頻譜是以s為周期的連續(xù)信號(hào)。圖2.7頻譜周期延拓若xa(t)是實(shí)帶限信號(hào)，且：則采樣信號(hào)的頻譜如圖2.7所示。1……1/Ts13所以，理想采樣信號(hào)的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的周70若xa(t)是實(shí)帶限信號(hào)，但則采樣信號(hào)的頻譜如圖2.8所示，此時(shí)頻譜產(chǎn)生了混疊?！瓐D2.8頻譜混疊通常，將采樣頻率的一半稱為折疊頻率，當(dāng)信號(hào)的最高頻率(Ωm)低于折疊頻率時(shí)，采樣信號(hào)的頻譜不發(fā)生混疊，因此可將采樣信號(hào)通過(guò)低通濾波器濾出基帶頻譜，恢復(fù)出原信號(hào)；而當(dāng)信號(hào)的最高頻率大于折疊頻率時(shí)，信號(hào)就被反折回來(lái)，造成頻譜的混疊，一般就不可能無(wú)失真地濾出基帶頻譜。114若xa(t)是實(shí)帶限信號(hào)，但則采樣信號(hào)的頻譜71工程上為了防止頻譜的混疊，在采樣之前要加一抗混疊濾波器使得信號(hào)的最高頻率小于采樣頻率的一半。教材p51表2.1列出了一些典型信號(hào)的上限頻率和采樣頻率。一般將能夠恢復(fù)出原始信號(hào)的最低采樣頻率（），稱為奈奎斯特(Nyquist)采樣頻率。下面我們討論從離散信號(hào)中恢復(fù)出連續(xù)時(shí)間信號(hào)的相關(guān)問(wèn)題。15工程上為了防止頻譜的混疊，在采樣之前要加一抗混疊72如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即信號(hào)最高頻率譜不超過(guò)折疊頻率:

則理想采樣的頻譜就不會(huì)產(chǎn)生混疊，因此有

將采樣信號(hào)通過(guò)一個(gè)理想低通濾波器（特性如圖2.9(a)所示濾波器的帶寬等于c),則可恢復(fù)出原連續(xù)時(shí)間信號(hào)。理想低通濾波器16如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即信號(hào)最高頻率譜不超過(guò)折疊73若低通濾波器的頻率響應(yīng)為:則采樣信號(hào)通過(guò)濾波器后所得輸出信號(hào)為：圖2.9(a)

低通濾波器的系統(tǒng)特性當(dāng)：……1/TSTS0cH(j)Ts-c17若低通濾波器的頻率響應(yīng)為:則采樣信號(hào)通過(guò)濾波器后所得輸出74實(shí)際上，理想低通濾波器是不可能實(shí)現(xiàn)的，但在滿足一定精度的情況下，總可用一個(gè)可實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)去逼近。下面從時(shí)域討論采樣信號(hào)通過(guò)理想低通濾波器H(j)的響應(yīng)過(guò)程。采樣信號(hào)經(jīng)理想低通后的輸出(如圖2.9(b)所示）為:

h(t)圖2.9(b)信號(hào)恢復(fù)的原理圖理想低通H(j)的沖激響應(yīng)為

18實(shí)際上，理想低通濾波器是不可能實(shí)現(xiàn)的，但在滿足一定精度的75這里，如下式所示，稱為內(nèi)插函數(shù),其特點(diǎn)是：在采樣點(diǎn)nTs上，函數(shù)值為1，其余采樣點(diǎn)上，值為零（見(jiàn)圖2.10）。內(nèi)插公式表明：連續(xù)函數(shù)可以由它的采樣值來(lái)表示，它等于乘上對(duì)應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)的總和，如圖2.10所示。19這里，如下式所示，76圖2.10采樣內(nèi)插恢復(fù)在每一個(gè)采樣點(diǎn)上，由于只有該采樣值對(duì)應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)為1，其他采樣點(diǎn)處的內(nèi)插函數(shù)值為零，所以保證了各采樣點(diǎn)上信號(hào)值不變，而采樣之間的信號(hào)則由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸迭加而成。內(nèi)插公式的意義:

