2022年江西省上饒縣九年級數(shù)學第一學期期末經典試題含解析

2022-2023學年九上數(shù)學期末模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，將兩張長為10，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值8，那么，菱形周長的最大值為（）A． B． C． D．212．如圖，AB，AM，BN分別是⊙O的切線，切點分別為P，M，N．若MN∥AB，∠A＝60°，AB＝6，則⊙O的半徑是（）A． B．3 C． D．3．關于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣3＝0的一個解為x＝﹣1，則m的值為（）A．﹣1 B．﹣3 C．5 D．14．如圖，已知□ABCD的對角線BD=4cm，將□ABCD繞其對稱中心O旋轉180°，則點D所轉過的路徑長為（）A．4πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm5．點A（﹣3，y1），B（0，y2），C（3，y3）是二次函數(shù)y＝﹣（x+2）2+m圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＝y(tǒng)3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y26．在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）A．x＞0 B．x≥﹣4 C．x≥﹣4且x≠0 D．x＞0且x≠﹣17．如圖，一邊靠墻(墻有足夠長)，其它三邊用12m長的籬笆圍成一個矩形(ABCD)花園，這個花園的最大面積是()A．16m2 B．12m2 C．18m2 D．以上都不對8．我們定義一種新函數(shù)：形如（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學畫出了“鵲橋”函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|的圖象（如圖所示），并寫出下列五個結論：其中正確結論的個數(shù)是（）①圖象與坐標軸的交點為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②圖象具有對稱性，對稱軸是直線x＝1；③當﹣1≤x≤1或x≥3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；④當x＝﹣1或x＝3時，函數(shù)的最小值是0；⑤當x＝1時，函數(shù)的最大值是4，A．4 B．3 C．2 D．19．如圖，在正方形ABCD中，H是對角線BD的中點，延長DC至E，使得DE=DB，連接BE，作DF⊥BE交BC于點G，交BE于點F，連接CH、FH，下列結論：（1）HC=HF；（2）DG=2EF；（3）BE·DF=2CD2；（4）S△BDE=4S△DFH；（5）HF∥DE，正確的個數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．210．如圖，已知△ABC和△EDC是以點C為位似中心的位似圖形，且△ABC和△EDC的周長之比為1：2，點C的坐標為（﹣2，0），若點B的坐標為（﹣5，1），則點D的坐標為（）A．（4，﹣2） B．（6，﹣2） C．（8，﹣2） D．（10，﹣2）11．如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，過點的直線與軸，軸分別交于點，，且，的面積為，則的值為（）A． B． C． D．12．設點和是反比例函數(shù)圖象上的兩個點，當＜＜時，＜，則一次函數(shù)的圖象不經過的象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題（每題4分，共24分）13．某劇場共有個座位，已知每行的座位數(shù)都相同，且每行的座位數(shù)比總行數(shù)少，求每行的座位數(shù)．如果設每行有個座位，根據(jù)題意可列方程為_____________．14．如圖，在△ABC中，∠BAC＝33°，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉50°，對應得到△AB′C′，則∠B′AC的度數(shù)為____．15．已知關于的二次函數(shù)的圖象如圖所示，則關于的方程的根為__________16．方程x2=8x的根是______．17．如圖，正方形ABCD中，P為AD上一點，BP⊥PE交BC的延長線于點E，若AB=6，AP=4，則CE的長為_____．18．已知tan（α+15°）=，則銳角α的度數(shù)為______°．三、解答題（共78分）19．（8分）已知關于的一元二次方程．（1）若方程有實數(shù)根，求的取值范圍；（2）若方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)的平方和等于14，求的值．20．（8分）如圖所示，AD，BE是鈍角△ABC的邊BC，AC上的高，求證：．21．