拔去實(shí)驗(yàn)障礙之釘領(lǐng)略快樂發(fā)現(xiàn)之旅

本文格式為Word版，下載可任意編輯——拔去實(shí)驗(yàn)障礙之釘，領(lǐng)略快樂發(fā)現(xiàn)之旅王興偉

小學(xué)數(shù)學(xué)試驗(yàn)活動(dòng)是以自主摸索與合作交流為主要方式的學(xué)習(xí)活動(dòng)。開展數(shù)學(xué)試驗(yàn)不僅有利于學(xué)生把握和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，更有利于培養(yǎng)學(xué)生抽象、建模、創(chuàng)新等核心素養(yǎng)。本文以“釘子板上的多邊形〞為例，就如何戰(zhàn)勝影響數(shù)學(xué)試驗(yàn)活動(dòng)的方向、方法、形式、路徑等障礙因素做了一些理論和實(shí)踐的摸索。

數(shù)學(xué)試驗(yàn)障礙釘子

“釘子板上的多邊形〞是一節(jié)綜合實(shí)踐活動(dòng)課，是在學(xué)生已學(xué)完用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。由于釘子板上的多邊形面積涉及多邊形內(nèi)部釘子數(shù)、邊上釘子數(shù)和“1〞三個(gè)變量之間的關(guān)系，數(shù)量關(guān)系對(duì)比繁雜，學(xué)生在探究時(shí)往往不能從整體去考慮，顧此失彼，思維也不能得到有效提升。如何設(shè)計(jì)有效的摸索活動(dòng)，讓學(xué)生開心地經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)的過程，從關(guān)注活動(dòng)轉(zhuǎn)向提升思維，利用研究活動(dòng)培養(yǎng)抽象和建模能力，就成了本節(jié)課的落腳點(diǎn)。本課，筆者采用拔釘子的手法來引領(lǐng)學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究試驗(yàn)。

一、環(huán)節(jié)一：猜想對(duì)比，拔掉選擇問題時(shí)的障礙之釘

師：同學(xué)們，今天我們一起來研究“釘子板上的多邊形〞，看到這個(gè)課題，你想研究哪些工程？

學(xué)生紛紛發(fā)言，有的說想研究多邊形的面積，有的說想研究周長，還有的說想研究一個(gè)圖形有多少個(gè)釘子……

師：大家方才說的都和多邊形面積有關(guān)。老師這里有一個(gè)釘子板，上面有一個(gè)長方形，長畫3格，寬畫2格，每相鄰兩個(gè)釘子的距離都是1厘米，用什么方法算出它的面積呢？

生1：用計(jì)算法，3×2=6平方厘米。

生2：用數(shù)方格法，一排3格，兩排是6格，就是6平方厘米。

師：除了計(jì)算和數(shù)方格的方法，還可以用釘子數(shù)來摸索面積。大家猜一猜，你覺得釘子板上多邊形的面積還會(huì)和什么有關(guān)呢？

生1：可能和外部的釘子數(shù)有關(guān)。

生2：可能和邊上的釘子數(shù)有關(guān)。

生3：還有可能和內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)。

師：猜想只是我們研究問題的第一步，僅僅靠猜想還不夠，下面我們來對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證。

[設(shè)計(jì)意圖]小學(xué)生受年齡、知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)所限，往往對(duì)研究問題的確定存在著較大的隨便性。本課一開始，教師立足于學(xué)生的生活實(shí)際，通過對(duì)計(jì)算長方形面積方法的比較，主動(dòng)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)提問的機(jī)遇，勉勵(lì)學(xué)生猜想所研究的內(nèi)容，學(xué)生在直觀感知中思考、發(fā)現(xiàn)，從而很快確定了研究的主題。民主和諧的學(xué)習(xí)氣氛很簡單激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)試驗(yàn)產(chǎn)生濃重的興趣。

二、環(huán)節(jié)二：自主體驗(yàn)，拔掉構(gòu)建過程中的障礙之釘

教師提出要求：求出這4個(gè)多邊形的面積（見圖1），數(shù)出每個(gè)多邊形邊上的釘子數(shù)，填入試驗(yàn)記錄單1中（見表1）。學(xué)生獨(dú)立完成后組織全班進(jìn)行交流，師生展開對(duì)話。

師：誰來說說它們的面積分別是多少？多邊形邊上的釘子數(shù)又是多少？

（學(xué)生逐一匯報(bào)）

師：觀測(cè)一下這個(gè)表格中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：多邊形的面積越大，多邊形邊上的釘子數(shù)就越多。

生2：多邊形邊上的釘子數(shù)是面積數(shù)的2倍。

生3：多邊形的面積數(shù)是多邊形邊上的釘子數(shù)的一半。

師：用S表示面積，n表示邊上的釘子數(shù)，能否想個(gè)簡單的式子來表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