證明了只要滿足采樣頻率高于信號(hào)最高頻譜的兩倍，整個(gè)連續(xù)信號(hào)就可以用它的采樣值完全代表，而不損失任何信息——奈奎斯特定律。20圖2.10采樣內(nèi)插恢復(fù)在每一個(gè)采樣點(diǎn)上，由于77

例2.1

對(duì)一個(gè)模擬信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣，采樣頻率為200Hz，得到離散時(shí)間信號(hào)。由頻率為30Hz,150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的5個(gè)正弦信號(hào)的加權(quán)和構(gòu)成,分析采樣后信號(hào)的混疊效應(yīng)。21例2.1對(duì)一個(gè)模擬信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣78由此可見(jiàn)，該采樣信號(hào)只包含三個(gè)頻率成分，產(chǎn)生了頻譜混疊(由于采樣頻率200Hz小于信號(hào)包含的頻率150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的兩倍，因此采樣中這些頻率均會(huì)產(chǎn)生折疊）；與頻率為30Hz,50Hz,70Hz的三個(gè)連續(xù)時(shí)間正弦信號(hào)的加權(quán)和構(gòu)成模擬信號(hào)按200Hz的采樣頻率進(jìn)行等間隔采樣產(chǎn)生的離散時(shí)間信號(hào)具有相同的形式。22由此可見(jiàn)，該采樣信號(hào)只包含三個(gè)頻率成分，產(chǎn)生了頻792.3*

采樣與重建中的模擬低通濾波器指標(biāo)特性2.3.1濾波器的幅頻特性一般說(shuō)來(lái)，理想濾波器可分為四種，濾波器的幅頻特性是分段函數(shù)，如圖2.11(a)～(d)所示；01(a)01(b)01(c)01(d)圖2.11四種類型的理想模擬濾波器232.3*采樣與重建中的模擬低通濾波器指標(biāo)特性2.3.80圖2.12(e)低通濾波器的幅頻特性10通帶過(guò)渡帶阻帶但實(shí)際的濾波器其幅頻特性并不是銳截止的通帶和阻帶兩個(gè)范圍，兩者之間有一個(gè)過(guò)渡帶，如圖2.12(e)所示；在通帶內(nèi)幅度響應(yīng)以誤差逼近于1，在阻帶內(nèi)幅度響應(yīng)以誤差逼近于0.其中Ωc、Ωr分別稱為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率,