（8分）小明家飲水機中原有水的溫度為20℃，通電開機后，飲水機自動開始加熱(此過程中水溫y(℃)與開機時間x(分)滿足一次函數(shù)關系)，當加熱到100℃時自動停止加熱，隨后水溫開始下降，此過程中水溫y(℃)與開機時間x(分)成反比例關系，當水溫降至20C時，飲水機又自動開始加熱…，重復上述程序(如圖所示)，根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）當0≤x≤8時，求水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數(shù)關系式；（2）求圖中t的值；（3）若小明上午八點將飲水機在通電開機(此時飲水機中原有水的溫度為20℃后即外出散步，預計上午八點半散步回到家中，回到家時，他能喝到飲水機內不低于30℃的水嗎？請說明你的理由．22．（10分）如圖，在中，，，，點從點出發(fā)沿以的速度向點移動，移動過程中始終保持，（點分別在線段、線段上）.（1）點移動幾秒后，的面積等于面積的四分之一；（2）當四邊形面積時，求點移動了多少秒？23．（10分）如圖，在中，是內心，，是邊上一點，以點為圓心，為半徑的經過點，交于點.（1）求證：是的切線；（2）連接，若，，求圓心到的距離及的長.24．（10分）拋物線直線一個交點另一個交點在軸上，點是線段上異于的一個動點，過點作軸的垂線，交拋物線于點．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的點，使線段長度最大？若存在，求出最大值及此時點的坐標，若不存在，說明理由；（3）求當為直角三角形時點P的坐標．25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩個動點，分別從A，C同時出發(fā)相向而行，速度均為1cm/s，運動時間為t秒，0≤t≤1．（1）AE＝________，EF＝__________（2）若G，H分別是AB，DC中點，求證：四邊形EGFH是平行四邊形．（相遇時除外）（3）在（2）條件下，當t為何值時，四邊形EGFH為矩形．26．如圖，拋物線經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，連接BD，點H為BD的中點．請解答下列問題：（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）在y軸上找一點P，使PD+PH的值最小，則PD+PH的最小值為

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】畫出圖形，設菱形的邊長為x，根據(jù)勾股定理求出周長即可．【詳解】解：當兩張紙條如圖所示放置時，菱形周長最大，設這時菱形的邊長為xcm，在Rt△ABC中，由勾股定理：x2＝（10﹣x）2+22，解得：x＝，∴4x＝，即菱形的最大周長為cm．故選：C．【點睛】此題考查矩形的性質，本題的解答關鍵是怎樣放置紙條使得到的菱形的周長最大，然后根據(jù)圖形列方程．2、D【分析】根據(jù)題意可判斷四邊形ABNM為梯形，再由切線的性質可推出∠ABN=60°，從而判定△APO≌△BPO，可得AP=BP=3，在直角△APO中，利用三角函數(shù)可解出半徑的值.【詳解】解：連接OP，OM，OA，OB，ON∵AB，AM，BN分別和⊙O相切，∴∠AMO=90°，∠APO=90°，∵MN∥AB，∠A＝60°，∴∠AMN=120°，∠OAB=30°，∴∠OMN=∠ONM=30°，∵∠BNO=90°，∴∠ABN=60°，∴∠ABO=30°，在△APO和△BPO中，，△APO≌△BPO（AAS），∴AP=AB=3，∴tan∠OAP=tan30°==，∴OP=，即半徑為.故選D.【點睛】本題考查了切線的性質，切線長定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性質，關鍵是說明點P是AB中點，難度不大.3、D【分析】把x＝﹣1代入方程2x2﹣mx﹣3＝0得到2+m﹣3＝0，然后解關于m的方程即可．【詳解】把x＝﹣1代入方程2x2﹣mx﹣3＝0得2+m﹣3＝0，解得m＝1．故選D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，熟知能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是解決問題的關鍵．4、C【分析】點D所轉過的路徑長是一段弧，是一段圓心角為180°，半徑為OD的弧，故根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：BD=4，

∴OD=2

∴點D所轉過的路徑長==2π．

故選：C．【點睛】本題主要考查了弧長公式：．5、C【解析】先確定拋物線的對稱軸，然后比較三個點到對稱軸的距離，再利用二次函數(shù)的性質判斷對應的函數(shù)值的大小．【詳解】二次函數(shù)y＝﹣（x+2）2+m圖象的對稱軸為直線x＝﹣2，又a=-1,二次函數(shù)開口向下，∴x＜-2時，y隨x增大而增大，x＞-2時，y隨x增大而減小，而點A（﹣3，y1）到直線x＝﹣2的距離最小，點C（3，y3）到直線x＝﹣2的距離最大，所以y3＜y2＜y1．故選：C．【點睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖像，解題的關鍵是熟知二次函數(shù)的圖像與性質.6、C【解析】試題分析：由題意，得x+4≥0且x≠0，解得x≥﹣4且x≠0，故選C．考點：函數(shù)自變量的取值范圍．7、C【分析】設AB邊為x，則BC邊為（12-2x）,根據(jù)矩形的面積可列二次函數(shù)，再求出最大值即可.【詳解】設AB邊為x，則BC邊為（12-2x），則矩形ABCD的面積y=x（12-2x）=-2（x-3）2+18，∴當x=3時，面積最大為18，選C.