動能定理課件

1理論力學(xué)第十三章動能定理1理論力學(xué)第十三章動能定理2第十三章動能定理§13-1力的功§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能§13-3動能定理§13-4功率功率方程機械效率§13-5勢力場勢能機械能守恒定律§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例2第十三章動能定理§13-1力的功§13-2質(zhì)點和質(zhì)3§13-1力的功

一、常力的功功是代數(shù)量，在國際單位制中，功的單位為J（焦耳）。3§13-1力的功一、常力的功功是代數(shù)量，在國際單4§13-1力的功

二、變力的功

力在全路程上作的功等于元功之和：

力在無限小位移dr中作的功稱為元功：（13－1）（13－2）4§13-1力的功二、變力的功力在全路程上作5力F從M1到M2的過程所作的功在直角坐標系中，i，j，k為三坐標軸的單位矢量，則上兩式也可寫成以下矢量點乘形式：（13－5）（13－4）（13－3）§13-1力的功5力F從M1到M2的過程所作的功在直角坐標系中，i，j，k為6§13-1力的功三、幾種常見力的功1．重力的功重力重力作功為在直角坐標軸上的投影為（13－6）6§13-1力的功三、幾種常見力的功1．重力的功重力重7根據(jù)質(zhì)心坐標公式，有對于質(zhì)點系，設(shè)質(zhì)點i

的質(zhì)量為mi，運動始末的高度差為（zi1-zi2），則全部重力作功之和為：所以§13-1力的功（13－7）重力的功只與始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。7根據(jù)質(zhì)心坐標公式，有對于質(zhì)點系，設(shè)質(zhì)點i的質(zhì)量為mi8§13-1力的功2．彈性力的功彈性范圍內(nèi)，彈性力大小為k——彈性剛度系數(shù)（或剛性系數(shù)）。彈性力8§13-1力的功2．彈性力的功彈性范圍內(nèi)，彈性力9§13-1力的功點A

由A1到

A2時，彈性力作功為（13－8）彈性力的功也與路徑無關(guān)9§13-1力的功點A由A1到A2時，彈性力10§13-1力的功

如果剛體上作用一力偶，則力偶所作的功仍可用上式計算，其中Mz為力偶對轉(zhuǎn)軸z的矩，也等于力偶矩矢M在軸上的投影。3．轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功力F在切線上的投影為剛體轉(zhuǎn)動時力F的元功為因為Ft

R等于F對于轉(zhuǎn)軸z的力矩Mz，于是（13－10）10§13-1力的功如果剛體上作用一力偶，11§13-1力的功作用在點的力的元功為力系全部力的元功之和為4.平面運動剛體上力系的功其中由兩端乘dt，有（13－11）11§13-1力的功作用在點的力12§13-1力的功其中:為力系主失，為力系對質(zhì)心的主矩。當質(zhì)心由，轉(zhuǎn)角由時，力系的功為即：平面運動剛體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和。（13－12）12§13-1力的功其中:為力系主失，13§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能

一、質(zhì)點的動能設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m，速度為v，則質(zhì)點的動能為動能是標量，恒取正值。在國際單位制中動能的單位也為J。二、質(zhì)點系的動能質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點動能的算術(shù)和稱為質(zhì)點系的動能，即13§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能一、質(zhì)點的動能設(shè)142．轉(zhuǎn)動剛體的動能§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能1.平移剛體的動能（13－13）（13－14）142．轉(zhuǎn)動剛體的動能§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能1.平15§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能3.平面運動剛體的動能點C——質(zhì)心，點P——某瞬時的瞬心，ω——角速度（13－15）15§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能3.平面運動剛體的動能點16§13-3動能定理一、質(zhì)點的動能定理

取質(zhì)點運動微分方程的矢量形式因得上式稱為質(zhì)點動能定理的微分形式:即質(zhì)點動能的增量等于作用在質(zhì)點上力的元功。（13－16）16§13-3動能定理一、質(zhì)點的動能定理取質(zhì)點運動微17§13-3動能定理上式稱為質(zhì)點動能定理的積分形式：在質(zhì)點運動的某個過程中，質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力作的功。（13－17）17§13-3動能定理上式稱為質(zhì)點動能定理的積分形式：在18§13-3動能定理二、質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系內(nèi)任一質(zhì)點，質(zhì)量為mi，速度為vi，有式中δWi

為作用于這個質(zhì)點上的力Fi作的元功。設(shè)質(zhì)點系有n個質(zhì)點，將n個方程相加，得：上式稱為質(zhì)點系動能定理的微分形式：質(zhì)點系動能的增量等于作用于質(zhì)點系全部力所作的元功的和。（13－18）18§13-3動能定理二、質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系內(nèi)任一質(zhì)19§13-3動能定理上式積分，得：（13－19）上式稱為質(zhì)點系動能定理的積分形式：質(zhì)點系在某一段運動過程中，起點和終點的動能的改變量，等于作用于質(zhì)點系的全部力在這段過程中所作功的和。19§13-3動能定理上式積分，得：（13－19）上式稱20§13-3動能定理質(zhì)點系內(nèi)力的功只要A、B兩點間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。

不變質(zhì)點系的內(nèi)力的功之和等于零。剛體的內(nèi)力的功之和等于零。不可伸長的繩索內(nèi)力的功之和等于零。三、理想約束及內(nèi)力作功20§13-3動能定理質(zhì)點系內(nèi)力的功只要A、B兩點間距21§13-3動能定理理想約束反力的功1．光滑固定面約束約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。2．活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承21§13-3動能定理理想約束反力的功1．光滑固定面約束22§13-3動能定理5．柔性約束（不可伸長的繩索）4．聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）3．剛體沿固定面作純滾動22§13-3動能定理5．柔性約束（不可伸長的繩索）4．23§13-3動能定理