24圖2.12(e)低通濾波器的幅頻特性10通81在具體技術(shù)指標(biāo)中通常用通帶波動(dòng)δ和最小阻帶衰減Аt來(lái)表示：通帶內(nèi)阻帶內(nèi)25在具體技術(shù)指標(biāo)中通常用通帶波動(dòng)δ和最小阻帶衰減Аt來(lái)表示822.3.2抗混疊濾波器的指標(biāo)特性根據(jù)采樣定理，若模擬信號(hào)xa(t)是實(shí)帶限信號(hào)，并且最高頻率分量Ωc不超過(guò)Ωs/2，用Ωs的采樣頻率采樣后的信號(hào)x(n)可以不失真的重建原有的連續(xù)信號(hào)。如果上述條件得不到滿足，在采樣過(guò)程中就會(huì)產(chǎn)生混疊，模擬信號(hào)xa(t)就不能被重建。對(duì)于這種情況，在實(shí)際應(yīng)用中就在采樣之前加一抗混疊濾波器首先對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行濾波。理想模擬抗混疊濾波器應(yīng)當(dāng)滿足：這是一個(gè)理想低通濾波器，實(shí)際應(yīng)用中是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。通常是設(shè)計(jì)一低通濾波器逼近這個(gè)理想濾波器，在262.3.2抗混疊濾波器的指標(biāo)特性根據(jù)采樣定理830101(a)(b)圖2.13抗混疊濾波器的指標(biāo)分配(a)過(guò)渡帶無(wú)混疊(b)過(guò)渡帶增加一倍270101(a)(b)圖2.13抗混疊濾波器的指標(biāo)分配84無(wú)論是那種模擬抗混疊濾波器方案，其過(guò)渡帶寬均與采樣頻率直接相關(guān)。采樣頻率越低，為了降低對(duì)模擬抗混疊濾波器的指標(biāo)要求，便于設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)抗混疊濾波器，可以采取的方法之一是提高采樣頻率。由圖2.14可見(jiàn)，采樣頻率提高后抗混疊濾波器的過(guò)渡帶加寬。00圖2.14不同采樣率情況下的抗混疊濾波器帶寬變化情況28無(wú)論是那種模擬抗混疊濾波器方案，其過(guò)渡帶寬85一個(gè)過(guò)渡帶比較平穩(wěn)的模擬濾波器用較少的元器件即可實(shí)現(xiàn)，通常設(shè)計(jì)時(shí)選擇采樣頻率遠(yuǎn)大于信號(hào)最高頻率的兩倍。當(dāng)然，采樣頻率選得越高，A/D轉(zhuǎn)換器的性能要求也越高，采樣數(shù)據(jù)量增加，系統(tǒng)的運(yùn)算速率也必須提高，本書的第七章將討論解決這一問(wèn)題的方案---過(guò)采樣技術(shù)。2.3.3平滑濾波器的指標(biāo)特性由前面的討論可知，D/A轉(zhuǎn)換器包含一個(gè)零階保持器，等效于圖2.15(a)。D/A轉(zhuǎn)換器每得到一個(gè)數(shù)字就建立一個(gè)新的電平，并通過(guò)零階保持器在T時(shí)間段內(nèi)保持此電平直至下一個(gè)數(shù)字到達(dá)，如此不斷重復(fù)，形成一個(gè)階梯狀的連續(xù)時(shí)間信號(hào)。該信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜的周期延拓，只有通過(guò)平滑濾波器濾除鏡像高頻分量，才能得到平滑的模擬信號(hào)。如圖2.3所示。平滑濾波器的指標(biāo)要求直接和零階保持其相關(guān)。29一個(gè)過(guò)渡帶比較平穩(wěn)的模擬濾波器用較少的元器件即可86(a)tT01(b)圖2.15離散時(shí)間系統(tǒng)模型(a)零階保持器模型(b)零階保持器的沖激響應(yīng)理想零階保持器的沖激響應(yīng)等效應(yīng)一矩形脈沖，其寬度為T，高度為1，見(jiàn)圖2.15(b)。正如前面所討論的，D/A輸入的數(shù)字y(n)的頻譜是以采樣角頻率Ωs為周期的，在一個(gè)周期中是關(guān)于Ωs/2對(duì)稱的。通過(guò)D/A轉(zhuǎn)換后，我們只希望保留-Ωs/2至Ωs/2間的頻率分量，濾除其他所有頻率分量。零階保持器能否做到這一點(diǎn)呢？30(a)tT01(b)圖2.15離散時(shí)間系統(tǒng)模型(a)87零階保持器的頻率響應(yīng)為具有按指數(shù)規(guī)律衰減的特性，并且在0圖2.16零階保持器的頻率響應(yīng)盡管對(duì)于的頻率分量，有一定的衰減，但衰減遠(yuǎn)不能滿足要求，以上的頻率分量仍需進(jìn)一步濾除。