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2021年廣西壯族自治區(qū)南寧市二十八中學高二數(shù)學文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.如圖,正四棱柱中,,則異面直線與所成角的余弦值為()A.
B.
C.
D.
參考答案:D2.從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內任取兩個球,那么互斥而不對立的兩個事件是(
)A.“至少有一個黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C.“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”D.“至少有一個黑球”與“都是紅球”
參考答案:C略3.已知E、F分別為正四面體ABCD棱AD、BC的中點,則異面直線AC與EF所成的角為
()A.30°
B.45°
C.60°
D.90°參考答案:B4.條件p:,,條件q:,,則條件p是條件q的
(
)
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件參考答案:A略5.在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在極坐標系(與直角坐標系取相同的長度單位,且以原點為極點,以軸正半軸為極軸)中,曲線的方程為,則與的交點個數(shù)為(
).
A. B. C. D.參考答案:C,,圓心到直線 的距離,∴兩曲線相交,有個交點.故選.6.已知:a>b>c,且a+b+c=0,則(
)A.a(chǎn)b>bc
B.a(chǎn)c>bc
C.a(chǎn)b>ac
D.a(chǎn)│b│>c│b│參考答案:C略7.從2005年到2008年期間,甲每年6月1日都到銀行存入元的一年定期儲蓄。若年利率為保持不變,且每年到期的存款本息均自動轉為新的一年定期儲蓄,到2008年6月1日,甲去銀行不再存款,而是將所有存款的本息全部取回,則取回的金額是()元。
參考答案:C8.若函數(shù)f(x)的定義域是[-1,1],則函數(shù)
的定義域是A.
B.(0,2]
C.[2,+∞)
D.參考答案:A首先對數(shù)真數(shù)一定大于0,
中
與f(x)中的x取值一樣,從而求出x的范圍.
解答:因為f(x)的定義域是[-1,1],所以,
,又
,
所以,
根據(jù)
的單調性知,
所以函數(shù)
的定義域為
故選A.
9.某程序框圖如圖所示,該程序運行后,輸出的值為,則等于A.4B.1C.2D.3參考答案:D略10.已知點是拋物線上的動點,點在軸上的射影是,點,則的最小值是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B過點M作拋物線準線的垂線,垂直為N,則=-1=|PA|+|PF|-1,當A,P,F三點共線時,|PA|+|PF|最小=|AF|=所以的最小值是.故選B.
二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知平面和直線,給出條件:①;②;③;④;⑤.(1)當滿足條件
時,有;(2)當滿足條件
時,有.參考答案:12.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+n,則數(shù)列{an}的通項公式an=.參考答案:2n考點:數(shù)列遞推式.專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析:由已知條件利用公式,能求出an.解答:解:∵數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+n,∴a1=S1=1+1=2,an=Sn﹣Sn﹣1=(n2+n)﹣[(n﹣1)2+(n﹣1)]=2n,當n=1時,上式成立,∴an=2n.故答案為:2n.點評:本題考查數(shù)列的通項公式的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意公式的合理運用.13.若三角形內切圓半徑為r,三邊長為a,b,c,則,利用類比思想:若四面體內切球半徑為R,四個面的面積為,則四面體的體積V=________.參考答案:.試題分析:由題意得三角形的面積可拆分成分別由三條邊為底,其內切圓半徑為高的三個小三角形的面積之和,從而可得公式,由類比思想得,四面體的體積亦可拆分成由四個面為底,其內切圓的半徑為高的四個三棱錐的體積之和,從而可得計算公式.考點:1.合情推理;2.簡單組合體的體積(多面體內切球).【方法點晴】此題主要考查合情推理在立體幾何中的運用方面的內容,屬于中低檔題,根據(jù)題目前半段的“分割法”求三角形面積的推理模式,即以三角形的三條邊為底、其內切圓半徑為高分割成三個三角形面積之和,類似地將四面體以四個面為底面、其內切球半徑為高分割成四個三棱錐(四面體)體積之和,從而問題可得解決.14.以原點為圓心,且過點(3,-4)的圓的標準方程是________;那么點的位置在圓________(內、上、外).參考答案:
內
15.下列各數(shù)210(6)、1000(4)、111111(2)中最小的數(shù)是.參考答案:111111(2)【考點】進位制.【分析】將四個答案中的數(shù)都轉化為十進制的數(shù),進而可以比較其大?。窘獯稹拷猓?10(6)=2×62+1×6=78,1000(4)=1×43=64,111111(2)=1×26﹣1=63,故最小的數(shù)是111111(2)故答案為:111111(2).16.已知集合,則________.參考答案:
17.已知復數(shù)z滿足,則的值為
.參考答案:10設,則.∵,∴,∴,解得.∴,∴.
三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知(x3+)n的展開式中,只有第六項的二項式系數(shù)最大,求展開式中不含x的項.參考答案:【考點】DC:二項式定理的應用.【分析】由(x3+)n展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大,可得n=10.再利用通項公式即可得出展開式中不含x的項.【解答】解:∵(x3+)n的展開式中,只有第六項的二項式系數(shù)最大,∴n=10.∴(x3+)10的通項公式為:Tr+1═,令30﹣5r=0,解得r=6.∴展開式的不含x的項==210.【點評】本題考查了二項式定理的應用,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.19.為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層,某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為3萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度(單位:cm)滿足關系:,若不建隔熱層(即),每年能源消耗費用為4萬元.設為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.(Ⅰ)求的值及的表達式.(Ⅱ)隔熱層修建多厚時,總費用達到最小,并求最小值.參考答案:(Ⅰ)由已知得C(0)=4,∴,∴k=20………………2分∴……5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,…………7分令f'(x)=0得x=5或………………8分∵函數(shù)f(x)在[0,5)遞減,在[5,10]遞增……9分∴函數(shù)f(x)在x=5取得最小值,最小值為f(5)=35……………11分答:隔熱層厚度為5厘米時,總費用最小,最小值為35萬元.……12分20.如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD⊥底面ABCD,E是PC的中點,求證:(Ⅰ)PA∥平面EDB(Ⅱ)AD⊥PC.參考答案:【考點】直線與平面平行的判定.【分析】(Ⅰ)連接AC交BD于O,連接OE,證明OE∥PA,即可證明PA∥平面EDB;(Ⅱ)證明AD⊥平面PCD,即可證明AD⊥PC.【解答】證明:(Ⅰ)連接AC交BD于O,連接OE∵底面ABCD是正方形,∴O為AC中點,∵在△PAC中,E是PC的中點,∴OE∥PA,…∵OE?平面EDB,PA?平面EDB,∴PA∥平面EDB.…(Ⅱ)∵側棱PD⊥底面ABCD,AD?底面ABCD,∴PD⊥AD,∵底面ABCD是正方形,∴AD⊥CD,又PD∩CD=D,∴AD⊥平面PCD.…∴AD⊥PC.…21.(本題滿分15分)已知動點P與平面上兩定點連線的斜率的積為定值.(1)試求動點P的軌跡方程C;(2)設直線與曲線C交于M、N兩點,求的面積.參考答案:(1)解:設點,則依題意有,┅┅┅3分整理得由于
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