例13-1已知：m,h,k,其它質(zhì)量不計。求：23§13-3動能定理例13-1已24§13-3動能定理解：24§13-3動能定理解：25§13-3動能定理

例13-2已知：輪O的R1、m1,質(zhì)量分布在輪緣上;均質(zhì)輪C的R2、m2純滾動,初始靜止;θ,M為常力偶。求：輪心C走過路程S時的速度和加速度25§13-3動能定理例13-2已知26§13-3動能定理輪C與輪O共同作為一個質(zhì)點系解：26§13-3動能定理輪C與輪O共同作為一個質(zhì)點系解：27§13-3動能定理27§13-3動能定理28§13-3動能定理式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對t求導(dǎo)，得28§13-3動能定理式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對t求導(dǎo)29§13-3動能定理求：沖斷試件需用的能量

例13-3沖擊試驗機m=18kg,l=840mm,桿重不計，在時靜止釋放，沖斷試件后擺至29§13-3動能定理求：沖斷試件需用的能量30§13-3動能定理得沖斷試件需要的能量為解：30§13-3動能定理得沖斷試件需要的能量為解：31§13-3動能定理

例13-4已知：均質(zhì)圓盤R,m,F=常量，且很大，使O向右運動，f,初靜止

求：O走過S路程時ω、α31§13-3動能定理例13-4已知32§13-3動能定理圓盤速度瞬心為C,

解：32§13-3動能定理圓盤速度瞬心為C,解：33§13-3動能定理均不作功。33§13-3動能定理均不作功。34§13-3動能定理將式(a)兩端對t求導(dǎo)，并利用得34§13-3動能定理將式(a)兩端對t求導(dǎo)，并利用得35§13-3動能定理不作功的力可不考慮，因此亦可如下計算：2、亦可將力系向點O簡化，即注意：1、摩擦力Fd

的功S是力在空間的位移，不是受力作用點的位移。35§13-3動能定理不作功的力可不考慮，因此亦可如下計36§13-3動能定理

例13-5：已知：r1

，

m1

均質(zhì)；桿m均質(zhì)，O1O2=l,M=常量，純滾動，處于水平面內(nèi)，初始靜止。求：O1O2轉(zhuǎn)過φ角的ω、α36§13-3動能定理例13-5：已37§13-3動能定理研究整個系統(tǒng)解：37§13-3動能定理研究整個系統(tǒng)解：38§13-3動能定理38§13-3動能定理39§13-3動能定理式(a)對任何φ均成立，是函數(shù)關(guān)系，求導(dǎo)得注意：輪Ⅰ、Ⅱ接觸點C不是理想約束，其摩擦力Fs盡管在空間是移動的，但作用于速度瞬心，故不作功。39§13-3動能定理式(a)對任何φ均成立，是函數(shù)關(guān)系40§13-3動能定理例1圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)為k=3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA’，在鉛直位置時的角速度至少應(yīng)為多大？解：取OA桿研究對象得由40§13-3動能定理例1圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30k41§13-3動能定理【例2】均質(zhì)圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤作純滾動，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。解：取整體為研究對象運動學(xué)關(guān)系：由動能定理，得對ｔ求導(dǎo)，得41§13-3動能定理【例2】均質(zhì)圓盤A：m，r42【例3】圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R,兩盤中心線為水平線,盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時重物的速度與加速度。(繩重不計，繩不可伸長，盤B作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止)§13-3動能定理解：取系統(tǒng)為研究對象42【例3】圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為43§13-3動能定理上面(1)式求導(dǎo)得：(1)43§13-3動能定理上面(1)式求導(dǎo)得：(1)44§13-4功率?功率方程?機械效率一、功率單位時間內(nèi)力所做的功稱為功率，以P表示。因為所以功率等于切向力與力作用點速度的乘積。作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為式中Mz是力對轉(zhuǎn)軸z的矩，ω是角速度。即作用于轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率等于該力對轉(zhuǎn)軸的矩與角速度的乘積。（13－20）（13－21）44§13-4功率?功率方程?機械效率一、功率單位時45§13-4功率?功率方程?機械效率二、功率方程取質(zhì)點系動能定理的微分形式，兩端除以dt，得上式稱為功率方程，即質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和。

每部機器的功率可分為三部分：輸入功率、無用功率（或耗損功率）、有用功率（或輸出功率）。在一般情況下，功率方程可寫成：或（13－22）（13－23）45§13-4功率?功率方程?機械效率二、功率方程取46§13-4功率?功率方程?機械效率三、機械效率有效功率=

機械效率η表示機器對輸入功率的有效利用程度，它是評定機器質(zhì)量好壞的指標之一。顯然，

如一部機器有n級傳動，設(shè)各級的效率分別為η1、η2

、…、ηn,則總效率為，機械效率用η表示，即（13－24）46§13-4功率?功率方程?機械效率三、機械效率有效47§13-4功率?功率方程?機械效率【例4】車床的電動機功率為5.4

kW。由于傳動零件之間的摩擦耗損功率占輸入功率的30%。如工件的直徑d=100mm，轉(zhuǎn)速n

=42r/min，問允許切削力的最大值為多少？若工件的轉(zhuǎn)速改為n’=112r/min，問允許切削力的最大值為多少？解：由題意知：當工件勻速轉(zhuǎn)動時，動能不變，有用功率為設(shè)切削力為F，切削速度為v，則即47§13-4功率?功率方程?機械效率【例4】車床48當n=112r/min