【點睛】此題主要考察二次函數(shù)的應用，正確列出函數(shù)是解題的關鍵.8、A【分析】由（-1,0），（3,0）和（0,3）坐標都滿足函數(shù)，∴①是正確的；從圖象可以看出圖象具有對稱性，對稱軸可用對稱軸公式求得是直線，②也是正確的；根據(jù)函數(shù)的圖象和性質，發(fā)現(xiàn)當或時，函數(shù)值隨值的增大而增大，因此③也是正確的；函數(shù)圖象的最低點就是與軸的兩個交點，根據(jù)，求出相應的的值為或，因此④也是正確的；從圖象上看，存在函數(shù)值大于當時的，因此⑤時不正確的；逐個判斷之后，可得出答案．【詳解】解：①∵（-1,0），（3,0）和（0,3）坐標都滿足函數(shù)，∴①是正確的；②從圖象可知圖象具有對稱性，對稱軸可用對稱軸公式求得是直線，因此②也是正確的；③根據(jù)函數(shù)的圖象和性質，發(fā)現(xiàn)當或時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，因此③也是正確的；④函數(shù)圖象的最低點就是與x軸的兩個交點，根據(jù)y＝0，求出相應的x的值為或，因此④也是正確的；⑤從圖象上看，存在函數(shù)值要大于當時的，因此⑤是不正確的；故選A【點睛】理解“鵲橋”函數(shù)的意義，掌握“鵲橋”函數(shù)與與二次函數(shù)之間的關系；兩個函數(shù)性質之間的聯(lián)系和區(qū)別是解決問題的關鍵；二次函數(shù)與軸的交點、對稱性、對稱軸及最值的求法以及增減性應熟練掌握．9、B【解析】由等腰三角形“三線合一”的性質可得EF=BF，根據(jù)H是正方形對角線BD的中點可得CH=DH=BH，即可證明HF是△BDE的中位線，可得HF=DE，HF//DE；由BD=DE即可得HC=HF；利用直角三角形兩銳角互余的關系可得∠CBE=∠CDG，利用ASA可證明△BCE≌△DCG，可得DG=BE，可判定DG=2EF，由正方形的性質可得BD2=2CD2，根據(jù)∠CBE=∠CDG，∠E是公共角可證明△BCE∽△DFE，即可得，即BE·DF=DE·BC，可對③進行判定，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可對④進行判定，綜上即可得答案.【詳解】∵BD=DE，DF⊥BE，∴EF=BF，∵H是正方形ABCD對角線BD的中點，∴CH=DH=BH=BD，∴HF是△BDE的中位線，∴HF=DE=BD=CH，HF//DE，故①⑤正確，∵∠CBE+∠E=90°，∠FDE+∠E=90°，∴∠CBE=∠FDE，又∵CD=BC，∠DCG=∠BCE=90°，∴△BCE≌△DCG，∴DG=BE，∵BE=2EF，∴DG=2EF，故②正確，∵∠CBE=∠FDE，∠E=∠E，∴△BCE∽△DFE，∴，即BE·DF=DE·BC，∵BD2=CD2+BC2=2CD2∴DE2=2CD2，∴DE·BC≠2CD2，∴BE·DF≠2CD2，故③錯誤，∵DH=BD，∴S△DFH=S△DFB，∵BF=BE，∴S△DFB=S△BDE，∴S△DFH=S△BDE，即S△BDE=4S△DFH，故④正確，綜上所述：正確的結論有①②④⑤，共4個，故選B.【點睛】本題考查正方形的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質及三角形中位線的性質，綜合性較強，熟練掌握所學性質及定理是解題關鍵.10、A【分析】作BG⊥x軸于點G，DH⊥x軸于點H，根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC∽△EDC，根據(jù)相似是三角形的性質計算即可．【詳解】作BG⊥x軸于點G，DH⊥x軸于點H，則BG∥DH，∵△ABC和△EDC是以點C為位似中心的位似圖形，∴△ABC∽△EDC，∵△ABC和△EDC的周長之比為1：2，∴＝，由題意得，CG＝3，BG＝1，∵BG∥DH，∴△BCG∽△DCH，∴＝＝＝，即＝＝，解得，CH＝6，DH＝2，∴OH＝CH﹣OC＝4，則點D的坐標為為（4，﹣2），故選：A．【點睛】本題考查的是位似變換的性質，正確理解位似與相似的關系，記憶關于原點位似的兩個圖形對應點坐標之間的關系是解題的關鍵．11、D【分析】過點C作CD⊥x軸交于點D，連接OC，則CD∥OB，得AO=OD，CD=2OB，進而得的面積為4，即可得到答案．【詳解】過點C作CD⊥x軸交于點D，連接OC，則CD∥OB，∵，∴AO=OD，∴OB是?ADC的中位線，∴CD=2OB，∵的面積為，∴的面積為4，∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴k=2×4=8，故選D．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，添加輔助線，求出的面積，是解題的關鍵．12、A【解析】∵點和是反比例函數(shù)圖象上的兩個點，當＜＜1時，＜，即y隨x增大而增大，∴根據(jù)反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：當時函數(shù)圖象的每一支上，y隨x的增大而減??；當時，函數(shù)圖象的每一支上，y隨x的增大而增大．故k＜1．∴根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：一次函數(shù)的圖象有四種情況：①當，時，函數(shù)的圖象經過第一、二、三象限；②當，時，函數(shù)的圖象經過第一、三、四象限；③當，時，函數(shù)的圖象經過第一、二、四象限；④當，時，函數(shù)的圖象經過第二、三、四象限．