生：S=n÷2。

師：這個(gè)發(fā)現(xiàn)對(duì)于所有的多邊形都適用嗎？請(qǐng)同學(xué)們?nèi)我猱嬕粋€(gè)圖形，數(shù)出它邊上的釘子數(shù)和面積數(shù)，快速驗(yàn)證一下！

（學(xué)生任意畫一個(gè)多邊形，數(shù)出釘子數(shù)和面積數(shù)，教師再次組織全班交流）

生1：我畫的圖形邊上有8枚釘子，面積是4平方厘米，符合這個(gè)規(guī)律。

生2：我畫的圖形也符合這個(gè)規(guī)律，圖形邊上有7枚釘子，面積是3.5平方厘米。

生3：我畫的圖形不符合這個(gè)規(guī)律，圖形邊上有8枚釘子，面積是5平方厘米。（內(nèi)部有2枚釘子）

生4：我的也不符合。（內(nèi)部有3枚釘子）

師：為什么有的符合而有的不符合呢？老師將符合規(guī)律的收集起來，（實(shí)物投影出示）觀測(cè)一下，這些圖形有什么共同點(diǎn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律，符合S=n÷2規(guī)律的多邊形內(nèi)只有一枚釘子。

生2：不符合這個(gè)規(guī)律的圖形，它里面都不是一枚釘子。

師：現(xiàn)在我們來看一下方才的規(guī)律，你覺得需要滿足什么條件？

生：多邊形的內(nèi)部只能有一枚釘子。

師：我們用字母a表示中間的釘子數(shù)，只有當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2才成立。

[設(shè)計(jì)意圖]教師通過開展“填表格〞和“畫圖形〞這兩個(gè)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生觀測(cè)、列舉、對(duì)比，深刻理解了釘子數(shù)和面積的關(guān)系。隨著數(shù)學(xué)試驗(yàn)的不斷深入，學(xué)生不斷突破原有的認(rèn)知，對(duì)公式變量之間的關(guān)系漸漸清楚，繼而構(gòu)建出知識(shí)體系，思維不斷拔節(jié)，數(shù)學(xué)模型初步建立。

三、環(huán)節(jié)三：適切引領(lǐng)，拔掉合作交流中的障礙之釘

師：你們還想研究什么樣的狀況呢？

生：我想研究多邊形里面有2枚釘子的狀況。

師：要獲得這個(gè)規(guī)律，有兩條途徑，一條是由老師直接告訴你，另一條是由你和你的小組成員在操作中摸索獲取。你選擇哪一種？

生：我們喜歡小組同學(xué)自己去研究。

教師出示試驗(yàn)活動(dòng)要求：每人在點(diǎn)子圖上只畫出1個(gè)內(nèi)有2枚釘子的多邊形。數(shù)一數(shù)多邊形邊上的釘子數(shù)和面積數(shù)，填入試驗(yàn)記錄單2中（見表2）。然后在小組中說說自己的發(fā)現(xiàn)。

師：大家在討論什么？遇到了什么困難？

生：我們從一個(gè)數(shù)據(jù)中不太簡單找到規(guī)律。

師：是啊，那如何找更多的數(shù)據(jù)呢？

生：我們將小組中的數(shù)據(jù)合起來可以嗎？

師：當(dāng)然可以，那還等什么呢？

（學(xué)生愉快地和小組成員強(qiáng)烈地交流起來）

師：哪組同學(xué)來匯報(bào)一下你們的研究成果？為了防止忘掉，我請(qǐng)一名同學(xué)做老師的小助手。

生1：我畫的多邊形里面有2枚釘子，邊上有6枚釘子，面積是4平方厘米。

生2：我畫的多邊形里面有2枚釘子，邊上有9枚釘子，面積是5.5平方厘米。

…………

師：我們一起觀測(cè)、對(duì)比收集到的數(shù)據(jù)，你能找尋到它們的一致之處嗎？

生1：內(nèi)部都有兩枚釘子。

生2：面積不再是S=n÷2了，后面要加上1。

師：對(duì)比內(nèi)部有1枚或2枚釘子的兩個(gè)規(guī)律，你覺得它們有什么異同點(diǎn)？

生：算面積時(shí)都要n÷2，一個(gè)要加1，一個(gè)不要加。

師：你覺得這個(gè)加1可能和誰有關(guān)系？

生：和內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)。

[設(shè)計(jì)意圖]在這個(gè)環(huán)節(jié)，教師給出了“如何研究多邊形內(nèi)有2枚釘子規(guī)律〞的研究任務(wù)后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)必需要從大量的數(shù)據(jù)中才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，他們意識(shí)到僅靠自己無法完成，必需通過小組合作才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律。試驗(yàn)中，學(xué)生先個(gè)別舉例，再在小組內(nèi)搜集整理，最終全班交流。教師給足學(xué)生充分探討的時(shí)間和空間，勉勵(lì)學(xué)生在現(xiàn)象中尋覓和思考，用數(shù)據(jù)說話。當(dāng)學(xué)生探究遇到困難時(shí)，教師適時(shí)介入，通過引導(dǎo)學(xué)生之間、組組之間相互碰撞、質(zhì)疑，最終抽象概括，發(fā)現(xiàn)其次個(gè)規(guī)律。在知識(shí)和聰慧的共享中，學(xué)生的交流與合作真正發(fā)揮了作用。