時，允許的最大切削力為§13-4功率?功率方程?機械效率當n=42r/min

時，允許的最大切削力為48當n=112r/min時，允許的最大切削力為§13-49§13-3動能定理例13-8:已知m.l0.k.R.J求：系統(tǒng)的運動微分方程。49§13-3動能定理例13-8:已知m.l50§13-3動能定理解：50§13-3動能定理解：51§13-3動能定理51§13-3動能定理52§13-3動能定理令為彈簧靜伸長，即mg=k,以平衡位置為原點52§13-3動能定理令為彈簧靜伸長，即mg53§13-4功率?功率方程?機械效率【例5】電動機車質(zhì)量為m，由靜止以勻加速度a沿水平軌道行駛，如電動機車所受的運動阻力等于kmg(其中k是常數(shù))。求電動機車的功率。

解：設(shè)電動機車行駛距離s時的速度為v，發(fā)動機所做的功為W，由動能定理得：將上式對時間求導(dǎo)，并注意及得電機車的功率將代入上式，得：53§13-4功率?功率方程?機械效率【例5】電54§13-4功率?功率方程?機械效率【例6】均質(zhì)圓輪半徑r，質(zhì)量為m，受到輕微擾動后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。求質(zhì)心C的運動規(guī)律。

解：取輪為研究對象，均質(zhì)圓輪作平面運動，其動能為只有重力作功,重力的功率為54§13-4功率?功率方程?機械效率【例6】均質(zhì)55§13-4功率?功率方程?機械效率應(yīng)用功率方程：得當θ很小時sinθ≈0,于是得質(zhì)心C的運動微分方程為55§13-4功率?功率方程?機械效率應(yīng)用功率方程：得56§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

一、勢力場

如果一物體在某空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為力場。例：重力場，太陽引力場等等。

如果物體在力場內(nèi)運動，作用于物體的力所作的功只與力作用點的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點的軌跡形狀無關(guān)，這種力場稱為勢力場（或保守力場）。

在勢力場中，物體受到的力稱為有勢力（或保守力）。例：重力場、彈性力場都是勢力場，重力、彈性力、萬有引力都是有勢力。56§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律一、勢力場57§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

二、勢能

在勢力場中，質(zhì)點M運動到任選的點M0，有勢力所作的功稱為質(zhì)點在點M相對于點M0的勢能。以V表示為

點M0稱為零勢能點。在勢力場中，勢能的大小是相對零勢能點而言的。零勢能點M0可以任意選取，對于不同的零勢能點，在勢力場中同一位置的勢能可有不同的數(shù)值。

幾種常見勢能的計算（13－25）57§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律二、勢能581．重力場中的勢能§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

質(zhì)點重力mg在各軸上的投影為取Mo為零勢能點，則質(zhì)點在點M的勢能為質(zhì)點系重力勢能其中m為質(zhì)點系全部質(zhì)量，zc為質(zhì)心的z坐標，zc0為零勢能位置質(zhì)心z坐標。（13－26）581．重力場中的勢能§13-5勢力場?勢能?機械能守592．彈性力場中的勢能§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

設(shè)彈簧的一端固定，另一端與物體連接。彈簧的剛度系數(shù)為k。

取Mo為零勢能點，則物體在點M的勢能為

如取彈簧的自然位置為零勢能點，則有δ0

=0，則（13－27）592．彈性力場中的勢能§13-5勢力場?勢能?機械能60§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

3．萬有引力場中的勢能

設(shè)質(zhì)量為m1的質(zhì)點受質(zhì)量為m2的物體的萬有引力F作用。

取點M0為零勢能點，則質(zhì)點在點M的勢能為式中f為引力常數(shù)。因為所以如選取點M0在無窮遠處，即r1=∞，則（13－28）60§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律3．萬有引61§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

一質(zhì)量為m、長為l的均質(zhì)桿AB。A端鉸支，B端由無重彈簧拉住，并于水平位置平衡。此時彈簧已拉長δ0。如彈簧剛度系數(shù)為k，

如質(zhì)點系受到多個有勢力的作用，各有勢力可有各自的零勢能點。質(zhì)點系中的各質(zhì)點都處于其零勢能點的一組位置，稱為質(zhì)點系的“零勢能位置”。質(zhì)點系從某位置到其“零勢能位置”的運動過程中，各有勢力作功的代數(shù)和稱為此質(zhì)點系在該位置的勢能。61§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律一62§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

(2)如取桿的平衡位置為系統(tǒng)的零勢能位置，桿于微小擺角φ

處，勢能為(1)如重力以桿的水平位置為零勢能位置，彈簧以自然位置為零勢能點，則桿于微小擺角φ

處勢能為注意可得62§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律(2)如取63§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

質(zhì)點系在勢能場中運動，有勢力的功可通過勢能計算。

設(shè)某個有勢力的作用點在質(zhì)點系的運動過程中，從點M1

到點M2，該力所作的功為W12。

取點M0為零勢能點，則

因有勢力的功與軌跡形狀無關(guān)，從M1經(jīng)M2到M0

即有勢力所作的功等于質(zhì)點系在運動過程中的初始和終了位置的勢能的差。（13－30）63§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律質(zhì)64三、機械能守恒定律§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

質(zhì)點系在某瞬間的動能與勢能的代數(shù)和稱為機械能。質(zhì)點系如只有有勢力作功，則

移項后

即質(zhì)點系在運動的過程中，只有有勢力作功，其機械能保持不變。這種質(zhì)點系稱為保守系統(tǒng)。（13－31）64三、機械能守恒定律§13-5勢力場?勢能?機械能守65§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

如質(zhì)點系還受到非保守力的作用，稱為非保守系統(tǒng)，非保守系統(tǒng)的機械能是不守恒的。設(shè)保守力所作的功為W12，非保守力所作的功為W'12

，由動能定理有因則

如W'12為負功，質(zhì)點系在運動過程中機械能減小，稱為機械能耗散；

如W'12為正功，質(zhì)點系在運動過程中機械能增加，這時外界對系統(tǒng)輸入了能量。（13－32）65§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律如66