因此，一次函數(shù)的，，故它的圖象經過第二、三、四象限，不經過第一象限．故選A．二、填空題（每題4分，共24分）13、x(x+12)=1【分析】設每行有個座位，根據(jù)等量關系，列出一元二次方程，即可．【詳解】設每行有個座位，則總行數(shù)為(x+12)行，根據(jù)題意，得：x(x+12)=1，故答案是：x(x+12)=1．【點睛】本題主要考查一元二次方程的實際應用，找出等量關系，列出方程，是解題的關鍵．14、17°【詳解】解：∵∠BAC=33°,將△ABC繞點A按順時針方向旋轉50°,對應得到△AB′C′，∴∠B′AC′=33°,∠BAB′=50°，∴∠B′AC的度數(shù)=50°?33°=17°.故答案為17°.15、0或-1【分析】求關于的方程的根，其實就是求在二次函數(shù)中，當y=4時x的值，據(jù)此可解．【詳解】解：∵拋物線與x軸的交點為（-4，0），（1，0），∴拋物線的對稱軸是直線x=-1.5，∴拋物線與y軸的交點為（0，4）關于對稱軸的對稱點坐標是（-1，4），

∴當x=0或-1時，y=4,即=4，即=0∴關于x的方程ax2+bx=0的根是x1=0，x2=-1．故答案為：x1=0，x2=-1．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)與一元二次方程的關系，能根據(jù)題意利用數(shù)形結合把求出方程的解的問題轉化為二次函數(shù)的問題是解答此題的關鍵．16、x1=0，x2=1【解析】移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【詳解】解：x2=1x，x2-1x=0，x（x-1）=0，x=0，x-1=0，x1=0，x2=1，故答案為x1=0，x2=1．【點睛】考查了解一元二次方程，能把一元二次方程轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．17、2【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF，結合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性質可求出DF的長，進而可得出CF的長，由∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性質可求出CE的長．【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A=∠D=∠ECF=90°，AB=AD=CD=6，∴DP=AD﹣AP=1．∵BP⊥PE，∴∠BPE=90°，∴∠APB+∠DPF=90°．∵∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPF．又∵∠A=∠D，∴△APB∽△DFP，∴，即，∴DF=，∴CF=．∵∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF，∴△PFD∽△EFC，∴=，即，∴CE=2．故答案為：2．【點睛】此題考查相似三角形判定與性質以及正方形的性質，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解題的關鍵．18、15【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值求出答案．【詳解】解：tan（α+15°）=∴α+15°=30°,∴α=15°故答案是15【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關特殊角的三角函數(shù)值是解題關鍵．三、解答題（共78分）19、（1）且；（2）【分析】(1)根據(jù)方程有實數(shù)根得出，且解之可得；

(2)利用根與系數(shù)的關系可用k表示出的值，根據(jù)條件可得到關于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判別式進行取舍．【詳解】解：(1)由于是一元二次方程且有實數(shù)根，所以，即，且∴且(2)設方程的兩個根為，則，∴整理，得解得根據(jù)(1)中且，得.【點睛】此題主要考查了根的判別式和根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．20、見解析．【分析】根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似證明△ADC∽△BEC即可．【詳解】證明：∵AD，BE分別是BC，AC上的高∴∠D=∠E=90°又∠ACD=∠BCE（對頂角相等）∴△ADC∽△BEC∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握形似三角形的判定方法是解答本題的關鍵．①有兩個對應角相等的三角形相；②有兩個對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似．