四、環(huán)節(jié)四：分層疊加，拔掉獲取結(jié)論障礙之釘

師：同學(xué)們看板書，當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2;a=2時(shí)，S=n÷2+1。請(qǐng)大膽猜想，你覺得a=3有怎樣的規(guī)律？a=4呢？

生1：我猜想a=3時(shí)，S=n÷2+2。

生2：我猜想a=4時(shí)，S=n÷2+3。

（教師分別板書這兩個(gè)公式，并打上問號(hào)）

師：這只是我們的猜想，還要驗(yàn)證。有了方才的經(jīng)歷，你覺得該怎樣研究呢？

生：我們像方才一樣，先畫幾個(gè)圖形，再算一算面積，數(shù)一數(shù)釘子數(shù)，最終在數(shù)據(jù)中找一致點(diǎn)，去發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：自己選擇一種狀況，先推想規(guī)律，再通過圍一圍、算一算進(jìn)行驗(yàn)證，把你的想法填寫在試驗(yàn)記錄單3中（見表3）。

師：a還可以是什么？

生：還可以是5、6、7……

師：大膽推想一下，假如a是5規(guī)律是什么？6呢？

（學(xué)生回復(fù)規(guī)律，教師相機(jī)對(duì)應(yīng)板書）

師：上述規(guī)律說得完嗎？（教師板書填上省略號(hào)）為什么當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2后面不加呢？

生：加1后再減1等于不加了。

師：當(dāng)a=0時(shí)，S會(huì)等于？

生：

S=n÷2+0-1，就是S=n÷2-1。

師：當(dāng)a=0，S=n÷2-1，這個(gè)規(guī)律對(duì)嗎？我們需要驗(yàn)證。

（教師浮現(xiàn)圖2中2個(gè)圖形，讓學(xué)生驗(yàn)證一下。學(xué)生驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)，符合規(guī)律）

師：假如用a表示多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)，n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，那么，你能用一個(gè)式子就能將這么多式子概括出來嗎？

生：

S=n÷2+a-1。

（教師將所有公式都畫上一個(gè)圈，在下面板書：S=n÷2+a-1）

師：其實(shí)同學(xué)們剛剛發(fā)現(xiàn)的公式數(shù)學(xué)上叫“皮克定理〞，我們今天和皮克一樣，研究發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，真了不起！

[設(shè)計(jì)意圖]在這個(gè)結(jié)論的抽象過程中，教師逐層疊加，讓學(xué)生完成抽取結(jié)論的“四部曲〞——首先讓學(xué)生猜想和驗(yàn)證內(nèi)部有3枚、4枚釘子的規(guī)律，接著引導(dǎo)學(xué)生把概況得到的規(guī)律合情推理，類比推廣到內(nèi)部有5枚、6枚乃至更多枚釘子，然后再引導(dǎo)學(xué)生從反面來理解規(guī)律，通過探討“當(dāng)a=0時(shí)，S會(huì)等于什么〞，浮現(xiàn)2個(gè)相應(yīng)的圖形來驗(yàn)證，最終把上述探究的規(guī)律高度凝練和簡單化。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要用一個(gè)公式就可以表示所有的規(guī)律時(shí)，他們驚嘆于數(shù)學(xué)的奇妙，進(jìn)而有效建立了數(shù)學(xué)系統(tǒng)思維，領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的簡單美。

在以上教學(xué)過程中，教師從認(rèn)知的源頭出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷了四次數(shù)學(xué)試驗(yàn)活動(dòng)。這些探究活動(dòng)，層層遞進(jìn)，由表及里，不斷地向規(guī)律的核心靠近。教師用拔釘子的方法，將影響學(xué)生數(shù)學(xué)試驗(yàn)活動(dòng)的障礙之釘一根根拔去，最終師生一起探尋數(shù)學(xué)的奧秘。整個(gè)實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生不斷在“猜想—驗(yàn)證—概括〞的過程中循環(huán)試驗(yàn)，師生共同建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)共享、情感交流、心靈溝通等多層次的互動(dòng)，教師把知識(shí)的傳授、思維的訓(xùn)練、方