例：已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s勻速下降，鋼索k=3.35×N/m求:輪D突然卡住時，鋼索的最大張力§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

66例：已知：重物m=250kg,以v=0.67卡住前

卡住時：解：§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

67卡住前卡住時：解：§13-5勢力場?勢能?68得即由有§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

68得即由69取水平位置為零勢能位置例：已知：m,,k水平位置平衡OD=CD=b求：初速時，=?解：§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

69取水平位置為零勢能位置例：已知：m,,k70＊4.勢力場的其他性質(zhì)：(1)

（2）勢能相等的點構(gòu)成等勢面

（3）有勢力方向垂直于等勢能面，指向勢能減小的方向§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

70＊4.勢力場的其他性質(zhì)：(1)（2）勢能相等的點71§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

【例9】均質(zhì)圓輪半徑r，質(zhì)量為m，受到輕微擾動后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。求質(zhì)心C的運動規(guī)律。

解：取輪為研究對象，此系統(tǒng)的機械能守恒，取質(zhì)心的最低位置O為重力場零勢能點，圓輪在任一位置的勢能為同一瞬時的動能為由機械能守恒，有71§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律【例972§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

把V和T的表達式代入，取導(dǎo)數(shù)后得，于是得當θ很小時，，于是得因72§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律把V和T的73

它們從不同方面建立了質(zhì)點或質(zhì)點系運動量（動量、動量矩、動能）的變化與力的作用量（沖量、力矩、力的功）之間的關(guān)系?！?3-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例質(zhì)點和質(zhì)點系的普遍定理包括動量定理、動量矩定理和動能定理。動量定理和動量矩定理是矢量形式，動能定理是標量形式，他們都用于研究機械運動，而動能定理還可用于研究機械運動與其它運動形式有能量轉(zhuǎn)化的問題。

應(yīng)用動量定理或動量矩定理時，質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動量和動量矩，只需考慮質(zhì)點系所受的外力。

應(yīng)用動能定理時，要考慮約束力和內(nèi)力作不作功。73它們從不同方面建立了質(zhì)點或質(zhì)點系運74

工程中有的問題只能用某一定理求解，有的則可用不同的定理求解，還有些較復(fù)雜的問題，需要幾個定理的聯(lián)合應(yīng)用才能求解。因此，在解題時就牽涉到選哪個或哪幾個的問題。但普遍定理的選用具有很大的靈活性，不可能定出幾條處處適用的現(xiàn)成規(guī)則。§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例

動力學(xué)普遍定理選用的一般方法和步驟（僅供參考）⒈首先必須明確各個定理的內(nèi)容、特點以及各定理所能解決的問題。⒉分析問題的已知條件與所求未知量之間的關(guān)系，分析質(zhì)點系的運動狀態(tài)與所受力的特點，根據(jù)這兩方面分析的結(jié)果再來決定選用哪一定理。74工程中有的問題只能用某一定理求解，75§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例

具體來講：⑴如果問題是要求速度和角速度，則可根據(jù)質(zhì)點系所受力的特點而定。①若質(zhì)點系所受外力的主矢為零或在某軸上投影的代數(shù)和為零，則可用動量守恒定理求解；②若質(zhì)點系所受外力對某固定軸的力矩之代數(shù)和為零，則用對該軸的動量矩守恒定理求解；③若質(zhì)點系僅受有勢力作用或非有勢力不作功，則用機械能守恒定律求解；④若作用在質(zhì)點系上的非有勢力作功，則用動能定理求解；⑵如果問題是要求加速度和角加速度，則可考慮用動能定理求出速度和角速度，然后再對時間求導(dǎo)，求出加速度或角加速度；也可用功率方程或動量定理、動量矩定理求解。在用動能定理或功率方程求解時，不作功的力在方程中不出現(xiàn)，給問75§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例76

問題的求解帶來很大的方便。§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例⑶若已知質(zhì)點系或質(zhì)心的運動，如果在x、y、z方向僅有一個外力（通常是約束反力）是未知的，則可用動量定理或質(zhì)心運動定理求出未的外力，有時用動量矩定理求解也極為簡單。⒊對于定軸轉(zhuǎn)動問題，可用定軸轉(zhuǎn)動微分方程求解；對于剛體的平面運動問題，可用平面運動微分方程求解。通常情況下，先用動能定理或動量矩定理求出運動量，然后再用質(zhì)心運動定理求出未知的約束反力。對于復(fù)雜的動力學(xué)問題，不外乎是上述幾種情況的組合，可根據(jù)各定理的特點聯(lián)合應(yīng)用。76問題的求解帶來很大的方便。§13-６77例：已知均質(zhì)園輪m,r,R

，純滾動求：輪心Ｃ的運動微分方程§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例77例：已知均質(zhì)園輪m,r,R，純滾動求：輪心Ｃ的運動微78解:重力的功率§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例78解:重力的功率§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例79（很?。?3-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例79（很小）§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例80本題也可用機械能守恒定律求解。得§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例80本題也可用機械能守恒定律求解。得§13-６普遍定理的綜81

例：已知兩均質(zhì)輪m,R;物塊m,ｋ，純滾動，于彈簧原長處無初速釋放。求：重物下降h時，v、a及滾輪與地面的摩擦力?！?3-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例81例：已知兩均質(zhì)輪m,R;物塊m,82解：§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例82解：§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例83將式（a）對t

求導(dǎo)（a）§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例83將式（a）對t求導(dǎo)（a）§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用84得其中§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例84得其中§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例85例：已知l,m求：桿由鉛直倒下，剛到達地面時的角速度和地面約束力§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例85例：已知l,m求：桿由鉛直倒下，剛到達地面時的角速86解：成角時§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例86解：成角時§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例87（a）（b）時§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例87（a）（b）時§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例88由（a）,（b）,（c）得由其中：鉛直水平(c)§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例88由（a）,（b）,（c）得由其中：89