4dB31零階保持器的頻率響應(yīng)為具有按指數(shù)規(guī)律衰減的特性，并880圖2.16零階保持器的頻率響應(yīng)T4dB在實(shí)際應(yīng)用中只需保留()以下的頻率分量，濾除以上的頻率分量可加一模擬低通濾波器；注意到在處有4dB的衰減，平滑濾波器應(yīng)當(dāng)逼近320圖2.16零階保持器的頻率響應(yīng)T4dB在實(shí)際89對(duì)于上述模擬濾波器實(shí)現(xiàn)起來(lái)有以下兩點(diǎn)困難，(1)帶內(nèi)為單調(diào)上升的模擬濾波器，(2)相位超前的非因果濾波器。對(duì)于這種頻響特性濾波器采用數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)會(huì)更加方便，這一實(shí)現(xiàn)方法在學(xué)習(xí)數(shù)字濾波器時(shí)再討論。實(shí)際上只要選擇的采樣頻率遠(yuǎn)大于2，平滑濾波器的頻響特性便可寫成也就是說(shuō)，遠(yuǎn)小于時(shí)，零階保持器的頻率響應(yīng)可近似地看作是平坦的，而相位超前半個(gè)采樣周期的非因果的模擬系統(tǒng)是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。33對(duì)于上述模擬濾波器實(shí)現(xiàn)起來(lái)有以下兩點(diǎn)困難，(1)902.4*連續(xù)時(shí)間帶通信號(hào)的采樣在2.2節(jié)中，給出了用等間隔采樣產(chǎn)生的離散時(shí)間信號(hào)表示模擬信號(hào)的基本條件，其條件是模擬信號(hào)的有效頻率分量帶限于直流和Ωs之間，采樣頻率，這樣的模擬信號(hào)通常稱為低通信號(hào)。然而，在很多應(yīng)用中，模擬信號(hào)的有效頻率分量是帶現(xiàn)在一個(gè)更高的頻率范圍，其中。這樣的信號(hào)被稱為帶通信號(hào)，通常有低通信號(hào)調(diào)制而成。為防止混疊，當(dāng)然可以用高于最高頻率的2倍的采樣信號(hào)對(duì)這樣的帶通模擬信號(hào)進(jìn)行采樣，即。然而，這種情況下，由于模擬信號(hào)的頻譜是帶通的，大量的頻率分量是零，采樣所獲得的離散時(shí)間信號(hào)的頻譜同樣在很寬的頻帶上其頻率分量為零。此外，一般情況下的和均較高，采樣頻率就更高，甚至無(wú)法實(shí)現(xiàn)。342.4*連續(xù)時(shí)間帶通信號(hào)的采樣在2.2節(jié)中，91對(duì)于上述情況若降低采樣頻率，則采樣后的帶通信號(hào)的頻譜會(huì)混疊，但由于帶通信號(hào)的大量頻率分量為零，如果僅僅與零頻率分量的頻帶產(chǎn)生混疊，帶通信號(hào)依然可以恢復(fù)重建。35對(duì)于上述情況若降低采樣頻率，則采樣后的帶92根據(jù)采樣定理可得欠采樣信號(hào)的頻譜為圖2.17帶通信號(hào)的欠采樣M=4(b)欠采樣信號(hào)的頻譜(a)帶通信號(hào)的頻譜36根據(jù)采樣定理可得欠采樣信號(hào)的頻譜為圖2.17帶通信號(hào)93從圖中可以看出，經(jīng)過(guò)一個(gè)理想的通帶為，增益為T的帶通濾波器，可恢復(fù)出。如果這個(gè)信號(hào)是低通信號(hào)調(diào)制而得，可以將經(jīng)過(guò)一個(gè)通帶為的低通濾波器恢復(fù)出調(diào)制信號(hào)分量。這種方法常用于數(shù)字無(wú)線電接收機(jī)中。如果不是的整數(shù)倍，可以人為地向左或向右擴(kuò)展帶寬，使得帶通信號(hào)的最高頻率是擴(kuò)展帶寬的整數(shù)倍。例如，把帶寬向左擴(kuò)展，并假設(shè)帶通信號(hào)的最低頻率為，選擇使其滿足是擴(kuò)展帶寬的整數(shù)倍。圖2.18所示帶寬向左擴(kuò)展，并取。在這種情況下，的采樣信號(hào)的頻譜會(huì)在頻段之間存在一定的間隙。同樣通過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)膸V波器可以重建原模擬信號(hào)。37從圖中可以看出，經(jīng)過(guò)一個(gè)理想的通帶為94(a)擴(kuò)展帶寬后帶通信號(hào)的頻譜(b)采樣信號(hào)的頻譜圖2.18擴(kuò)展帶寬后按M=3采樣38(a)擴(kuò)展帶寬后帶通信號(hào)的頻譜(b)采樣信號(hào)的頻譜952.5離散信號(hào)的采樣與插值2.5.1離散信號(hào)的采樣——整數(shù)M抽?。―ecimation)離散時(shí)間信號(hào)的采樣實(shí)際上是一抽取過(guò)程，它使得采樣率降低。這里僅僅考慮x(n)

的采樣率降低整數(shù)M倍的抽取過(guò)程，即保留第M個(gè)樣本點(diǎn)，而去除M個(gè)樣本點(diǎn)中的M-1個(gè)樣本點(diǎn)，見(jiàn)圖2.19.x(n)0123415……n120345y(m)n圖2.19M=3的離散信號(hào)抽取392.5離散信號(hào)的采樣與插值2.5.1離散信號(hào)的采96設(shè)原