21、（1）y＝10x+1；（2）t的值為2；（3）不能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上兩點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出當0≤x≤8時，水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數(shù)關系式；（2）由點(8，100)，利用待定系數(shù)法即可求出當8≤x≤t時，水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數(shù)關系式，再將y=1代入該函數(shù)關系式中求出x值即可；（3）將x=30代入反比例函數(shù)關系式中求出y值，再與30比較后即可得出結論．【詳解】（1）當0≤x≤8時，設水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數(shù)關系式為y=kx+b(k≠0)．將(0，1)、(8，100)代入y=kx+b中，得：，解得：，∴當0≤x≤8時，水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數(shù)關系式為y=10x+1．（2）當8≤x≤t時，設水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數(shù)關系式為y(m≠0)，將(8，100)代入y中，得：100，解得：m=800，∴當8≤x≤t時，水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數(shù)關系式為y．當y1時，x=2，∴圖中t的值為2．（3）當x=30時，．答：小明上午八點半散步回到家中時，不能喝到飲水機內不低于30°C的水．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用、待定系數(shù)法求一次(反比例)函數(shù)解析式以及一次(反比例)函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關系式；（2）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)關系式；（3）將x=30代入反比例函數(shù)關系式中，求出y值．22、（1）2秒；（2）3秒.【分析】（1）證得△ABC、△ADE和△DBF都是等腰直角三角形，利用，列式計算即可；（2）根據(jù)，列式計算即可求得答案．【詳解】（1）設移動秒，的面積等于面積的四分之一，∵，，，∴△ABC為等腰直角三角形，，∵，，∴△ADE和△DBF都是等腰直角三角形，

∴，，∵，∴，即，解得：(秒)；（2）設移動秒，四邊形面積，由(1)得：，，∵，∴即解得：(秒)．【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式以及一元二次方程的應用，等腰三角形的判定和性質，利用三角形的面積公式，找出關于的一元二次方程是解題的關鍵．23、（1）見解析；（2）點到的距離是1，的長度【分析】（1）連接OI，延長AI交BC于點D，根據(jù)內心的概念及圓的性質可證明OI∥BD，再根據(jù)等腰三角形的性質及平行線的性質可證明∠AIO=90°，從而得到結論；（2）過點O作OE⊥BI，利用垂徑定理可得到OE平分BI，再根據(jù)圓的性質及中位線的性質即可求出O到BI的距離；根據(jù)角平分線及圓周角定理可求出∠FOI=60°，從而證明△FOI為等邊三角形，最后利用弧長公式進行計算即可.【詳解】解：（1）證明：延長AI交BC于D，連接OI，∵I是△ABC的內心，∴BI平分∠ABC，AI平分∠BAC，∴∠1=∠3，又∵OB=OI，∴∠3=∠2，∴∠1=∠2，∴OI∥BD，又∵AB=AC，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，∴∠AIO=∠ADB=90°，∴AI為的切線；（2）作OE⊥BI，由垂徑定理可知，OE平分BI，又∵OB=OF，∴OE是△FBI的中位線，∵IF=2，∴OE=IF==1，∴點O到BI的距離是1，∵∠IBC=30°，由（1）知∠ABI=∠IBC，∴∠ABI=30°，∴∠FOI=60°，又∵OF=OI，∴△FOI是等邊三角形，∴OF=OI=FI=2，∴的長度.【點睛】本題考查圓與三角形的綜合，重點在于熟記圓的相關性質及定理，以及等腰三角形、等邊三角形的性質與判定定理，注意圓中連接形成半徑是常作的輔助線，等腰三角形中常利用“三線合一”構造輔助線.24、（1）；（2）當時，長度的最大值為，此時點的坐標為；（3）為直角三角形時點的坐標為或．【分析】（1）根據(jù)已知條件先求得，，將、坐標代入，再求得、，最后將其代入即可得解；（2）假設存在符合條件的點，并設點的橫坐標，然后根據(jù)已知條件用含的式子表示出、的坐標，再利用坐標平面內距離公式求得、間的距離，將其進行配方即可進行判斷并求解；（3）分、兩種情況進行討論，求得相應的符合要求的點坐標即可．【詳解】解：（1）∵拋物線直線相交于、∴當時，；當時，，則∴，∴把代入得∴∴（2）假設存在符合條件的點，并設點的橫坐標則、∴∵∴有最大值當時，長度的最大值為，此時點的坐標為（3）①當時∵直線垂直于直線∴可設直線的解析式為∵直線過點∴∴∴直線的解析式為∴∴或(不合題意，舍去)∴此時點的坐標為∴當時，∴此時點的坐標為；②當時∴點的縱坐標與點的縱坐標相等即∴∴解得(舍去)∴當時，∴此時點的坐標為．∴綜上所述，符合條件的點存在，為直角三角形時點的坐標為或．故答案是：（1）；（2）當時，長度的最大值為，此時點的坐標為；（3）為直角三角形時點的坐標為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用，涉及到了動點問題、最值問題、用待定系數(shù)法求解析式、方程組問題等，充分考