例：已知輪I：r,

m1;輪III:r，m3;輪II：R=2r,m2;壓力角（即齒輪間作用力與圖中兩圓切線間的夾角）為20度，物塊：mA；摩擦力不計。求：O1

O2處的約束力。§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例89例：已知輪I：r,m1;輪III90其中解:§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例90其中解:§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例91利用其中§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例91利用其中§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例92研究I輪壓力角為§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例92研究I輪壓力角為§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例93§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例93§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例94研究物塊A§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例94研究物塊A§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例95研究II輪§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例95研究II輪§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例96

例9：已知，m，R,k,CA=2R為彈簧原長，M為常力偶。求：圓心C無初速度由最低點到達最高點時，O處約束力§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例96例9：已知，m，R,k,CA=2R為彈簧原長，M97解：§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例97解：§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例98§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例98§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例99得§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例99得§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例100例均質(zhì)桿AB，l,m,初始鉛直靜止，無摩擦求：1.B端未脫離墻時，擺至θ角位置時的，，F(xiàn)Bx,FBy2.B端脫離瞬間的θ１3.桿著地時的vC及2§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例100例均質(zhì)桿AB，l,m,初始鉛直靜止，無摩擦求：1.101解：（1）§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例101解：（1）§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例102()()2cos3sin43sincos-=-==qqqqmgaammaFnCtCCxBx_§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例102()()2cos3sin43sincos-=-==qq103（2）.脫離瞬間時§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例103（2）.脫離瞬間時§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉104（3）.脫離后，水平動量守恒，脫離瞬時§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例104（3）.脫離后，水平動量守恒，脫離瞬時§13-６105桿著地時，AC水平由鉛直——水平全過程§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例105桿著地時，AC水平由鉛直——水平全過程§13-６普遍106式中§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例106式中§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例107第十三章動能定理結(jié)束107第十三章動能定理結(jié)束108理論力學(xué)第十三章動能定理1理論力學(xué)第十三章動能定理109第十三章動能定理§13-1力的功§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能§13-3動能定理§13-4功率功率方程機械效率§13-5勢力場勢能機械能守恒定律§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例2第十三章動能定理§13-1力的功§13-2質(zhì)點和質(zhì)110§13-1力的功

一、常力的功功是代數(shù)量，在國際單位制中，功的單位為J（焦耳）。3§13-1力的功一、常力的功功是代數(shù)量，在國際單111§13-1力的功

二、變力的功

力在全路程上作的功等于元功之和：

力在無限小位移dr中作的功稱為元功：（13－1）（13－2）4§13-1力的功二、變力的功力在全路程上作112力F從M1到M2的過程所作的功在直角坐標系中，i，j，k為三坐標軸的單位矢量，則上兩式也可寫成以下矢量點乘形式：（13－5）（13－4）（13－3）§13-1力的功5力F從M1到M2的過程所作的功在直角坐標系中，i，j，k為113§13-1力的功三、幾種常見力的功1．重力的功重力重力作功為在直角坐標軸上的投影為（13－6）6§13-1力的功三、幾種常見力的功1．重力的功重力重114根據(jù)質(zhì)心坐標公式，有對于質(zhì)點系，設(shè)質(zhì)點i

的質(zhì)量為mi，運動始末的高度差為（zi1-zi2），則全部重力作功之和為：所以§13-1力的功（13－7）重力的功只與始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。7根據(jù)質(zhì)心坐標公式，有對于質(zhì)點系，設(shè)質(zhì)點i的質(zhì)量為mi115§13-1力的功2．彈性力的功彈性范圍內(nèi)，彈性力大小為k——彈性剛度系數(shù)（或剛性系數(shù)）。彈性力8§13-1力的功2．彈性力的功彈性范圍內(nèi)，彈性力116§13-1力的功點A

由A1到

A2時，彈性力作功為（13－8）彈性力的功也與路徑無關(guān)9§13-1力的功點A由A1到A2時，彈性力117§13-1力的功

如果剛體上作用一力偶，則力偶所作的功仍可用上式計算，其中Mz為力偶對轉(zhuǎn)軸z的矩，也等于力偶矩矢M在軸上的投影。3．轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功力F在切線上的投影為剛體轉(zhuǎn)動時力F的元功為因為Ft

R等于F對于轉(zhuǎn)軸z的力矩Mz，于是（13－10）10§13-1力的功如果剛體上作用一力偶，118§13-1力的功作用在點的力的元功為力系全部力的元功之和為4.平面運動剛體上力系的功其中由兩端乘dt，有（13－11）11§13-1力的功作用在點的力119§13-1力的功其中:為力系主失，為力系對質(zhì)心的主矩。當質(zhì)心由，轉(zhuǎn)角由時，力系的功為即：平面運動剛體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和。（13－12）12§13-1力的功其中:為力系主失，120§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能

一、質(zhì)點的動能設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m，速度為v，則質(zhì)點的動能為動能是標量，恒取正值。在國際單位制中動能的單位也為J。二、質(zhì)點系的動能質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點動能的算術(shù)和稱為質(zhì)點系的動能，即13§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能一、質(zhì)點的動能設(shè)1212．轉(zhuǎn)動剛體的動能§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能1.平移剛體的動能（13－13）（13－14）142．轉(zhuǎn)動剛體的動能§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能1.平122§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能3.平面運動剛體的動能點C——質(zhì)心，點P——某瞬時的瞬心，ω——角速度（13－15）15§13-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能3.平面運動剛體的動能點123§13-3動能定理一、質(zhì)點的動能定理

取質(zhì)點運動微分方程的矢量形式因得上式稱為質(zhì)點動能定理的微分形式:即質(zhì)點動能的增量等于作用在質(zhì)點上力的元功。（13－16）16§13-3動能定理一、質(zhì)點的動能定理取質(zhì)點運動微124§13-3動能定理上式稱為質(zhì)點動能定理的積分形式：在質(zhì)點運動的某個過程中，質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力作的功。（13－17）17§13-3動能定理上式稱為質(zhì)點動能定理的積分形式：在125§13-3動能定理二、質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系內(nèi)任一質(zhì)點，質(zhì)量為mi，速度為vi，有式中δWi

為作用于這個質(zhì)點上的力Fi作的元功。設(shè)質(zhì)點系有n個質(zhì)點，將n個方程相加，得：上式稱為質(zhì)點系動能定理的微分形式：質(zhì)點系動能的增量等于作用于質(zhì)點系全部力所作的元功的和。（13－18）18§13-3動能定理二、質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系內(nèi)任一質(zhì)126§13-3動能定理上式積分，得：（13－19）上式稱為質(zhì)點系動能定理的積分形式：質(zhì)點系在某一段運動過程中，起點和終點的動能的改變量，等于作用于質(zhì)點系的全部力在這段過程中所作功的和。19§13-3動能定理上式積分，得：（13－19）上式稱127§13-3動能定理質(zhì)點系內(nèi)力的功只要A、B兩點間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。

不變質(zhì)點系的內(nèi)力的功之和等于零。剛體的內(nèi)力的功之和等于零。不可伸長的繩索內(nèi)力的功之和等于零。三、理想約束及內(nèi)力作功20§13-3動能定理質(zhì)點系內(nèi)力的功只要A、B兩點間距128§13-3動能定理理想約束反力的功1．光滑固定面約束約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。2．活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承21§13-3動能定理理想約束反力的功1．光滑固定面約束129§13-3動能定理5．柔性約束（不可伸長的繩索）4．聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）3．剛體沿固定面作純滾動22§13-3動能定理5．柔性約束（不可伸長的繩索）4．130§13-3動能定理

例13-1已知：m,h,k,其它質(zhì)量不計。求：23§13-3動能定理例13-1已131§13-3動能定理解：24§13-3動能定理解：132§13-3動能定理

例13-2已知：輪O的R1、m1,質(zhì)量分布在輪緣上;均質(zhì)輪C的R2、m2純滾動,初始靜止;θ,M為常力偶。求：輪心C走過路程S時的速度和加速度25§13-3動能定理例13-2已知133§13-3動能定理輪C與輪O共同作為一個質(zhì)點系解：26§13-3動能定理輪C與輪O共同作為一個質(zhì)點系解：134§13-3動能定理27§13-3動能定理135§13-3動能定理式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對t求導(dǎo)，得28§13-3動能定理式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對t求導(dǎo)136§13-3動能定理求：沖斷試件需用的能量

例13-3沖擊試驗機m=18kg,l=840mm,桿重不計，在時靜止釋放，沖斷試件后擺至29§13-3動能定理求：沖斷試件需用的能量137§13-3動能定理得沖斷試件需要的能量為解：30§13-3動能定理得沖斷試件需要的能量為解：138§13-3動能定理

例13-4已知：均質(zhì)圓盤R,m,F=常量，且很大，使O向右運動，f,初靜止

求：O走過S路程時ω、α31§13-3動能定理例13-4已知139§13-3動能定理圓盤速度瞬心為C,

解：32§13-3動能定理圓盤速度瞬心為C,解：140§13-3動能定理均不作功。33§13-3動能定理均不作功。141§13-3動能定理將式(a)兩端對t求導(dǎo)，并利用得34§13-3動能定理將式(a)兩端對t求導(dǎo)，并利用得142§13-3動能定理不作功的力可不考慮，因此亦可如下計算：2、亦可將力系向點O簡化，即注意：1、摩擦力Fd

的功S是力在空間的位移，不是受力作用點的位移。35§13-3動能定理不作功的力可不考慮，因此亦可如下計143§13-3動能定理

例13-5：已知：r1

，

m1

均質(zhì)；桿m均質(zhì)，O1O2=l,M=常量，純滾動，處于水平面內(nèi)，初始靜止。求：O1O2轉(zhuǎn)過φ角的ω、α36§13-3動能定理例13-5：已144§13-3動能定理研究整個系統(tǒng)解：37§13-3動能定理研究整個系統(tǒng)解：145§13-3動能定理38§13-3動能定理146§13-3動能定理式(a)對任何φ均成立，是函數(shù)關(guān)系，求導(dǎo)得注意：輪Ⅰ、Ⅱ接觸點C不是理想約束，其摩擦力Fs盡管在空間是移動的，但作用于速度瞬心，故不作功。39§13-3動能定理式(a)對任何φ均成立，是函數(shù)關(guān)系147§13-3動能定理例1圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)為k=3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA’，在鉛直位置時的角速度至少應(yīng)為多大？解：取OA桿研究對象得由40§13-3動能定理例1圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30k148§13-3動能定理【例2】均質(zhì)圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤作純滾動，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。解：取整體為研究對象運動學(xué)關(guān)系：由動能定理，得對ｔ求導(dǎo)，得41§13-3動能定理【例2】均質(zhì)圓盤A：m，r149【例3】圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R,兩盤中心線為水平線,盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時重物的速度與加速度。(繩重不計，繩不可伸長，盤B作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止)§13-3動能定理解：取系統(tǒng)為研究對象42【例3】圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為150§13-3動能定理上面(1)式求導(dǎo)得：(1)43§13-3動能定理上面(1)式求導(dǎo)得：(1)151§13-4功率?功率方程?機械效率一、功率單位時間內(nèi)力所做的功稱為功率，以P表示。因為所以功率等于切向力與力作用點速度的乘積。作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為式中Mz是力對轉(zhuǎn)軸z的矩，ω是角速度。即作用于轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率等于該力對轉(zhuǎn)軸的矩與角速度的乘積。（13－20）（13－21）44§13-4功率?功率方程?機械效率一、功率單位時152§13-4功率?功率方程?機械效率二、功率方程取質(zhì)點系動能定理的微分形式，兩端除以dt，得上式稱為功率方程，即質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和。

每部機器的功率可分為三部分：輸入功率、無用功率（或耗損功率）、有用功率（或輸出功率）。在一般情況下，功率方程可寫成：或（13－22）（13－23）45§13-4功率?功率方程?機械效率二、功率方程取153§13-4功率?功率方程?機械效率三、機械效率有效功率=

機械效率η表示機器對輸入功率的有效利用程度，它是評定機器質(zhì)量好壞的指標之一。顯然，

如一部機器有n級傳動，設(shè)各級的效率分別為η1、η2

、…、ηn,則總效率為，機械效率用η表示，即（13－24）46§13-4功率?功率方程?機械效率三、機械效率有效154§13-4功率?功率方程?機械效率【例4】車床的電動機功率為5.4

kW。由于傳動零件之間的摩擦耗損功率占輸入功率的30%。如工件的直徑d=100mm，轉(zhuǎn)速n

=42r/min，問允許切削力的最大值為多少？若工件的轉(zhuǎn)速改為n’=112r/min，問允許切削力的最大值為多少？解：由題意知：當工件勻速轉(zhuǎn)動時，動能不變，有用功率為設(shè)切削力為F，切削速度為v，則即47§13-4功率?功率方程?機械效率【例4】車床155當n=112r/min

時，允許的最大切削力為§13-4功率?功率方程?機械效率當n=42r/min

時，允許的最大切削力為48當n=112r/min時，允許的最大切削力為§13-156§13-3動能定理例13-8:已知m.l0.k.R.J求：系統(tǒng)的運動微分方程。49§13-3動能定理例13-8:已知m.l157§13-3動能定理解：50§13-3動能定理解：158§13-3動能定理51§13-3動能定理159§13-3動能定理令為彈簧靜伸長，即mg=k,以平衡位置為原點52§13-3動能定理令為彈簧靜伸長，即mg160§13-4功率?功率方程?機械效率【例5】電動機車質(zhì)量為m，由靜止以勻加速度a沿水平軌道行駛，如電動機車所受的運動阻力等于kmg(其中k是常數(shù))。求電動機車的功率。

解：設(shè)電動機車行駛距離s時的速度為v，發(fā)動機所做的功為W，由動能定理得：將上式對時間求導(dǎo)，并注意及得電機車的功率將代入上式，得：53§13-4功率?功率方程?機械效率【例5】電161§13-4功率?功率方程?機械效率【例6】均質(zhì)圓輪半徑r，質(zhì)量為m，受到輕微擾動后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。求質(zhì)心C的運動規(guī)律。

解：取輪為研究對象，均質(zhì)圓輪作平面運動，其動能為只有重力作功,重力的功率為54§13-4功率?功率方程?機械效率【例6】均質(zhì)162§13-4功率?功率方程?機械效率應(yīng)用功率方程：得當θ很小時sinθ≈0,于是得質(zhì)心C的運動微分方程為55§13-4功率?功率方程?機械效率應(yīng)用功率方程：得163§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

一、勢力場

如果一物體在某空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為力場。例：重力場，太陽引力場等等。

如果物體在力場內(nèi)運動，作用于物體的力所作的功只與力作用點的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點的軌跡形狀無關(guān)，這種力場稱為勢力場（或保守力場）。

在勢力場中，物體受到的力稱為有勢力（或保守力）。例：重力場、彈性力場都是勢力場，重力、彈性力、萬有引力都是有勢力。56§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律一、勢力場164§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

二、勢能

在勢力場中，質(zhì)點M運動到任選的點M0，有勢力所作的功稱為質(zhì)點在點M相對于點M0的勢能。以V表示為

點M0稱為零勢能點。在勢力場中，勢能的大小是相對零勢能點而言的。零勢能點M0可以任意選取，對于不同的零勢能點，在勢力場中同一位置的勢能可有不同的數(shù)值。

幾種常見勢能的計算（13－25）57§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律二、勢能1651．重力場中的勢能§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

質(zhì)點重力mg在各軸上的投影為取Mo為零勢能點，則質(zhì)點在點M的勢能為質(zhì)點系重力勢能其中m為質(zhì)點系全部質(zhì)量，zc為質(zhì)心的z坐標，zc0為零勢能位置質(zhì)心z坐標。（13－26）581．重力場中的勢能§13-5勢力場?勢能?機械能守1662．彈性力場中的勢能§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

設(shè)彈簧的一端固定，另一端與物體連接。彈簧的剛度系數(shù)為k。

取Mo為零勢能點，則物體在點M的勢能為

如取彈簧的自然位置為零勢能點，則有δ0

=0，則（13－27）592．彈性力場中的勢能§13-5勢力場?勢能?機械能167§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

3．萬有引力場中的勢能

設(shè)質(zhì)量為m1的質(zhì)點受質(zhì)量為m2的物體的萬有引力F作用。

取點M0為零勢能點，則質(zhì)點在點M的勢能為式中f為引力常數(shù)。因為所以如選取點M0在無窮遠處，即r1=∞，則（13－28）60§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律3．萬有引168§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

一質(zhì)量為m、長為l的均質(zhì)桿AB。A端鉸支，B端由無重彈簧拉住，并于水平位置平衡。此時彈簧已拉長δ0。如彈簧剛度系數(shù)為k，

如質(zhì)點系受到多個有勢力的作用，各有勢力可有各自的零勢能點。質(zhì)點系中的各質(zhì)點都處于其零勢能點的一組位置，稱為質(zhì)點系的“零勢能位置”。質(zhì)點系從某位置到其“零勢能位置”的運動過程中，各有勢力作功的代數(shù)和稱為此質(zhì)點系在該位置的勢能。61§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律一169§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

(2)如取桿的平衡位置為系統(tǒng)的零勢能位置，桿于微小擺角φ

處，勢能為(1)如重力以桿的水平位置為零勢能位置，彈簧以自然位置為零勢能點，則桿于微小擺角φ

處勢能為注意可得62§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律(2)如取170§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

質(zhì)點系在勢能場中運動，有勢力的功可通過勢能計算。

設(shè)某個有勢力的作用點在質(zhì)點系的運動過程中，從點M1

到點M2，該力所作的功為W12。

取點M0為零勢能點，則

因有勢力的功與軌跡形狀無關(guān)，從M1經(jīng)M2到M0

即有勢力所作的功等于質(zhì)點系在運動過程中的初始和終了位置的勢能的差。（13－30）63§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律質(zhì)171三、機械能守恒定律§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

質(zhì)點系在某瞬間的動能與勢能的代數(shù)和稱為機械能。質(zhì)點系如只有有勢力作功，則

移項后

即質(zhì)點系在運動的過程中，只有有勢力作功，其機械能保持不變。這種質(zhì)點系稱為保守系統(tǒng)。（13－31）64三、機械能守恒定律§13-5勢力場?勢能?機械能守172§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

如質(zhì)點系還受到非保守力的作用，稱為非保守系統(tǒng)，非保守系統(tǒng)的機械能是不守恒的。設(shè)保守力所作的功為W12，非保守力所作的功為W'12

，由動能定理有因則

如W'12為負功，質(zhì)點系在運動過程中機械能減小，稱為機械能耗散；

如W'12為正功，質(zhì)點系在運動過程中機械能增加，這時外界對系統(tǒng)輸入了能量。（13－32）65§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律如173

例：已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s勻速下降，鋼索k=3.35×N/m求:輪D突然卡住時，鋼索的最大張力§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

66例：已知：重物m=250kg,以v=0.174卡住前

卡住時：解：§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

67卡住前卡住時：解：§13-5勢力場?勢能?175得即由有§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

68得即由176取水平位置為零勢能位置例：已知：m,,k水平位置平衡OD=CD=b求：初速時，=?解：§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

69取水平位置為零勢能位置例：已知：m,,k177＊4.勢力場的其他性質(zhì)：(1)

（2）勢能相等的點構(gòu)成等勢面

（3）有勢力方向垂直于等勢能面，指向勢能減小的方向§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

70＊4.勢力場的其他性質(zhì)：(1)（2）勢能相等的點178§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

【例9】均質(zhì)圓輪半徑r，質(zhì)量為m，受到輕微擾動后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。求質(zhì)心C的運動規(guī)律。

解：取輪為研究對象，此系統(tǒng)的機械能守恒，取質(zhì)心的最低位置O為重力場零勢能點，圓輪在任一位置的勢能為同一瞬時的動能為由機械能守恒，有71§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律【例9179§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律

把V和T的表達式代入，取導(dǎo)數(shù)后得，于是得當θ很小時，，于是得因72§13-5勢力場?勢能?機械能守恒定律把V和T的180

它們從不同方面建立了質(zhì)點或質(zhì)點系運動量（動量、動量矩、動能）的變化與力的作用量（沖量、力矩、力的功）之間的關(guān)系?！?3-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例質(zhì)點和質(zhì)點系的普遍定理包括動量定理、動量矩定理和動能定理。動量定理和動量矩定理是矢量形式，動能定理是標量形式，他們都用于研究機械運動，而動能定理還可用于研究機械運動與其它運動形式有能量轉(zhuǎn)化的問題。

應(yīng)用動量定理或動量矩定理時，質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動量和動量矩，只需考慮質(zhì)點系所受的外力。

應(yīng)用動能定理時，要考慮約束力和內(nèi)力作不作功。73它們從不同方面建立了質(zhì)點或質(zhì)點系運181

工程中有的問題只能用某一定理求解，有的則可用不同的定理求解，還有些較復(fù)雜的問題，需要幾個定理的聯(lián)合應(yīng)用才能求解。因此，在解題時就牽涉到選哪個或哪幾個的問題。但普遍定理的選用具有很大的靈活性，不可能定出幾條處處適用的現(xiàn)成規(guī)則?！?3-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例

動力學(xué)普遍定理選用的一般方法和步驟（僅供參考）⒈首先必須明確各個定理的內(nèi)容、特點以及各定理所能解決的問題。⒉分析問題的已知條件與所求未知量之間的關(guān)系，分析質(zhì)點系的運動狀態(tài)與所受力的特點，根據(jù)這兩方面分析的結(jié)果再來決定選用哪一定理。74工程中有的問題只能用某一定理求解，182§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例

具體來講：⑴如果問題是要求速度和角速度，則可根據(jù)質(zhì)點系所受力的特點而定。①若質(zhì)點系所受外力的主矢為零或在某軸上投影的代數(shù)和為零，則可用動量守恒定理求解；②若質(zhì)點系所受外力對某固定軸的力矩之代數(shù)和為零，則用對該軸的動量矩守恒定理求解；③若質(zhì)點系僅受有勢力作用或非有勢力不作功，則用機械能守恒定律求解；④若作用在質(zhì)點系上的非有勢力作功，則用動能定理求解；⑵如果問題是要求加速度和角加速度，則可考慮用動能定理求出速度和角速度，然后再對時間求導(dǎo)，求出加速度或角加速度；也可用功率方程或動量定理、動量矩定理求解。在用動能定理或功率方程求解時，不作功的力在方程中不出現(xiàn)，給問75§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例